- KH cú là phõn giỏc của gúc EKD khụng? Vỡ sao? Kết quả tương tự là gỡ?
1 cosA cosB cosC
Bài toỏn 4.8: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O;R). Vẽ cỏc đường cao AH, BD, CE của tam giỏc ABC .
1) Chứng minh: BC = 2R.sinA.
2) Chứng minh: HDE ( 2 2 2 )
ABC
S
1 cos A cos B cos C
S = − + +
+ Từ kết quả của cỏc bài toỏn trờn ta rỳt ra được: r
R = −1 (cos A cos B cos C2 + 2 + 2 )
Do đú giỏo viờn cú thể yờu cầu học sinh chứng minh: r
R = −1 (cos A cos B cos C2 + 2 + 2 ).
- Nếu bài toỏn này yờu cầu chứng minh ngay từ đầu mà khụng cú cỏc cõu trờn thỡ bài toỏn trở nờn rất khú. Ta cú thể nờu được bài toỏn sau:
Bài toỏn 4.9: Cho tam giỏc ABC nhọn nội tiếp đường trũn (O;R) . Vẽ cỏc đường cao AH, BD, CE của tam giỏc ABC . Gọi r là bỏn kớnh đường trũn nội tiếp ∆DEH.
Chứng minh: r ( 2 2 2 )
1 cos A cos B cos C
R = − + + .
+ Bổ sung vào giả thiết của bài toỏn: A1 là trung điểm của cạnh AC.
- Gọi O' là trung điểm của BI thỡ O'E và EA1 cú quan hệ với nhau như thế nào? - E cú nằm trờn đường trũn (O') ngoại tiếp tứ giỏc BHIE khụng?
Do đú giỏo viờn yờu cầu học sinh chứng minh: A1E là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc BEIH. Như vậy ta cú thể đề xuất bài toỏn sau:
Bài toỏn 4.10: Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O;R) và tia phõn giỏc của gúc A cắt đường trũn tại M. Vẽ cỏc đường cao AH, BD, CE của tam giỏc ABC chỳng cắt nhau tại I. A1 là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh A1E là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc BEIH.
+ Bổ sung vào bài toỏn gốc: Kẻ đường kớnh AQ. Gọi giao điểm của OM và BC là K. - Cú nhận xột gỡ về vị trớ của ba điểm Q, K, I ?
Yờu cầu Học sinh Chứng minh 3 điểm Q, K, I thẳng hàng (hay chứng minh cỏc đường thẳng OM, BC, IQ đồng quy). Do đú ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 4.11: Cho tam giỏc ABC nhọn nội tiếp đường trũn (O;R) và tia phõn giỏc của gúc A cắt đường trũn tại M. Cỏc đường cao AH, BD, CE của tam giỏc ABC chỳng cắt nhau tại I. Kẻ đường kớnh AQ. Gọi giao điểm của OM và BC là K.
1) Chứng minh cỏc đường thẳng OM, BC, IQ đồng quy. 2) Chứng minh: AI = 2.OK.
+ Tiếp tục khai thỏc bài toỏn trờn. Gọi K1, K2 là hỡnh chiếu của điểm M trờn cỏc đường thẳng AB và AC:
- Cú nhận xột gỡ về vị trớ của ba điểm K, K1, K2 ?
- Kết hợp với kiến thức về tam giỏc đồng dạng . Ta cú bài toỏn sau:
Bài toỏn 4.12: Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O;R) và tia phõn giỏc của gúc A cắt đường trũn tại M. Cỏc đường cao AH, BD, CE của tam giỏc ABC chỳng cắt nhau tại I. Gọi K, K1, K2 là hỡnh chiếu của điểm M trờn cỏc đường thẳng BC, AB và AC. 1) Chứng minh : Ba điểm K, K1, K2 thẳng hàng. 2) Chứng minh: 1 2 BC AB AC MK = MK +MK .
+ Giỏo viờn đặt vấn đề cho học sinh suy nghĩ. Gọi giao điểm của KK1 và MI là F. Cú nhận xột gỡ về vị trớ của F với MI ? Từ đú ta cú bài toỏn:
Bài toỏn 4.13: Với giả thiết của bài toỏn 4.12. Chứng minh: KK1 đi qua trung điểm của MI.
Bài toỏn 4.14: Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O; R) (BC≠2R). Điểm A chạy trờn cung lớn BCằ sao cho tam giỏc ABC luụn cú ba gúc nhọn. Goi I là trực tõm của tam giỏc ABC . Xỏc định vị trớ điểm A để tổng IA IB IC+ + cú giỏ trị lớn nhất.
Bài toỏn 4.15: Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O;R). Vẽ cỏc đường cao AH, BD, CE cắt nhau tại I. Cho BC cố định. Chứng minh rằng khi điểm A di động trờn cung lớn BCằ sao cho tam giỏc ABC là tam giỏc nhọn thỡ bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp ∆AED khụng đổi.
Bài toỏn 4.16: Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O;R) . Cho BC là dõy cố định. Gọi A là điểm chuyển động trờn đường trũn (O). Tỡm quỹ tớch trực tõm I của tam giỏc ABC.
Định hướng 4: Khai thỏc sỏch giỏo khoa theo hướng tăng cường hoạt động tự học của học sinh.
Chủ tịch Hồ Chớ Minh là một tấm gương sỏng về tự học. Quan niệm về tự học, Người cho rằng :"Tự học là một cỏch học tự động" và "Phải biết tự động học tập". Theo Người:"Tự động học tập" - tự học một cỏch hoàn toàn tự giỏc, tự chủ, khụng đợi ai nhắc nhở, khụng chờ ai giao nhiệm vụ, mà tự mỡnh chủ động vạch kế hoạch học tập cho mỡnh, rồi tự mỡnh triển khai, thực hiện kế hoạch đú một cỏch tự giỏc, tự mỡnh làm chủ thời gian để học và tự mỡnh kiểm tra đỏnh giỏ việc học của mỡnh.
Tự học diễn ra dưới nhiều hỡnh thức, cú thể tự học dưới sự điều khiển trực tiếp của giỏo viờn với sự hỗ trợ của cỏc phương tiện kỹ thuật ở trờn lớp. Tự học cú thể diễn ra khi khụng giỏp mặt với thầy, lỳc này học sinh phải học qua cỏc tài liệu liờn quan đến cỏc mụn học và cỏc hướng dẫn, yờu cầu của thầy đối với từng mụn học. Tự học cũng cú thể diễn ra nhằm đỏp ứng yờu cầu hiểu biết riờng, bổ sung và mở rộng nõng cao kiến thức hay nhằm mở mang hiểu biết của mỡnh.
Trờn cơ sở lý luận về tự học, tự nghiờn cứu cũng như cỏc mức độ nhận thức được phõn tớch thành nhiều cấp độ từ thấp đến cao theo phõn loại của B.S.Bloom: nhận
biết, thụng hiểu, ứng dụng, phõn tớch, tổng hợp, đỏnh giỏ, chỳng tụi thấy tự học, tự nghiờn cứu đối với học sinh cú vai trũ rất quan trọng đú là:
+ Phỏt huy nội lực của người học: trong việc học thỡ kiến thức, kỹ năng, cỏch học, cỏch tư duy, nhõn cỏch vừa là mục tiờu cần đạt tới, vừa là cụng cụ để đạt đến mục đớch. Quỏ trinh học tập, tự học, người học sinh tự lắng nghe thầy giảng, tự đọc sỏch, suy ngẫm nghĩ, lựa chọn, phỏt huy tiềm năng cỏ nhõn để đạt chất lượng cao trong học tập. Đú chớnh là phỏt huy nội lực ở người học.
+ Nõng cao hiệu quả học tập: Nếu cú sự cố gắng tự học bền bỉ, thỡ điều kiện học chưa được đầy đủ, giỏ trị gia tăng ở người học do người học mang lại vẫn cú thể sẽ hỡnh thành: người học chiếm lĩnh giỏ trị đú biến thành thực sự của mỡnh và từng bước, từng bước mà cú năng lực mới, phẩm chất mới. Học tập như thế là mang lại hiệu quả thiết thực.
+ Giỳp học sinh học cỏch học: cỏch học là cỏch tỏc động của chủ thể đến đối tượng học, hay là cỏch thực hiện hoạt động học. Cú ba cỏch học cơ bản: học cỏ nhõn hay là tự nghiờn cứu, học thầy học bạn hay là học tập hợp tỏc, học từ thụng tin phản hồi hay cỏch tự kiểm tra, tự điều chỉnh cỏc cỏch học hay cú quan hệ với nhau. Tự học, tự nghiờn cứu hỗ trợ cho cỏch học hợp tỏc và tự đỏnh giỏ, điều chỉnh, làm tăng khả năng tiếp cận và xử lý thụng tin. Vỡ vậy nú giỳp cho cỏch học của học sinh cú kỹ năng và cú hiệu quả hơn.
+ Giỳp học sinh cỏch tiếp cận nghiờn cứu: khi hướng dẫn và giỳp học sinh tự học, giỏo viờn đó yờu cầu học sinh phải học tập và làm việc với tỏc phong của một người nghiờn cứu (sắp xếp, phõn loại, so sỏnh đối chiếu, phõn tớch, tự tỡm vớ dụ minh họa, ...) với những yờu cầu đú, qua tự học, tự nghiờn cứu và qua những hoạt động hợp tỏc, học sinh học được nhiều năng lực phẩm chất, giỳp họ cú thể tiếp tục tự học, tự nghiờn cứu về sau và tự nghiờn cứu suốt đời. Từ đú học sinh cú khả năng phỏt hiện, giải quyết vấn đề cú tỏc phong cụng nghiệp, tư duy độc lập. sỏng tạo. Tự học khụng chỉ hiểu là học với sỏch, khụng cú thầy bờn cạnh; mà ngay cả khi cú thầy bờn cạnh, trũ
phỏt huy nội lực cố gắng học của mỡnh thỡ cũng là tự học. Tự học tồn tại với "học" như hỡnh với búng.
Để việc học tự bớt mũ mẫm, mất thời gian và cú hệ thống cũng như chiều sõu, giỏo viờn phải rốn luyện cho học sinh cú được những phầm chất trớ tuệ như linh hoạt, tớnh phờ phỏn, tớnh độc lập, tớnh sỏng tạo.
Ta cú thể hiểu sỏch giỏo khoa là do một ụng thầy viết ra, nờn học cú sỏch tức là học với thầy (thầy là tỏc giả của sỏch) nhưng khụng cú thầy bờn cạnh để hỏi mà học với sỏch khụng cú thầy bờn cạnh thường được hiểu là tự học. Nhưng hiểu như vậy cũng vẫn là hẹp hũi vỡ ngay cả khi cú thầy bờn cạnh thỡ thầy cũng chỉ giảng giải, uốn nắn, chứ thầy đõu cú học hộ trũ. Dạy dự sao cũng chỉ là ngoại lực tỏc động đến trũ. Ngoại lực đú phải tạo ra được sự cộng hưởng của nội lực - tức là sự cố gắng của học trũ. Sự cố gắng này mới đỳng là tự học, nú tồn tại cựng "học" như hỡnh với búng, ta thấy hai người cựng học một thầy thỡ phần thầy giảng là như nhau đối với hai người nhưng kết quả học tập lại phụ thuộc vào sự cố gắng tự học của mỗi người bắt đầu ngay từ khi nghe giảng, người này cú thể nghe thầy giảng một cỏch chăm chỳ, người kia nghe giảng lơ đóng, thế là phần tự học đó khỏc nhau rồi.
Tự học, hiểu như vậy cú thể xảy ra khi cú thầy, cú sỏch, cả khi khụng cú thầy, khụng cú sỏch. Trong trường hợp này, người học cú thể tớch lũy thờm được kinh nghiệm, thờm kiến thức, nhiều sự cọ xỏt với thực tiễn, và con người từ 2 thỏng tuổi trở đi đó biết tự học như vậy.
Cỏch học khụng thầy, khụng sỏch, thả nổi như vậy cũng cú thể cú kết quả tớch cực nhưng kết quả lõu đến vỡ khụng cú hệ thống và chiều sõu tư tưởng, rất ớt kế thừa sự hiểu biết của những người đi trước. Vỡ vậy, phải học một cỏch hệ thống với thầy rồi với sỏch và ngày nay cỏch học đú phải dẫn tới thụng minh, sỏng tạo, học một biết mười vỡ nắm chắc kiến thức cơ bản, cú hệ thống, rồi năng lực tự học, tư duy với một tư cỏch tốt đẹp mà tự mỡnh tỡm đến nhiều kiến thức khỏc nhờ cả vào cụng phu sưu tầm lẫn cụng phu tự mỡnh nghĩ ra. Đạt đến trỡnh độ này rồi thỡ cỏch
học khụng thầy, khụng sỏch mà chỉ cọ xỏt với thực tiễn cũng sẽ được người học đớch thõn tổ chức cú hiệu quả cao như tổ chức tra cứu cú mục đớch, cú phương hướng, cú phõn cụng, hợp tỏc, cú tài liệu, trang thiết bị hỗ trợ.
Và khụng cú thầy thỡ cú thể hỏi sỏch. Hỏi sỏch này khụng được thỡ hỏi sỏch khỏc. Nhưng sỏch khỏc đú là sỏch gỡ? Thỡ nhiều khi cũng phải động nóo mới biết là nờn tỡm sỏch gỡ, tỡm sỏch đú ở đõu làm sao mà tỡm được. Tỡm được sỏch lại phải biết chọn những chương nào, trang nào để học. Trong lỳc đọc lại thấy cần đọc thờm sỏch khỏc, biết tỡm sỏch mà đọc, biết độc lập làm việc với sỏch chớnh là "biết hỏi sỏch". Cần phải biết học cỏch "Hỏi sỏch" vỡ đú là điều kiện khụng thể thiếu để tự học hoàn toàn, tự học suốt đời và việc tỡm sỏch ở trong thư viện kể cả thư viện điện tử phải trở thành thúi quen của học sinh, sinh viờn ngày nay.
+ Thụng qua việc dạy học của thầy, học sinh nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, hỡnh thành năng lực và thế giới quan cũng từ đú mà phương phỏp tự học của học sinh được hỡnh thành, kốm theo đú là sự hỡnh thành và phỏt triển năng lực toỏn học của học sinh.
+ Hoạt động kiểm tra đỏnh giỏ của thầy ảnh hưởng đến hoạt động tự đỏnh giỏ của trũ. Trong quỏ trỡnh tự mỡnh tỡm ra kiến thức, người học tạo ra một sản phẩm lỳc đầu cú thể chưa chớnh xỏc, chưa khoa học, nhưng thụng qua sự trao đổi với bạn và căn cứ vào sự kiểm tra kết luận của người thầy, người học tự kiểm tra để sửa sai hoặc hoàn thiện sản phẩm của mỡnh, quỏ trỡnh đú diễn ra thường xuyờn dần dần làm hỡnh thành năng lực tự kiểm tra đỏnh giỏ của học sinh, làm cho năng lực tự học ngày càng phỏt triển.
+ Thụng qua hoạt động dạy học của mỡnh, người thầy cũn hướng dẫn học sinh đọc sỏch giỏo khoa và tài liệu tham khảo cho năng lực tự học, tự nghiờn cứu của học sinh ngày càng được hỡnh thành và phỏt triển. Đõy cũng là con đường quan trọng để người học tiếp thu tri thức, để người học cú thể tự học suốt đời.