Khái quát hóa

“Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng này sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” [22].

Một trong những hoạt động trí tuệ quan trọng cần bồi dưỡng cho học sinh là khái quát hóa. Trong nhiều trường hợp cụ thể, việc khái quát hóa một bài toán góp phần bồi dưỡng năng lực trí tuệ. Thông thường việc khái quát

hóa chỉ là mở rộng bài toán đó, nhưng không phải khi nào cũng như vậy, nhiều khi phát biểu lại dưới dạng tổng quát cho ta khả năng hiểu và khả năng tìm đường để giải dễ hơn. Trừu tượng hóa và khái quát hóa là đặc trưng của cơ bản của toán học hiện đại.

Khả năng khái quát Toán học là một khả năng khái quát đặc biệt. Nó chủ yếu là để chỉ khả năng khái quát các tài liệu về Toán học, các quan hệ số lượng, quan hệ hình vẽ không gian và khả năng tính toán, khả năng khái quát các loại vấn đề và phương pháp giải bài toán.

Trong dạy học khai thác và phát triển bài toán thì biện pháp khái quát hóa nó có hướng đi ngược lại với biện pháp đặc biệt hóa là từ một bài toán tổng quát nếu ta đem đặc biệt hoá một đối tượng toán học nào đó thì sẽ cho ta các bài toán mới, còn khái quát hoá là ta bắt đầu từ một bài toán hay một công thức ta tổng quát một đối tượng toán học nào đó thì ta sẽ có các bài toán mới.

Ta thường khái quát một bài toán theo các mặt sau:

 Khái quát đặc điểm, quan hệ toán học: Việc khái quát theo đặc điểm, quan hệ toán học sẽ giúp học sinh tránh được việc chỉ giải được một loại đề quen thuộc, không biết biến hóa liên thông. Khi biết khái quát hoá như vậy học sinh sẽ gặp thuận lợi với những bài toán có hướng biến đổi khác đi – từ đó qua quá trình biến đổi sẽ phát hiện ra các bài toán mới.

 Khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải: Khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng, song quan trọng hơn là sự khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải. Trong quá trình dạy học, giáo viên không thể dạy cho học sinh giải tất cả các dạng toán có trong chương trình. Do vậy, việc khái quát hướng suy nghĩ là việc làm cần thiết .

 Sự thực thì khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loạt vấn đề nào đó. Do đó, hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó. Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì, thì có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra. Nhà toán

học Decartes nói rất đúng rằng: “Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác”. Do đó, sau khi giải một bài toán nên chú ý khái quát hướng suy nghĩ và cách giải.

Khái quát đối với đặc điểm vấn đề và khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập có liên quan với nhau. Do đó, cần phải nắm được hai loại khái quát này.

Ví dụ: Xét hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 BD =BD +DD =AB +AD +AA 2 2 2 2 2 2 1 1 1 DB =BD +BB =AB +AD +AA 2 2 2 2 2 2 1 1 1 AC =AC +CC = AB +AD +AA 2 2 2 2 2 2 1 1 1 CA = AC +AA = AB +AD +AA Từ đó suy ra: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 BD +DB +AC +CA = AB +AD +AA Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 BD =BD +DD =AB +AD +AA 2 2 2 2 2 2 1 1 1 DB =BD +BB =AB +AD +AA 2 2 2 2 2 2 1 1 1 AC =AC +CC = AB +AD +AA 2 2 2 2 2 2 1 1 1 CA = AC +AA = AB +AD +AA Từ đó suy ra: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 BD +DB +AC +CA = AB +AD +AA

Từ đó có thể phát biểu bài toán tổng quát là: Cho hình hộp

ABCD.A1B1C1D1 ta luôn có: 2 2 2 2 ( 2 2 2)

1 1 1 1 4 1

BD +DB +AC +CA = AB +AD +AA

Bài toán có được là nhờ khái quát hóa từ các trường hợp đặc biệt. Rất nhiều bài toán tổng quát đã được tìm ra thông qua con đường khái quát hóa từ những trường hợp riêng lẻ.

c. Tương tự

Theo Từ điển tiếng Việt, tương tự có nghĩa là: “hơi giống nhau”.

Hình 41

Theo G.Polya: “Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn một chút” [13].

Trong Toán học, người ta thường xét vấn đề tương tự trên các khía cạnh sau:

 Chúng có đường lối giải, phương pháp giải giống nhau.

 Nội dung của chúng có những điểm giống nhau, có giả thiết hoặc kết luận giống nhau.

 Chúng đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau.

Vai trò của tương tự trong nghiên cứu khoa học đã đưa G.Polia nhận định: "Phép tương tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh" [13].Trong quá trình nghiên cứu khoa học; nhiều khi ý tưởng, giả thuyết có được nhờ sự tương tự với một kết quả đã được công nhận trước đó. Việc sử dụng bài toán tương tự nhằm tạo ra cái “bẫy” học sinh dễ mắc phải nếu không biết di chuyển các hoạt động trí tuệ một cách linh hoạt, không khắc phục được cách suy nghĩ máy móc, rập khuôn. Do đó đối với học sinh, tương tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo của người học. Để giải một bài toán, chúng ta thường nghĩ về một bài toán tương tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy. Sau đó, để giải bài toán ban đầu, ta lại dùng bài toán tương tự dễ hơn đó làm mô hình.

Ví dụ: Trong HHKG và hình học phẳng ta có nhiều bài toán tương tự nhau như:

− Trong mặt phẳng ta có bài toán: “Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng ba điểm O, G, H thẳng hàng”. Trong không gian ta có bài toán: “Cho tứ diện trực tâm ABCD. Gọi O, G, H lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tứ diện. Chứng minh O, G, H thẳng hàng”.

− Trong mặt phẳng có bài toán: “Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là BC=a, AB=c, AC=b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: aIA bIB cICuur+ uur+ uur r=0”.

− Trong hình học không gian ta có bài toán: “Cho tứ diện ABCD có diện tích các mặt là S∆BCD =S1, S∆ACD =S2, S∆ABD =S3, S∆ABC =S4. Gọi I là tâm mặt

cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng: S IA S IB S IC S ID1uur+ 2uur+ 3uur+ 4uur r=0”. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Từ một công thức, một bài toán, dựa vào KQH, ĐBH, tương tự và một số kiến thức chuẩn, ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán mới. Do đó, khi dạy giải bài tập cho HS, GV cần thiết kế được một hệ thống các bài tập liên quan phù hợp với trình độ của HS; tập luyện cho HS sáng tạo ra các bài toán mới từ những bài toán và kiến thức đã biết, từ đó góp phần nâng cao chất lượng học tập của HS.

Đối với GV: Nếu thường xuyên sử dụng các thao tác ĐBH, KQH, TT thì GV có thể sáng tạo ra các bài toán mới từ các bài toán đã có. Trong quá trình giảng dạy GV cần nâng cao tính tích cực chủ động sáng tạo của HS, rèn luyện cho HS có khả năng phát hiện những bài toán mới từ các bài toán đã có. Cần khơi dậy và phát triển tiềm năng sáng tạo còn ẩn chứa trong mỗi HS, tránh tình trạng biến HS thành những người thợ giải toán giỏi mà có rất ít tư duy sáng tạo. Làm cho HS thấy được không phải những kĩ thuật lắt léo là nét đẹp của Toán học mà chính những ý tưởng đơn giản, mối liên hệ chặt chẽ của nhiều đối tượng Toán học, sự phong phú về mặt kiến thức mới là nét đẹp của toán học.

Đối với học sinh: Các em phải tránh sự máy móc, rập khuôn trong học tập, không biến mình thành thợ giải toán. Trong quá trình học tập ngoài sự tích luỹ về kiến thức cần phải có sự tích lũy về cách học và phương pháp học. Đứng trước một bài toán ngoài việc quan tâm tìm lời giải của nó người học cần phải biết tìm tòi khai thác những điều mới mẻ tiềm ẩn ở bên trong nội dung của nó. Không nên bỏ qua những ý tưởng đơn giản bởi vì bản thân

chúng có thể chứa đựng nhiều thông tin mới mẻ chưa được khám phá. Nhờ vào quá trình mò mẫm sáng tạo ra các bài toán mới sẽ giúp người học có sự hiểu sâu sắc về kiến thức và nhạy bén trong tư duy.

2.2.4.2. Rèn luyện cho học sinh khả năng ứng dụng dạy học vào thực tế

Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn. Số học ra đời trước hết là do nhu cầu đếm. Hình học phát sinh do sự cần thiết phải đo lại ruộng đất bên bờ sông Nin (Ai Cập) sau những trận lụt hàng năm.

Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Chẳng hạn, những tri thức về tương quan tỉ lệ thuận biểu thị bởi công thức y kx= chúng ta cũng thấy nó được ứng dụng như:

 Diện tích S của một tam giác với một cạnh a cho trước tỉ lệ thuận với đường cao h ứng với cạnh đó;

 Quãng đường S đi được trong một chuyển động đều với vận tốc v cho trước tỉ lệ thuận với thời gian t;

Do đó việc dạy học gắn liền với thực tế là một trong những yêu cầu cơ bản của quá trình dạy học.

Mục lục