- KH cú là phõn giỏc của gúc EKD khụng? Vỡ sao? Kết quả tương tự là gỡ?
c) Tỡm tập hợp điểm P là tõm đường trũn đi qua 4 điểm O; E; M; F d) Tỡm tập hợp điểm N là trung điểm của CD.
ABI BAI AED IAC 90 IA OO'.
⇒ = ⇒ + = o⇒ ⊥
+ Sau khi giải xong bài toỏn 3.1 ta thử đặt vấn đề:“ Nếu hai đường trũn cho trước (O) và (O’) cắt nhau, ta đi thiết lập bài toỏn tương tự khi đú ta cũn kết luận BAC 90ã = o như chứng minh trờn nữa khụng ?”. Ta cú bài toỏn khỏc:
Bài toỏn 3.2: Cho hai đường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm M,N .Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC.B∈(O),C ∈(O’). Đường nối tõm OO’ cắt cỏc đường trũn (O) và (O’) tại cỏc điểm D và E .Cỏc đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A. Chứng minh rằng:
a) BAC 90ã = o b) Tứ giỏc BCDE nội tiếp. c) AB.AD = AC.AE
Hướng dẫn
a) Theo tớnh chất về gúc giữa tiếp tuyến và dõy cung ta cú:ã ả1 ã ả 1 1 1 DBC O ; ECB O ' . 2 2 = = Mà Oả1+O 'ả 1=180o(vỡ OB // O’C) ã ã ã DBC ECB 90 BAC 90 . ⇒ + = o⇒ = o b) Ta cú: DBC O 'CEã =ã (vỡ cựng phụ với ã
BCE).mà O 'CE O 'ECã =ã (do ∆EO C' cõn tại O’) ⇒DEC DBCã =ã ⇒ tứ giỏc BCDE nội tiếp được
Hỡnh 67
c) Ta cú: ∆AED∽ ∆ABC(g.g) AE AD AE.AC AB.ADAB AC AB AC
⇒ = ⇒ = ( đpcm)
+ Đến đõy ta cú thể đặt vấn đề tiếp: Nếu hai đường trũn cho trước (O) và (O’) đựng nhau hoặc tiếp xỳc trong với nhau ta cú thiết lập được bài toỏn tương tự khụng ? Khi đú cú tồn tại lời giải khụng ?”.
- Ta thấy cỏc bài toỏn 1, 2, 3 đều liờn quan đến tiếp tuyến chung ngoài BC và gúc
ã
BAC 90= o, nờn ta cú:
- Nếu (O) và (O’) đựng nhau thỡ khụng cũn tồn tại tiếp tuyến chung BC nờn khụng tồn tại lời giải bài toỏn.
- Nếu (O) và (O’) tiếp xỳc trong thỡ khi đú B và C trựng A do đú khụng tồn tại
ã
BAC 90= onờn khụng tồn tại lời giải bài toỏn.
- Trờn đõy là cỏch khai thỏc bài toỏn theo hướng thay đổi vị trớ tương đối của hai đường trũn. Bõy giờ giỏo viờn hướng dẫn học sinh khai thỏc bài toỏn theo một hướng khỏc như: Tỡm bài toỏn đảo, Thiết lập những bài toỏn cú kết luận khỏc".
Bài toỏn 3.3: (Bài toỏn đảo). Cho ∆ABC vuụng tại A.Vẽ đường trũn tõm (O) đi qua A và tiếp xỳc với BC tại B,vẽ đường trũn tõm (O’) đi qua A và tiếp xỳc với BC tại C. Chứng minh rằng:
a) (O) và (O’) tiếp xỳc nhau tại A.
b) Trung tuyến AM của ∆ABC là tiếp tuyến chung của hai đường trũn tại A.
Hướng dẫn
a) Cỏc ∆AOB & AO 'C∆ là cỏc tam giỏc cõn Nờn:AOB OBAã =ã và O 'AC O 'CAã =ã
Tacú: OBA ABC 90 & O 'CA ACB 90ã +ã = o ã +ã = o
ã ã
O 'AC BAO 90
⇒ + = o.
Do đú: O 'AC CAB BAO 180ã +ã +ã = o⇒ba điểm O,
A, O’ thẳng hàng và OO’ = OA + O’A. Vậy
(O) tiếp xỳc với (O’) tại A. Hỡnh 68
b) AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC của ∆ABC vuụng tại A nờn MA = MC.
∆MO’A =∆MO’C (c.c.c) nờn MAO ' MCO ' 90ã =ã = o⇒AM⊥OO' tại A nờn AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O’).
Bài toỏn 3.4: Cho hai đường trũn (O) và (O’) tiếp xỳc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung BC.B∈(O),C∈(O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I.Gọi D là giao điểm của CA với đường trũn tõm O (D≠A). Chứng minh rằng:
a) Ba điểm B, O, D thẳng hàng.
b) BC là tiếp tuyến đường trũn đường kớnh OO’ c) OO’ là tiếp tuyến đường trũn đường kớnh BC.
Hướng dẫn
a) Cỏc tam giỏc cõn O’AC và OAD cú hai gúc ở đỏy bằng nhau nờn hai gúc ở đỉnh bằng nhau ⇒OD // O’C. Ta lại cú: OB // O’C (vỡ cựng vuụng gúc với BC). Vậy theo tiờn đề Ơclit thỡ B, O, D thẳng hàng.
b) Theo tớnh chất của hai tiếp tuyến cắt
nhau, ta cú: Hỡnh 69
OI là tia phõn giỏc BIAã , O’I là tia phõn giỏc AICã . Mà BIAã kề bự với AICã ⇒OIO ' 90ã = o OIO '
⇒ ∆ nội tiếp đường trũn đường kớnh OO’. Ta cú:IB = IC =IA.
Gọi J là trung điểm của OO’ thỡ IJ là đường trung bỡnh của hỡnh thang O’CBO. Mà
OB⊥BC⇒ ⊥IJ BC⇒BC là tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh OO’. c) ∆ABC vuụng tại A cú AI là trung tuyến AI BC ABC
2
= ⇒ ∆ nội tiếp đường trũn đường
kớnh BC vỡ AI OO '⊥ nờn OO’ là tiếp tuyến đường trũn tõm I bỏn kớnh IA.
Bài toỏn 3.5: Cho hai đường trũn (O) và (O’) tiếp xỳc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC. B∈(O),C∈(O’).Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. Đường thẳng OO’ cắt hai đường trũn (O) và (O’) lần lượt ở D và E(D và E khỏc A). Đường thẳng BA cắt (O’) ở K. Chứng minh rằng:
a) I là trung điểm của BC và ∆ABCvuụng tại A. b) Tứ giỏc DBCE nội tiếp đường trũn.
c) Đường thẳng đi qua K và vuụng gúc với đường thẳng OB là tiếp tuyến của (O’).
Hướng dẫn
BC