- Điều kiện chung: Trong tiến trỡnh giải toỏn thỡ hoạt động giải toỏn của học sinh được tớch cực húa trước một tỡnh huống vấn đề, dưới ảnh hưởng của cỏc cõu hỏ
f) Quan điểm 6: Tớnh phỏt triển
2.2.1. Định hướng 1: Mở rộng cỏc cụng thức, định lý trong sỏch giỏo khoa
Trờn cơ sở cỏc cụng thức, định lớ, tớnh chất từ sỏch giỏo khoa, chỳng ta cú thể mở rộng thờm cỏc kiến thức mới phự hợp với sự phỏt triển của học sinh THCS. Mở rộng kiến thức sỏch giỏo khoa cú nghĩa là từ một nội dung trong sỏch giỏo khoa mà phỏt triển rộng hơn, sõu hơn, cho ra nhiều kết quả mới, đẹp và thỳ vị. Núi cỏch khỏc mở rộng kiến thức trong sỏch giỏo khoa tức là khai thỏc tiềm năng sỏch giỏo khoa. Cú thể khai thỏc tiềm năng sỏch giỏo khoa về phương diện lớ thuyết và về phương diện cỏc dạng Toỏn.
Trong Định hướng 1 chỳng tụi mở rộng kiến thức sỏch giỏo khoa về phương diện lớ thuyết tức là qua cỏc bài toỏn, giỏo viờn hướng dẫn học sinh khai thỏc cỏc ứng dụng của cỏc khỏi niệm, cỏc định lớ, quy tắc, định lớ để sỏng tạo thờm cỏc định lớ, tớnh
chất, cụng thức mới. Từ đú cú thể đưa ra cỏc dạng Toỏn bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như bồi dưỡng năng lực giải toỏn cho học sinh khỏ, giỏi.
Trong quỏ trỡnh giải toỏn luụn nảy sinh những vấn đề mới cần được giải quyết ngay. Chẳng hạn:
- Học sinh dễ dàng tớnh được tỷ số lượng giỏc của cỏc gúc 30 , 45 , 60 nhưng0 0 0 tỉ số lượng giỏc của 15 hay 0 75 được tớnh như thế nào? 0
- Học sinh được học cỏc hệ thức liờn hệ giữa cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng. Vậy với cỏc tam giỏc nhọn, tam giỏc tự thỡ cú hệ thức liờn hệ liờn hệ tương tự như vậy hay khụng? Cỏc cụng thức liờn hệ đú được tỡm như thế nào?
- Học sinh được học về đường trũn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp tam giỏc. Nhưng cú tớnh chất nào liờn hệ cỏc đường trũn này với nhau khụng?
Vậy khi mở rộng cỏc kiến thức mới cho học sinh đặc biệt là học sinh khỏ, giỏi thỡ giỏo viờn cú thể thực hiện theo cỏch thức nào?
- Nờu trực tiếp kết quả cho học sinh mà khụng chứng minh. - Giỏo viờn trực tiếp nờu và chứng minh cỏc kiến thức mới.
- Giỏo viờn nờu cỏc kiến thức mới dưới dạng bài tập và gợi ý cho học sinh chứng minh, từ đú học sinh tự rỳt ra kiến thức mới.
- Giỏo viờn giao nhiệm vụ cho học sinh tự tỡm hiểu sỏch giỏo khoa để tỡm ra kiến thức mới.
Để rốn luyện năng lực giải toỏn cho đối tượng học sinh khỏ, giỏi giỏo viờn cú thể mở rộng và phỏt triển kiến thức mới từ sỏch giỏo khoa thể hiện qua một số vớ dụ sau đõy.
Vớ dụ 1: Tam giỏc ABC vuụng tại A khi và chỉ khi AB2 +AC2 =BC2. Vậy với tam giỏc ABC khụng vuụng thỡ hệ thức liờn hệ giữa cỏc cạnh sẽ như thế nào?
Với cõu hỏi này giỏo viờn cú thể ra cho học sinh bài toỏn như sau.
Bài toỏn 1.1: Cho tam giỏc ABC cú đường cao BH. Chứng minh rằng: a) Nếu A 90à > 0 thỡ BC2 =AB2 +AC2 +2AC.AH
b) Nếu A 90à < 0 thỡ BC2 =AB2+AC2−2AC.AH
Như vậy tới đõy học sinh cú thể rỳt ra được tớnh chất về mối liờn hệ giữa 3 cạnh của tam giỏc.
Tớnh chất 1.1: Cho tam giỏc ABC, khi đú - Nếu A 90à > 0 thỡ BC2 >AB2+AC2
- Nếu A 90à = 0 thỡ BC2 =AB2+AC2 - Nếu A 90à < 0thỡ BC2 <AB2 +AC2
Ở đõy giỏo viờn cú thể gợi ý cho học sinh tớnh AH theo AB (xột D ABC nhọn)
HS: Tớnh được AH = AB.cosA
Với gợi ý này học sinh cú thể giải được bài toỏn sau:
Bài toỏn 1.2: Chứng minh rằng trong tam giỏc nhọn ABC bất kỡ ta luụn cú:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB AC BC 2AC.BC.cosC BC AB AC 2AB.AC.cosA AC AB BC 2AB.AC.cosB = + − = + − = + −
Bài toỏn trờn chớnh là định lý Cụsin trong chương trỡnh hỡnh học 10 nhưng với cỏc học sinh khỏ, giỏi THCS nú cũng cú tỏc dụng nhất định
Tớnh chất 1.2: Cho tam giỏc ABC nhọn bất kỡ, ta cú:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB AC BC 2AC.BC.cosC BC AB AC 2AB.AC.cosA AC AB BC 2AB.BC.cos B = + − = + − = + −
Từ tớnh chất trờn học sinh dễ dàng rỳt ra hệ quả sau:
Hệ quả: Với ABC∆ nhọn bất kỡ thỡ:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
AB AC BC AB BC AC AC BC AB
cos A cos B cosC
2AB.AC 2AB.BC 2AC.BC
+ − + − + −
= = =
Giỏo viờn tiếp tục nờu cõu hỏi gợi ý cho học sinh. Nếu cú định lớ Cụsin trong tam giỏc, vậy cú định lớ Sin trong tam giỏc khụng?
Học sinh giải bài tập sau đõy
Chứng minh rằng: b c sin B sin C=
Với bài toỏn này học sinh vẽ hỡnh và giải theo hướng dẫn sau đõy.
BE CF
ABE ACF BE.AC BF.AB
AB AC
∆ ∽∆ ⇒ = ⇔ =
Tớnh BE theo sinC và BF theo sinB BE = BC.sinC; BF = BC.sinB Thay vào hệ thức trờn ta được:
AC.sinC = AB.sinB Hay AB AC
sin C sin B=
Hỡnh 1
Từ bài toỏn trờn học sinh rỳt ra nội dung tớnh chất về định lớ Sin
Tớnh chất 1.3: Trong tam giỏc ABC nhọn ta cú: a b c sin A =sin B sin C=
Cõu hỏi mà giỏo viờn đặt ra cho học sinh sau khi cú định lớ Sin là: cỏc tỉ số
a b c
; ;
sin A sin B sin C khụng đổi, vậy cỏc tỉ số đú bằng bao nhiờu. Giỏo viờn cho học sinh làm bài tập sau
Bài toỏn 1.4: Chứng minh rằng nếu tam giỏc nhọn ABC nội tiếp (O; R) thỡ a = 2R sinA.
- Học sinh cú thể ỏp dụng định lớ hàm số sin để giải bài toỏn trờn như sau: Vẽ đường kớnh BD
Khi đú BAC BDCã =ã và BC = 2R sinD Mà sinR = sinA hay BC =2RsinA
a 2R sin A ⇒ =
Chứng minh tương tự ta cú: b 2R sin B,c 2R sin C= =
Từ bài toỏn trờn ta cú định lớ Sin đầy đủ như sau: Hỡnh 2
Định lý: Trong tam giỏc ABC nhọn thỡ: a b c 2R sin A =sin B sin C= =
Với R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp ABC∆ .
Kết hợp giữa định lớ sin và cosin học sinh sẽ cú kết quả sau đõy.
Tớnh chất: Trong tam giỏc ABC nhọn ta cú:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cosB a c a cosC a b c cos A b c a
cot B cot C cot A
sin B 4S sin C 4S sin A 4S
+ − + − + −
= = = = = = .
Đặc biệt với kết quả trờn ta cú bài toỏn khú cho học sinh khỏ giỏi như sau.
Bài toỏn 1.4.1: Cho tam giỏc nhọn ABC nhọn. Chứng minh rằng với S là diện tớch tam
giỏc ABC thỡ cotA + cotB + cotC =
2 2 2a b c a b c
4S + + .