I AB= α Đến đây thì bài toán đã được giải quyết.
gTa iả sử hình chiếu của S lên mặt phẳn (ABC) là điểm H Khi đó, điểm
H nằm ở đâu trên mặt phẳng (SBC)? Vì H là hình chiếu của S lên (ABC) nên SH vuông góc với (ABC) mà SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên nếu gọi I là trung điểm BC thì SI vuông góc với (ABC). Do đó, H trùng với trung điểm I của BC.
Trong Ví dụ trên, giáo viên đã thuyết trình lại quá trình tìm kiếm lời giải bài toán. Thầy biết đặt mình vào vị trí của học sinh, hình dung và bình luận các sai lầm mà học sinh thường mắc phải, biết xoay chuyển hướng suy nghĩ khi gặp khó khăn, chứ không phải đột nhiên đưa ra ngay một lời giải đúng. Đó cũng là yếu tố làm nên ưu điểm của phương thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề, nhờ đó học sinh được phương pháp kiến tạo tri thức chứ không phải chỉ tiếp nhận tri thức mà thôi.
Trong bài toán vừa xét trên đây, nếu sử dụng cấp độ đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề, giáo viên có thể đưa ra những câu hỏi như:
- Quy trình tìm góc của đường thẳng và mặt phẳng là gì? - SBC là tam giác đều và vuông góc với (ABC) có ý nghĩa gì ?
Nhìn lại lời giải của bài toán trên, chúng ta thấy cái “nút” chính là ở chỗ chỉ ra được điểm SH vuông góc với (ABC).
Như vậy, trong cấp độ đàm thoại phát hiện giải quyết vấn đề, thầy sử dụng hệ thống câu hỏi gợi ý hợp lí để dẫn dắt học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề.
Theo K. K. Plantônôv thì tư duy là một quá trình gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau, mà hai trong số các giai đoạn ấy là sự xuất hiện liên tưởng, sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết.
Trong giờ học giải quyết vấn đề, các câu hỏi nhằm vào việc gợi lại các tri thức có liên quan trong vốn tri thức đã được lĩnh hội trước đây của học sinh. Các câu hỏi của giáo viên có tác dụng làm dễ dàng và thúc đẩy bước tìm tòi tri thức có liên quan để tìm ra hướng giải quyết thích hợp, loại trừ được những sai lệch có thể trên bước đường giải quyết đúng đắn khi HS đưa điều mình đã biết vào trong những mối liên hệ thích hợp.
- Cần tạo cho học sinh thói quen nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau trong quá trình truyền thụ tri thức
Một bài toán có thể nhìn dưới nhiều khía cạnh khác nhau và ứng với mỗi cách nhìn có thể cho ta một lời giải khác nhau của bài toán. Hơn nữa mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của các dữ kiện, cho nên việc tìm nhiều cách giải là tập luyện cho học sinh biết nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy.
Một đặc điểm tâm lí của học sinh trong quá trình giải toán là: tư duy luôn có sức ỳ, cứ suy nghĩ theo kiểu này ít thay đổi phương thức theo kiểu khác. Để rèn luyện tư duy linh hoạt, phá vỡ sức ỳ của tư duy ta cần phải thực hiện các hoạt động sau:
+ Huy động kiến thức liên quan đến giả thiết và kết luận của bài toán theo các hệ thống kiến thức liên quan khác nhau;
+ Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ trong một nội dung Toán học hoặc chuyển đổi ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác trong quá trình dạy học;
+ Biến đổi bài toán thành dạng tương đương (có thể mức độ tổng quát khác nhau).
Ví dụ. Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và BD.
Thứ nhất :Xem khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt phẳng song song với no và chúa đường thẳng còn lại.
Thứ hai : Xem khoảng cách cần tìm là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng nên ta đi xây dựng đường vuông góc chung.
Thứ ba : Xem khoảng cách cần tìm là đoạn vuông góc chung MN của hai đường thẳng nên bằng phương pháp vec tơ ta tính được MN= MNuuuur.
Như vậy, khi phân tích để định hướng bài toán chúng ta phải liên tưởng giữa các phạm vi khác nhau, liên tưởng đến từng chi tiết trong bài toán. G. Polia cho rằng “Nhờ nghiên cứu liên tiếp từng chi tiết một, bằng nhiều cách, cuối cùng chúng ta cũng có thể nhìn được toàn bộ vấn đề dưới một ánh sáng hoàn toàn khác trước và do đó rút ra một cách chứng minh mới” [31, tr. 94].
Hướng dẫn cho học sinh có thể vận dụng kiến thức tổng hợp, kiến thức liên môn, thiết lập sự liên tưởng giữa các phạm vi để tìm nhiều cách giải cho một bài toán.
Ví dụ : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại B, AC a 2= ; cạnh bên AA ' 3a= , M là trung điểm AA’. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MB’C’)
Giáo viên có thể định hướng giúp học sinh giải bài toán như sau:
Hướng 1: Giáo viên có thể thuyết trình: đặt ϕ =((MB'C' , ABC) ( ))
Dựa vào giả thiết của bài toán ta thấy tam giác MB’C’ chiếu lên mặt phẳng (A’B’C’) cũng chính là tam giác A’B’C’ nên ϕ thỏa mãn công thức diện tích hình chiếu S' S.cos= ϕ với S’ ;S lần lượt là diện tích của các tam giác A’B’C’ và tam giác MB’C’
Hướng 2: Với việc chọn B O;BA Ox;BC Oy;BB' Oz≡ ≡ ≡ ≡ . Khi đó, 1 2 1 2 n .n cos n . n ϕ = uur uur
uur uur với n ;nuur uur1 2 lần lượt là các vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng
(ABC ; MB'C') ( ).
Tuỳ thuộc vào cách nhìn và khả năng biến đổi bài toán của học sinh, từ đó giáo viên có thể định hướng cho học sinh bằng cách chuyển đổi sang ngôn ngữ, chuyển đổi hình thức, hoặc có thể biến đổi tương đương, sử dụng công cụ vec tơ.
- Các tác giả Nguyễn Bá Kim và Vũ Dương Thùy cho rằng: “Trong dạy học, cần chú ý rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược một cách song song với nhau, nhằm giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận” [20, tr. 174].
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Tam giác SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, CD. Chứng minh rằng AM ⊥BN.
Để chứng minh bài toán này, Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh theo hai hướng sau: thứ nhất là chứng minh trực tiếp (xuôi chiều) và chứng minh gián tiếp(ngược chiều). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Chứng minh trực tiếp: Để chứng minh a vuông góc với đường thẳng b, ta chứng minh a vuông góc với mặt phẳng (P) chứa b, thông qua việc chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P) . Cụ thể với bài toán trên ta làm như sau:
• Để chứng minh AM⊥BN, ta chứng minh BN vuông góc với mặt phẳng (AME) chứa AM, với E là trung điểm của BC; tức là ta chứng minh BN vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (AME). Thật vậy:
• Gọi K BH= ∩AE, suy ra K chính là hình chiếu của M trên (ABCD), suy ra MK vuông góc với BN. Vì ABCD là hình vuông
nên BN vuông góc với AE. Do đó, BN vuông góc với mặt phẳng (AME), mà
( )
AM⊂ AME .
Vậy AM⊥BN(đpcm).
+ Chứng minh gián tiếp: Để chứng minh a vuông góc với đường thẳng b, ta chứng minh a vuông góc với mặt phẳng (P) chứa b, thông qua việc chứng minh a vuông góc mặt phẳng (Q) song song với (P). Cụ thể, với
bài toán trên ta làm như sau:
• Ta dễ dàng chứng minh được mặt phẳng (SHC) song song với mặt phẳng (AME) mà BN vuông góc với (SHC) (vì BN⊥CH;BN SH⊥ ). Dó đó,
( ) ( )