I AB= α Đến đây thì bài toán đã được giải quyết.
G A AM M uuuur uuuur uuuur uuuur B BN N uuuur uuuur uuur uuur C CP P uuuur uuuur uuur uuur +
2.2.5. Hoạt động phát hiện, thực hành qui tắc thuật giải – tựa thuật giả
2.2.5.1. Lí luận về quy tắc thuật giải - tựa thuật giải
Phương thức tư duy thuật giải thể hiện ở những hoạt động sau: thứ nhất là thực hiện những hoạt động theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật
FB' B' A' C' A C B M N P E G G' I J
giải; thứ 2 là phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định; thứ 3 là mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động; thứ 4 là khái quát hoá một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng; thứ 5 là so sánh những con đường khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện con đường tối ưu [22, tr. 383].
Hoạt động thứ nhất thể hiện năng lực thực hiện thuật giải. Các hoạt động từ thứ 2 đến thứ 5 thể hiện năng lực xây dựng thuật giải. Cả 5 hoạt động trên đươc gọi là các hoạt động của tư duy thuật giải. Ta thấy rằng để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các hoạt động tư duy thuật giải. Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững, củng cố các quy tắc đồng thời phát triển tư duy thuật giải cho học sinh.
Theo tác giả Vương Dương Minh: “Tư duy thuật giải là phương thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động thực hiện và xây dựng thuật giải”. Từ khái niệm này ta thấy rằng để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các hoạt động tư duy thuật giải. Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững, củng cố các quy tắc đồng thời phát triển tư duy thuật giải cho học sinh.
Tư duy thuật giải được rèn luyện ở trường phổ thông thông qua dạy học thực hiện, xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải. Qua các tình huống điển hình trong dạy học toán. Tư duy thuật giải có mặt ở các cấp học, các môn trong bộ môn toán. Khi học môn số học, học sinh được biết các thuật giải tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất … Khi học các Hệ thống số, các quy tắc tính toán, so sánh thường mang tính thuật giải. Trong Đại số, học sinh được học các thuật giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc 2, thuật giải hệ phương trình bậc nhất …Trong hình học không gian, học sinh được rèn luyện tư duy thuật giải thông qua các dạng toán về góc, khoảng cách...
Ví dụ: Cho bài toán: “Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SD a 2= , SA SB SC a= = = . Gọi E là trung điểm cạnh CD. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB”. Giải và xây dựng thuật giải cho các bài toán dạng này.
Ta có thể giải bài toán như sau:
g Vì SA SB SC= = nên hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có H BD∈ và SH⊥(ABCD).
g Do ABCD là hình thoi nên AO⊥BD (O là tâm của hình thoi ABCD). Suy ra AO⊥(SBD)
g Mà AS AB AD a= = = nên ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD, mà O là trung điểm BD nên ta suy ra tam giác SBD vuông tại S, suy ra
2 2 a 3
BD SB SD a 3 BO
2
= + = ⇒ = . Suy ra tam giác ABC đều nên
2 2
a 3 a 6
BH SH SB BH
3 3
= ⇒ = − = .
g Vẽ đường cao OF của tam giác SOB, ta có OF SB⊥
g Mặt khác AC⊥(SBD)⇒AC⊥OF⇒OF là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SB. Hay d(AC,SB) OF= . Ta có:
SH.OB a 2 OF.SB SH.BO FO SB 2 = ⇒ = = . Vậy d(AC,SB) a 2 2 = .
Để giải dạng bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau giáo viên có thể định hướng để học sinh đưa ra thuật giải như
sau:
Cách 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó d a, b( ) =MN.
Chú ý: Nếu a⊥b thì ta dựng đoạn vuông góc chung của a và b như sau:
• Dựng mặt phẳng ( )α chứa b và vuông góc với a. • Tìm giao điểm O a= ∩ α( ) .
• Dựng OH⊥b.
Đoạn OH chính là đoạn vuông góc chung của a và b.
Cách 2: Dựng mặt phẳng ( )α đi qua a và song song với b, khi đó : d(a, b) d(a,( )) d(M,( ))= α = α với M là điểm bất kì
thuộc ( )α .
Cách 3: Dựng hai mặt phẳng ( )α đi qua a và song song với b, ( )β đi qua b và song song với a. Khi đó:
d(a, b) d(( ),( ))= α β .
Cách 4: Phương pháp véc tơ:
MN là đoạn vuông góc chung của AB và CDkhi và chỉ khi
AM xAB CN yCD MN.AB 0 MN.CD 0 = = = = uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó” [22, tr. 377].
Trong điều kiện ngày nay, sự hiểu biết của con người luôn đổi mới để đáp ứng tốc độ phát triển của xã hội. Tăng cường rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo toán học cần thiết trong thực tiễn, giải quyết vấn đề với phương pháp hợp lý, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian, tư duy. Vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học toán ở học sinh phổ thông là rất quan trọng và cần thiết, góp phần phát triển các hoạt động khác của toán học. Tác giả Nguyễn Bá Kim đã khẳng định sự cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải như sau:
- Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được tự động hóa trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa. Nó giúp học sinh thấy được nền tảng của
việc tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móc của quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một số chức năng của con người cho máy thực hiện.
- Tư duy thuật giải giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải bài toán bằng máy tính điện tử. Thật vậy, thiết kế thuật giải là một khâu rất cơ bản của việc lập trình. Tư duy thuật giải tạo điều kiện cho học sinh thực hiện tốt khâu đó.
- Tư duy thuật giải giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trường phổ thông, rõ nét nhất là môn Toán. Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi học các phép tính trên những tập hợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai,…
- Tư duy thuật giải cũng góp phần phát triển các năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,…và hình thành những phẩm chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra. [22, tr. 382].
Khi dạy học thực hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật giải để nâng cao hiệu quả dạy học hoạt động này chúng ta cần lưu ý một số vấn đề sau:
2.2.5.2. Luyện tập cho học sinh thực hiện các thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật giải cho trước
a, Thông qua dạy học khái niệm
Theo Nguyễn Bá Kim, trong dạy học toán học sinh thường học cách phát biểu định nghĩa nhưng lại không nhận biết được một đối tượng cụ thể có thỏa mãn định nghĩa ấy hay không. Một trong những yêu cầu của dạy học khái niệm toán là hoạt động nhận dạng một đối tượng có thuộc ngoại diên của khái niệm hay không? Từ đó vận dụng vào các tình huống cụ thể trong giải toán, việc luyện tập cho học sinh nắm vững các khái niệm là điều quan trọng
Các khái niệm thường được định nghĩa theo cấu trúc sau: A(x) đn
⇔ B(x) ∧ C(x)
Trong đó: A(x) là khái niệm được định nghĩa
Muốn nhận dạng khái niệm cần luyện tập cho học sinh vận dụng sơ đồ: B(x) Λ C(x) ⇒ A(x)
Thực hiện theo các bước sau: + Kiểm tra x thỏa mãn tính chất B + Kiểm tra x thỏa mãn tính chất C + Kết luận x thỏa mãn tính chất A
Có thể sử dụng sơ đồ khối để biểu diễn các bước của thuật toán nhận dạng khái niệm có hội hai điều kiện ở trên như sau:
Bắt đầu x thỏa mãn B Đúng Sai Kết luận x không thỏa mãn A x thỏa mãn C Sai Đúng Kết luận x thỏa mãn A Kết thúc Xác định giả thiết
Từ thuật toán và sơ đồ biểu diễn nói trên ta thấy có thể kiểm tra các điều kiện B và C không cần theo thứ tự mà có thể hoán đổi cho nhau. Trường hợp tổng quát, đạc trưng của khái niệm là hội của n điều kiện, định nghĩa có cấu trúc sau: A(x) ⇔đn ⇔ B1(x)∧B2(x)∧…∧Bn(x)
Thuật toán nhận dạng có thể diễn tả bằng sơ đồ sau:
Bắt đầu Bi(x) Đúng Sai i:=i+1 i < n Đúng Sai x∈A Kết thúc x∉A i:=1
Ví dụ: Khi dạy học khái niệm: Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, cần luyện tập cho học sinh các bước nhận biết một đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b hay không.
Bước 1: Kiểm tra đường thẳng d có cắt cả hai đường thẳng a và b hay không?
- Nếu không thì kết luận đường thẳng d không phải là đường vuông góc chung cần tìm.
- Nếu có thì chuyển sang bước 2.
Bước 2: Kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với cả hai đường a và b hay không?
- Nếu không thì kết luận đường thẳng đó không phải là đường vuông góc chung cần tìm.
- Nếu có thì kết luận đường thẳng d là đường vuông góc chung của a và b. Bên cạnh quy trình nhận dạng đã nêu có thể sử dụng sơ đồ khối để biểu diễn quy trình như sau:
Bắt đầu d cắt a, d cắt b Đúng Sai d không là đường vuông góc chung d⊥a, d⊥b Sai Đúng Kết thúc Xác định a, b và d
Sau đó giáo viên cho bài tập để học sinh vận dụng thuật giải trên nhằm rèn luyện khả năng nhận dạng một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau.
Bài tập vận dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = AB và SA⊥(ABCD). Gọi M, N lần lược là trung điểm của SB và SC.
AM có phải là đường vuông góc chung của SB và AD? Vì sao? AN có phải là đường vuông góc chung của SC và AB? Vì sao? MN có phải là đường vuông góc chung của AB và CD? Vì sao?
DA A
B C
S
M N
Bài tập loại này đòi hỏi học sinh thực hiện theo quy trình kiểm tra từng điều kiện để xem điều kiện nào thỏa mãn, điều kiện nào không thỏa mãn từ đó luyện tập cho học sinh kỹ năng vận dụng thuật toán đã có để nhận dạng đối tượng.
+ Kiểm tra AM có phải là đường vuông góc chung của SB và AD không. Bước 1: AM cắt AD tại A và AM cắt SB tại M
Bước 2: AM vuông góc cả AD và SB
Bước 3: AM là đường vuông góc chung của SB và AD. d là đường vuông
+ Kiểm tra AN có phải là đường vuông góc chung của SC và AB không. Bước 1: AN cắt AB tại A và AN cắt SC tại N
Bước 2: AN không vuông góc cả AB
Bước 3: AN không là đường vuông góc chung của SC và AB.
+ Kiểm tra MN có phải là đường vuông góc chung của AB và CD không. Bước 1: MN không cắt AB
Bước 2: MN không phải là đường vuông góc chung của AB và CD
Ví dụ 2: Sau khi dạy định nghĩa hình chóp đều, giáo viên đưa ra thuật toán nhận biết một hình chóp có phải là hình chóp đều hay không.
Bước 1: Đáy của hình chóp có phải là đa giác đều hay không? + Nếu không thì kết luận hình chóp không phải là hình chóp đều. + Nếu có thì chuyển sang bước 2
Bước 2: Chân đường cao của hình chóp có trùng với tâm của đa giác đáy hay không.
+ Nếu không thì kết luận hình chóp không phải là hình chóp đều. + Nếu có thì kết luận hình chóp đã cho là hình chóp đều.
Giáo viên đưa ra các ví dụ và phản ví dụ yêu cầu học sinh dựa vào thuật toán kiểm tra hình chóp nào là hình chóp đều.
1. Tứ diện đều
2. Hình chóp có đáy là hình vuông
3. Hình chóp có đáy là hình chữ nhật và có các cạnh bên bằng nhau. 4. Hình chóp có đáy là hình thoi nội tiếp trong đường tròn
5. Hình chóp có đáy là tam giác cân và hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của tam giác cân đó.