- HS: ABC ABD
S ah absin Ch bsi nC
ABD HBI =⇒ ∆AB D∽ ∆HBI −
b) Kẻ BK vuụng gúc với AD.
Ta thấy I, H, K thuộc đường thẳng ( Đường thẳng Simson).
( ) ã ã
ABD HBI g g BMA BNH
∆ ∽∆ − ⇒ = ⇒BKMN
là tứ giỏc nội tiếp.
Từ đú suy ra MNB 90ã = 0. O 1 1 N H B C I D M A K Hỡnh 45
- Để giải bài toỏn trờn ta liờn tiếp sử dụng cỏc tứ giỏc nội tiếp và vận dụng đường thẳng Sim-son để giải bài tập trờn.
-Ở đõy học sinh khụng cần dựng đến đường thẳng Simson mà vẫn giải được bài toỏn. Từ cỏc tam giỏc đồng dạng ABD và HBI, cú BM và BN là cỏc đường trung tuyến
tương ứng nờn BM BA;ãABM HBNã ãABH MBNã ABH MBN BN = BH = ⇒ = ⇒ ∆ ∽ ∆
- Giỏo viờn cung cấp cho học sin một số bài tập tổng hợp nhằm củng cố cỏc ứng dụng được rỳt ra từ cỏc bài toỏn trờn
Bài tập 11: Cho đường trũn (O; R) đường kớnh AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường trũn (O). MN là một đường kớnh thay đổi của đường trũn (M khụng trựng với A, B). Cỏc đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh AM.AC AN.AD= .
b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tớch AC.AD.
c) Chứng minh tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MNC thuộc một đường thẳng cố định.
d) Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng
Hướng dẫn
a) ANM ABMã =ã , ABM ACBã = ã . Suy ra:
ã ã
ACB ANM= .Do đú ∆AMN và ∆ADCđồng
dạng AM AN AM.AC AN.AD AD = AC⇒ = b) Ta cú: AC.AD CD.AB 2R .CD= = (1). Lại cú 2 CD BD BC 2 BD.BC 2 AB 4R = + ≥ = = (2) Từ (1) và (2), suy ra CD.AD 8R≥ 2. c) Gọi P là tõm đường trũn ngoại tiếp
MNC
∆ , K là trung điểm của CD, S là giao
điểm của AK với MN. Hỡnh 46
Ta thấy tứ giỏc MNDC là tứ giỏc nội tiếp đường trũn tõm P nờn AMN ADCã =ã ,
ã ã ã
SAM KCA ANM= = . Suy ra: MN vuụng gúc với AK
Lại cú: PO vuụng gúc với MN nờn AK song song với OP, mà PK song song với AO. Suy ra: tứ giỏc AOPK là hỡnh bỡnh hành, hay KP = AO =R
Vỡ d là đường thẳng cố đinh, PK = R khụng đổi nờn P thuộc đường thẳng song song với d, cỏch d một khoảng R cố định.
d) Áp dụng định lớ Meneleuyt vào tam giỏc ACO với ba điểm thẳng hàng là B, I, M ta
cú: AB OI CM. . 1 OI MA
BO IC MA = ⇒ IC = 2CM (1)
Tương tự với tam giỏc BCO và ba điểm thẳng hàng là A, I, F ta cú: OI FB IC = 2CF (2) Từ (1) và (2) ta cú MA FB=
Mà AB ⊥BC ⇒ MF ⊥BC ⇒ MFC 90ã = 0. Ta cú EFB EBAã =ã (cựng phụ với gúc EAB) EBA EMCã =ã (tứ giỏc AMEB nội tiếp) ⇒EFB EMCã =ã ⇒ Tứ giỏc MEFC nội tiếp
⇒ MEC MFC 90ã = ã = 0. Do đú: ME ⊥ EC (3)
Lại cú MEN 90ã = 0(gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) ⇒ ME ⊥ EN (4)
Từ (3) và (4) suy ra C, E, N thẳng hàng.
Bài toỏn 12: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trờn đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hỡnh chiếu của điểm M trờn AB và AC. Vẽ NH vuụng gúc với PD tại H. Xỏc định vị trớ của điểm M để tam giỏc AHB cú diện tớch lớn nhất.
Hướng dẫn
∆ABC vuụng cõn tại A ⇒ AD là phõn giỏc gúc A và AD ⊥ BC ⇒ D ∈ (O; AB/2)
Ta cú ANMP là hỡnh vuụng (hỡnh chữ nhật cú AM là phõn giỏc) ⇒ tứ giỏc ANMP nội tiếp đường trũn đường kớnh NP mà NHP 90ã = 0 ⇒H thuộc đường trũn đường kớnh NP ⇒ AHN AMN 45ã = ã = 0 (1)
O A A H' H E P N D C B M Hỡnh 47
Kẻ Bx ⊥ AB cắt đường thẳng PD tại E ⇒ tứ giỏc BNHE nội tiếp đường trũn đường kớnh NE. Mặt khỏc ∆BED = ∆CDP (g.c.g) ⇒ BE = PC mà PC = BN ⇒ BN = BE ⇒ ∆BNE vuụng cõn tại B ⇒ NEB 45ã = 0 mà NHB NEBã =ã ⇒ ãNHB 45= 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AHB 90ã = 0 ⇒ H ∈ (O; AB/2). gọi H' là hỡnh chiếu của H trờn AB
AHB AHB
HH '.AB
S S
2
⇒ = ⇒ lớn nhất ⇔ HH' lớn nhất
mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D cựng thuộc đường trũn đường kớnh AB và OD ⊥ AB) Dấu "=" xẩy ra ⇔ H ≡ D ⇔ M ≡ D
Bài toỏn 13: Cho tam giỏc ABC nhọn cú trung tuyến CM. Cỏc đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.