I AB= α Đến đây thì bài toán đã được giải quyết.
b, Luyện tập so sánh thuật toán
2.2.6. Tăng cường bồi dưỡng cho học sinh một số hoạt động đặc trưng của Hình học không gian
của Hình học không gian
2.2.6.1. Tăng cường hoạt động xác lập liên hệ giữa Hinh học phẳng va Hình học không gian
Hoạt động này có thể thực hiện thông qua các hoạt động thành phần sau đây:
Hoạt động 1. Sử dụng tri thức Hình học phẳng để phát hiện tri thức Hình học không gian thông qua sử dụng phép tương tự. Chẳng hạn, có thể sử dụng hai bài toán trong Hình học phẳng sau đây để phát hiện bài toán mới trong Hình học không gian thông qua sử dụng phép tương tự.
Ví dụ1: Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó. Hãy dựng đường thẳng ∆ đi qua A cắt Ox,Oy lần lượt tại M,N sao cho AM = AN.
Ví dụ 2: (Tổng quát bài toán 1) Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó. Hãy dựng đường thẳng ∆đi qua A sao cho ∆ cắt Ox,Oy lần lượt tại M,N và
AM k k
AN = (k > 0 cho trước).
Từ hai bài toán này có thể giải các Ví dụ trong Hình học không gian sau đây:
Bài toán 1. Cho góc tam diện Oxyz và điểm G nằm trong góc tam diện đó. Hãy dựng qua G một mặt phẳng ( )α sao cho ( )α cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C và∆ABC nhận G làm trọng tâm”.
Có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng hai bài toán trên như sau: Mặt phẳng xác định bởi đường thẳng Ox và điểm G cắt mặt phẳng yOz theo giao tuyến Ot. Khi đó G thuộc miền góc xOt. Theo bài toán 2 có thể dựng được đoạn thẳng AM sao cho GM 1 GA = 2 (1), với A ∈ Ox, M ∈ Ot nhờ sử dụng phép vị tự 1 G, 2 V − ÷
Do M thuộc miền góc yOz nên theo bài toán 1 có thể dựng được đoạn thẳng BC sao cho B Oy,C Oz∈ ∈ và MB = MC (2) nhờ phép đối xứng tâm M. Từ (1) và (2) suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC.
Hoạt động 2. Tách các bộ phận phẳng ra khỏi hình không gian để chuyển việc giải bài toán trong Hình học không gian để chuyển về việc giải bài toán sử dụng kiến thức trong Hình học phẳng. Có thể mô tả hoạt động này qua bài toán sau:
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD.
Gọi O là trung điểm của MN. Gọi G là giao điểm của đoạn thẳng AO với mặt phẳng (BCD). Chứng minh rằng G là trọng tâm của ∆ABC (Hình 2.46)
Do G thuộc trung tuyến BN của ∆BCD nên việc
chứng minh G là trọng tâm của ∆BCD quy về chứng minh 1
GN GB
2
= . Việc chứng minh đẳng thức có thể xét từ ∆ABN (Hình 2.47).
Nhờ vẽ đường thẳng MK song song với AO. Khi đó MK là đường trung bình của ∆ABG nênKG KB= . Mặt khác OG là đường trung bình của ∆NMK nên NG GK.=
Từ đó suy ra GN 1GB 2
= .
Hoạt động 3. Chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng nhờ phát hiện các bất biến của phép song song. Có thể xét bài toán sau:
Ví dụ: Cho đường thẳng a, b, c đôi một chéo nhau. Dựng đường thẳng ∆ cắt a, b, c lần lượt tại A,B,C sao cho
BA
k, k 0BC = > BC = >
Do tỉ số của hai đoạn cùng phương là bất biến qua phép chiếu song song nên việc giải bài toán trên
quy về giải bài toán trong hình học phẳng sau: Cho góc Oxy và điểm I nằm trong góc đó. Dựng đường thẳng qua I cắt Ox tại M,Oy tại N sao
choIM k, k 0
IN = > (Hình 2.48). Trong đó Ox, Oy lần lượt là ảnh của hai đường thẳng a, c qua phép chiếu song song có phương là đường thẳng b lên mặt phẳng