Đang tải... (xem toàn văn)
IV- Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.. Vì đẳng th[r]
(1)1 Chuyên đề : Đa thức Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a A = x 17 x 17 x 17 x 20 taïi x = 16 b B = x 15 x 16 x 29 x 13 x taïi x = 14 14 13 12 11 c C = x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 taïi x = 15 14 13 12 d D = x 8x x 8x x x taïi x = Bài 2: Tính giá trị biểu thức: 1 650 4 a M = 315 651 105 651 315.651 105 546 b N = 547 211 547 211 547.211 Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a A = x3 x y2 y2 x y3 với x = 2; y 1 2 x 2 b M.N với Bieát raèng:M = x 3x ; N = x x Bài 4: Tính giá trị đa thức, biết x = y + 5: a x x y y xy 65 x y y x 75 b Bài 5: Tính giá trị đa thức: x y y xy 1 x y bieát x+ y = -p, xy = q Bài 6: Chứng minh đẳng thức: x a x b x b x c x c x a ab bc ca x a ; bieát raèng 2x =a+b+c 2bc b c a 4 p p a b ; bieát raèng a + b + c = 2p Baøi 7: a Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số Chứng minh ab – chia heát cho b Cho số tự nhiên a và b đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số Hoûi tích ab coù chia heát cho khoâng? Vì sao? Bài 8: Cho a + b + c = Chứng minh M = N = P với: M a a b a c ; N b b c b a ; P c c a c b x a x b x b x c x c x a x2 Bài 9: Cho biểu thức: M = 1 x a b c 2 Tính M theo a, b, c, bieát raèng Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y Chứng minh raèng neáu x, y laø caùc soá nguyeân vaø A chia heát cho 13 thì B chia heát cho 13 Ngược lại B chia hết cho 13 thì A chia hết cho 13 Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y (2) a Rút gọn biểu thức 7A – 2B b Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia heát cho 17 thì 9x + 7y cuõng chia heát cho 17 Bài 12: Chứng minh rằng: 13 a 81 27 chia heát cho 405 n 1 n 2 b 12 11 chia heát cho 133 n n 1 Baøi 13: Cho daõy soá 1, 3, , 10, 15,…, ,… Chứng minh tổng hai số hạng liên tiếp dãy là soá chính phöông Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên I Một số đẳng thức (a b)2 = a2 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a + + a n )2 = 2 = a1 a a n 2(a1a a1a a1a n a 2a a 2a n a n 1a n ) ; (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 = a3 b3 3ab(a b); (a b)4 = a4 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; 2k + a + b2k + = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – – ab2k – + 2k b ); II B¶ng c¸c hÖ sè khai triÓn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal §Ønh Dßng (n = 1) 1 Dßng (n = 2) Dßng (n = 3) 3 Dßng (n = 4) Dßng (n = 5) 10 10 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số ; dòng k + đợc thành lập tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng ta cã = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, …Khai triÓn (x + y)n thµnh tæng th× c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö lµ c¸c sè dßng thø n cña bảng trên Ngời ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng n kh«ng qu¸ lín Ch¼ng h¹n, víi n = th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II C¸c vÝ dô VÝ dô §¬n gi¶n biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3 (3) Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ Chứng minh các đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i 3 3 a) a + b + c – 3abc = (a + b) + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = nªn x + y = –z (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z) T¬ng tù : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z (z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) Bµi tËp: Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 2 Cho a – b = 4c Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2 Chøng minh r»ng nÕu: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z (4) a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c th× a b = x y b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 a b c = = x y z vµ x, y, z kh¸c th× Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) Chứng minh các đằng thức sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 10 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945 11 Hai sè a, b lÇn lît tháa m·n c¸c hÖ thøc sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh : D = a + b 12 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2 13 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử I- Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a, x x d, x 13 x 36 b, 3x x e, x x 18 c, x x f, x x 24 g , 3x 16 x h, 8x 30 x i, 2x x 12 k, 6x x 20 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: (5) 1, x3 x x 2, x x 3, x x x 4, x x 5, x3 x x 16 6, 4x3 13 x x 18 7, x x x 8, x x x 9, 6x3 x 486 x 81 10, x x 11, x x 12, x x x 13, x x 17 x 10 14, x x x 15, x x 16, 2x 12 x 17 x 17, x3 x 18, x x x 19, x x 26 x 24 20, 2x3 x x 21, 3x 14 x x 22, x x x x (Đa thức đã cho có nhiệm nguyên nghiệm hữu tỉ) II- Ph¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tö 1) Dạng 1: Thêm bớt cùng hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu cña hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: (6) 1, (1 x ) x(1 x ) 2, x 36 3, x 4, x 64 5, 64x 1 6, 81x 7, 4x 81 8, 64x y 9, x y 10, x x 1 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, x x 2, x x5 3, x5 x 1 4, x5 x 5, x8 x 6, x x 7, x x 8, x10 x5 III- Phơng pháp đổi biến Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x( x 4)( x 6)( x 10) 128 2, (x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 24 3, ( x x 8)2 x( x x 8) x 4, ( x x) x x 12 5, x xy y x y 15 6, (x a)( x 2a)( x 3a)( x a) a 7, x 11x 8, ( x x)2 3( x x) 9, x xy y x y 10 10, ( x x) x 18 x 20 11, x xy y x y 35 12, (x 2)( x 4)( x 6)( x 8) 16 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö (7) 1, x x x x 2, ( x y z )( x y z ) ( xy yz zx) IV- Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a, P = x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) b, Q =a(b c a)2 b(c a b)2 c(a b c)2 (a b c) (b c a)(c a b) Gi¶i 2 a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = y ( y z ) y ( z y ) 0 Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh các biến x, y, z) Do đó P đã chúa thïa sè x – y th× còng chóa thõa sè y – z, z – x VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P có bậc tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức x ( y z ) y ( z x) z ( x y) k ( x y)( y z )( z x) đúng với x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta đợc k = -1 VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) C¸c bµi to¸n Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: M a(b c a ) b(c a b) c (a b c) (a b c )(b c a )(c a b) N a(m a)2 b(m b) c(m c) abc , víi 2m = a+ b + c Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A (a b c)(ab bc ca ) abc b) B a (a 2b)3 b(2a b)3 c)C ab(a b) bc(b c) ac(a c) d ) D (a b)(a b ) (b c )(b c ) (c a )(c a ) e) E a (c b ) b3 (a c ) c3 (b a ) abc(abc 1) f ) f a (b c )3 b(c a )3 c (a b)3 g )G a 2b (a b) b c (b c) a c (c a) h) H a (b c ) b (c a ) c (a b) (8) V-Phong pháp hệ số bất định Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A x x 12 x 14 x b) B 4 x x x x c )C 3x 22 xy 11x 37 y y 10 d ) D x x 14 x x e) E x 8x 63 Bµi tËp: VÝ dô Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP V× vËy : A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) 2 = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) 2 = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + ; h) x12 + ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 Chuyên đề: Xác định đa thức * §Þnh lÝ Beout (BªZu) vµ øng dông: 1) §Þnh lÝ BªZu: D phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x = a): f ( x)=(x − a) q(x )+ f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p) HÖ qu¶: NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thùc hiÖn nh sau: Bớc 1: Chọn giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm cña f(x) kh«ng Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f (x)=(x − a) p(x ) §Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử còn phân tích đợc Sau đó viết kết cuối cùng cho hợp lí (9) Dạng 1: Tìm đa thức thơng phơng pháp đồng hệ số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp giá trị riêng , thực phép chia đa thức *Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây : NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng VÝ dô: P(x)=ax 2+2 bx −3 ; Q(x)=x2 − x − p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2) 2b = - (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1) - = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do) *Ph¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x) Gäi th¬ng vµ d phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn lît lµ M(x) vµ N(x) Khi đó ta có: P( x)=Q(x) M (x )+ N (x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vì đẳng thức (I) đúng với x nên ta cho x lấy giá trị bất kì : x=α ( α là số) Sau đó ta giải phơng trình hệ phơng trình để tìm các hÖ sè cña c¸c h¹ng tö c¸c ®a thøc ( §a thøc th¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ chia, sè d) VÝ dô: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dông) Gäi th¬ng cña phÐp chia A(x) cho x + lµ Q(x), ta cã: a2 x 3+3 ax −6 x − a=(x+1).Q(x ) Vì đẳng thức đúng với x nên cho x = -1 ta dược: a=− a=3 −a + a+6 −2 a=0 ⇒− a2+ a+6=0 ⇒¿ Với a = -2 thì A=4 x − x −6 x + , Q(x)=4 x − 10 x + Với a = thì A=9 x +9 x − x − ,Q( x )=9 x − *Ph¬ng ph¸p 3:Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc (nh SGK) Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Cho đa thức A( x) a x 3ax x 2a(a Q) X¸c định a cho A(x) chia hết cho x + Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc P( x) x x x thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã d¹ng: x dx Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : x 3+ ax2 +2 x+ b chia hÕt cho ®a thøc: x 2+ x +1 H·y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f ( x)=x − x +21 x 2+ x +k chia hết cho ®a thøc: g( x)=x − x −2 Bài 5: Tìm tất các số tự nhiên k đa thức: f (k )=k 3+2 k 2+15 chia hết cho nhị thức: g(k )=k +3 Bài 6: Với giá trị nào a và b thì đa thức: f ( x)=x −3 x +3 x 2+ ax+b chia hết cho đa thức: g( x)=x −3 x +4 Bài 7: a) Xác định các giá trị a, b và c để đa thức: P( x)=x +ax 2+ bx +c Chia hết cho x −¿3¿ b) Xác định các giá trị a, b để đa thức: Q( x)=6 x − x 3+ ax2 +3 x +2 chia hết cho đa thức M ( x)=x − x +b (10) c) Xác định a, b để P(x)=x3 +5 x − x+ a chia hết cho M (x)=x + x +b x − ax + bx − c=(x −a)( x −b)( x −c ) Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức: (Để học tốt Đại số 8) Bài 9: Xác định số a cho: a) 10 x2 −7 x +a chia hết cho x −3 b) x +ax +1 chia cho x − dư c) ax 5+ x − chia hết cho x −1 Bài 10: Xác định các số a và b cho: a) x +ax 2+ b chia hết cho x − x +1 b) ax 3+ bx +5 x −50 chia hết cho x 2+3 x +10 ¿2 c) ax + bx2 +1 chia hết cho x −1 ¿ d) x +4 chia hết cho x + ax+b Bài 11: Tìm các hăng số a và b cho x 3+ ax+b chia cho x+ thì dư 7, chia cho x − thì dư -5 Bài 12: Tìm các số a, b, c cho ax 3+ bx +c chia hết cho x+ , chia cho x −1 thì dư x+ (Một số vấn đề phát triển Đại số 8) Bài 13: Cho đa thức: P( x)=x + x − x +ax +b và Q(x)=x2 + x −2 Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) Bài 14: Xác định a và b cho đa thức P( x)=ax + bx3 +1 chia hết cho đa x −1 ¿2 thức Q(x)=¿ Bài 15: Cho các đa thức P( x)=x − x3 + ax2 +3 x+ và Q(x)=x2 − x +b Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x) (23 chuyên đề toán sơ cấp) Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n biết giá trị đa thức n + điểm C1 , C2 , C3 ,⋯ , Cn +1 ta có thể biểu diễn P(x) dạng: P( x)=b0 +b ( x −C 1)+b (x −C 1)( x −C 2)+⋯+b n ( x −C 1)(x −C 2)⋯( x −C n ) Bằng cách thay x các giá trị C1 , C2 , C3 ,⋯ , Cn +1 biểu thức P(x) ta tính các hệ số b0 , b1 , b2 ,⋯ , bn Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0)=25 , P(1)=7 , P(2)=− Giải Đặt P( x)=b0 +b x +b2 x ( x −1) (1) Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta được: Vậy, đa thức cần tìm có dạng: vào b 0=25 7=25+ b1 ⇔b1=−18 −9=25 −18 2+ b2 ⇔ b 2=1 (11) P( x)=25 −18 x+ x ( x −1)⇔ P (x)=x −19 x+25 Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P(0)=10 , P(1)=12 , P(2)=4 , P(3)=1 Hướng dẫn: Đặt P( x)=b0 +b x +b2 x ( x −1)+b3 x ( x −1)(x − 2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho (x − 1),( x − 2),( x −3) dư và P(-1) = - 18 Hướng dẫn: Đặt P( x)=b0 +b (x −1)+b2 ( x −1)( x −2)+b3 ( x −1)(x − 2)(x −3) (1) Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P(−1)=0 P( x) − P( x −1)=x (x +1)(2 x +1),(1) a) Xác định P(x) ❑ b) Suy giá trị tổng S=1 3+2 5+…+n (n+1)(2n+ 1) ,(n ∈ N ) Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào (1), ta : P(−1)− P(−2)=0⇔ P(−2)=0 , P(0)− P(−1)=0 ⇔ P (0)=0 P(1)− P(0)=1 ⇔ P(1)=6 P(2)− P(1)=2 5⇔ P(2)=36 P( x)=b0 +b ( x+1)+b2 ( x +1)x +b3 (x +1) x (x −1)+ b4 (x +1) x ( x −1)( x −2) (2) Đặt Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: 0=b0 0=b ⇔ b1=0, 6=b2 1⇔ b2=3, 36=3 2+ b3 1⇔ b3=3 0=3.( −1)( −2)+ 3.(− 1)(− 2)(−3)+b4 (−1)(−2)(−3)(− 4)⇔ b 4= Vậy, đa thức cần tìm có dạng: x+1 ¿2 (x +2) 1 P(x)=3( x +1) x+ 3( x +1) x (x −1)+ ( x +1)x (x − 1)( x −2)= x ¿ 2 (Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức P( x)=ax 2+ bx +c ,(a , b , c ≠ 0) Cho biết a+3 b+6 c=0 1) Tính a, b, c theo P(0) , P , P(1) 2) Chứng minh rằng: () P(0) , P ( ) , P(1) không thể cùng âm cùng dương Bài 6: Tìm đa thức bậc hai, cho biết: P (0)=19 P(1)=85 P(2)=1985 Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ VÝ dô 3n +1 a) Chøng minh r»ng ph©n sè 5n + lµ ph©n sè tèi gi¶n nN ; (12) n2 + A= n + (nN) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n b) Cho ph©n sè 2009 cho ph©n sè A cha tèi gi¶n TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn đó Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + ; 3n + 1) 3(5n + 2) – 5(3n + 1) d hay d d = 3n +1 VËy ph©n sè 5n + lµ ph©n sè tèi gi¶n 29 29 A=n- 5+ n + §Ó A cha tèi gi¶n th× ph©n sè n + ph¶i cha b) Ta cã tèi gi¶n Suy n + ph¶i chia hÕt cho mét c¸c íc d¬ng lín h¬n cña 29 V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 29 n + =29k (k N) hay n=29k – Theo điều kiện đề bài thì ≤ n = 29k – < 2009 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài Tæng cña c¸c sè nµy lµ : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690 VÝ dô Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iÒu kiÖn 1 1 + + = a b c a +b +c Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ đó suy : 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 + + = + + =0 a b c a + b + c a b c a + b + c Ta cã : a +b a +b c(a + b + c) + ab + =0 (a + b) =0 ab c(a + b + c) abc(a + b + c) éa + b = éa =- b ê ê êb + c = êb =- c ê ê êc + a = êc =- a (a + b)(b + c)(c + a) = ë ë ®pcm 1 1 1 + + = + + = 2009 b 2009 c2009 a 2009 (- c)2009 c2009 a 2009 Từ đó suy : a 1 = 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 + + = 2009 b 2009 c2009 a 2009 + b 2009 + c2009 a VÝ dô §¬n gi¶n biÓu thøc : 2009 2009 2009 = 2009 (13) ö æ 1ö æ 1÷ æ 1ö ÷ ç ç ç + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ (a + b)4 è ÷ ça b ÷ ça b ø èa b ø ø (a + b)5 è (a + b)3 ç Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S - 3SP 1 a +b S 1 a + b S - 2P + = = ; 2+ 2= 2 = ; a b ab P a b a b P Do đó : 1 a + b S - 3SP + = 3 = a3 b3 ab P3 S - 3SP S - 2P S + + P3 S P2 S P Ta cã : A = S = S - 3P 3(S - 2P) (S - 3S P) + (3S P - 6P ) + 6P S4 + + = = S P3 S4P2 S P S 4P3 S P 1 = 3 ab Hay A = P VÝ dô Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) Lêi gi¶i C¸ch x - (a + b)x + ab x - (b + c)x + bc x - (c + a)x + ca S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) = Ax2 – Bx + C 1 A= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ; víi : A= a +b b +c c +a + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ; ab bc ca C= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b - a +c - b +a - c A= =0 (a b)(b c)(c a) Ta cã : ; B= (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) (a - b)(b - c)(c - a) b - a + c2 - a + a - c2 = =0 (a - b)(b - c)(c - a) ; B= (14) ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = =1 (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) VËy S(x) = 1x (®pcm) C¸ch §Æt P(x) = S(x) – th× ®a thøc P(x) lµ ®a thøc cã bËc kh«ng vît qu¸ Do đó, P(x) có tối đa hai nghiệm NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x) §iÒu nµy chØ x¶y vµ chØ P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = x Suy S(x) = x ®pcm x + =3 x VÝ dô Cho TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 1 A = x2 + B = x3 + C = x4 + D = x5 + x ; b) x ; c) x ; x a) d) Lêi gi¶i ö æ A = x + =ç x+ ÷ ÷ ç ÷- = - = ç è ø x x a) ; C= æ 1ö æ 1ö ÷ ç B = x + =ç x + x+ ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷= 27 - = 18 ç ç è ø è ø x x x b) ; æ2 ö C = x4 + =ç x + 2÷ ÷ ç ÷- = 49 - = 47 ç è ø x x c) ; 3 æ2 ö æ3 ö 1 ÷ ÷ ç A.B = ç x + x + = x + + x + = D +3 ÷ ÷ ç ç ÷ç ÷ ç è è x ø x ø x x5 d) 123 D = 7.18 – = ax + b c = + Ví dụ Xác định các số a, b, c cho : (x +1)(x - 1) x +1 x - Lêi gi¶i Ta cã : ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x +1) (a + c)x + (b - a)x + (c - b) + = = x +1 x - (x +1)(x - 1) (x +1)(x - 1) 2 Đồng phân thức trên với phân thức (x +1)(x - 1) , ta đợc : ìï a + c = ï ïí b - a = Û ïï ïîï c - b = ìï a =- ï ïí b =- - x- 1 ïï = + ïîï c = VËy (x +1)(x - 1) x + x - (15) Chuyên đề: Giải phơng trình I/Phương trình ax+b=0 (1) và phương trình đưa dạng (1) *Cách giải: (Biến đổi và đưa hết vế sau đó rút gọn thành dạng ax+b=0) TH1:a=0 b 0 thì phương trình (1)vô nghiệm b=0 thì phương trình (1) vô số nghiệm b TH2:a 0 thì phương trình (1) có nghiệm x= a *Ví dụ: a)3x+1=7x-11 b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi và chuyển vế) b2: -4x+12=0 (rút gọn dạng ax+b=0) b3: 12 3 x= b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x) 1,2-x+0,8+1,8+2x=0 x+3,8=0 x= -3,8 *Các bài tập tương tự: a)7x+21=0 c)5x-2=0 e)0.25x+1,5=0 b)12-6x=0 d)-2x+14=0 f)6,36-5,3x=0 x g) 5 x x 10 h) i)11-2x=x-1 l)2(x+1)=3+2x n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x k)5-3x=6x+7 m)2(1-1,5x)+3x=0 o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) x 1 2x 6 q) (16) 3 13 x 5 x v) 7x 20 x 1,5 5( x 9) s) 3x 2( x 7) 5 w) 5( x 1) x 2(2 x 1) 5 y) II/Phương trình tích: A 0 *Cách giải: Pt:A.B=0 B 0 (A=0 (1) B=0 (2) ) Ta có pt (1),(2) là phương trình bậc cách giải tương tự phần trên (Chú ý các phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa dạng A.B=0 cách phân tích thành nhân tử ) *Ví dụ: a)(4x-10)(24+5x)=0 x 10 0 (1) 24 x 0 (2) 10 Từ (1) x= 24 (2) x= 10 24 Vậy phương trình có nghiệm x= x= b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1) (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0 (x-1)(2x+11)=0 x 1 x 0 11 x 11 0 x *Các bài tập tương tự: a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 2( x 3) x 0 b)(3x-2) x 2(1 3x ) 0 c)(3,3-11x) d) ( x 5)(2 x 1) 0 e) (2 x 7)( x 10 3) 0 g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 n)x3+1=x(x+1) p)x3+x2+x+1=0 r)4x2-12x+5=0 f) (2 x 5)(2,5 x 2) 0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 0)x2+(x=2) (11x-7)=4 q)x2-3x+2=0 s)-x2+5x-6=0 t)2x +5x+3=0 x 3( x y) 2) 0 (17) (18)