Ta biết rằng phương trỡnh bậc hai: x2 = - 1 (1.1) khụng cú nghiệm thực, tức là nú vụ nghiệm khi xột trờn trường số thực ℝ≡( , +, .)ℝ
Cỏc nhà toỏn học mong muốn rằng phương trỡnh này cú nghiệm, họ cũn muốn rằng mọi phương trỡnh đa thức đều phải cú nghiệm, và nếu điều này xảy ra thỡ nghiệm đú khụng thể là số thực mà phải thuộc một loại số nào đú. Điều này làm nảy sinh ý tưởng là phải mở rộng trường số thực thành một trường số ( , +, .) nào đú để trờn trường số này thỡ phương trỡnh (1.1) cú nghiệm.
Năm 1545, nhà toỏn học Italia là Cỏc-đa-nụ đó giải quyết vấn đề nghiệm của phương trỡnh (1.1) bằng cỏch dựng ký hiệu −1 , hiển nhiờn là
∉
−1 ℝ, để thể hiện nghiệm hỡnh thức của phương trỡnh này.
Tiếp tục phương phỏp hỡnh thức như vậy, Cỏc-đa-nụ ký hiệu nghiệm hỡnh thức của phương trỡnh: x2 = - b2 (b∈ℝ) là b −1. Cuối cựng, Cỏc-đa-nụ ký hiệu nghiệm hỡnh thức của phương trỡnh: (x - a)2 = b2 (a,b ∈ℝ) là a + b −1 Cỏc-đa-nụ đó gọi đại lượng a + b −1 (a,b ∈ℝ) là đại lượng ảo, ngầm ý rằng nú là đại lượng khụng cú thực, tức là một đại lượng giả tưởng.
Năm 1572, nhà toỏn học Italia là Bụm-be-li (Bombelli) định nghĩa cỏc phộp toỏn số học trờn cỏc đại lượng ảo mà ụng gọi là cỏc số ảo (tờn gọi số phức là do nhà toỏn học người Đức là Gau-xơ đặt ra vào năm 1831). ễng được xem là người sỏng tạo nờn lý thuyết cỏc số ảo, và cũng là người đầu
tiờn thấy được ớch lợi của việc đem số ảo vào toỏn học như một cụng cụ hữu ớch.
Quỏ trỡnh thừa nhận số phức như một cụng cụ toỏn học đó diễn ra rất chậm chạp: năm 1545, Cỏc-đa-nụ đưa ra ký hiệu −1 thỡ mói đến năm 1777, nhà toỏn học người Thụy Sĩ là Ơ-le đặt tờn cho ký hiệu −1 là số đơn vị ảo (Imaginary Unit Number) là i . Điều đú cú nghĩa là: i = −1, i2 = -1
Tờn gọi đơn vị ảo và ký hiệu: i = −1 cũng đó gõy ra nhiều tranh cải và nghi ngờ trong giới toỏn học. Chẳng hạn, nhà toỏn học Niu-tơn đó khụng thừa nhận số ảo.
Đẳng thức đỏng ngờ nhất chớnh là tớnh chất lạ lẫm đến bớ hiểm: i2 = -1 (1.2) bởi vỡ nú phỏ vở quan hệ thứ tự trờn tập hợp số quen thuộc là ℝ.