Một số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ ÁP DỤNG HẠ THỊ NGÂN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP THÁI NGUYÊN 2016 i Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa tính chất hàm số lượng giác 1.2 Một số tính chất đa thức lượng giác 1.3 Một số dạng đẳng thức lớp hàm lượng giác lượng giác ngược 1.4 Định nghĩa số dạng đẳng thức lớp hàm hyperbolic 1.5 Một số đồng thức đại số sinh hàm lượng giác 1.6 Một số tính chất dãy số Chương Ước lượng, đánh giá dãy số sinh hàm lượng giác 13 2.1 Xác định dãy số 13 2.2 Ước lượng, đánh giá dãy số sinh hàm lượng giác 26 2.3 Xác định tính chất liên quan đến dãy số sinh hàm lượng giác 33 Chương Một số áp dụng dãy số sinh hàm lượng giác 38 3.1 Tính giới hạn dãy 38 3.2 Ước lượng, đánh giá tổng tích phần tử 49 ii 3.3 Một số dạng toán liên quan đến hàm lượng giác ngược hàm hyperbolic 51 KẾT LUẬN 58 Tài liệu tham khảo 59 Mở đầu Các toán dãy số sinh hàm số lượng giác nội dung quan trọng giải tích Rất nhiều dạng toán khác quy việc ước lượng, tính tổng, xét tính tuần hồn, tìm số hạng tổng quát giới hạn dãy số sinh hàm lượng giác Những toán dãy số dạng toán thường gặp kỳ thi Olympic toán quốc gia quốc tế, Olympic toán sinh viên trường đại học, cao đẳng Việc giải tốn dạng địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức lớp hàm đồng thời nắm kiến thức liên quan phải biết vận dụng cách sáng tạo, logic hợp lý Chính lý mà tơi chọn đề tài "Một số tính chất dãy số sinh hàm lượng giác áp dụng" nhằm hệ thống số áp dụng lớp hàm Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm ba chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày tính chất hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược hàm hyperbolic đồng thời trình bày số dạng đẳng thức, định lý đại số giải tích liên quan Chương Trình bày dạng tốn xác định dãy số, ước lượng dãy số tính chất dãy số sinh hàm lượng giác Chương Trình bày dạng tốn tính giới hạn, tính tổng tích dãy số sinh hàm lượng giác, số dạng toán liên quan đến hàm lượng giác ngược hàm hyperbolic Trong suốt trình làm luận văn, tác giả nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Đào Thị Liên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô - Người sát cánh bên tác giả từ ngày thực luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn gợi ý quý báu GS TSKH Nguyễn Văn Mậu trình tác giả học tập nghiên cứu thực đề tài Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phịng đào tạo sau đại học, khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa hoc - Đại học Thái Nguyên, thầy cô giáo tham gia giảng dạy giúp đỡ tác giả thời gian theo học chuyên đề hoàn thành công việc học viên cao học Thái nguyên, ngày 30 tháng 05 năm 2016 Tác giả Hạ Thị Ngân Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa tính chất hàm số lượng giác Trong mục ta xét hàm số f (x) : R → R với tập xác định D ⊂ R Định nghĩa 1.1 Hàm số f (x) gọi hàm số chẵn M ⊂ D ∀x ∈ M −x ∈ M f (−x) = f (x) Hàm số f (x) gọi hàm số lẻ M ⊂ D ∀x ∈ M −x ∈ M f (−x) = −f (x) Ví dụ 1.1 Hàm số y = cos x hàm số chẵn; hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x hàm số lẻ tập xác định chúng Định nghĩa 1.2 Hàm số f (x) gọi hàm số tuần hồn cộng tính M ⊂ D ∀x ∈ M x ± a ∈ M, f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M Số nguyên dương a bé thỏa mãn điều kiện gọi chu kỳ hàm tuần hồn cộng tính f (x) Ví dụ 1.2 Hàm số y = cos x, hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π ; hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kỳ T = π 1.2 Một số tính chất đa thức lượng giác Định nghĩa 1.3 Hàm số có dạng An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx, an , bn khơng đồng thời (tức an + bn > 0), , bj ∈ R với i = 0, 1, , n, j = 1, , n, gọi đa thức lượng giác bậc n (n ∈ N∗ ) Khi tất bj = với j = 1, 2, , n ta có Định nghĩa 1.4 Hàm số có dạng Cn (x) = a0 + a1 cos x + · · · + an cos nx ( an = ) gọi đa thức lượng giác bậc n theo cosin Tương tự, tất = với i = 0, 1, , n ta có Định nghĩa 1.5 Hàm số có dạng Sn (x) = b0 + b1 sin x + · · · + bn sin nx ( bn = ) gọi đa thức lượng giác bậc n theo sin Tính chất 1.1 Tổng hai đa thức lượng giác An (x) Bm (x) đa thức lượng giác có bậc khơng vượt q max {m, n} Tính chất 1.2 Tích hai đa thức lượng giác An (x) Bm (x) đa thức lượng giác có bậc n + m Tính chất 1.3 Nếu đa thức lượng giác An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx đồng với x ∈ R, tất hệ số 0, tức a0 = a1 = b1 = a2 = b2 = · · · = an = bn = 1.3 Một số dạng đẳng thức lớp hàm lượng giác lượng giác ngược Từ hàm lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ta có hàm lượng giác ngược tương ứng khoảng đồng biến nghịch biến chúng π π π π hàm số y = sin x (hay y = tan x) Trong − ; , (hay − ; 2 2 hàm đồng biến, liên tục nên tồn hàm ngược y = arcsin x (hay y = arctan x)) sau:   y = arcsin x   (arcsin x) ≡ x    sin  x = sin y π π ≤ arcsin x ≤ − ⇔ −1 ≤ x ≤      −1 ≤ x ≤  −π ≤ y ≤ π 2   y = arctan x   (arctan x) ≡ x    x = tan y  tan π π ≤ arctan x ≤ − ⇔ −∞ ≤ x ≤ ∞      −∞ ≤ x ≤ ∞  −π ≤ y ≤ π 2 Trong [0, π], (hay (0, π) hàm số y = cos x (hay y = cot x) hàm nghịch biến, liên tục nên tồn hàm ngược y = arccos x (hay y = arccot x)) sau:   y = arccos x    cos (arccos x) ≡ x  x = cos y ≤ arccos x ≤ π ⇔ −1 ≤ x ≤    −1 ≤ x ≤  0≤y≤π   y = arccot x    cot (arccot x) ≡ x  x = cot y ≤ arccot x ≤ π ⇔ −∞ ≤ x ≤ ∞    −∞ ≤ x ≤ ∞  0≤y≤π 1) arcsin(−x) = − arcsin x, 2) arccos(−x) = π − arccos x, 3) arctan (−x) = −arctan x, 4) arccot (−x) = −arccot x, 5) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất √ f (x) + f (y) = f x − y + y − x2 , ∀x, y ∈ [−1, 1], 6) Hàm g(x) = arccos x có tính chất √ g (x) + g (y) = f xy − − x2 − y , ∀x, y ∈ [−1, 1], 7) Hàm h(x) = arctan x có tính chất x+y h (x) + h (y) = h , ∀x, y ∈ R, xy = 1, − xy 8) Hàm p(x) = arccot x có tính chất xy − , ∀x, y ∈ R, x = −y p (x) + p (y) = p x+y 1.4 Định nghĩa số dạng đẳng thức lớp hàm hyperbolic 1.4.1 Định nghĩa Cho x ∈ R Kí hiệu ex + e−x gọi cosh x hàm cosin hyperbolic, cosh x = ex − e−x sinh x = gọi sinh x hàm sin hyperbolic, sinh x gọi x hàm tang hyperbolic, x = cosh x cosh x gọi coth x hàm côtang hyperbolic coth x = sinh x 1.4.2 Một số dạng đẳng thức lớp hàm hyperbolic Các đồng thức cosh2 x − sinh2 x = 1, , cosh2 x coth2 x − = sinh2 x − tanh2 x = Công thức nhân đôi sinh 2x = sinh x cosh x, cosh 2x = cosh2 x − sinh2 x = 2cosh2 x − = − 2sinh2 x, x ; 2x = + tanh2 x Công thức nhân ba sinh 3x = 4sinh3 x + sinh x, cosh 3x = 4cosh3 x − cosh x, x + tanh3 x 3x = + tanh3 x 45 Bài  toán 3.9 Cho hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác định x0 = 2yn  xn = với n = 0, 1, 2, Với số tự nhiên n, + yn2  2 4xn+1 + xn yn+1 = 2yn+1 xn Chứng minh dãy (zn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới đặt zn = yn hạn Lời giải π Ta nhận thấy x0 = = cos π Và với n = ⇒ x0 + y02 = 2y0 ⇔ y02 = ⇒ y0 = √ = cot 3 Từ công thức truy hồi dãy số, ta có  √ π  x = = cos   3.2 y1 = 2x1 x1 + y12 = 2y1 ⇔ ⇔ 2 2 y1 = 12 √ 4x1 + y1 = 2y1    y1 = = cot π 3.2 Ta chứng minh quy nạp với n số tự nhiên, công thức xác định hai dãy số cho π π xn = cos (4) n , yn = cot 3.2 3.2n Với n = 0, n = (4) Giả sử (4) với n = k ≥ 0, ta chứng minh (4) với n = k + π , ∀n ∈ N Đặt αn = 3.2n Từ công thức truy hồi dãy số giả thiết quy nạp, ta có 2 = 4yk+1 x2k+1 + yk+1 xk+1 + yk+1 = 2yk+1 αk ⇔ 2 x2k+1 = (1 − cos αk ) yk+1 = sin2 yk+1 4x2k+1 + cos αk yk+1 = 2yk+1 2   αk  αk   − sin   α xk+1 = cos   2   sin2 k + yk+1  =4 yk+1 = 2 αk ⇒ ⇔ ⇒ sin α   x2 = sin2 n y    k+1  yk+1 = cot αk  αn 22  2 k+1  xk+1 = sin y 2 k+1 Suy (4) với n = k + Theo nguyên lý quy nạp tốn học, ta có π π (4) với n số tự nhiên Vậy xn = cos , y = cot n 3.2n 3.2n π xn = sin ⇒ lim zn = Suy zn = yn 3.2n 46 Bài toán 3.10 (VMO 2014) Cho hai dãy số thực dương (xn ), (yn ), √ x1 = 1, y1 = 3; ngồi với số ngun dương n xn+1 yn+1 − xn = x2n+1 + yn = Chứng minh hai dãy số nói hội tụ tìm giới hạn chúng Lời giải √ π π Từ giả thiết x1 = = sin , y1 = = cos 6 √ π π π x1 = cos y2 = Suy x2 = − y1 = − cos = sin 12 x2 12 Bằng chứng minh quy nạp ta chứng minh π π ∗ xn = sin ; y = cos n n n , với n ∈ N 3.2 π π3.2 = Từ lim xn = lim sin n = lim yn = lim cos 3.2 3.2n Bài toán 3.11 Tính giới hạn dãy số thực (xn ) xác định x n = 2n 2− 2+ n+1 + ··· + √ với n = 1, 2, dấu Lời giải √ với n = 1, 2, Ta chứng minh π (5) un = cos n+1 √ π Thật ta có u1 = = cos Khi n = mệnh đề (5) π Giả sử mệnh đề (5) n = k tức uk = cos k+1 Khi ta có √ π π π uk+1 = + uk = 2(1 + cos k+1 ) = 2.2cos2 k+2 = cos k+2 2 Đặt un = 2+ + ··· + Do theo nguyên lý quy nạp (5) với n ∈ N Ta có x n = 2n = 2n − cos 2.sin2 π 2n+2 π 2n+1 = 2n = 2n+1 sin π sin n+2 π π 2π = Vậy lim xn = lim 2 n+2 2(1 − cos π 2n+2 π 2n+1 ) 47 Bài toán 3.12 (Olympic khu vực Duyên hải ĐBBB, năm 2012) Cho + x2n − ∀n ∈ N∗ dãy số (xn ) xác định x1 = 1, xn+1 = xn Tìm lim (2n xn ) Lời giải π Ta có nhận xét : Với α ∈ 0; ta ln có: 2α − 2sin − cos α 1+ −1 α = = cos α = = tan α α sin α tan α sin α 2 sin cos 2 cos α π π Áp dụng nhận xét dễ thấy x1 = tan ⇒ x2 = tan Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: √ tan2 α xn = tan π 2n+1 ∀n ≥ Do lim (2n xn ) = lim 2n tan π 2n+1 sin = lim π 2n+1 π 2n+1 π π π = cos n+1 Bài toán 3.13 Cho a số thực dương tùy ý Xét dãy số (xn ) xác định bởi: √ xn + + + x1 = a, xn+1 = xn + 2+ + + √ n dấu Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn √ Lời giải Đặt un = + + · · · + ta có kết π un = cos n+1 , ∀n = 1, 2, π 2xn cos n+1 , ∀n ∈ N∗ (6) ⇒ xn+1 = xn + 48 Khi từ (6) ta có xn Dễ thấy xn > Đặt an = xn+1 = cos π 2n+1 + 2xn cos π ∀n = 1, 2, (7) 2n+1 4an π Từ (7) ta sin n π π sin n bn sin n+1 bn+1 2 = + π π , ∀n = 1, 2, 4.2 cos n+1 cos n+1 2 ⇔ bn+1 = bn + π , ∀n = 1, 2, sin n π π ⇔ bn+1 − cot n+1 = bn − cot n ∀n = 1, 2, 2 π π π π ⇒ bn+1 −4 cot n+1 = bn −4 cot n =bn−1 −4 cot n−1 = · · · = b1 −4 cot = b1 2 2 π Do bn = = b1 + cot n π π π sin n b1 sin n sin n bn π 2 (b + cot ) = + cos π = Bởi an = 2n 2n π4 b1 sin n + cos π ) = ⇒ lim x = = Suy lim an = lim( n 2n lim an Đặt bn = Bài toán 3.14 Cho dãy số (xn ) xác định bởi:  √  x1 = 2xn  xn+1 = , ∀n ∈ N∗ xn + Tìm lim n xi i=1 Lời giải √ 1 = π ; x2 = cos √ 22 2x1 ; = x1 + cos π 23 ∗ Bằng quy nạp ta chứng minh được: xk = π , ∀k ∈ N cos k+1 Ta có x1 = 2= 49 n Từ n xi = sin i=1 n π 2n+1 ⇒ lim xi = i=1 π Bài toán 3.15 Cho hai dãy số (un ) (vn ): u1 = v = √ ; un = 2+ n + ··· + √ ; = 2− dấu + ··· + n √ dấu Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy (un +vn ) tính lim(un +vn ) Lời giải Bằng quy nạp ta chứng minh được: un = cos un + = cos π , n+1 π 2n+1 ∀n ∈ N ∗ ; + sin π 2n+1 = sin π 2n+1 , ∀n ∈ N ∗ √ (2n−1 − 1)π = 2 cos , 2n+1 ∀n ∈ N ∗ ⇒ lim(un + ) = 3.2 Ước lượng, đánh giá tổng tích phần tử Bài toán 3.16 (Đề nghị thi Olymic 30/04/2000) Cho dãy (un ) sau: u1 = 2, u2 = un = 4un−1 − un−2 , ∀n = 3, 4, Sn = n i=1 arccot u2i Hãy tìm giới hạn dãy số (Sn ) Lời giải Trước hết ta chứng minh u2n − un+1 un−1 = 4, ∀n ≥ Ta có un (4un−1 ) = un−1 (4un ) ⇔ un (un + un−2 ) = un−1 (un+1 + un−1 ) Suy un (un+1 + un−1 ) 4un = arccot arccot u2n = arccot un u2n − un+1 un−1 un+1 un +1 un+1 un un un−1 = arccot un un+1 = arccot u − arccot u n n−1 − un−1 un 50 Suy n Sn = arccot u21 arccot + i=2 ui ui+1 − arccot ui ui−1 = arccot un+1 un Ta có un = 4un−1 − un−2 ⇒ = Ta chứng minh dãy số (vì un−1 < un nên un−1 un−2 un−1 un−2 un−1 − ⇒1=4 − · un un un un−1 un un−1 un un−1 ≤1 n→+∞ un un−1 giảm) Ta có un hội tụ lim un−1 < dễ thấy dãy un √ √ un−1 un+1 , x ≤ ⇒ x = 2− ⇒ lim = 2+ n→+∞ un n→+∞ un = 4x−x2 x = lim Suy lim Sn = lim arccot n→+∞ n→+∞ un+1 = arccot un Bài toán 3.17 Chứng minh rằng: √ n n k2 n3n k 1− < sin √ < 6n n! n n k=1 k=1 n k=1 2+ √ = π 12 k2 k4 1− + 6n 5!n6 (∗) Lời giải Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau: x− x2 Vì x − có: k2 1− n n 6n k √ Suy x3 x x3 < sin x < x − + , ∀x > 6 5! x2 x4 < sin x < x − + 5! k2 k k4 k 1− + < sin √ < √ n n n n 6n 5!n6 n k k2 sin √ < 1− < 6n n n k=1 n n k=1 Hay với n = 1, 2, ta có n k √ , ∀x > nên với n ∈ N∗ ta , ∀k = 1, 2, , n k2 k4 1− + 6n 5!n6 k=1 n n n k √ 51 n n n k2 k2 n! k n! k4 √ n 1− < 1− + sin √ < √ n 6n n n (n n) k=1 6n 5!n6 (n n) k=1 k=1 Suy √ ra, với n = 1, 2, , ta có: √ n k2 k n3n n! n3n n √ n 1− < sin √ n! (n n) k=1 6n√ n! k=1 n n n n! k4 k2 n3n · √ n < 1− + n! 6n 5!n6 (n n) k=1 √ (nn )3 n3n n! √ n= √ n = nên với n = 1, 2, , ta có: Mà n! (n n) √ nn ( n) n n n3n n k k4 k2 k2 sin √ < 1− < 1− + 6n n! n n 6n 5!n k=1 k=1 k=1 3.3 Một số dạng toán liên quan đến hàm lượng giác ngược hàm hyperbolic Bài toán 3.18 Cho trước hai số dương a, b Xét dãy số (an ) (bn ) sau: x1 = a, y1 = b, xn+1 = xn + yn √ , yn+1 = xn+1 yn , ∀n = 1, 2, Tìm lim xn , lim yn n→+∞ n→+∞ Lời giải Trường hợp 1: a = b Khi an = bn = a, ∀n = 1, 2, Bởi lim an = lim bn = a n→+∞ n→+∞ Trường hợp 2: a < b Vì < a < b nên < a π = cos v(0 < v < ) b a < Do đặt b 52 Ta có v a + b b cos v + b b (1 + cos v) = = = bcos2 , 2 2 √ v v b1 = a1 b = b2 cos2 = b cos , 2 v v v 2v bcos + b cos + cos b cos 2 = 2 = b cos v cos2 v , a2 = 2 22 √ v v v v v b2 = a2 b1 = b cos cos2 b cos = b cos cos , 2 2 v 2v v v b cos cos + b cos cos 2 2 = b cos v cos v cos2 v , a3 = 2 22 22 √ v v v v v v b3 = a3 b2 = b2 cos2 cos2 cos2 = b cos cos cos , 2 2 2 a1 = Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: v v v v an = b cos cos cos n−1 cos2 n , ∀n = 2, 3, 2v v v2 v2 bn = b cos cos cos n−1 cos n , ∀n = 2, 3, 2 2 sin 2x (với sin x = 0), ta có sin x v v v sin sin sin sin v 2n−2 · 2n−1 = b sin v bn = b · v v v v v sin sin 2 sin n−1 sin n 2n sin n 2 2 Theo công thức cos x = Do v sin v sin v sin v 2n lim lim bn = b lim =b =b v v n→+∞ n n→+∞ n→+∞ n v v sin n sin n 2 v Từ an = bn cos n ta có v v sin v = lim b lim cos = lim b = b n n n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ 2n 2n n→+∞ v a Trường hợp 3: a > b Vì a > b > nên > Gọi α số để b lim an = lim bn cos 53 a eα + e−α a = cosh α, tức = Ta có: b b x x eα + e−α e + e− x −x + cosh x = + = (2 + e + e ) = 2 x 2 x α −α − x2 − x2 2 e +e e −e x x e +e =2 · = sinh cosh sinh x = 2 2 x lim (1 + x) = e x = 2cosh2 x→0 Vì hàm số f (x) = ln x liên tục khoảng (0, +∞) nên 1 ln (1 + x) = lim ln (1 + x) x = ln lim (1 + x) x = ln e = x→0 x→0 x→0 x lim Đặt ex − = y , ex − y lim = = lim = lim x→0 y→0 ln (1 + y) y→0 ln (1 + y) x y x −x 2x sinh x e −e e −1 lim = lim = lim x = x→0 x→0 x→0 e x 2x 2x ex + e−x = lim cosh x = lim x→0 x→0 Ta có: a + b b cosh α + b b (1 + cosh α) α = = = bcosh2 , 2 2 √ α α b1 = a1 b = b2 cosh2 = b cos , 2 α α 2α bcosh + b cos b cos (1 + cos α) α α 2 a2 = = = b cos cos2 , 2 2 √ α α α α 2 b2 = a2 b1 = b2 cosh cosh = b cosh cosh , 2 2 Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: α α α α an = b cosh · cosh cosh n−1 cosh2 n , ∀n = 2, 3, 2α α2 α2 2α an = b cosh · cosh cosh n−1 cosh n , ∀n = 2, 3, 2 2 sinh 2x (với sinh x = 0), ta có Theo công thức cosh x = sinh x α α α sinh sinh sinh sinh α 2n−2 · 2n−1 = b sinh α bn = b · α α α α α sinh sinh 2 sinh n−1 sinh n 2n sinh n 2 2 a1 = 54 Do α sinh α sinh α 2n = b sinh α =b lim lim bn = lim b α n→+∞ n→+∞ α n→+∞ sinh α α 2n sinh n 2n α α sinh α Từ an = bn cosh n ta có lim an = lim bn lim cos n = b n→+∞ n→+∞ n→+∞ 2 α Bài toán 3.19 Cho dãy số (an ), (bn ) xác định sau: a1 > 0, b1 > 1, an+1 = 1 + an b n an+1 bn , (∀n = 1, 2, ) , bn+1 = Tìm lim an lim bn n→+∞ n→+∞ Lời giải Từ giả thiết suy an > 0, bn > 0, ∀n = 1, 2, Ta có an+1 1 + a bn = n = , bn+1 an+1 · , ∀n = 1, 2, bn 1 = xn , = yn Khi an bn Vậy đặt x1 = xn + yn √ , yn+1 = xn+1 yn > 0, y1 = > 0, xn+1 = an b1 Đến ta sử dụng kết của tập 3.17 Bài toán 3.20 Cho r = 0, a > 0, b > 0, xét dãy số (an ), (bn ) sau: √ arn + brn r , bn+1 = an+1 bn (∀n = 0, 1, 2, ) a0 = a, b0 = b, an+1 = Tìm lim an lim bn n→+∞ n→+∞ Lời giải Trường hợp 1: r > Trường hợp 1.1: a = b Khi an = a = bn , ∀n ∈ N Suy lim an = lim bn = n→+∞ n→+∞ ar Trường hợp 1.2: a < b Khi a < b suy < r < Do đặt b r a π ) = cos v (0 < v < br r r 55 Ta có br cos v + br br (1 + cos v) v ar + b r = = = br cos2 , = 2   2 r √ v v v r  br1 = a1 b =  b2 cos r  = bcos r  = br cos , 2 ar1 v v v br cos2 + br cos br cos (1 + cos v) v v 2 = ar2 = = br cos cos2 , 2 2 2r 2 √ v v  br2 = a2 b1 =  b2 cos r cos r  = br cos v2 cos2 2v2 , 2 v v v v br cos cos2 + br cos cos 2 2 = br cos v cos v cos2 v , ar3 = 2v 22 22 √ v v br3 = a3 b2 = br cos cos cos 2 Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: v v v v arn = br cos · cos cos n−1 cos2 n , ∀n = 2, 3, v2 v2 v v r bn = b cos · cos cos n−1 cos n , ∀n = 2, 3, 2 2 sin 2x Theo công thức cos x = (với sin x = 0), ta có: sin x v v v sin sin sin sin v 2n−2 · 2n−1 = b sin v brn = br v · v v v v sin sin 2 sin n−1 sin n 2n sin n 2 2 Do v sin v sin v 2n = br sin v = br lim lim brn = br lim v n→+∞ n n→+∞ v n→+∞ sin v v sin n 2n v Từ arn = brn cos n , ta có: v sin v v lim arn = lim brn cos n = lim brn lim cos n = lim brn = br n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ 2 v sin v Do lim an = lim bn = b n→+∞ n→+∞ v r 56 ar Trường hợp 1.3: a > b > Khi r > b ar Gọi α số để r = cosh α Ta có: b ar + b r br cosh α + br br (1 + cosh α) α = = = = br cosh2 , 2 2   √ α r α α r  = br cosh , br1 = a1 b =  b2 cosh r  = bcosh r 2 ar1 α α α + br cosh br cosh (1 + cosh α) α α 2 = ar2 = = br cosh cosh2 , 2 r √ α α α α br2 = a2 b1 = b2 cosh r cosh r = br cosh cosh2 , 2 2 br cosh2 Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: α α α α arn = br cosh · cosh cosh n−1 cosh2 n , ∀n = 2, 3, α α α2 α2 r r bn = b cosh · cosh cosh n−1 cosh n , ∀n = 2, 3, 2 2 sinh 2x (với sinh x = 0), ta có sinh x α α α sinh sinh sinh sinh α 2n−2 · 2n−1 = br sinh α brn = br α· α α α α sinh sinh 2 sinh n−1 sinh n 2n sinh n 2 2 Theo công thức cosh x = Do α b sinh α sinh α 2n = br sinh α lim brn = lim = br lim α n→+∞ n n→+∞ α n→+∞ sinh α α sinh n 2n r Từ arn = brn cosh 2αn ta có lim arn = lim brn · lim cosh n→+∞ Bởi n→+∞ n→+∞ sinh α r lim an = lim bn = b n→+∞ n→+∞ α Trường hợp 2: r < α r sinh α = b 2n α 57 Trường hợp 2.1: a = b Khi an = a = bn , ∀n ∈ N Suy lim an = lim bn = n→+∞ n→+∞ ar Trường hợp 2.2: a > b Khi a < b suy < r < Do đặt b r r π ar ) = cos v(0 < v < br Tương tự trường hợp 1.2, ta chứng minh sinh v r lim an = lim bn = b n→+∞ n→+∞ v ar ar Trường hợp 2.3: a < b Khi r > Gọi α số để r = cosh α b b Tương tự trường hợp 1.3, ta chứng minh sinh v lim an = lim bn = b n→+∞ n→+∞ v r Chú ý Bài toán 3.17 trường hợp riêng toán 3.19 r = Bài toán 3.18 trường hợp riêng toán 3.19 r = −1 Chương 3, tác giả trình bày số áp dụng dãy sinh hàm lượng giác: Tính giới hạn dãy số, ước lượng tổng tích vô hạn phần tử Đồng thời, tác giả đưa số dạng toán liên quan đến hàm lượng giác ngược hàm hyperbolic 58 KẾT LUẬN Luận văn trình bày giới thiệu số nội dung dãy số sinh hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược, hàm hyperbolic số áp dụng Kết luận văn là: - Trình bày hệ thống số kiến thức hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược hàm hyperbolic - Trình bày số áp dụng dãy số sinh hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược, hàm hyperbolic - Trình bày số tốn dãy số sử dụng phương pháp lượng giác - Trình bày số toán dãy số sử dụng đồng thức đại số sinh hàm lượng giác Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả hạn chế nên vấn đề luận văn trình bày chưa sâu sắc chắn khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Tác giả mong nhận góp ý q thầy bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn! 59 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu, Phan Thị Bạch Ngọc (2002), Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn (2008), Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo dục [4] Phan Huy Khải (1996), 10.000 toán sơ cấp dãy số giới hạn, NXB Giáo dục [5] Phan Huy Khải (2007), Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn trung học phổ thơng tốn dãy số, NXB Giáo dục [6] Tủ sách Toán học Tuổi trẻ (2007), Các thi Olympic toán THPT Việt Nam (1990 - 2006), NXB Giáo dục [7] Vũ Thế Hựu (2004) Phương pháp lượng giác hóa toán, NXB Giáo dục Tiếng Anh [8] Andreescu T., Feng Z (2004), 103 Trigonometry Problems, Birkhăauser ... Ước lượng, đánh giá dãy số sinh hàm lượng giác Trong chương 2, ta quan tâm đến dãy số sinh hàm số lượng giác, dãy số xác định phương pháp lượng giác tính chất liên quan đến dãy số sinh hàm lượng. .. Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa tính chất hàm số lượng giác 1.2 Một số tính chất đa thức lượng giác 1.3 Một số dạng đẳng thức lớp hàm lượng giác lượng giác. .. số sinh hàm lượng giác 13 2.1 Xác định dãy số 13 2.2 Ước lượng, đánh giá dãy số sinh hàm lượng giác 26 2.3 Xác định tính chất liên quan đến dãy số sinh hàm lượng giác