- Tri thức dạy học: Từ khỏi niệm Giới hạn của hàm số, GV cú thể truyền thụ cho HS tri thức phương phỏp để vận dụng khỏi niệm này để giải quyết
2.2.2. Lịch sử một số yếu tố kiến thức trong chương trỡnh Giải tớch Trung học phổ thụng
Trung học phổ thụng
* Hàm số:
Khỏi niệm sơ khai về hàm số đó cú từ 1000 năm trước cụng nguyờn khi những người Babilon đó biết lập những bảng tỉ số thực nghiệm trong
thiờn văn. Nhưng mói đến thế kỉ thứ XVII khỏi niệm này mới được hỡnh thành rừ ràng và cú hệ thống trong Toỏn học nhờ cỏc cụng trỡnh của Phộc-ma và Đề-cỏc.
Giữa thế kỉ thứ XVII, khi đụng chạm đến bài toỏn về sự dao động của sợi dõy đó nảy sinh nhu cầu về một định nghĩa hàm số tổng quỏt. Khoảng năm 1694 danh từ hàm số được Lai-bơ-nớt dựng lần đầu tiờn. Lỳc này khỏi niệm hàm số gắn liền với biểu diễn hỡnh học của hàm số bằng một đường.
Thế kỉ thứ XVII cũng là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ trực giỏc hỡnh học sang biểu thức giải tớch. Năm 1718, Giụ-han Bộc-nu-li (Johann Bernoulli) đĩnh nghĩa: "Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tớch gồm biến lượng đú và cỏc đại lượng khụng đổi". Năm 1748, Đa-lăm-be cũng đưa ra định nghĩa: "Hàm số là một biểu thức giải tớch". Trong thế kỉ thứ XVIII biểu thức giải tớch đúng vai trũ cơ bản trong việc xỏc định tương quan hàm số. Tuy nhiờn trong thế kỉ này cũng cú những định nghĩa tổng quỏt hơn, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc. Năm 1755, Ơ-le định nghĩa: "Khi một đại lượng phụ thuộc vào cỏc đại lượng khỏc sao cho sự thay đổi của cỏc đại lượng thứ hai kộo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thỡ đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của đại lượng thứ hai".
Trong thế kỉ thứ XIX với sự phỏt triển của giải tớch toỏn học, khỏi niệm hàm số đũi hỏi phải được mở rộng. Xõy dựng khỏi niệm này dựa vào sự tương ứng giữa cỏc giỏ trị của hai đại lượng. Năm 1837, Đi-rớch-lờ (Dirichler) định nghĩa: "y là hàm số của x nếu với mỗi giỏ trị của x thỡ tương ứng một giỏ trị hoàn toàn xỏc định của y cũn sự tương ứng đú được thiết lập bằng cỏch nào thỡ điều này hoàn toàn khụng quan trọng".
ễng đưa ra vớ dụ: 1 nếu x hữu tỉ ( ) 0 nếu x vô tỉ = = y D x
Định nghĩa này đó được tất cả cỏc nhà bỏc học lỳc bấy giờ chấp nhận. Nhưng về sau khi lớ thuyết tập hợp phỏt triển thành nền tảng của toỏn học đũi hỏi phải mở rộng hơn nữa khỏi niệm hàm số. Lỳc này khỏi niệm hàm khụng dựng đại lượng biến thiờn mà dựa vào lớ thuyết tập hợp. Đõy là một khuynh hướng hiện đại dẫn tới mở rộng khỏi niệm hàm vỡ nú nghiờn cứu những sự tương ứng khụng phải chỉ giữa cỏc giỏ trị của những đại lượng. Do đú nú cú khả năng phục vụ cho tất cả cỏc ứng dụng cổ truyền của Toỏn học cũng như nhiều ứng dụng mới xuất hiện. Sau đõy là bốn dạng định nghĩa:
- Dạng định nghĩa tỡnh huống hàm - nghĩa là tỡnh huống mà trong đú cú thể núi rằng cú một hàm số:
+ “Giả sử A và B là hai tập hợp bất kỡ. Người ta núi rằng trờn A được xỏc định một hàm f nhận cỏc giỏ trị trong B nếu với mỗi phần tử x ∈ A đặt tương ứng một và chỉ một phần tử trong B”. Trong trường hợp cỏc tập hợp cú bản chất bất kỡ thỡ thay từ “Hàm” người ta thường dựng từ “ỏnh xạ” và núi về ỏnh xạ của tập hợp A đến tập hợp B.
+ “Cho hai tập hợp A và B. Ta núi rằng đó xỏc định một ỏnh xạ f của tập hợp A vào tập hợp B và kớ hiệu f: A→B nếu bằng cỏch nào đú đặt tương ứng với mỗi phần tử a ∈ A một phần tử xỏc định b ∈B”.
- Hàm như một quy tắc tương ứng của hai tập hợp:
“A và B là hai tập hợp đó cho. Một ỏnh xạ f từ A đến B là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử a ∈ A một phần tử duy nhất b ∈ B”.
- Hàm như một sự tương ứng: “Hàm là một sự tương ứng mà theo đú với mỗi phần tử x của tập hợp X tương ứng một phần tử y của tập hợp Y nào đú”.
Rừ ràng cỏc định nghĩa hàm thuộc ba dạng trờn đó dựa vào tập hợp nhưng chưa triệt để: Dạng thứ nhất chưa chỉ được đớch danh hàm là gỡ, cũn cú những thuật ngữ chưa rừ như “quy tắc” ở dạng 2, “sự tương ứng” ở dạng 3. Dạng cuối cựng sau đõy sẽ khắc phục được cỏc nhược điểm trờn.
+ Định nghĩa đầy đủ:
Một tập hợp G mà mỗi phần tử của nú là những cặp được gọi là một đồ thị. Tập hợp tất cả cỏc phần tử thứ nhất của cỏc cặp trong G được gọi là miền xỏc định của đồ thị G. Kớ hiệu là pr1G. Tập hợp tất cả cỏc phần tử thứ 2 của cỏc cặp trong G được gọi là miền giỏ trị của G, kớ hiệu là pr2G.
Một bộ ba (G, A, B), trong đú G là một đồ thị sao cho pr1G ⊂ A và pr2G ⊂ B, được gọi là một sự tương ứng giữa cỏc tập hợp A và B, A gọi là nguồn và B gọi là đớch của sự tương ứng đú.
Một đồ thị được gọi là một đồ thị hàm nếu trong đú khụng cú hai cặp phõn biệt nào cựng chung phần tử thứ nhất. Một sự tương ứng (F, A, B) được gọi là một hàm nếu F là một đồ thị hàm và A = pr1F.
Như vậy theo những định nghĩa trờn của Bua-ba-ki thỡ một bộ ba tập hợp (F, A, B), trong đú F là tập những cặp sao cho pr1G ⊂ A và pr2G ⊂ B, được gọi là một hàm nếu mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉ một cặp thuộc F.
+ Định nghĩa rỳt gọn: "Một hàm là một tập hợp những cặp (x, y) sao cho đối với mỗi x bất kỡ trong tập hợp đú khụng cú quỏ một cặp (x, y) với phần tử thứ nhất x cho trước.
Như vậy nguồn và đớch khụng cú mặt trong định nghĩa rỳt gọn cũn hàm chớnh là đồ thị hàm theo định nghĩa đầy đủ.
Ta thấy rằng khỏi niệm hàm số phỏt sinh, phỏt triển, ngày càng mở rộng, chớnh xỏc húa và hoàn thiện là do nhu cầu của thực tiễn. Và những định nghĩa dạng cuối cựng (theo cỏch đầy đủ hay rỳt gọn) là tiờu biểu nhất cho khuynh hướng hiện đại - khuynh hướng lớ thuyết tập hợp.
* Phộp tớnh vi phõn và tớch phõn
Cỏc ý tưởng giỳp hỡnh thành mụn vi phõn, tớch phõn phỏt triển qua một thời gian dài và những người đi những bước tiờn phong là cỏc nhà toỏn học Hi Lạp. Xột về mặt lịch sử thỡ tư tưởng phộp tớnh tớch phõn ra đời trước và ớt lõu sau phộp tớnh vi phõn mới được nghĩ tới. Leucippus, Democritus và Antiphon
đó cú những đúng gúp vào phương phỏp “vột kiệt” (Method of Exhaustion) của Hi Lạp. Nhưng mói về sau mới được ấ-u-xụ-đỳt (Euxodus, 408 - 355) nõng lờn thành lớ luận khoa học. (Sở dĩ gọi là phương phỏp “vột kiệt” vỡ xem diện tớch của một hỡnh được tớnh bằng vụ số hỡnh, càng lỳc càng lấp đầy hỡnh đú.)
Phương phỏp “vột kiệt” thừa nhận tớnh chia hết vụ hạn của cỏc độ lớn, được coi là cõu trả lời của trường phỏi Platon đối với những nghịch lớ của Zờ-nụng. Mệnh đề cơ sở như sau: “Nếu từ bất kỡ một đại lượng nào đú và bỏ đi một phần khụng nhỏ hơn một nửa của nú, rồi từ chỗ cũn lại bỏ đi một phần khỏc khụng nhỏ hơn một nửa của nú, võn võn thỡ cuối cựng sẽ cũn lại một đại lượng nhỏ hơn bất kỳ đại lượng nào được ấn định cựng loại”.
Tuy nhiờn, chỉ cú Ac-xi-một mới là người Hi Lạp kiệt xuất nhất với phương phỏp cõn bằng được tỡm thấy vào năm 1906. Tư tưởng chớnh của phương phỏp Ac-xi-một là: “Để tỡm một diện tớch hoặc một thể tớch thỡ cắt nú ra thành một số rất lớn cỏc dải phẳng mỏng song song và (nghĩ trong úc) là treo chỳng ở đầu tõm đó biết”. Thành tựu to lớn đầu tiờn của ụng là tỡm được diện tớch của hỡnh tam giỏc cong parabol bằng 4/3 diện tớch của tam giỏc cú cựng đỏy và đỉnh và bằng 2/3 diện tớch của hỡnh bỡnh hành ngoại tiếp. Kết quả này được tỡm ra bằng cỏch dựng một dóy vụ tận cỏc tam giỏc, bắt đầu với tam giỏc cú diện tớch bằng S và tiếp tục ghộp thờm cỏc tam giỏc mới nằm xen giữa cỏc tam giỏc đó cú với đường parabol. Hỡnh parabol dần dần được lấp đầy bởi cỏc tam giỏc cú diện tớch là:
S S S S S S
S, S + , S + + , S + + + ...
4 4 16 4 16 64
Từ đú diện tớch của tam giỏc cong giới hạn bởi parabol là:
1 1 1 4
S (1 + + + + ...) = ( )S.
Ac-xi-một cũng đó tỡm ra được diện tớch hỡnh trũn bằng phương phỏp của mỡnh. Đõy là mụ hỡnh đầu tiờn của phộp tớnh tớch phõn, nhờ đú ụng tỡm được giỏ trị gần đỳng của số π ở khoảng giữa hai phõn số 310
71 và
1 3
7.
Trong tất cả những khỏm phỏ của mỡnh, Ac-xi-một tõm đắc nhất là việc tỡm ra cụng thức tớnh thể tớch hỡnh cầu: “Thể tớch hỡnh cầu bằng 2/3 thể tớch hỡnh trụ ngoại tiếp”. Sau khi ụng mất, thể theo nguyện vọng lỳc sinh thời, người ta cho dựng một mộ bia cú khắc hoa văn một hỡnh cầu nội tiếp một hỡnh trụ. Cũng từ khi ụng mất cho đến thế kỉ thứ XVII, nền toỏn học hầu như rơi vào trong búng tối. Lỳc này do nhu cầu của kỉ thuật, phộp tớnh vi tớch phõn trở lại để giải quyết những bài toỏn về sự biến thiờn của cỏc đại lượng vật lớ. Cỏc nhà toỏn học lớn như Phộc-ma (1601 - 1665), Rụ-bơ-van (Roberval), Đề-cỏc (1596 - 1650), Ca-va-li-ơ-ri đó tập trung giải quyết bốn bài toỏn lớn sau:
1. Tỡm tiếp tuyến của một đường cong. 2. Tỡm độ dài của một đường cong.
3. Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng, chẳng hạn tỡm khoảng cỏch gần nhất và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời hoặc khoảng cỏch tối đa mà một đạn đạo cú thể bay tới theo gúc bắn đi của nú.
4. Tỡm vận tốc và gia tốc của một vật thể.
Và thế kỉ XVII được xem là một bước ngoặt trong lịch sử Toỏn học khi phộp tớnh vi - tớch phõn được phỏt triển nhờ tỡm ra cỏch giải quyết cỏc bài toỏn trờn. Tất cả cố gắng của họ đó đạt đến đỉnh cao khi hai nhà toỏn học Niu-tơn (1643 - 1727) và Lai-bơ-nớt (1646 - 1716) đó nghiờn cứu một cỏch cú hệ thống, hoàn thiện phộp tớnh vi - tớch phõn vào cuối thế kỉ này. Đõy cũng là thành tựu Toỏn học nổi bật nhất vào thời kỡ đú.
* Giới hạn và liờn tục của hàm số
Khỏi niệm vụ hạn đó từng gõy nhiều khú khăn cho nhận thức của con người cho đến thế kỉ 17. Điều này đó được thể hiện qua hai nghịch lớ nổi tiếng
của Zờ-nụng là nghịch lớ mũi tờn, nghịch lớ phõn đụi. Khỏi niệm này được Kờ-ple (J. Kepler, 1571 - 1630) và Ca-va-li-ơ-ri (B. Cavalieri, 1598 - 1647) quan tõm trở lại và đó mở đường cho Niu-tơn (1643 - 1727) và Lai-bơ-nớt (1646 - 1716) phỏt triển và hoàn thiện hai phộp tớnh vi phõn, tớch phõn như đó đề cập ở mục 2.1.2. Lỳc bấy giờ cỏc nhà toỏn học đó tớnh toỏn trờn cỏc giới hạn. Tuy nhiờn, họ chưa đưa ra được một định nghĩa chặt chẽ, mà chỉ quan niệm một cỏch trực giỏc cỏc khỏi niệm giới hạn và liờn tục của hàm số.
Về sau nhiều nhà toỏn học mới thực sự lưu ý đến sự cần thiết phải chớnh xỏc húa cỏc khỏi niệm cơ bản này nhằm làm cho cỏc phộp tớnh tớch phõn và vi phõn cú cơ sở chặt chẽ. Nhưng cỏc khỏi niệm này muốn được chớnh xỏc húa cũng gặp nhiều khú khăn.
Chẳng hạn, sự "dần tới" một giỏ trị nào đú lại liờn quan đến vấn đề chuyển động, mà hai phộp tớnh vi phõn và tớch phõn lại xem chuyển động là một quỏ trỡnh liờn tục - theo nghĩa biến phải nhận mọi giỏ trị trong khoảng mà chuyển động xảy ra. Nhưng làm thế nào để mụ tả bằng toỏn học biến di chuyển qua tất cả cỏc điểm kế tiếp nhau trong một khoảng? Rừ ràng khụng thể núi rằng "đi từ điểm này đến điểm kế tiếp sau" vỡ khụng cú điểm kế tiếp (giữa hai điểm bất kỡ cú một điểm khỏc). Dự vậy, vào năm 1817, Bụ-za-nụ (B. Bolzano, 1781 - 1848) đó đưa ra một định nghĩa chớnh xỏc về liờn tục: hàm số f(x) liờn tục trong một khoảng nếu tại bất kỡ x nào trong khoảng đú thỡ hiệu f(x + ω) - f(x) cú thể làm nhỏ tựy ý khi cho ω đủ nhỏ.
Cũn khỏi niệm giới hạn: hằng số c được gọi là giới hạn của x nếu ta cú thể làm cho x cú thể tiến gần đến c một cỏch tựy ý thụng qua sự thay đổi liờn tục. Để chớnh xỏc húa khỏi niệm này cần phải mụ tả bằng toỏn học khỏi niệm “gần một cỏch tựy ý”.
Cụ-si (1789 - 1857) đó cú cụng lớn trong việc chớnh xỏc húa khỏi niệm giới hạn và liờn tục. ễng đưa ra định nghĩa: cho x là biến số thực, x được gọi là cú giới hạn là c nếu với bất kỡ số dương cho trước thỡ giỏ trị tuyệt đối
của hiệu x và c cú thể làm nhỏ hơn một số dương cho trước đú. Nhà toỏn học Đức Vai-ơ-xtrỏt (1815 - 1897) đó làm rừ hơn khỏi niệm mà Cụ-si đó đưa ra theo ngụn ngữ "ε δ, ".
Như vậy, Bụ-za-nụ, Cụ-si và Vai-ơ-xtrỏt đó định nghĩa một cỏch chớnh xỏc khỏi niệm giới hạn và liờn tục của hàm số gúp phần giải thớch cỏc nghịch lớ của Zờ-nụng và làm cho hai phộp toỏn vi phõn và tớch phõn cú cơ sở chặt chẽ.
Thời gian cú thuộc tớnh liờn tục nhưng người ta phõn thành giõy, phỳt, giờ...đấy lại là rời rạc. Đường thẳng cũng là trường hợp điển hỡnh cho sự liờn tục. Nhưng một điểm trờn đường thẳng hay cỏc con số tự nhiờn kết hợp với điểm trờn đường thẳng là rời rạc. Vấn đề là làm thế nào để tớnh liờn tục cú thể được mụ tả thụng qua tớnh rời rạc?
Theo khỏi niệm nguyờn tử - cỏi mà khụng thể phõn chia nhỏ thờm được nữa của Đờ-mụ-cri-tỳt (Democritus) (thế kỷ thứ 5 trước cụng nguyờn) thỡ đường thẳng là tạo thành bởi số lượng vụ hạn cỏc nguyờn tử. Luận điểm này đó khụng đứng vững trước lập luận của Zờ-nụng (490-430). Theo Zờ-nụng, khụng thờm vào khụng vẫn là khụng; do đú, tổng vụ hạn cỏc đại lượng bằng khụng vẫn bằng khụng. Vậy đường thẳng cú độ dài bằng khụng; điều này vụ lớ. Nếu nguyờn tử cú độ dài thỡ tổng vụ hạn, cỏc nguyờn tử sẽ cú độ dài vụ hạn; do đú, độ dài của một đoạn thẳng là vụ hạn, điều này cũng vụ lớ. Zờ-nụng kết luận rằng đoạn thẳng (hay đường thẳng) sẽ khụng thể được phõn chia thành vụ hạn cỏc phần hay nguyờn tử.
Vụ hạn tiềm năng, vụ hạn thực tại: A-rix-tốt (Aristotle) đưa ra tư tưởng vụ hạn tiềm năng (potential infinity) - là núi đến một quỏ trỡnh khụng bao giờ kết thỳc, vụ hạn thực tại (actual infinity) cú tớnh tĩnh tại (static) và toàn vẹn (completed), nú như một đối tượng. A-rix-tốt cho rằng vụ hạn thực tại khụng tồn tại vỡ chỳng ta khụng bao giờ nhận thức cỏc số tự nhiờn như một cỏi toàn thể (a Whole). Chỉ cú vụ hạn tiềm năng vỡ với bất kỳ một tập hợp hữu hạn cho trước luụn cú một tập hợp hữu hạn lớn hơn. ễng phỏt biểu rằng cỏc số tự
nhiờn là tiềm năng bởi vỡ chỳng khụng cú số lớn nhất. Chỳng luụn luụn chỉ là “trở nờn” càng lớn chứ khụng bao giờ đạt đến trạng thỏi cuối cựng (final form). Núi một cỏch ngắn gọn, chỉ cú cỏc quỏ trỡnh vụ hạn, chứ khụng cú cỏc đối tượng vụ hạn. Can-to chống lại quan niệm: cỏc vụ hạn thực tại khụng hiện hữu của A-rix-tốt . Can-to cho rằng khi ta nghĩ cỏc số tự nhiờn như tập hợp thỡ nú được xem như một thực thể vụ hạn thực tại. ễng chứng minh được tập cỏc