I AB= α Đến đây thì bài toán đã được giải quyết.
c.Thông qua dạy học giải bài tập
Theo G.Polia dạy toán là dạy hoạt động toán học, giải bài tập là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, là phương tiện giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán học ở trường phổ thông, cho học sinh hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức người lao động mới. Giáo viên hệ thống các phương pháp chứng minh các mối quan hệ của các đối tượng trong hình học không gian từ các khái niệm, định lý theo quy trình chỉ rõ các bước thực hiện. Học sinh dựa vào quy trình đã có để tiến hành các hoạt động giải toán có nghĩa là giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện theo thuật toán cho trước để vận dụng vào giải bài tập. Tuy nhiên, một bài toán có thể giải bằng nhiều cách tùy thuộc vào giả thiết. Việc lựa chọn phương pháp ứng với thuật toán phù hợp đã có để thực hiện còn liên quan đến thuật toán tối ưu. Ở phần này chỉ nhấn mạnh ở chỗ khả năng áp dụng thuật toán đã biết để giải bài tập. Ví dụ : Đối với dạng toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Giáo viên có thể đưa ra quy trình xác định như sau :
+ Xác định a’ là hình chiếu của a lên mặt phẳng (P) + Xác định góc giữa a và a’
+ Kết luận : (a,(P)) = (a,a’)
Chẳng hạn: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD.
1. Tính góc giữa SC và (ABCD). 2. Tính góc giữa SA và (SCD)
Đứng trước dạng bài tập này học sinh đã có sẵn thuật toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Học sinh phải biết cách xác định hình chiếu của đường thẳng). Do đó, học sinh chỉ việc thực hiện tuần tự theo quy trình định sẵn sẽ giải quyết được vấn đề, khắc
sâu được tri thức và rèn luyện khả năng thực hiện thuật toán. 1. Tính góc giữa SC và (ABCD).
+ Xác định hình chiếu của SC và (ABCD) Ta có SA⊥(ABCD) ⇒ SA ⊥AC
⇒ AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD) + Tính góc giữa SC và AC
Tam giác SAC vuông tại A, gọi ϕ là góc giữa SC và AC ta có tanϕ = 2 1 = AC SA ⇒ϕ + Kết luận : (SC, ABCD · ( )) = ϕ 2. Tính góc giữa SA và (SCD) + Xác định hình chiếu của SA và (SCD)
Tam giác SAD vuông cân tại A nên AM ⊥SD. Mặt khác, AM⊥CD ⇒
AM ⊥(SCD) ⇒ SM là hình chiếu của SA lên mặt phẳng (SCD) + Tính góc giữa SA và SM
Tam giác SAD vuông cân tại A ⇒ ASD 45· = 0
(·SA,SM)=ASD 45· = 0
+ Kết luận : (·SA, SCD ASD 45( )) = · = 0
Cần chú ý rằng tùy theo giả thiết của bài toán cụ thể mà bước này hay bước kia đã quá rõ ràng, nhưng việc luyện tập cho học sinh ý thức thực hiện theo trình
a a A D B C S M
tự của thuật toán là cần thiết và mang lại hiệu quả. Học sinh có thể vận dụng các quy trình đã được cung cấp để giải quyết các bài tập tại lớp cũng như bài tập về nhà.
2.2.5.3. Rèn luyện cho học sinh phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định
Theo Nguyễn Bá Kim các hoạt động khác nhau thường có mối liên hệ với nhau, hoạt động này có thể là một thành phần của hoạt động kia. Phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần vừa rèn luyện cho học sinh hoạt động toàn bộ vừa luyện tập phân chia những thành phần khó hay thành phần quan trọng khi cần thiết. Rèn luyện phân tích hoạt động là yếu tố quan trọng giúp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.
Ví dụ 1: Hướng dẫn thuật toán nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng giáo viên có thể phân tích hoạt động bằng cách đặt hệ thống câu hỏi để học sinh tìm kiếm như sau:
+ Theo định nghĩa khi nào đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)? + Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ⊂(P), khi đó a có vuông góc với (P) không?
+ Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, c⊂(P), khi đó a có vuông góc với (P) không?
+ Muốn biết đường thẳng a có vuông góc với (P) ta làm như thế nào? Với các câu hỏi gợi ý trên học sinh sẽ hoạt động như: dự đoán, phân tích, … để tìm ra câu trả lời. Qua đó giáo viên rèn luyện cho học sinh phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần theo một trình tự xác định. Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) cần thực hiện theo các bước:
Bước 1: Tìm trong mặt phẳng (P) hai đường thẳng cắt nhau.
Bước 2: Chỉ ra đường thẳng a cùng vuông góc với hai đường thẳng đó. Các bước trên giúp cho học sinh hiểu rõ muốn chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì phải làm như thế nào, thực hiện theo trình tự xác định sẽ cho kết quả.
Ví dụ 2: Để nhận dạng hình chóp là hình chóp đều giáo viên có thể đặt một số câu hỏi như sau:
+ Hình chóp có đáy là đa giác đều có phải là hình chóp đều hay không? + Hình chóp có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy có phải là hình chóp đều hay không?
+ Khi nào hình chóp là hình chóp đều?
+ Muốn kiểm tra hình chóp là hình chóp đều ta cần thực hiện như thế nào?
Qua các câu hỏi trên giúp học sinh nắm vững được khái niệm hình chóp đều và biết phân tích một hoạt động thành các hoạt động thành phần để nhận dạng hình chóp là hình chóp đều. Thực hiện theo các bước: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Kiểm tra đáy của hình chóp có phải là hình chóp đều hay không?
+ Kiểm tra chân đường cao của hình chóp có trùng với tâm của đa giác đáy hay không?
Ví dụ 3: Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. + Điều kiện để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp:
Đa giác đáy nội tiếp được trong đường tròn. + Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Xác định trục của đa giác đáy (Đường đi qua tâm và vuông góc với đa giác đáy).
- Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
- Giao điểm của trục đa giác đáy với mặt phẳng trung trực của một cạnh hình chóp là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
2.2.5.3. Rèn luyện cho học sinh mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động
Để khắc sâu thuật toán đã học cần rèn luyện cho học sinh hoạt động ngôn ngữ mô tả chính xác một quá trình. Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu những quy tắc đã học hoặc đã biết bằng lời lẽ của mình. Giáo viên theo dõi phân tích chính xác, xác định những phát biểu đó.
Chẳng hạn: Giáo viên yêu cầu học sinh nêu các bước xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Mô tả các bước như sau:
+ Tìm hình chiếu a’ của a lên (P) + Xác định góc giữa a và a’
Hoạt động này nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng mô tả chính xác các bước tiến hành thực hiện thuật toán. Giúp rèn luyện kỹ năng phát triển ngôn ngữ toán học như: các ký hiệu toán học, các từ ngữ dùng diễn đạt. Phát triển khả năng vận dụng toán học vào các môn học khác, vào thực tiễn cuộc sống.
Một ví dụ khác: Trong tiết luyện tập có thể xét bài toán sau:
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
(AMN)
Giáo viên yêu cầu học sinh nêu các bước tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp để có thể dựa vào đó mà cả lớp giải được bài toán.
+ Tìm giao điểm của (AMN) với các cạnh của hình chóp (nếu có).
+ Nối các giao điểm tìm được thành các
đoạn giao tuyến lập thành đa giác chính là thiết diện cần tìm. Với cách mô tả trên chỉ còn xác định giao điểm của cạnh SD với (AMN) sẽ xác định được giao tuyến.
2.2.5.4. Rèn luyện cho học sinh khái quát hoá một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng
Ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có thuật toán để giải. Đối với những bài toán ấy giáo viên hướng dẫn học sinh suy nghĩ, định hướng tìm tòi lời giải, khái quát hóa từ các trường hợp riêng dẫn đến phương pháp chung để giải
l A B D C S N M
dạng toán đó. Hoạt động này rèn luyện khả năng khái quát hóa một quá trình trên những đối tượng riêng lẻ thành hoạt động trên một lớp đối tượng.
Chẳng hạn: Sau khi định nghĩa đoạn vuông góc chung, có thể hướng dẫn học sinh tìm cách xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b trong các trường hợp (theo hình vẽ) sau đây: Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Trường hợp 3:
Từ các trường hợp trên có thể khái quát thành quy trình tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b như sau:
+ Xác định mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng a. + Tìm hình chiếu a’ của a lên mặt phẳng (P)
+ Xác định giao điểm của a’ và b ( a’∩b = M) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Dựng đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với (P), ∆∩a = N
+ Đoạn MN là đoạn vuông góc chung của a và b. Một ví dụ khác: Cho hình chóp S.ABCD có
đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạch SA = a
a a A D B C S
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông [6, tr. 21].
Ta dễ dàng chứng minh được các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông. Tuy nhiên có thể hướng học sinh đến vấn đề mở rộng hơn, khái quát hơn như sau: Nếu thay hình vuông ABCD bằng hình chữ nhật hay thay hình vuông bằng tứ giác nào khác thì yêu cầu bài toán có thỏa mãn hay không?
Ta thấy nếu thay hình vuông ABCD bằng hình chữ nhật hay thay hình vuông bằng tứ giác có góc B và D vuông thì kết quả bài toán không thay đổi.
Vì vậy, giáo viên có thể cho bài toán khái quát hơn như sau: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật (hoặc ABCD là tứ giác có góc B và D là hai góc vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
Việc này nhằm mục đích luyện tập khả năng hợp nhất các đối tượng khác nhau thành một nhóm đối tượng theo những thuộc tính chung nào đó. Nếu rèn luyện cho học sinh khả năng khái quát hóa có hiệu quả giúp học sinh nhìn nhận bài toán một cách khái quát hơn, toàn diện hơn, dễ dàng nhận thấy các mối liên hệ chung giữa các đối tượng, là yếu tố góp phần phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.
2.2.5.5. Rèn luyện cho học sinh so sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện thuật toán tối ưu
Mỗi bài toán có thể có nhiều hướng giải. Cần rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng so sách những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc từ đó chọn lựa phương pháp thích hợp để áp dụng và phát hiện thuật toán tối ưu. Đây cũng là một yếu tố của tư duy thuật toán, một trong những nét đặc trưng của sự làm việc với máy tính điện tử.
a, Luyện tập phân tích dữ kiện bài toán
Đứng trước bài toán hình học không gian, học sinh thường không định hướng được cách giải quyết do không nắm vững các quy tắc, các mối liên hệ trong không gian. Vì vậy việc cho học sinh phân tích đề bài khi giải toán là điều
cần thiết, nó giúp định hướng được sẽ sử dụng cách nào, phương pháp nào phù hợp với điều kiện.
Chẳng hạn: Đối với bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi M là trung điểm SB. Chứng minh rằng: (AMC)⊥(SBC).
Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình và trả lời các câu hỏi: + Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc nhau ta làm thế nào? + Dữ kiện đề bài cho có cái gì và còn cần tìm cái gi?
+ Cần sử dụng kiến thức liên quan nào?
Các câu hỏi trên nhằm mục đích gợi ý cho học sinh tìm ra cách thức giải quyết bài toán, với dữ kiện như thế sẽ phù hợp với phương pháp nào?
Hình vẽ:
+ Tìm trong mặt phẳng này một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Chứng minh (AMC) ⊃AM ⊥ (SBC) + Nắm được cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Ta có tam giác SAB vuông cân tại A nên AM ⊥SB
Mặt khác, BC ⊥ (SAB) ⇒ AM⊥BC ⇒
AM ⊥(SBC) ⇒ (AMC)⊥(SBC).