Phương pháp thiết diện cũng là phương pháp tốt để rèn luyện năng lực tưởng tượng không gian cho học sinh. Cơ sở lý luận của phương pháp này cũng quen thuộc: muốn “thấy rõ” một vật, có một cách là hãy “mổ xẻ” nó. Thiết diện có được bằng cách cho mặt phẳng cắt biến thiên, lúc đó học sinh hình dung ra các vị trí của thiết diện – năng lực tưởng tượng không gian của các em được nâng cao.
Trong dạy học người giáo viên cần làm rõ những ứng dụng của các kiến thức đi kèm với nó là những ví dụ cụ thể sinh động để học sinh nhận ra các ứng dụng.
Phép chiếu song song:
Phép chiếu song song ứng dụng chủ yếu của nó để chứng minh các bất biến, cụ thể là các bất biến sau:
Ba điểm thẳng hàng (không thuộc đường thẳng song song với phương chiếu).
Đường thẳng, đoạn thẳng, tia, tam giác, tứ giác, …
Tỉ số của hai đoạn cùng phương.
Hai đường thẳng song song (không thuộc mp song song với phương chiếu).
Hình bình hành.
Độ dài đoạn thẳng song song với mặt phẳng chiếu.
Diện tích các hình đa giác.
Phép chiếu vuông góc có các bất biến: Góc vuông biến thành góc vuông khi và chỉ khi có một cạnh song song với mặt phẳng chiếu hoặc thuộc mặt phẳng chiếu và cạnh kia không vuông góc với mặt phẳng chiếu.
Bài toán: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau a, b, c. Dựng đường thẳng ∆ cắt a, b, c lần lượt tại A, B, C sao cho BA k
BC = ( k > 0 cho trước )
Giải: Lấy ba điểm I, J, K trên a, b, c sao cho I, J, K xác định một mặt phẳng (P). Thực hiện phép chiếu song song theo phương b lên mặt phẳng (P). Khi đó ảnh của đường thẳng a là đường thẳng a’, ảnh của đường thẳng b là đường thẳng b’, ảnh của đường thẳng c là đường thẳng c’. Khi đó ta có bài toán phẳng: “Cho hai đường thẳng cắt nhau a’ và c’, một điểm J nằm trong mặt phẳng (J ∉ a’, J ∉ c’). Dựng đường thẳng d đi qua J cắt a’ tại A’ và cắt
c’ tại C’ sao cho '
'JA JA k JC = (k > 0)”. Xét phép vị tự V( ,J−k): V( ,J−k): c'a c'' Hình 44
Khi đó A’ là giao của a’ và c’’, C’
là giao của đường thẳng JA’ và đường
thẳng c’. Đường thẳng d là đường thẳng A’C’. Khi đó mặt phẳng tạo bởi đường thẳng
d và đường thẳng b cắt a và c tại A và C, nối A và C cắt b tại B đó chính là đường thẳng ∆ phải tìm.
Thiết lập mối quan hệ, các bài toán, các kiến thức giữa hình học phẳng và HHKG
Học sinh đã tiếp xúc với hình học từ rất sớm, đó là Hình học phẳng. Ở học kì II năm lớp 9, các em bắt đầu làm quen với Hình học không gian. Riêng lớp 11, các em chính thức tiếp xúc Hình học không gian. Kiến thức Hình học phẳng và Hình học không gian rất tương đồng nếu nhận ra hình học phẳng là một phần của hình học không gian khi mà các đối tượng được xét nằm trên cùng một mặt phẳng. Nhưng mặt khác, giữa chúng cũng chứa đựng rất nhiều sự khác biệt với nhau. Học sinh khó có thể phân biệt rạch ròi mọi cái mà ngược lại rất dễ lẫn lộn. Làm rõ mối quan hệ của Hình học phẳng với Hình học không gian là điều quan trọng trong dạy học hình học.
Trong dạy học Hình học không gian giáo viên cần thực hiện các vấn đề khi nói về mối quan hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian:
Làm rõ sự tương đồng, sự giống nhau và sự khác nhau giữa Hình học phẳng và HHKG.
Trong Hình học phẳng và HHKG có rất nhiều sự tương đồng nhưng có nhiều sự khác biệt. Trong QTDH, GV cần chỉ ra cho HS những điều còn đúng, những sự tương đồng, và những quan niệm không còn đúng.
Sự giống nhau:
Qua một điểm A cho trước nằm ngoài đường thẳng a có một và chỉ một đường thẳng song song với a.
Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Đường thẳng a song song với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c.
Sự tương đồng:
Hình học phẳng Hình học không gian
Mặt phẳng Không gian
Tam giác Tứ diện
Đường thẳng Mặt phẳng
Đường tròn Mặt cầu
Hình bình hành Hình hộp
Hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật
Hình vuông Hình lập phương
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau Hai đường thẳng cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song với nhau
Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau Qua một điểm A không thuộc đường
thẳng a có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với a
Qua một điểm A không thuộc đường thẳng a có một và chỉ một mặt phẳng vuông góc với a
Qua một điểm A không thuộc đường thẳng a có một và chỉ một đường thẳng song song với a
Qua một điểm A không thuộc mp( )α có một và chỉ một mp song song với
( )α
Những quan niệm không còn đúng trong Hình học không gian nữa:
Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song.
Qua một điểm A không thuộc đường thẳng a có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với a.
Thực hiện việc chuyển bài toán HHKG về các bài toán Hình học phẳng.
Chúng ta có thể chuyển các bài toán không gian về các bài toán phẳng nhờ:
Chuyển các yếu tố cần chứng minh về cùng một mặt phẳng, sau đó tách bộ phận đó ra khỏi hình không gian để có được những bài toán phẳng.
Chuyển các bài toán HHKG về các bài toán phẳng nhờ hoạt động tương tự hóa, nhờ sử dụng các tính chất bất biến của phép chiếu song song đặc biệt là phép chiếu vuông góc.
Bài toán: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, CD và O là trung điểm đoạn MN. Chứng minh rằng đường thẳng OA đi qua trọng tâm G của tam giác BCD.
Giải: Ta nhận thấy giao điểm G của đường thẳng OA với mặt phẳng (BCD) là giao của OA với giao tuyến BN của (AMN) và (BCD). Việc chứng minh G là trọng tâm của tam giác BCD quy về chứng minh 1 (1)
2
GN = GB
Việc chứng minh (1) được tiến hành nhờ tách bộ phận phẳng (ABN) ra ngoài. Từ đó dẫn tới bài toán phẳng: “Cho tam giác ABN. Gọi M là trung điểm
Hình 45b Hình 45a
cạnh AB; O là trung điểm đoạn MN. Đường thẳng OA cắt BN tại G. Chứng minh
rằng 1 .
2
GN = GB
Vẽ MK song song AG. Khi đó MK là đường trung bình của tam giác
ABG. Do đó: BK = KG (2). Tương tự, ta có OG là đường trung bình của tam giác
MNK
suy ra KG = GN (3).Từ (2) và (3) suy ra BK = KG = GN suy ra 1 . 2
GN = GB
Tập luyện cho học sinh xây dựng các bài toán HHKG cũng như cách giải xuất phát từ những bài toán Hình học phẳng.
Ta biết HHKG và Hình học phẳng có rất nhiều bài toán tương tự nhau, nhiều bài toán HHKG là sự khái quát Hình học phẳng.
Ví dụ: Trong HHKG và hình học phẳng ta có nhiều bài toán tương tự nhau như:
Trong mặt phẳng ta có bài toán: “Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng ba điểm O, G, H thuộc một đường thẳng. Trong không gian ta có bài toán: “Cho tứ diện ABCD. Gọi O, G, H lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tứ diện. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.
Trong mặt phẳng có bài toán: “Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh
BC=a, AB=c, AC=b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng aIA bIB cICuur+ uur+ uur r=0. Trong Hình học không gian ta có bài toán: “Cho tứ diện ABCD có diện tích các bạn là S∆BCD =S S1, ∆ACD =S S2; ∆ABD =S S3; ∆ABC =S4. Gọi
I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng:
1 2 3 4 0