(Luận văn thạc sĩ) phương trình vi phân đại số có trễ trong lý thuyết điều khiển

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––– ĐỖ THỊ HƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CĨ TRỄ TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2016 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––– ĐỖ THỊ HƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CĨ TRỄ TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Đào Thị Liên THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết nghiên cứu trung thực chưa công bố cơng trình khác Thái Ngun, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Đỗ Thị Hương Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTNihttp://www.lrc.tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành khoa Toán, trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình khoa học cô giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên Qua em xin bày tỏ lời cám ơn chân thành lịng biết ơn sâu sắc cơng ơn vơ bờ bến cô không quản thời gian công sức hướng dẫn em hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng ban chức trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Ngun đặc biệt thầy giáo khoa tốn Bộ mơn Giải tích tạo điều kiện tốt để em hoàn thành luận văn Sau cùng, em xin bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln động viên, tạo điều kiện cho em yên tâm học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2016 Học viên cao học Đỗ Thị Hương Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTNiihttp://www.lrc.tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục kí hiệu viết tắt iv MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phương trình vi phân đại số (DAE) 1.1.1 Một số khái niệm DAE 1.1.2 Chỉ số DAE 1.1.3 Phương pháp giải số DAE 10 1.2 Phương trình vi phân thường có trễ (DODE) 11 1.2.1 Một số khái niệm kết DODE 11 1.2.2 Phương pháp số giải DODE 16 1.3 Phương pháp Radau IIA tìm nghiệm cho ODE cương 16 1.3.1 Bậc hội tụ 18 1.3.2 Các gián đoạn nghiệm 18 1.3.3 Giải phương trình phi tuyến 20 1.4 Các hệ điều khiển 22 1.4.1 Hệ điều khiển tuyến tính liên tục 22 1.4.2 Các hệ điều khiển rời rạc 28 Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CĨ TRỄ TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN 35 2.1 Bài toán sisofeed5 35 2.2 Tính chất nghiệm 38 2.3 Các hàm đầu vào 42 Số hóa Trung tâm Học liệu –iiiĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 2.4 Lựa chọn công thức 45 2.5 Ước lượng điều khiển sai số 47 2.6 Các bước “dài” 50 2.7 Các gián đoạn 52 2.7.1 Sự lan truyền 52 2.7.2 Theo dõi gián đoạn 55 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTNivhttp://www.lrc.tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT Code: Mã DAE: Phương trình vi phân đại số DDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ DODE: Phương trình vi phân thường có trễ FOH: Mẫu bậc GENLTI: Hệ tuyến tính bất biến tổng quát LTI: Hệ tuyến tính bất biến ODE: Phương trình vi phân thường ZOH: Mẫu bậc khơng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTNvhttp://www.lrc.tnu.edu.vn iv MỞ ĐẦU Các hệ tuyến tính bất biến (LTI) mơ hình lý thuyết điều khiển Các mơ hình với trạng thái có trễ xuất cách tự nhiên xây dựng mối liên hệ ngược hàm truyền sơ cấp với trễ đầu vào đầu Các nghiên cứu cho thấy đối số trễ thường có ảnh hưởng lớn đến dáng điệu nghiệm hệ động lực nói chung Những kết tương tự cho hệ phương trình vi phân đại số (DDAE) cịn ít, chúng có nhiều ứng dụng tự nhiên, hóa học, sinh học,… Do đó, luận văn tập trung trình bày nghiệm dạng số DDAE hai tác giả L F Shampine, P Gahinet đưa báo “Delay differential algebraic equations in control theory” có dạng x(t )  Ax(t )  B1u (t )  B2 w(t ) (0.1) z (t )  C2 x(t )  D21u (t )  D22 w(t ) (0.2) ma trận A, B1 , B2 , D21 , D22 không đổi hàm đầu vào u (t ) trơn khúc với t  Hàm w xác định N số hạng vectơ (cột) z với N trễ cố định  , , N w(t )  [ z1 (t  1 ), , z N (t   N )]T Việc mơ hình hóa bắt đầu t 0 từ điểm dừng  u(t ), x(t ), z(t )    0, 0,  với t  Trong suốt trình tính tốn giá trị x(t ), z (t )  0, T f  , phải ước lượng hàm đầu y (t )  C1x(t )  D11u (t )  D12 w(t ) (0.3) xác định ma trận C1 , D11 , D12 Thường thì, hàm đầu vào u(t ) có bước nhảy t  Theo định nghĩa, nghiệm x(t ) liên tục Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn bước nhảy u (t ) kéo theo bước nhảy z (t ), x(t ), y (t ) Khi giá trị trễ, nguyên nhân làm cho bước nhảy lan truyền khắp  0, T f  Chúng ta thấy (0.1), (0.2) hệ DDAE Chúng ta cố gắng nghiên cứu sâu để tìm cách giải số cho phương trình vi phân đại số (DAE) phương trình vi phân thường có trễ (DODE) Có kết nghiên cứu DDAE nghiên cứu có phần lớn trọng việc ứng dụng DDAE Vì mơ hình hệ tuyến tính bất biến tổng quát (GENLTI) thường sử dụng thiết kế nên việc giải chúng cách nhanh chóng điều quan trọng Để làm điều đó, cố gắng tận dụng triệt để đặc tính chúng Chẳng hạn như, xử lý trước mơ hình để đảm bảo tất giá trị trễ dương Những kết hai tác giả L F Shampine, P Gahinet dựa kết trước tác U Ascher L Petzold trình bày nghiệm dạng số DDAE DDAE trung hòa (xem [5]); phương pháp sử dụng máy tính để giải số phương trình vi phân thường (ODE) DAE (xem [6]); W.H Enright H Hayashi trình bày cách giải DDAE dựa phương pháp Runge−Kutta liên tục với điều khiển khuyết (xem [8]) nhiều tác giả khác Luận văn gồm 59 trang, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung gồm có hai chương Chương Kiến thức sở Chương trình bày số khái niệm DAE, DODE hệ điều khiển tuyến tính liên tục rời rạc lý thuyết điều khiển Đây kiến thức sở cần thiết để sử dụng chương Chương Phương trình vi phân đại số có trễ lý thuyết điều khiển Nội dung chương trình bày số nghiên cứu phương trình vi phân đại số có trễ lý thuyết điều khiển mà hai tác giả L.F Shampine, Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn P Gahinet đưa báo: “Delay differential algebraic equations in control theory” năm 2006 Ở thể rõ hệ bất biến tuyến tính mơ hình lý thuyết điều khiển, hệ tuyến tính tổng qt hóa bao gồm trạng thái trễ Kết mơ hình mơ tả hệ DDAE, người ta tận dụng triệt để tính chất đặc biệt mơ hình sinh từ ứng dụng lý thuyết điều khiển, để giải toán khó với độ xác cao tốc độ đủ nhanh nhằm đạt mục đích nghiên cứu, ứng dụng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn bước nhảy đặc trưng điểm D Sau đó, lấy tích phân hai thành phần hàm thu liên tục xấp xỉ, có gián đoạn đạo hàm cấp thấp Trong trường hợp thứ nhất, nguyên nhân gián đoạn lan truyền bước nhảy, có gián đoạn bắt nguồn từ hàm đầu vào tuyến tính khúc mẫu FOH Chúng ta biểu diễn thành phần nghiệm hàm đa thức bậc khúc Ngoại trừ điểm D , xấp xỉ x(t ) có đạo hàm cấp liên tục xấp xỉ z (t ) liên tục Xấp xỉ x(t ) xác định tn , tn1  hàm nội suy Hermite bậc với giá trị độ nghiêng hai đầu mút khoảng Xấp xỉ z (t ) hàm nội suy bậc với giá trị đầu mút khoảng hai giá trị điểm Các phần sau cung cấp thêm thông tin chi tiết Nếu tất thuận lợi, hàm nội suy bảo đảm độ xác công thức RungeKutta ẩn điểm lưới trường hợp mở rộng định nghĩa nghiệm dạng số cho hàm trơn khúc Chúng ta thay nghiệm vào phương trình đánh giá thỏa mãn chúng Nếu sử dụng trường hợp để nghiệm dạng số, hàm số dư R(t ) xác định X (t )  AX (t )  B1u(t )  B2 W(t )  R  t  W (t )   Z1 (t  1 ), , Z N (t   N )  T Theo quan điểm phép phân tích sai số lùi, mơ tả nghiệm dạng số gần nghiệm toán nhiễu đo chất lượng nghiệm theo cỡ nhiễu R(t ) Đây cách đo sai số tự nhiên suốt khoảng lấy tích phân định nghĩa rõ ràng trước cơng thức RungeSố hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 48 Kutta đánh giá Đây điểm quan trọng cỡ số dư biện pháp có ý nghĩa độ xác nghiệm đánh giá nghiệm với độ tin cậy cỡ bước lớn nghiệm có nhiều gián đoạn đạo hàm cấp thấp Trong tình khó để tính tốn xác phép đo cỡ số dư sử dụng chuẩn tích phân Cụ thể, sử dụng chuẩn RMS có lấy trọng số tính giá trị gần tích phân với cơng thức cầu phương Lobatto điểm Theo cách xây dựng, số dư hai đầu mút bước, đòi hỏi phải đánh giá số dư lần bước Để cho thuận tiện, giá trị gọi t L1 , t L2 , t L3 Mỗi kết đánh giá giá trị dư liên quan đến việc đánh giá hàm nội suy x(t ) , z (t ) , đạo hàm hàm nội suy x(t ) (như xấp xỉ với x(t ) phương trình vi phân) Đối với trọng số thành phần, sử dụng biện pháp để đo cỡ thừa số tương ứng nghiệm, sử dụng năm giá trị x(t ) khoảng bước Tất nhiên vào cuối bước giá trị ln có sẵn giá trị thấp giá trị tới hạn có sẵn, giá trị có từ tính tốn số dư Một chuẩn tích phân tính xấp xỉ công thức cầu phương Lobatto nhiều điểm đem lại chương trình đặc biệt mạnh mẽ đáng tin cậy để đánh giá sai số nghiệm Các xấp xỉ cho giá trị độ nghiêng x(t ) hai đầu mút bước xác định hàm nội suy Hermite bậc 3, mà xấp xỉ x(t ) suốt bước Điều cho phép tính xấp xỉ, mà có đạo hàm liên tục trừ trường hợp có tác động đặc biệt xem xét để tạo bước nhảy Tương tự vậy, xấp xỉ z (t ) thành lập điểm Lobatto để đánh giá điều khiển sai số sử dụng để xác định xấp xỉ z (t ) suốt bước Cụ thể, hàm nội suy Hermite bậc xác định phép nội suy điểm Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 49 http://www.lrc.tnu.edu.vn tn , tL , t L , tn 1 Kết gần liên tục trừ trường hợp có tác động đặc biệt để tạo bước nhảy Tại bước điều khiển kết cỡ bước chuẩn RMS có trọng số số dư Khi tất diễn tốt đẹp cỡ bước nói đến liên hệ cỡ số dư với cỡ sai số địa phương (xem [16]) Sau thực phép tính, tính tốn nghiệm cho thỏa mãn phương trình cách có nghĩa công thức không theo trật tự thông thường cỡ bước lớn hay nghiệm không đủ trơn Một sai số tương đối cho phép 10 3 mã hóa cương để phù hợp với ứng dụng Người dùng cụ thể hóa vectơ có sai số cho phép theo giá trị mặc 6 định 10 Các tính tốn thu với sai số tương đối 2.6 Các bước “dài” Bây giả sử cỡ bước không lớn  để công thức vừa xem xét ẩn tuyến tính Có tốn phát sinh xử lý thơng qua cỡ bước thật khơng thực tế chút độ trơn nghiệm không địi hỏi điều Với trường hợp mục 2.7.1 lan truyền thảo luận ví dụ choppy, có   0.0001 T f  Nếu giới hạn cỡ bước đến  , cần 50.000 bước để giải tốn này, code ddaeresp giải 343 bước Khi lấy bước dài trễ ngắn nhất, thành phần z j (t   j ) có đối số tn , tn1  Chúng ta chưa tính z j (t ) khoảng này, nghiệm dạng số xác định ẩn Điều thân phương pháp RungeKutta tường minh Để thực cách đơn giản sử dụng bước lặp dài  Đầu tiên dự đoán z (t )  tn , tn1  cách ngoại suy xấp xỉ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 50 http://www.lrc.tnu.edu.vn thuộc tn1 , tn  Trong đoạn này, hàm sử dụng để tính giá trị z (t ) ba điểm mới, sử dụng để xác định xấp xỉ đa thức bậc cho z (t ) bước tại, cụ thể tL , t L , tn 1 Sử dụng giá trị này, hàm khác đánh giá w(t ) đối số cần để tính bậc cơng thức Runge-Kutta Với giai đoạn này, tính xn 1 , xn 1 sau tính zn1 Một hàm nội suy Hermite bậc cho x(t ) đánh giá để nhận xấp xỉ x(t ) x(t ) nút công thức cầu phương Lobatto nhằm đánh giá sai số Một xấp xỉ cho w(t ) đánh giá điểm tương tự Những giá trị giá trị u(t ) x(t ) sau sử dụng để làm trịn xấp xỉ tới z (t ) tL , t L Nếu cỡ bước không lớn  bước hồn thành chương trình tiếp tục để đánh giá sai số Nếu khơng, chương trình kiểm tra thay đổi tương đối zn1 Nếu lớn 10 3 việc tính tốn lặp lặp lại lên đến lần Rõ ràng thuận lợi đánh giá u (t ) bên ngồi vịng lặp Các khoản tiết kiệm hữu ích hồn tồn với cỡ bước tương đương với  ước lượng gián đoạn công thức cách kiểm tra xem gián đoạn ngầm định hay chưa, liệu gián đoạn phải ước lượng lần lặp Bởi thời gian chạy quan trọng ứng dụng, phải thường xuyên sử dụng phần mềm MATLAB để xác định nơi mà tích phân tự động ưu tiên tham số chi phí thời gian chúng Thường nơi khơng phải nơi dễ thấy Với trường hợp hàm giá trị w(t ) cổ chai Bởi đối số w j (t )  z j (t   j ) phụ thuộc vào j , giá trị w(t ) không vectơ Các biến đại số z (t ) xếp dạng hàm đa thức bậc khúc, cần phải tìm vị trí khúc đại diện cho thành phần quan Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 51 http://www.lrc.tnu.edu.vn tâm sau nội suy Lagrange để đánh giá hàm Hermite bậc Bài toán trở nên phức tạp xuất bước nhảy gián đoạn Mặc dù mã hóa hàm cách cẩn thận, ứng viên sáng giá cho việc mã hóa C 2.7 Các gián đoạn Mơ hình GENLTI thường xuất nhiều bước nhảy gián đoạn z (t ) x(t ) gốc lan truyền suốt khoảng xét Chắc chắn khơng cịn điều nên làm theo dõi gián đoạn lời giải số cho toán phần mà nghiệm liên tục Việc tốn chí đến mức nhiều code không theo dõi gián đoạn có lựa chọn cho việc Chúng ta có thỏa hiệp Có lý vật lý để nghĩ mơ hình GENLTI quan tâm, cỡ bước nhảy giảm mơ hình hóa xuất Đây giả thuyết làm việc Nếu giả thiết khơng có giá trị, tức mơ hình gặp tượng số bước nhảy tăng hay nghiệm không ổn định, hy vọng người dùng sớm dừng việc chạy chương trình Đầu tiên xét làm mà bước nhảy lan truyền sau nghiên cứu cách mà chương trình xử lý bước nhảy 2.7.1 Sự lan truyền Những nghiên cứu từ hàm đầu vào, thấy giả sử u (t ) x(t ) liên tục t  Để thuận tiện, sử dụng     ký hiệu chuẩn z (t  0)  z (t  0)   z (t )  cho cỡ bước nhảy t Sử  dụng phương trình (2.2) để thấy điểm t  D  z (t  )   D22  w(t  )  (2.5) - Nếu D22  Trong tình (2.5) cho thấy bước nhảy Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 52 http://www.lrc.tnu.edu.vn z (t ) không lan truyền tất điểm Có hai tình khác z (t ) khơng có bước nhảy Nhìn chung hàm đầu vào, u(0)  cho khơng có bước nhảy u (t ), tương ứng khơng có bước nhảy z (t ) biến đại số liên tục 0, T f  Một tình phổ biến nhiều D21  Bước nhảy tượng trưng hàm đầu vào t  bị triệt tiêu (2.2) hệ biến đại số liên tục  0, T f  Trong thuật giải, nhận ba trường hợp đưa biến đổi đặc biệt cho chúng Trong trường hợp D22 vô hướng, từ (2.5) suy gián đoạn biến đại số giảm nhanh theo tốc độ mũ D22  - Nếu D22  1, bước nhảy tăng nhanh theo tốc độ mũ mơ hình khơng có ý nghĩa mặt vật lý Trường hợp tổng quát D22 phức tạp nhiều có kết hạn chế Thường hầu hết  thành phần  w(t )   (2.5) Theo định nghĩa, điểm t   1 , , t    N  D , điểm khác thể có thuộc không thuộc tập Nếu t    k  D số hạng  zk  t    k   z liên tục Chúng ta chưa tìm thấy cách khai thác triệt để trường hợp tổng quát nhận số kết hay cách xét tình đặc biệt, có thành phần khác Cho   D , có bước nhảy z j ( ) Bước nhảy lan truyền tiếp đến    j ,  2 j , , theo định nghĩa điểm thuộc D Sự lan truyền gián đoạn phức tạp gián đoạn khác lan truyền đến điểm khác trễ khác Bây Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 53 http://www.lrc.tnu.edu.vn nghiên cứu tình đơn giản có vài điểm khơng có cách khác để đạt lan truyền gián đoạn Đối  với điểm có thành phần thứ j  w(t )   Khi có  z j (t  )   D22  j j  z j (t    j ) - Nếu  D22  j j  điều cho thấy ảnh hưởng trễ  j giảm nhanh theo tốc độ mũ Chú ý phân rã bảo toàn với mức lan truyền khơng phải khoảng lấy tích phân Kết cuối giúp hiểu tình khó mặt tính tốn, cụ thể    j nhỏ nhiều so với trễ khác Một gián đoạn  lan truyền đến    ,   2 , tăng lên khoảng độ trễ nhỏ thứ hai Nếu  D22  j j  , thấy ảnh hưởng nhỏ trễ  j giảm nhanh theo tốc độ mũ Một ví dụ cụ thể kiểm tra tốn choppy Nhiệm vụ phải tính bước phản hồi hệ với biến đầu vào, năm biến vi phân, ba biến đại số, biến đầu Các trễ tương ứng 0.3, 0.0001, 0.0230 0.6047  0 D22  0 0.0216    0 0.5457 0.7887  Trễ ngắn     0.0001 nhỏ so với T f  5, phải theo dõi tất gián đoạn khoảng việc lấy tích phân khơng thực tế Vì phần tử  2,  D22  nên trễ không ảnh hưởng nhiều đến việc lấy tích phân lời giải khơng gặp khó khăn mơ hình này, giải 1.25s Tình hồn tồn khác trễ ngắn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 54 http://www.lrc.tnu.edu.vn trễ thứ ba phần tử  3, 3 D22 đủ lớn cho ảnh hưởng trễ tương đối dài Với  nhỏ so với T f , nên chưa thể xác định rõ ràng liệu theo dõi tất gián đoạn có thực tế không Ngay với việc theo dõi hạn chế thuật giải chúng ta, phải 12s để lấy tích phân tốn mà t  2.7.2 Theo dõi gián đoạn Như thấy, việc trở lại nghiệm cho thuật giải bước nhảy gián đoạn, lan truyền suốt khoảng tích phân quan tâm đặc biệt Điều làm phức tạp cho việc mã hóa, thuật giải theo dõi  gián đoạn, nghiệm dạng số có bước nhảy điểm gián đoạn t Biểu diễn nghiệm dạng số khơng thuận lợi áp dụng, ta phải trở lại nghiệm, chia lân cận điểm gián đoạn thành hai khoảng kề  t *   , t *   bên trái bên phải t sau lấy giới hạn trái phải điểm t  cách tương ứng Như thấy hình kết đồ thị liên tục có góc nhọn điểm gián đoạn Trong dự kiến thuật giải, thực      tính tốn D với D  t0  t1   tM tập hợp điểm gián đoạn tất mức sau thực phép xây dựng nghiệm D theo dõi tất gián đoạn, thấy tˆ  tr   j điểm gián đoạn   * * tk , tk 1 kết luận mơ hình GENLTI có nghiệm Biến đại số z (t ) thường gián đoạn điểm thuộc D , lại có đạo hàm liên tục cấp d Biến vi phân x(t ) liên tục lại có điểm gián đoạn đạo hàm cấp điểm thuộc D Mọi thứ diễn thuận lợi gặp phải vấn đề cạn kiệt Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 55 http://www.lrc.tnu.edu.vn nhớ Sau đó, mã hóa tính tốn để tạo điểm gián đoạn khối theo yêu cầu Không may ứng dụng có nhiều điểm gián đoạn việc theo dõi tất điểm gián đoạn không thực tế Chúng ta tin ứng dụng này, tốn ổn định có nhiều bước nhảy, mà bước nhảy làm giảm độ lớn tiến hành tích phân Vì vậy, theo dõi bước nhảy dừng theo dõi chúng trở nên đủ nhỏ Theo quan điểm phép phân tích sai số lùi, mơ tả nghiệm dạng số nghiệm toán nhiễu đo chất lượng nghiệm theo cỡ nhiễu R(t ) Đây cách đo sai số tự nhiên suốt khoảng lấy tích phân định nghĩa rõ ràng trước cơng thức Runge-Kutta đánh giá Cách tiếp cận điểm quan trọng cỡ số dư giải pháp có ý nghĩa độ xác nghiệm đánh giá nghiệm với độ tin cậy cỡ bước lớn nghiệm gián đoạn lấy đạo hàm cấp thấp Trong tình khó khăn sử dụng chuẩn tích phân để tính tốn phép đo cỡ số dư cách xác Cụ thể, sử dụng chuẩn RMS có lấy trọng số tính giá trị gần tích phân với cơng thức cầu phương Lobatto điểm sau dừng theo dõi nghiệm trơn khúc vị trí điểm nối với nhau, nghiệm liên tục xấp xỉ Hình ảnh cho thấy chí chương trình dành lượng thời gian không nhiều để theo dõi gián đoạn Để thuật giải hiệu công cụ nghiên cứu, thấy phải điều chỉnh việc theo dõi gián đoạn Chương trình phải thực để lan truyền gián đoạn tới số tối đa mức định sẵn Maxlevel = Hầu hết hy vọng theo dõi gián đoạn thành phần nghiệm liên tục xấp xỉ Như giải thích mục 2.7.1 lan truyền, ba tình nhận biết Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 56 http://www.lrc.tnu.edu.vn cách dễ dàng theo nghiệm liên tục sau có gián đoạn lan truyền lần Trong tình này, lấy mức Maxlevel = Ngay với giới hạn mức 4, có nhiều gián đoạn, tiếp tục hạn chế số điểm gián đoạn mà theo dõi Tập hợp điểm gián đoạn D xây dựng nhờ gián đoạn lan truyền liên tục đến mức khác cách xóa lần lặp Nếu mức nào, thấy có nhiều MaxPoints = 100 điểm, phải hủy công thức Trong phần tiếp theo, D tập bị cắt ngắn điểm gián đoạn Khi theo dõi gián đoạn, bước thuật giải bước đến điểm thuộc D tính tốn bước nhảy x(t ) , z (t ) , y (t ) Giả sử p điểm cuối D t  max( , , N ) Tại điểm t  p phương trình khơng phụ thuộc vào giá trị biến điểm t  p t Để chuẩn bị cho trình theo dõi gián đoạn t  p thuật giải bước đến điểm gián đoạn  p t , p  khơng tính bước nhảy điểm Điều làm cho thuật giải nhận xuất gián đoạn lựa chọn cỡ bước bước khử bước nhảy nghiệm dạng số Từ t  p thuật giải tự sử dụng cỡ bước xuất để cung cấp độ xác độ ổn định Chúng ta sử dụng hình 2.4 để kiểm tra hiển thị xảy hạn chế việc theo dõi gián đoạn y(t) 0.3 0.2 0.1 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 57 http://www.lrc.tnu.edu.vn 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t Hình 2.4 Ví dụ artefact3 Các đường cong thấp tính tốn với việc theo dõi gián đoạn thường lệ đường cong cao tính tốn sử dụng theo dõi kéo dài Đường cong xấp xỉ với y (t ) phía xấp xỉ với y (t )  0, Chúng ta sử dụng toán thử artefact3 để xuất giới hạn việc theo dõi gián đoạn Việc mơ tả chi tiết tốn khơng cần thiết khơng có ý nghĩa cần dùng hình ảnh để mơ tả Mục đích phải tính tốn bước tương ứng hệ xác định  0,1 mà có biến đầu vào, năm biến vi phân, hai biến đại số biến đầu Trễ   0.3000, 0.0513 khơng có trễ hai biến vào Các đường cong nằm hình 2.4 hiển thị biến đầu y (t ) tính với giá trị thường Maxlevel MaxPoints Trong hình 2.4 đường cong nằm cho thấy xảy thuật giải theo dõi đến 50 lần nhiều mức cho phép 50 lần nhiều gián đoạn Để dễ dàng so sánh mật độ gián đoạn hai lần lấy tích phân, thêm 0.2 vào nghiệm tốt trước vẽ Như kỳ vọng, gián đoạn sắc - nhọn (sharp) bị chặn nhiều sau ngừng theo dõi Tuy nhiên, xử lý gián đoạn phần thứ tích phân gián đoạn cịn tương đối lớn thu nghiệm theo nghĩa số dư khơng đáng kể Khi điều xảy ra, khơng tốn tính nghiệm toán thực tế với việc tiếp tục theo dõi, xuất nhu cầu cần thiết phải hạn chế theo dõi thuật giải để chúng trở nên hữu ích cơng cụ thiết kế Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 58 http://www.lrc.tnu.edu.vn KẾT LUẬN Qua việc nghiên cứu báo: “Delay differential algebraic equations in control theory” tác giả L.F Shampine P Gahinet tìm hiểu số tài liệu liên quan để trình bày luận văn Em trình bày số kết kiến thức sở nghiệm dạng số hệ tuyến tính bất biến tổng quát dạng x(t )  Ax(t )  B1u (t )  B2 w(t ) z (t )  C2 x(t )  D21u (t )  D22 w(t ) lý thuyết điều khiển sau trình bày phương pháp số cho hệ tuyến tính bất biến tổng quát giải chúng cách nhanh việc tích phân trực tiếp hệ sử dụng code đặc biệt, cho hàm đầu vào tương ứng phương trình vi phân đại số có trễ lý thuyết điều khiển Tiếc nhiều vấn đề chưa làm sáng tỏ phương trình vi phân đại số có trễ chẳng hạn: Bài tốn cương, tính A - ổn định, tính ổn định tính xác phương pháp số, thuật giải công cụ MATLAB Vì chưa có điều kiện thời gian em hy vọng vấn đề tiếp tục nghiên cứu thời gian tới Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 59 http://www.lrc.tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Thị Thu Hường (2001), “Phương pháp số giải phương trình vi phân đại số”, Luận văn thạc sĩ Nguyễn Văn Mạnh (2008), “Phương pháp bước giải phương trình vi phân cấp 2”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ ĐHTN, (45) Nguyễn Văn Minh, Trần Thanh Tùng (2016), “Phương pháp bước giải phương trình vi phân y  f ( x, y ) ’’, Tạp chí Khoa học Công nghệ ĐHTN Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển Toán học, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 41-70 Tiếng Anh Ascher U., Petzold L (1995), “The numerical solution of delay-differentialAlgebraic Equations of retarded anh neutral type”, SIAM J Numer Anal, 32 1635- 1657 Ascher U., Petzold L (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SAIM, Philadelphia, PA, ISBN 978- 1- 61197- 139- Corwin S P., Sarafyan D., Thompson S., DKLAG6 (1997), “A code based on continuously imbedded sixth order Runge-Kutta methods for the solution of state dependent functional differential equations”, Appl, Numer, Math, 24 319-333 Enright W H., Hayashi H (1997), “A delay differential equations solver based on a continuous Runge-Kutta method with defect control”, Numer, Algorithms, 16 349-364 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 60 http://www.lrc.tnu.edu.vn Gahinet P., Shampine L F (2004), “Software for Modeling and Analysis of Linear Systems with Delays”, Proc American Control conf Boston, 5600-5605 10 Guglielmi N., Hairer E (2001), “Implementing Radau IIA methods for stiff delay differential equations”, Computing 67 1-12 11 Ixaru L Gr., Rizea M (1997), “Four step methods for y  f ( x, y ) ’’ Journal of Computational and Applied Mathematics, 79 87-99 12 Lambert J D (1991), “Nummerical Methods in Ordinary Differential Equations”, Wiley Chichester, 978-0-470-72335-7 13 Luzyanina T., Roose D (2004), Numerical local stability analysis of differential algebraic equations with time delays, in: Fifth IFAC Workshop on Time-Delay Systems, K.U Leuven, Belgium, submitted for publication 14 Paul C A H (1995), “A User-Guide to ARCHI”, Numer, Anal Rept., vol 283, Mathematics department, University of Manchester, UK, ISSN 1360-1725 15 Roussel R Marc (2005), “Delay-differential equations”, p1-12 16 Shampine L F (2005), “Solving ODEs and DDEs with residual control”, Appl Numer Math, 52 113-127 17 Shampine L F., Gladwell I., Thompson S (2003), “Solving ODEs with MATLAB”, Cambridge University Press, New York, 1-21 18 Shampine L F., Gahinet P (2006), “Delay-differential-algebraic equations in control theory”, Applied Numerical Mathematics, vol56, ISSUE 3-4, p574-588 19 Stephen L (2008), “Differential-algebraic equations”, Campbell et al Scholarpedia, 3(8):2849 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 61 http://www.lrc.tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 62 http://www.lrc.tnu.edu.vn ... 60 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTNivhttp://www.lrc.tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VI? ??T TẮT Code: Mã DAE: Phương trình vi phân đại số DDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ DODE: Phương trình. .. Chương trình bày số khái niệm DAE, DODE hệ điều khiển tuyến tính liên tục rời rạc lý thuyết điều khiển Đây kiến thức sở cần thiết để sử dụng chương Chương Phương trình vi phân đại số có trễ lý thuyết. .. phương trình vi phân thường dạng x  f  t , x  Nếu ma trận Jacobian F suy biến (1.1) gọi phương trình vi x phân ẩn hay phương trình vi phân đại số (DAE) dạng tổng quát Phương trình vi phân