“Trong việc dạy học toỏn, cũng như việc dạy học bắt cứ một khoa học nào ở trường phổ thụng, điều quan trọng bật nhất là hỡnh thành một cỏch vững chắc cho học sinh một hệ thụ́ng khỏi niệm. Đú là cơ sở tồn bộ kiến thức Toỏn học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xõy dựng cho họ khả năng vận dụng kiến thức đĩ học. Quỏ trỡnh hỡnh thành cỏc khỏi niệm cú tỏc dụng lớn đến việc phỏt triển trớ tuệ, đồng thời cũng gúp phần giỏo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhận thức đỳng đắn quỏ trỡnh phỏt sinh và phỏt triển của cỏc khỏi niệm toỏn học)” [3, tr. 116]
Việc dạy học toỏn ở trường phổ thụng phải làm cho học sinh dần dần đạt được cỏc yờu cầu sau:
“ - Nắm vững cỏc đặc điểm đặc trưng cho một khỏi niệm.
- Biết nhận dạng khỏi niệm, tức là biết phỏt hiện xem một đối tượng cho trước cú thuộc phạm vi một khỏi niệm nào đú hay khụng, đồng thời biết thể hiện khỏi niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khỏi niệm cho trước.
- Biết phỏt biểu rừ ràng chớnh xỏc định nghĩa của một số khỏi niệm.
- Biết vận dụng khỏi niệm trong một số tỡnh huống cụ thể trong hoạt động giải toỏn và ứng dụng vào thực tiễn.
- Biết phõn loại khỏi niệm và nắm được mối quan hệ của một khỏi niệm với những khỏi niệm khỏc trong một hệ thống khỏi niệm.
Cỏc yờu cầu trờn đõy cú quan hệ chặt chẽ với nhau. Song vỡ lớ do sư phạm, cỏc yờu cầu trờn khụng phải lỳc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khỏi niệm” [13, tr. 345]
Đối với khỏi niệm số hữu tỉ, căn thức, ... học sinh cú thể phỏt biểu được định nghĩa một cỏch chớnh xỏc và vận dụng được định nghĩa đú trong khi giải bài tập.
Đối với khỏi niệm hai đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ..., chương trỡnh lại khụng đũi hỏi học sinh phải nờu được định nghĩa tường minh mà chỉ cần dựng được khỏi niệm này một cỏch trực giỏc dựa vào kinh nghiệm sống.
1.3.1.2. Những con đường tiếp cận khỏi niệm
* Con đường suy diễn
Cú một số khỏi niệm được hỡnh thành theo con đường suy diễn, đi ngay vào định nghĩa khỏi niệm mới như một trường hợp riờng của một khỏi niệm nào đú mà học sinh đĩ được học.
Quy trỡnh tiếp cận một khỏi niệm theo con đường suy diễn thường diễn ra như sau:
- Xuất phỏt từ một khỏi niệm đĩ biết, thờm vào nội hàm của khỏi niệm đú một số đặc điểm mà ta quan tõm;
- Phỏt biểu một định nghĩa bằng cỏch nờu tờn khỏi niệm mới và định nghĩa nú nhờ một khỏi niệm tổng quỏt hơn cựng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khỏi niệm tổng quỏt đú.
- Đưa ra một số vớ dụ đơn giản để minh họa cho khỏi niệm vừa được định nghĩa. Ưu điểm: tiết kiệm được thời gian và thuận lợi cho việc tập dượt cho học sinh tự học khỏi niệm toỏn học thụng qua sỏch và tài liệu, hoặc nghe những bỏo cỏo khoa học trờn lĩnh vực Toỏn học. Con đường này thường được sử dụng khi cú thể gợi cho học sinh quan tõm tới một khỏi niệm làm điểm xuất phỏt và một đặc điểm cú thể bổ sung vào nội hàm của khỏi niệm đú để định nghĩa một khỏi niệm khỏc hẹp hơn.
Khuyết điểm: hạn chế về mặt khuyến khớch học sinh phỏt triển những năng lực trớ tuệ chung như phõn tớch chung như phõn tớch, tổng hợp, so sỏnh, trừu tượng húa và khỏi quỏt húa.
* Con đường quy nạp
Theo con đường quy nạp, xuất phỏt từ một số những đối tượng riờng lẻ như vật thật, mụ hỡnh, hỡnh vẽ, thầy giỏo dẫn dắt học sinh phõn tớch, so sỏnh, trừu tượng húa, khỏi quỏt húa để tỡm ra dấu hiệu đặc trưng của một khỏi niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể này, từ đú đi đến một định nghĩa tường
minh hay một sự hiểu biết trực giỏc về khỏi niệm đú tựy theo yờu cầu của chương trỡnh.
Quy trỡnh tiếp cận một khỏi niệm theo con đường quy nạp thường diễn ra như sau:
- Giỏo viờn đưa ra những vớ dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặc tỏc dụng của một loạt đối tượng nào đú;
- Giỏo viờn dẫn dắt học sinh phõn tớch, so sỏnh và nờu bật những đặc điểm chung của cỏc đối tượng đang được xem xột. Cú thể đưa ra đối chiếu một vài đối tượng khụng cú đủ cỏc đặc điểm đĩ nờu;
- Giỏo viờn gợi mỡ cho học sinh phỏt biểu một định nghĩa bằng cỏch nờu tờn và cỏc đặc điểm đặc trưng của khỏi niệm.
Ưu điểm: thuận lợi cho việc huy động hoạt động tớch cực của học sinh, gúp phần phỏt triển năng lực trớ tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nõng cao tớnh độc lập trong việc đưa ra định nghĩa.
Khuyết điểm: Tốn kộm nhiều thời gian, vỡ vậy khụng phải bao giờ cũng cú điều kiện thực hiện.
Điều kiện để sử dụng con đường quy nạp:
•Chưa phỏt hiện được một khỏi niệm loại nào làm điểm xuất phỏt cho con đường suy diễn;
•Đĩ định hỡnh được một số đối tượng thuộc ngoại diờn của khỏi niệm cần hỡnh thành, do đú cú đủ vật liệu để thực hiện phộp quy nạp.
Vớ dụ: Để tiếp cận khỏi niệm hàm số ở lớp 9, cú thể tiến hành như sau: - Giỏo viờn nờu lại một số tri thức mà học sinh đĩ học ở những lớp dưới để học sinh xem xột:
•Trong một lớp chuyển động đều quĩng đường đi được tỉ lệ nghịch với thời gian;
•Thời gian hồn thành một khối lượng cụng việc tỉ lệ nghịch với năng xuất thực hiện cụng việc đú;
•Nhiệt lượng tỏa ra từ một dõy dẫn tỉ lệ với bỡnh phương cường độ của dũng điện.
- Giỏo viờn dẫn dắt học sinh phõn tớch, so sỏnh cỏc trường hợp trờn để:
•Thấy được rằng ở mỗi trường hợp đều cú một đại lượng nhận giỏ trị trong một tập hợp số và một đại lượng nữa cú giỏ trị tương ứng thuộc một tập hợp số thứ hai;
•Nờu bậc được đặc điểm chung sau đõy của cả ba trường hợp: với mỗi phần tử x thuộc tập hợp số A đều tương ứng một phần tử xỏc định y thuộc tập hợp số B.
- Trờn cơ sở nhận xột đạt được ở trờn, giỏo viờn gợi ý để học sinh phỏt biểu được khỏi niệm hàm số cú nội dung như ở sỏch giỏo khoa lớp 9.
* Con đường kiến thiết
Con đường tiếp cận một khỏi niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:
- Xõy dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khỏi niệm cần được hỡnh thành hướng vào những yờu cầu tổng quỏt nhất định xuất phỏt từ nội bộ Toỏn học hay từ thực tiễn;
- Khỏi quỏt húa quỏ trỡnh xõy dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho khỏi niệm cần hỡnh thành;
- Phỏt biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả bước trờn.
Con đường kiến thiết mang cả yếu tố quy nạp lẫn yếu tố suy diễn.
•Suy diễn ở chỗ xuất phỏt từ yờu cầu để xõy dựng nhiều đối tượng đại diện cho khỏi niệm cần hỡnh thành.
•Quy nạp ở chỗ khỏi quỏt húa quỏ trỡnh xõy dựng những đối tượng đại diện riờng lẻ đi đến đặc điểm tổng quỏt đặc trưng cho khỏi niệm cần định nghĩa.
Ưu điểm: thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giỏc, tớch cực của học sinh và rốn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quỏ trỡnh tiếp cận khỏi niệm.
Khuyết điểm: Con đường này núi chung dài, tốn nhiều thời gian. Con đường kiến thiết thường được sử dụng trong điều kiện sau:
•Học sinh chưa định hỡnh được những đối tượng thuộc ngoại diờn khỏi niệm, do đú con đường quy nạp khụng thớch hợp;
•Học sinh chưa phỏt hiện được một khỏi niệm loại nào thớch hợp với khỏi niệm cần định nghĩa làm điểm xuất phỏt cho con đường suy diễn.