- HS: ABC ABD
AB.CD AD.BC (BM MD).AC AC.BD ≥
Mà theo bài toỏn ta cú AB.CD + AD.BC = AC.BD, tức là B, M, D thẳng hàng hay tứ giỏc
ABCD nội tiếp. Hỡnh 10
Định lớ 6.2: Tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn nếu AB.CD + AD.BC = AC.BD
Định lớ 6.1 và 6.2 chớnh là nội dung định lớ Ptoleme được phỏt biểu như sau: Tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn khi và chỉ khi AB.CD + AD.BC = AC.BD
Bài toỏn 6.3. Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn (O). Gọi H, I, K lần lượt là hỡnh chiếu của điểm D trờn cỏc đường thẳng AB, AC và BC. Chứng minh rằng: Ba điểm H, I, K thẳng hàng.
Hướng dẫn
Tứ giỏc HAID nội tiếp nờn HIA HDAã =ã (1) Tứ giỏc CKID nội tiếp nờn KIC KDCã = ã (2) Mặt khỏc do ABCD nội tiếp nờn HAD BCDã = ã , mà HAD HDA BCD KDC 90ã +ã = ã +ã = 0
Do đú HAD KDCã = ã (3) Hỡnh 11 Từ (1), (2) và (3) suy ra HIA KICã =ã . Suy ra Ba điểm H, I, K thẳng hàng.
Định lớ 6.3: Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn (O). Gọi H, I, K lần lượt là hỡnh chiếu của điểm D trờn cỏc đường thẳng AB, AC, BC. Khi đú ba điểm H, I, K thẳng hàng. (Đường thẳng Simson)
Bài toỏn 6.4. Cho tứ giỏc ABCD. Gọi H, I, K lần lượt là hỡnh chiếu của điểm D trờn cỏc đường thẳng AB, AC và BC. Biết rằng ba điểm H, I, K thẳng hàng. Chứng minh rằng: Tứ giỏc ABCD nội tiếp.
Hướng dẫn
Tứ giỏc HAID nội tiếp nờn HIA HDAã =ã (1) Tứ giỏc CKID nội tiếp nờn KIC KDCã = ã (2) Mà HIA KICã = ã . Do đú HDA KDCã =ã Nờn HDK ADCã = ã
Mặt khỏc do BHDK nội tiếp nờn
HDK ABC 180ã +ã = 0 Hỡnh 12 Suy ra ADC ABC 180ã +ã = 0 ⇒Tứ giỏc ABCD nội tiếp
Định lý 6.4. Cho tứ giỏc ABCD. Gọi H, I, K lần lượt là hỡnh chiếu của điểm D trờn cỏc đường thẳng AB,AC và BC. Biết rằng ba điểm H, I, K thẳng hàng. Khi đú tứ giỏc ABCD nội tiếp.
Sau đõy là một số tớnh chất liờn quan đến đường thẳng Simson được phỏt biểu dưới dạng bài toỏn
Bài toỏn 6.3.1. Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O), P là một điểm thuộc đường trũn, lấy Q thuộc (O) sao cho đường thẳng CQ và CP đối xứng nhau qua phõn giỏc gúc C. Chứng minh CQ vuụng gúc với đường thẳng simson của tam giỏc ABC ứng với điểm P.
Bài toỏn 6.3.2. Nếu hai điểm đối xứng nhau qua tõm thỡ đường thẳng Simson ứng với hai điểm đú vuụng gúc với nhau. Chứng minh gúc giữa hai đường thẳng bất kỡ dựng trờn hai điểm P, Q bằng nửa số đo cung nhỏ PQ.
Bài toỏn 6.3.3. Chứng minh tam giỏc tạo bởi 3 đường thẳng simson dựng trờn 3 điểm đồng dạng với tam giỏc tạo thành từ 3 điểm đú.
Bài toỏn 6.3.4. Chứng minh đường thẳng Simson ứng với một điểm chia đụi đoạn thẳng nối từ điểm đú đến trực tõm của tam giỏc. Hơn nữa trung điểm của đoạn thẳng đú thuộc đường trũn Ơle.
Bài toỏn 6.3.5. Chứng minh đường thẳng Simson ứng với hai điểm đối xứng nhau qua tõm thỡ cắt nhau tại một điểm thuộc đường trũn Ơle.
Bài toỏn 6.3.6. Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp được, gọi dA, dB, dC, dD là đường thẳng Simson ứng với cỏc điểm A, B, C, D của cỏc tam giỏc BCD, ACD, ABD và ABC. Chứng minh rằng dA, dB, dC, dD đồng quy.
Ngoài ra học sinh khỏ, giỏi cú thể chứng minh thờm cỏc bài toỏn sau đõy và xem như đú là tớnh chất của tứ giỏc nội tiếp.
Bài toỏn 6.5. Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp, Gọi H, I, K lần lượt là hỡnh chiếu của điểm
D trờn cỏc đường thẳng AB, AC và BC. Chứng minh rằng: BC AB AC DI =DH DK+ .
Bài toỏn 6.6. Chứng minh rằng tứ giỏc ABCD nội tiếp khi và chỉ khi R .Ra b =R .Rc d, với R , R , R , R lần lượt là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABD, ABC,a b c d BCD, CDA.
Bài toỏn 6.7. Chứng minh rằng tứ giỏc ABCD nội tiếp khi và chỉ khi tứ giỏc 1 2 3 4
O O O O là hỡnh chữ nhật, với O , O , O , O lần lượt là tõm đường trũn nội tiếp tam1 2 3 4 giỏc ABD, ABC, BCD, CDA.
Bài toỏn 6.8. Chứng minh rằng tứ giỏc ABCD nội tiếp khi và chỉ khi tứ giỏc 1 2 3 4
G G G G nội tiếp, với G , G , G , G lần lượt là trọng tõm của tam giỏc ABD, ABC,1 2 3 4 BCD, CDA.
Mở rộng kiến thức sỏch giỏo khoa làm cho trớ tuệ của học sinh phỏt triển, hỡnh thành một sự kớch thớch bờn trong đối với việc học tập, cỏc em học sinh cảm thấy hài lũng vỡ lao động trớ tuệ căng thẳng, sung sướng vỡ hoàn thành được những bài tập khú, dường (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
như cỏc cỏc em đang tiến về phớa một cỏi gỡ mới mẻ mà mỡnh phải nhận ra. Từ đú cỏc em cú tỡnh cảm với toỏn học, bị Toỏn học hấp dẫn.
Thụng qua mở rộng kiến thức sỏch giỏo khoa mà cỏc phẩm chất tư duy của học sinh được hỡnh thành và phỏt triển, giỳp học sinh cú thể độc lập và sỏng tạo trong học tập. Từ đú học sinh cú hứng thỳ và tự giỏc học tập.
Trong khi mở rộng kiến thức sỏch giỏo khoa toỏn, học sinh sẽ thấy được Toỏn học là khoa học suy diễn, là khoa học mẫu mực về sự chớnh xỏc, về suy luận chặt chẽ. Cỏc khoa học khỏc cố gắng vươn tới “sự chớnh xỏc Toỏn học”, cố gắng đạt tới sự chớnh xỏc cao hơn nhờ sử dụng cụng cụ của Toỏn học. C. Mac đó từng tiờn đoỏn: “Một khoa học chỉ thực sự phỏt triển nếu nú cú thể sử dụng được phương phỏp của toỏn học”. Điều đú đó làm cho học sinh yờu Toỏn học.
Định hướng 2: Xõy dựng cỏc ứng dụng của cỏc kiến thức hỡnh học.
Khi giảng dạy được một kiến thức toỏn học mới, giỏo viờn cần hướng dẫn học sinh tự đặt cõu hỏi và cố gắng trả lời như:“Kiến thức này cú thể mở rộng ra được khụng? kiến thức này cú thể ứng dụng trong cỏc dạng toỏn nào? Đối với những vấn đề tương tự, cú những kiến thức tương tự khụng?”. Trong cỏc bài tập cũng vậy, luụn nờu suy nghĩ tỡm cỏch mở rộng cỏc cõu hỏi đặt ra.
Gặp bất cứ việc gỡ xung quanh, thử cố nghĩ xem cú vấn đề gỡ dớnh đến toỏn học ở đõy khụng, cú thể đem hiểu biết toỏn học ra mà giải thớch, cải tiến được rồi thỡ cũng khụng thoả món, thử cố đi sõu hơn, mở rộng thờm xem sao.
Làm được như thế này chỳng ta sẽ trở nờn nhạy cảm trong trong việc liờn hệ toỏn học với cỏc lĩnh vực khỏc, sẽ cú ớch trong cuộc sống của chỳng ta.
Trờn cơ sở đó khắc sõu kiến thức, chỳng ta cú thể mở rộng cỏc ứng dụng của cỏc kiến thức đú. Xõy dựng cỏc ứng dụng của cỏc kiến thức hỡnh học trong sỏch giỏo khoa cũng chớnh là khai thỏc tiềm năng sỏch giỏo khoa.
Vớ dụ 1: Hệ thức lượng trong tam giỏc đúng một vai trũ quan trọng trong bộ mụn toỏn học, nhưng nội dung hệ thức lượng ở trường THCS rất đơn giản. Song trong thực tế học sinh sau khi học xong chương hệ thức lượng trong tam giỏc cỏc em ngại giải cỏc bài toỏn
của nội dung này. Bởi vỡ cỏc em học sinh nắm cỏc kiến thức về hệ thức lượng chưa sõu sắc và vận dụng cỏc hệ thức vào giải chưa linh hoạt. Điều đú dẫn đến học sinh khụng biết được cỏc hệ thức lượng được ỏp dụng vào giải cỏc bài tập dạng nào. Vỡ vậy giỏo viờn phải cú sự chuẩn bị hệ thống bài tập toỏn phự hợp cho từng đối tượng học sinh và qua đú gợi ý để học sinh rỳt ra được ứng dụng của hệ thức lượng trong giải bài tập toỏn
Một số ứng dụng của hệ thức lượng trong gải bài tập toỏn - Tớnh tỉ số lượng giỏc của một số gúc khụng đặc biệt
- Chứng minh cỏc hệ thức hỡnh học
- Chứng minh cỏc bất đẳng thức hỡnh học - Chứng minh cỏc tam giỏc đặc biệt - Giải bài toỏn thực tế
- Một số bài toỏn khỏc
Một số bài tập ỏp dụng và phương phỏp giải
Bài toỏn 1: Tớnh cos150, sin 150 mà khụng dựng bảng số, khụng dựng mỏy tớnh. + Giỏo viờn gợi ý cho học sinh theo cỏc cõu hỏi
sau:
- Để cú cos150, sin 150 ta cần dựng tam giỏc vuụng thỏa món điều kiện gỡ?
- Cho cạnh BC = 4(đvđd). Làm cỏch nào để tớnh cỏc cạnh AC, AB?
+ Giỏo viờn gợi ý vẽ đường cao AH và lấy trung điểm M của BC.
Học sinh cú thể giải bài toỏn 1 như sau Hỡnh 13
Xột ∆ABC cú A = 90à 0, C = 15à 0, BC = 4. Kẻ trung tuyến AM, đường cao AH Ta cú AMB 30ã = 0, AM = 2 nờn AH = 1. Do đú tan AMBã AH HM = AH 1 HM 3 HM 3 ⇒ = ⇒ = .Ta cú HC = HM + MC = 3 + 2 . Áp dụng định lớ pitago vào ∆vuụng ACH ta cú :
AC2 = AH2 + HC2 = 1 + ( 3 + 2)2 = 8 + 4 3 =4(2 + 3 ) ⇒AC = 2 2+ 3. Xột ∆AHC vuụng tại H ta cú : cos ACHã HC
AC = 0 2 3 2 3 4 2 3 3 1 6 2 cos15 2 2 2 2 2 4 2 2 3 + + + + + ⇔ = = = = = +
Xột ∆AHC vuụng tại H ta cú: sinsin ACHã AH AC = 0 1 2 2 2( 3 1) 6 2 sin15 2.2 4 2( 3 1) 2 2 3 2 4 2 3 − − ⇔ = = = = = + + +
Tương tự học sinh giải được bài toỏn 2 và bài toỏn 3 sau đõy.
Bài toỏn 2: Khụng dựng bảng số, khụng dựng mỏy tớnh. Chứng minh rằng : Tan150 = 2 - 3 ; cot150 = 2 + 3
- Khi giải bài toỏn này HS cần đọc kỹ bài, xột xem bài toỏn giải quyết dựa vào hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng, khi đú phải nghĩ ngay đến vẽ yếu tố đường phụ và xõu chuổi toàn bộ kiến thức một cỏch logic.
Bài toỏn 3: Tớnh cos360, cos720 mà khụng dựng bảng số, khụng dựng mỏy tớnh. Vẽ ∆ABC cõn tại A, A = 36à 0, BC = 1. Xột ∆ABC
cõn tại A cú A = 36à 0 ⇒ = =B C 72à à 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vẽ tia phõn giỏc CD (D∈AB). Xột ∆ADC cú à
A = C = 36à 0 ⇒ ∆ADC cõn tại D⇒AD = CD = 1 Xột ∆BCD cú BC = CD = 1 ⇒ ∆BCD cõn tại C. Kẻ DH ⊥ AC. Đặt AH = HC = x > 0.
Xột ∆ADH cú AHDã = 900 cosDAHã AH AD ⇒ = 0 x cos36 x 1 ⇔ = = x 360 720 360 1 1 1 K H D x B C A Hỡnh 14 ∆ABC cõn tại A ⇒ AB = AC = 2x, BD = 2x – 1
Xột ∆ABC cú CD là tia phõn giỏc ACB ã DA AC DB CB ⇒ = 2 1 2x 4x 2x 1 0 2x 1 1 ⇔ = ⇔ − − = − 2 1 5 1 5 (2x ) 2x 2 4 2 2 ⇔ − = ⇒ − = ± Vỡ cos360 >0 do đú 0 1 5 cos36 4 +
= . Kẻ CK ⊥ AB ta được ∆KBC vuụng tại K ⇒cosKBCã = KB 2x 1 BC 2 − = = x 1 2 − 0 1 5 1 5 1 cos72 4 2 4 + − ⇔ = − = Vậy 0 5 1 cos72 4 − =
Bài toỏn 4: Cho hỡnh vuụng ABCD và điểm M thuộc cạnh BC. Kộo dài AM cắt tia DC
tại N. Chứng minh rằng 12 1 2 1 2 AB = AM + AN .
+ Giỏo viờn gợi ý cho học sinh như sau
- Hệ thức cần chứng minh cú hỡnh thức tương tự hệ thức nào đó học
- Trong bài toỏn này cần tạo ra tam giỏc như thế nào để ỏp dụng được hệ thức
2 2 2