- Tri thức dạy học: Từ khỏi niệm Giới hạn của hàm số, GV cú thể truyền thụ cho HS tri thức phương phỏp để vận dụng khỏi niệm này để giải quyết
2.4.1. Phương thức 1: Khai thỏc lịch sử toỏn nhằm gợi động cơ nhận thức cho học sinh trong cỏc tỡnh huống dạy học
thức cho học sinh trong cỏc tỡnh huống dạy học
Hướng đớch và gợi động cơ là một trong những khõu quan trọng của quỏ trỡnh dạy học nhằm kớch thớch hứng thỳ học tập cho HS, làm cho việc học tập trở nờn tự giỏc, tớch cực, chủ động. Gợi động cơ (gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian, gợi động cơ kết thỳc) khụng phải là việc đặt vấn đề một cỏch hỡnh thức mà phải giỳp biến những mục tiờu sư phạm thành mục tiờu của cỏ nhõn HS nhằm tạo ra động lực bờn trong thỳc đẩy họ hoạt động. Việc khai thỏc tri thức lịch sử toỏn trước khi trỡnh bày kiến thức cũng là thực hiện gợi động cơ mở đầu bằng cỏch xuất phỏt từ lịch sử toỏn học. Rừ ràng cỏch gợi
động cơ này dễ hấp dẫn, lụi cuốn HS, tạo điều kiện để cỏc em thực hiện tốt cỏc hoạt động kiến tạo tri thức trong quỏ trỡnh học tập về sau. Khi gợi động cơ mở đầu xuất phỏt từ tri thức lịch sử toỏn, GV cú thể nờu lờn: Nguồn gốc thực tiễn của kiến thức toỏn học; Sự chuyển húa sư phạm giữa kiến thức toỏn học hiện đại và toỏn học phổ thụng. Lịch sử phỏt triển cỏc kiến thức toỏn học. Khi đú, GV cần chỳ ý cỏc vấn đề sau: Cần đảm bảo tớnh chõn thực, khụng đũi hỏi quỏ nhiều tri thức bổ sung, con đường từ lỳc nờu cho đến lỳc giải quyết vấn đề càng ngắn càng tốt.
Vớ dụ kiến thức hàm số là mảng kiến thức phong phỳ và phản ỏnh rừ nhất khỏi niệm ỏnh xạ trong mụn Toỏn ở bậc phổ thụng. Theo Chu Trọng Thanh, Trần Trung [29], thực chất cỏc SGK Đại số 7 và Đại số 10 trước đõy đó trỡnh bày định nghĩa hàm số rất gần với định nghĩa ỏnh xạ. Ở đõy thay vỡ lấy cỏc tập hợp nguồn và đớch là một tập hợp bất kỡ, người ta đó dựng cỏc tập hợp số. Trong sỏch Đại số 7 cỏc tập hợp số đều là tập hợp con của tập hợp số hữu tỉ, cũn trong sỏch Đại số 10 cỏc tập hợp số được hiểu là tập hợp con của tập hợp số thực ℝ . Vỡ trong định nghĩa khỏi niệm ỏnh xạ ràng buộc đối với tập hợp đớch rất ớt nờn người ta cú thể chọn tập hợp đớch là ℝ .
- Về quan điểm định nghĩa khỏi niệm hàm số :
Trong Đại số 10 hiện nay, khỏi niệm hàm số được định nghĩa thụng qua khỏi niệm đại lượng biến thiờn. Thực ra điều này khụng cú gỡ là mới. Trong lịch sử toỏn từ thời xa xưa cỏc nhà toỏn học cũng đó định nghĩa khỏi niệm hàm số theo cỏch này. Cú thể kể ra đõy một số vớ dụ minh họa. Năm 1718, J. Bec-nu-li đó đưa ra định nghĩa: Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tớch gồm biến lượng đú và cỏc đại lượng khụng đổi. Năm 1755, Ơ-le đó định nghĩa: Khi một đại lượng phụ thuộc vào cỏc đại lượng khỏc sao cho sự thay đổi của cỏc đại lượng thứ hai kộo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thỡ đại lượng thứ nhất được gọi là hàm số của cỏc đại lượng thứ hai. Năm 1837, Đi-rich-lờ đưa ra định nghĩa: y là hàm số của x nếu với mỗi giỏ trị của x
thỡ tương ứng một giỏ trị hoàn toàn xỏc định của y, cũn sự tương ứng đú được thiết lập như thế nào thỡ điều này khụng quan trọng.
Dẫn ra một số định nghĩa trờn đõy về khỏi niệm hàm số của cỏc nhà toỏn học từ thế kỉ XVIII đến thế kỉ XIX ta cú thể thấy rằng, khỏi niệm đó được trỡnh bày thụng qua khỏi niệm đại lượng biến thiờn. Trong định nghĩa của J. Bec-nu-li đó cú sự đồng nhất hàm số với biểu thức giải tớch của biến lượng (đại lượng biến thiờn). Định nghĩa như vậy thực chất chỉ cho một khỏi niệm hẹp hơn khỏi niệm hàm số như mọi người vẫn hiểu ngày nay. Với định nghĩa do Đi-rich-lờ đưa khỏi niệm hàm số mới được hiểu như cỏch hiểu ngày nay. Trong cỏc định nghĩa khỏi niệm hàm số dựa vào khỏi niệm đại lượng biến thiờn ta thấy rằng, chớnh khỏi niệm đại lượng biến thiờn cũng cần được định nghĩa rừ ràng. Tuy nhiờn, từ trước đến nay người ta vẫn chỉ sử dụng khỏi niệm này theo cỏch hiểu trực giỏc chứ chưa đưa ra định nghĩa rừ ràng trước khi định nghĩa hàm số. Thực chất định nghĩa hàm số thụng qua khỏi niệm quy tắc tương ứng giữa cỏc phần tử của cỏc tập hợp số, chỳng ta cũng phải sử dụng khỏi niệm quy tắc tương ứng này một cỏch trực giỏc. Việc phải sử dụng những yếu tố trực giỏc trong trỡnh bày kiến thức mụn Toỏn ở trường phổ thụng là khụng thể trỏnh khỏi. Vấn đề lựa chọn cỏch trỡnh bày nào phụ thuộc vào quan điểm định hướng quỏ trỡnh dạy học và quan điểm viết SGK của cỏc tỏc giả.
- Về cỏch cho hàm số:
Trong số những tấm plimpton của người Ba-by-lon cú niờn đại khoảng năm 1000 trước Cụng nguyờn người ta đó tỡm thấy một số bảng liệt kờ cỏc số liệu thiờn văn đó được lập dưới dạng mụ tả sự tương ứng giữa cỏc con số. Cú thể xem đõy là dạng cho một hàm số bằng bảng giỏ trị của hàm số đú. Ngày nay cỏch cho hàm số thụng qua một bảng chỉ rừ sự tương ứng giữa cỏc giỏ trị của đối số với giỏ trị của hàm số vẫn cũn thụng dụng. Ngoài ra cũn cú những cỏch khỏc được sử dụng phổ biến như cho bằng một hay nhiều biểu thức giải
tớch, cho bằng cỏch mụ tả bằng lời, cho hàm số dưới dạng tham số, cho hàm số dưới dạng ẩn, cho hàm số bởi đồ thị, ...
- Về cỏc thuộc tớnh của hàm số thường được xột:
Như trờn đõy đó trỡnh bày, vỡ cả tập nguồn và tập đớch của cỏc hàm số đều là cỏc tập hợp số với cỏc phộp toỏn đại số, quan hệ thứ tự, cấu trỳc tụpụ và cấu trỳc mờtric, ... nờn cú nhiều vấn đề cú thể xột đối với hàm số.
Người ta thường xột đến cỏc thuộc tớnh sau đõy đối với cỏc hàm số:
+ Hàm số tăng, hàm số giảm, hàm số tăng ngặt, hàm số giảm ngặt, hàm số đơn điệu, hàm số đơn điệu ngặt.
+ Hàm số bị chặn trờn, hàm số bị chặn dưới, hàm số bị chặn. + Hàm số chẵn, hàm số lẻ.
+ Hàm số tuần hoàn.
+ Hàm số cú giới hạn hữu hạn hay dần tới dương vụ cực, õm vụ cực khi đối số dần tới một giỏ trị hữu hạn hay dần tới dương vụ cực, õm vụ cực.
+ Hàm số liờn tục tại một điểm, hàm số liờn tục trờn một khoảng, hàm số liờn tục bờn phải hay bờn trỏi tại một điểm, hàm số liờn tục trờn một nửa đoạn và trờn một đoạn.
+ Hàm số cú đạo hàm tại một điểm, cú đạo hàm trờn một khoảng, hàm số cú đạo hàm bờn phải hay bờn trỏi tại một điểm, hàm số cú đạo hàm cấp 2, cấp 3, ... tại một điểm, trờn một khoảng. Đặc biệt, cỏc hàm số thỏa món điều kiện liờn tục trờn [a; b] và khả vi trờn (a; b) cú nhiều tớnh chất được phỏt biểu trong định lớ Rụn, định lớ La-grăng, định lớ Phộc-ma và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực.
+ Hàm số khả tớch trờn một đoạn.
- Về cỏc loại hàm số được lựa chọn đưa vào mụn Toỏn ở trường phổ thụng:
Trong chương trỡnh mụn Toỏn ở trường phổ thụng, kiến thức hàm số vừa là một tuyến kiến thức quan trọng được dạy học một cỏch tường minh trong nhiều lớp học, vừa là kiến thức cơ sở để xõy dựng nhiều mảng kiến thức
khỏc. Cú thể núi, kiến thức hàm số được lựa chọn làm trung tõm để xõy dựng toàn bộ nội dung mụn Toỏn ở trường phổ thụng. Sau đõy cú thể điểm lại những hàm số được trỡnh bày một cỏch tường minh trong mụn Toỏn phổ thụng như sau:
+ Hàm hằng y = c, c là một hằng số;
+ Hàm số biểu diễn tương quan tỉ lệ thuận y = ax; + Hàm số biểu diễn tương quan tỉ lệ nghịch y = a
x ; + Hàm số bậc nhất y = ax + b, a ≠ 0; + Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c, a ≠ 0; + Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0; + Hàm số trựng phương y = ax4 + bx2 + c, a ≠ 0; + Hàm số phõn thức dạng y = ax b cx d + + , (c ≠ 0); + Hàm số phõn thức dạng y = 2 ax bx c a 'x b ' + + + , a ≠ 0, a' ≠ 0; + Cỏc hàm số lượng giỏc y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx; + Hàm số mũ y = ax, với 0 < a ≠ 1;
+ Hàm số lụgarit y = logax, với 0 < a ≠ 1.
- Về vấn đề khảo sỏt hàm số:
Ở trường phổ thụng, cỏc hàm số được khảo sỏt theo hai phương phỏp: phương phỏp sơ cấp và phương phỏp sử dụng đạo hàm. Phương phỏp sơ cấp được dựng đến lớp 11, phương phỏp dựng đạo hàm được dựng ở lớp 12. Những yờu cầu về tớnh chặt chẽ, tớnh khỏi quỏt, tớnh chớnh xỏc được nõng cao dần từ cỏc lớp cấp trung học cơ sở đến cỏc lớp cấp THPT. Những định lớ làm cơ sở để khảo sỏt hàm số bằng phương phỏp sơ cấp khụng được trỡnh bày đầy đủ mà chủ yếu cũn dựa vào cỏc nhận xột trực quan trờn đồ thị hoặc dựa vào những mối quan hệ giữa cỏc biểu thức giải tớch biểu thị hàm số với những hàm số đó biết. Đối với phương phỏp sử dụng đạo hàm thỡ việc trỡnh bày đó
tương đối chớnh xỏc và chặt chẽ, cú tớnh khỏi quỏt cao. Một số dạng hàm số đó cú sự tổng hợp cỏc kết quả nghiờn cứu trờn cơ sở phõn tớch cỏc tớnh chất của cỏc hàm số cho ở dạng tổng quỏt.
Chỳ ý rằng, cỏc hàm số lượng giỏc được đưa vào giảng dạy trong cỏc trường phổ thụng ở nhiều nước cú sự khỏc nhau. Ngoài bốn hàm số lượng giỏc đó kể ở trờn trong SGK của một số nước người ta cũn núi đến cỏc hàm số secx =cos1 x ; cosecx =sin1x . Đó cú lỳc người ta nghiờn cứu một số hàm số lượng giỏc khỏc như sinverx = 1 – cosx và cosverx = 1 – sinx.
Đối với cỏc hàm số lượng giỏc sinx, cosx, tanx, cotx đều là những hàm tuần hoàn, do đú khụng phải là đơn ỏnh, vỡ vậy khụng là song ỏnh. Tuy nhiờn, khi chỉ xột trờn một chu kỡ (được lựa chọn thớch hợp) ta nhận được cỏc hàm song ỏnh. Vỡ vậy, cú thể xột đến cỏc ỏnh xạ ngược của những hàm này trờn cỏc chu kỡ đó chọn. Với cỏch làm này ta cú cỏc hàm lượng giỏc ngược. Đú là hàm số y = arcsinx, y = arccosx; y = arctanx và hàm số y = arccotx. Bản thõn khỏi niệm hàm ngược và cỏc trường hợp cụ thể của cỏc hàm số ngược nhau trong chương trỡnh mụn Toỏn THPT của nước ta từ lõu đó cú, chẳng hạn hàm số y = ax, với 0 < a ≠ 1 và hàm số y = logax, với 0 < a ≠ 1 là cỏc hàm số ngược nhau; hàm số y = xn và hàm số y = n x , với n là số nguyờn dương lẻ là cỏc hàm số ngược nhau, ... Trong chương trỡnh mụn Toỏn của nước ta hiện nay chưa đề cập đến cỏc hàm số lượng giỏc ngược. Chỉ cú khi giải phương trỡnh lượng giỏc SGK cú đưa ra kớ hiệu arcsina, arccosa, arctana và arccota, với một số a cho trước.
Từ cỏc hàm số mũ cú thể định nghĩa một loại hàm số cú mối liờn hệ với nhau tương tự như mối liờn hệ giữa cỏc hàm số lượng giỏc và thường được gọi là cỏc hàm số lượng giỏc hypebol. Cỏc hàm số này cũng được đưa vào chương trỡnh mụn Toỏn THPT của một số nước. Cỏc hàm số lượng giỏc hypebol gồm:
+ Hàm số sinx hypebol cho bởi shx = x x e e 2 − − ; + Hàm số cosx hypebol cho bởi chx =
x x
e e
2
−
+ ;
+ Hàm số tanx hypebol cho bởi thx =
x x x x e e e e − − − + ;
+ Hàm số cotx hypebol cho bởi cthx =
x x x x e e e e − − + − .
Nhiều hệ thức liờn hệ cỏc hàm số này tương tự như cỏc hệ thức lượng giỏc dễ dàng được thiết lập. Chẳng hạn, ta cú thể thiết lập hệ thức ch2x – sh2x = 1 nhờ việc tớnh toỏn đơn giản:
ch2x – sh2x = ( x x e e 2 − + )2 - (ex e x 2 − − )2 = 1.
Quan điểm: "Khi xem xột sự vật, phải nhận thức sự vật trong sự phỏt triển, trong sự tự vận động của nú" là một quy luật cơ bản của phộp duy vật biện chứng. Do đú, trong dạy học Toỏn cần giỳp HS nhận thấy được nhu cầu, tớnh "ưu việt" cũng như "hạn chế" của kiến thức Toỏn học phỏt triển trong từng giai đoạn.
Vớ dụ: Sự hỡnh thành và phỏt triển của số phức
* Cỏc tri thức khoa học (TTKH) sau đõy liờn quan đến số phức: ứng dụng số phức vào giải toỏn Hỡnh học phẳng và Lượng giỏc, biểu diễn số phức trờn mặt phẳng phức, xỏc định mụđun và acgumen của số phức, số phức liờn hợp, nõng lũy thừa và khai căn bậc n của một số phức, phương trỡnh của đường thẳng với hệ số gúc trờn mặt phẳng phức, đường trũn trong mặt phẳng phức...
* Tri thức giỏo khoa của số phức - Tri thức chương trỡnh
TTKH cũn phải sàng lọc mới trở thành tri thức giỏo khoa (TTGK) quy định trong chương trỡnh và SGK, nghĩa là khụng phải là mọi TTKH đều được đưa vào giảng dạy trong nhà trường phổ thụng mà phải sàng lọc những TTKH với sự
tỏc động của cỏc nhà Toỏn học, nhà giỏo dục, ... phải qua một quỏ trỡnh chuyển húa sư phạm, khi đú mới cú TTGK. Như vậy, tựy theo từng quốc gia mà sự lựa chọn chương trỡnh đưa vào giảng dạy khỏc nhau để làm sao phự hợp với trỡnh độ, khả năng "hấp thụ" kiến thức của tư duy HS với cỏc quy luật của quỏ trỡnh nhận thức. Bởi vậy cú thể núi, TTGK là kết quả của quỏ trỡnh chuyển húa sư phạm từ kiến thức khoa học sang kiến thức mụn học.
Nội dung chương trỡnh số phức ở trường phổ thụng: khỏi niệm số phức, biểu diễn hỡnh học số phức, cỏc phộp toỏn của số phức, căn bậc hai của số phức và phương trỡnh bậc hai, dạng lượng giỏc của số phức và ứng dụng, ...
Cỏc vấn đề được bỏ qua: phương trỡnh của đường thẳng với hệ số gúc trờn mặt phẳng phức, đường trũn trong mặt phẳng phức, biểu diễn số phức dưới dạng ma trận, căn bậc n của số phức.... Cỏc vấn đề này khụng được chỳ trọng nhiều, vỡ theo tinh thần giảm tải để trỏnh sự nặng nề cho HS.
* Tri thức phương phỏp (tri thức giảng dạy)
Sau khi đó cú tri thức giỏo khoa (TTGK) thỡ GV phải làm sao truyền thụ lại để HS lĩnh hội được tri thức này. Để đạt được mục tiờu, người GV bằng vốn tri thức và phương phỏp tài nghệ của mỡnh thực hiện quỏ trỡnh chuyển húa sư phạm, biến TTGK thành tri thức của chớnh mỡnh và truyền thụ tri thức đú cho HS nhằm biến tri thức đú thành tài sản của riờng họ. GV núi chung khụng dạy nguyờn dạng TTKH hay TTGK mà phải chuyển húa TTGK thành tri thức phương phỏp. Nắm vững TTKH là một điều kiện cần nhưng chưa đủ để đảm bảo kết quả dạy học.
* Sự hỡnh thành và phỏt triển của số phức ở trường phổ thụng
Sự hỡnh thành và phỏt triển của số phức ở trường phổ thụng cú thể chia làm bốn giai đoạn chủ yếu sau đõy: