GH⊥B1D vì B1D ⊥ (A1B1C1). Như thế GH là đường vuông góc chung của A1B và B1D nên nó chính là khoảng cách giữa A1B và B1D.
Ta có : 1 1 1 2. 3 6 ( 1 , 1 ) 6
3 3 6 6 6
a a a
GH = C H = = ⇒d A B B D =
Qua bài toán trên ta thấy giữa mò mẫm, dự đoán, phân tích, tổng hợp như là trong một quá trình vận động thống nhất. Đây là quá trình từ trực quan, hình tượng cụ thể mò mẫm, dự đoán rồi dùng phương pháp tương thích phân
tích, tổng hợp để kiểm tra lại tính đúng đắn của dự đoán đó. Đây cũng là nội dung cốt lõi của biện pháp thứ tư của luận văn.
Để thực hiện biện pháp này có hiệu quả, như biện pháp thứ nhất của luận văn đã phân tích: yêu cầu cơ bản là HS phải nắm vững hiểu thấu các kiến thức cơ bản như khái niệm, định lý, quy tắc, công thức, suy luận lôgic. Một yêu cầu quan trọng nữa đối với HS là phải thực hành và vận dụng kiến thức thường xuyên. Nếu là nhiều bài tập thì kiến thức thường xuyên được huy động, do đó được củng cố ngày càng vững chắc; đồng thời luyện tập thực hành giải bài tập thường xuyên sẽ làm cho trí óc HS nhạy cảm hơn, mềm dẻo linh hoạt hơn trong giải toán cũng như việc sẽ ứng xử với những bài toán phức tạp hơn. Không bao giờ có được một quy trình hay thuật toán cho mò mẫm và dự đoán. Việc mò mẫm và dự đoán sẽ có tính nhạy cảm, linh hoạt và có hướng đích đúng đắn hơn khi HS thực sự được trải nghiệm trong cuộc sống, mà trước hết là việc say mê trong giải bài tập toán khi còn đi học.
Đối với GV, phải dày công nghiên cứu, chọn lọc được một hệ thống bài tập về HHKG đa dạng, đào sâu được từng khía cạnh của kiến thức để cho HS thực hành rèn luyện, thì hệ thống những bài tập ấy sẽ đòi hỏi HS phải rèn luyện cho mình một phong cách suy nghĩ sâu sắc. Hệ thống bài tập ấy cũng đòi hỏi học sinh phải tập luyện huy động kiến thức đã học một cách triệt để và nhờ đó mà HS sẽ dần dần hình thành được kỹ năng huy động kiến thức.
Học sinh THPT đang lứa tuổi thanh niên tràn đầy nhiệt huyết, hoài bão, có sức sống mãnh liệt, nhiều sáng tạo. Nhưng bên cạnh đó, cũng có nhiều HS có tính “dễ làm khó thì bỏ”, ngại suy nghĩ lâu, các em thường chóng chán nản khi suy nghĩ mà không tìm được cách giải. Có những HS thích được điểm cao, thầy ra bài tập dễ làm thì cho là thầy dạy dễ hiểu. Đó là những hạn chế có ảnh hưởng đến phát triển tư duy của các em. Vì thế, GV cần coi trọng việc rèn luyện đức tính kiên trì trong suy nghĩ, có PPDH thích hợp làm cho HS biết cách suy nghĩ, suy nghĩ đến cùng. GV nên cho HS tiếp cận “những quy tắc ưu
tiên khi tư duy” do Polya đúc kết và luôn luôn cho HS có thói quen rèn luyện theo những quy tắc đó là:
“Cái dễ đi trước cái khó. Khâu nào dễ của vấn đề ta giải quyết trước; kiến thức nào dễ vận dụng ta dùng trước. Rất có thể từ chỗ giải quyết xong những khâu dễ ta lại có được những gợi ý để giải quyết những khâu khó hơn.
Cái quen biết đi trước cái xa lạ
Cái toàn bộ đi trước cái bộ phận. Khi nghiên cứu cách giải quyết một vấn đề ta cần nghiên cứu nó một cách tổng thể trước, không để những chi tiết là ta phân tán sự tập trung vào mục đích của vấn đề. Sau khi đã thấu hiểu vấn đề, ta sẽ suy nghĩ về các chi tiết để sắp đặt một trình tự nghiên cứu chúng, tìm hiểu vai trò của mỗi chi tiết đối với vấn đề đặt ra” [dẫn theo Nguyễn Duy Thuận].
Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng:
Đây là một trong những dạng toán hay gặp nhất trong chuyên mục các bài toán về “quan hệ vuông góc”
Để giải dạng toán này phương pháp chính được sử dụng là: “Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với đường thẳng ∆ ta thường chứng minh d vuông góc với mặt phẳng (Q) chứa ∆”
Dĩ nhiên để làm được điều này ta phải biết được:
+ Nếu a⊥( )P thì a vuông góc với mọi đường trong (P)
+ Để a⊥( )P chỉ cần a vuông góc với hai đường thẳng giao nhau
trong (P).
Ví dụ 1: (ĐH Khối B - 2002): Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Chứng minh:
'
MP C N⊥ .
Giải: Gọi E là trung điểm CC’.Ta có: ME// A’D’, MP⊂(MED A' ') (1)
Hai tam giác vuông C’CN và D’C’E bằng nhau
⇒CNC· '=C ED· ' '=CC N C NC· ' +· ' =900⇒ C’N⊥ED’ (2) ⇒ C’N⊥ED’ (2)
Do ME // BC⇒ ME⊥(CDD’C’)⇒ ME⊥ED’ (3) Từ (2) và (3) ⇒ C’N⊥(MED’A’) ⇒ C’N⊥ MP
2.2.5. Biện pháp 5: Tập luyện cho học sinh biết vận dụng các thao tác:Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự. Đồng thời, tập luyện cho học sinh Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự. Đồng thời, tập luyện cho học sinh khả năng mở rộng, trau dồi kiến thức, ứng dụng vào thực tế
Đã có nhiều nhà Giáo dục học, nhà Sư phạm kể cả nhiều giáo viên các cấp đều nói về khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự.
Polya viết: Bản thân sự kiện KQH, ĐBH, TT là những nguồn gốc vĩ đại của sự phát minh. Còn từ góc độ nghiên cứu thì năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng là một thành phần cốt lõi của cấu trúc Toán học. Mặt khác, khái quát hóa có quan hệ hữu cơ với những thao tác tư duy khác và có liên hệ mật thiết với đặc biệt hóa và tương tự [13].
Nguyễn Bá Kim đã chỉ rõ: “Một hoạt động quan trọng là cần rèn luyện cho học sinh trong dạy học khái niệm là khái quát hóa,… Ngược lại với hoạt động này là đặc biệt hóa” [22, tr.189].
KQH, ĐBH, TT trở thành công cụ đắc lực để giải quyết vấn đề một cách sáng tạo và có thể là sẽ không có một phát minh nào trong toán học, thậm chí trong bất cứ lĩnh vực nào nếu con người không dùng đến những thao tác tư duy KQH, ĐBH, TT.
Cũng cần chú ý rằng, so sánh tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, … không những là phương tiện để tiến hành hoạt động nhận thức, giải quyết vấn đề mà còn là những tri thức phương pháp cần rèn luyện cho học sinh (mang tính mục đích của dạy học Toán). Tuy nhiên, ở nhà trường phổ thông, chúng ta không có điều kiện và không nên dạy tường minh một cách độc lập và chuyên biệt các thao tác tư duy này. Do đó, cần phải phối hợp giữa hai chức năng này bằng cách “Thực hiện chức năng mục đích của hoạt động trong quá trình thực hiện chức năng phương tiện” [20, tr.79], tức là thông qua
các tình huống dạy học Toán mà rèn luyện các thao tác đó cho học sinh trong và đồng thời với hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề.
Để phát triển cho HS tính nhạy cảm vấn đề và tính độc đáo của tư duy sáng tạo, giáo viên tập cho HS sử dụng các thao tác tư duy: đặc biệt hóa, tương tự, khái quát hóa. Vậy việc sáng tác bài tập dựa vào đâu. Một trong những cách làm đó là tìm những hình thức khác nhau để diễn tả cùng một nội dung rồi lấy một hình thức nào đó phù hợp với trình độ học sinh mà mình đang giảng dạy.
Đặc biệt hóa
Theo G.Polya: “ĐBH là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” [13].
Đặc biệt hóa có vai trò rất quan trọng trong khi giải toán cũng như trong khai thác và phát triển bài toán. Khi cho một bài toán tổng quát, nếu ta thay giá trị tổng quát của bài toán đó bởi các giá trị đặc biệt thì ta có một lớp các bài toán mới có liên quan đến bài toán ban đầu – tổng quát.
Ví dụ: Xét mệnh đề: “Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba song song với nhau”.
Để chỉ ra mệnh đề trên là sai ta xét hình lập phương ABCD.A1B1C1D1
Ta xét các cặp cạnh AA1 và BChay cặp cạnh BD và C D1 1 ta nhận thấy:
+ AA1 và BC cùng vuông góc với AB
nhưng chúng không song song với nhau. + BD và C D1 1 cùng vuông góc với 1
DD nhưng chúng không song song với nhau.
Trong toán học không ít những bài toán mà khi giải nó chúng ta đưa về giải quyết bài toán đó lại phải nhờ vào việc xét và giải những trường hợp đặc biệt.
Bài toán: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song. Đường thẳng a cắt (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C; đường thẳng b cắt (P), (Q), (R) lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh ' '
' '
AB A B
BC = B C (ĐL Talet trong không gian). Hình 39
Bài toán này nếu chứng minh nó luôn trong trường hợp tổng quát là rất khó cho HS. Nhưng nếu học sinh biết nhìn nhận sẽ thử bài toán với trường hợp đặc biệt trước như a, b song song; a, b trùng nhau hay a vuông góc với b
thì việc chứng minh bài toán thực hiện thật đơn giản.
Trường hợp 1: Nếu a b// Khi đó ta có 4 điểm A, B, A’, B’ đồng phẳng và
AB// A’B’. Gọi ( )α ≡ mp(a,b) thì( )α cắt hai mp (P), (Q) theo giao tuyến AA’, BB’ suy ra AA’//BB’. Vậy AA B B' ' là hình bình hành suy ra AB =A’B’. Tương tự ta có:
BC=B’C’. Vậy ' '
' '
AB A BBC = B C BC = B C
Trường hợp 2: Nếu a và b không song song.
Từ A’ kẻ đường thẳng a’//a. a’ cắt (Q) và (R) tại B’’, C’’. Ta có AB =
A’B’’, BC = B’’C’’. Vì (Q)//(R) nên B’B’’//C’C’’ ⇒ ∆A’B’B’’ và ∆A’C’C’’ đồng dạng.⇒ B CA B'' ''' '' = B CA B' '' '= BCAB. Vậy: ' ' ' ' AB A B BC = B C Hình 40a Hình 40b