SKKN giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn toán lớp 9

3 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết Khi giảng dạy cho em học sinh bậc THCS mơn Tốn, nhận thấy em học sinh lớp gặp nhiều khó khăn giải dạng tốn cách lập phương trình, hệ phương trình Mặc dù em biết cách giải dạng toán đố Tiểu học, toán số học lớp 6, 7, dạng phương trình lớp 8, giải hệ phương trình lớp 9, phương trình bậc hai lớp Nhưng gặp toán giải cách lập phương trình, hệ phương trình em lại thấy khó em nắm quy tắc chung (các bước giải) Có nhiều em nắm rõ bước giải lại vận dụng vào giải tập em khơng biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải khơng biết tìm liên quan đại lượng để lập phương trình, hệ phương trình Mà dạng tốn dạng toán bản, thường xuất kiểm tra học kỳ, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, đại đa số học sinh bị điểm không nắm cách giải, có học sinh biết cách làm khơng đạt điểm tối đa thiếu nhiều ý Trong phân phối chương trình mơn Tốn THCS lớp số lượng tiết học giải toán cách lập phương trình hệ phương trình tiết nên thân giáo viên học sinh chưa có tìm hiểu cách thấu đáo, sách tài liệu tham khảo trường dạng tập cịn thiếu Trường tơi giảng dạy trường DTNT nên đa số em đồng bào dân tộc thiểu số nên trình độ tiếp thu hạn chế đặc biệt môn khoa học tự nhiên, nhiều em đọc viết chậm lên lớp q trình tiếp thu mơn Tốn em tương đối yếu, chậm Từ vài kinh nghiệm thân giảng dạy “Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình chương trình mơn Tốn lớp 9” thơi thúc tơi ý tưởng trình bày sáng kiến để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp trình dạy học mơn Tốn 4 Mục đích nghiên cứu Để giảng dạy học sinh lớp thực dễ dàng việc “Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình chương trình mơn Toán lớp 9”, ứng dụng Toán học sống, kích thích u thích, tìm hiểu mơn Tốn môn khoa học khác Nhiệm vụ nghiên cứu Hướng dẫn học sinh cách lập phương trình, hệ phương trình giải phương trình, hệ phương trình cách kỹ càng, xác Giúp em học sinh có kỹ thực hành giải tốn tương đối thành thục gặp tốn địi hỏi cách lập phương trình hệ phương trình Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp tìm lời giải tốn, tốn giải cách lập phương trình hệ phương trình chương trình tốn THCS lớp Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu áp dụng giảng dạy cho học sinh THCS lớp sở toán “Giải tốn cách lập hệ phương trình” Chương III - Đại số Toán tập 2, tốn “Giải tốn cách lập phương trình” Chương IV - Đại số Toán tập 2, tốn giải cách lập phương trình hệ phương trình sách tham khảo Phương pháp nghiên cứu Phương pháp trực quan Phương pháp tìm tịi Phương pháp làm việc với sách Đóng góp khoa học sáng kiến Kinh nghiệm “Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình chương trình mơn Tốn lớp 9” vận dụng q trình giảng dạy mơn Tốn lớp trường PT DTNT Tây Nguyên bước đầu giúp cho học sinh hứng thú việc học Toán 5 Việc vận dụng đề tài áp dụng vào giảng dạy mơn Tốn, đặc biệt học sinh lớp 8, lớp giúp cho học sinh dễ dàng việc giải toán cách lập phương trình hệ phương trình qua kích thích lịng say mê tìm hiểu mơn Tốn, u thích mơn Tốn mơn khoa học khác Kết cấu đề tài gồm Mở đầu, hai phần, kết luận, tài liệu tham khảo Phần CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỌC SINH LỚP 1.1 Cơ sở lý luận Tốn học có vai trò quan trọng đời sống ngành khoa học Ngay từ kỉ 13, nhà tư tưởng Anh R Bêcơn (R Bacon) nói rằng: “Ai khơng hiểu biết tốn học khơng thể hiểu biết khoa học khác phát dốt nát thân mình.” Đến kỉ 20, nhà vật lí học tiếng (P.Dirac) khẳng định xây dựng lí thuyết vật lí “khơng tin vào quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, sơ đồ đầu khơng liên hệ với vật lí cả.” Sự phát triển khoa học chứng minh lời tiên đoán C.Mac (K Marx): “Một khoa học thực phát triển sử dụng phương pháp toán học.” Mục tiêu Giáo dục nói chung, Nhà trường nói riêng đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế Để thực mục tiêu đó, trước hết phải biết áp dụng phương pháp dạy học bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư sáng tạo người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện đại vào trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh Đồng thời thân giáo viên phải tự giác, tích cực tìm phương pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh môn học, đặc biệt mơn học có tính đặc thù cao mơn Toán Trong thời đại nay, giáo dục nước ta tiếp cận với khoa học đại Các mơn học địi hỏi tư sáng tạo đại học sinh Đặc biệt mơn Tốn, địi hỏi tư tích cực học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức cách xác, khoa học đại Vì để giúp em học tập mơn tốn có kết tốt giáo viên khơng có kiến thức vững vàng, tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần thiết phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh cách dễ hiểu 1.2 Thực trạng vấn đề Chương trình mơn Toán bậc THCS rộng đa dạng, em lĩnh hội nhiều kiến thức Trong có nội dung kiến thức theo em suốt trình học tập phương trình Ngay từ ngày cắp sách đến trường, học sinh giải phương trình Đó phương trình đơn giản dạng điền số thích hợp vào trống cao tìm số chưa biết đẳng thức cao em phải làm số toán phức tạp Đến lớp 8, lớp đề tốn chương trình đại số phương trình tốn có lời Các em vào lời toán cho phải tự thành lập phương trình, hệ phương trình giải phương trình, hệ phương trình Kết tìm khơng phụ thuộc vào kỹ giải phương trình, hệ phương trình mà cịn phụ thuộc nhiều vào việc thành lập phương trình, hệ phương trình Đó dạng tốn “Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình” Dạng tốn tương đối khó mẻ, mang tính trừu tượng cao, địi hỏi học sinh phải có kiến thức số học, đại số, hình học, vật lí phải biết tìm mối liên hệ yếu tố toán cho với thực tiễn đời sống Nhưng thực tế cho thấy phần đông học sinh không đáp ứng khả nên không giải dạng tốn lập phương trình Việc giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình học sinh THCS việc làm mẻ Đề cho khơng phải phương trình, hệ phương trình có sẵn mà đoạn văn mô tả mối quan hệ đại lượng, học sinh phải chuyển đổi mối quan hệ đại lượng mô tả lời văn sang mối quan hệ toán học Hơn nữa, nội dung tốn này, hầu hết gắn bó với hoạt động thực tế người, xã hội tự nhiên,… Do q trình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý Một đặc thù riêng loại toán hầu hết toán gắn liền với nội dung thực tế Chính mà việc chọn ẩn số thường số liệu có liên quan đến thực tế Do giải tốn học sinh thường mắc sai lầm ly thực tế Từ lý mà học sinh ngại làm loại toán Mặc khác, q trình giảng dạy lực, trình độ giáo viên dạy cho học sinh mức độ truyền thụ tinh thần sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát cách giải cho dạng Kỹ phân tích tổng hợp học sinh cịn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ liệu toán, dẫn đến việc học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn vấn đề giải loại toán Đối với việc giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình em học nên chưa quen với dạng toán tự làm phương trình, hệ phương trình Xuất phát từ thực tế nên kết học tập em chưa cao Nhiều em nắm lý thuyết chắn áp dụng giải tập lại khơng làm Do việc hướng dẫn giúp em có kỹ lập phương trình để giải tốn, ngồi việc nắm lý thuyết, em phải biết vận dụng thực hành, từ phát triển khả tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh học nhằm nâng cao chất lượng học tập Xuất phát từ thực tế em học sinh ngại khó giải tốn, tơi thấy cần phải tạo cho em có niềm u thích say mê học tập, ln tự đặt câu hỏi tự tìm câu trả lời Khi gặp tốn khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả trình học tập Để giúp học sinh bớt khó khăn cảm thấy dễ dàng việc “Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình” lớp 8, lớp tơi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập phương trình, hệ phương trình giải phương trình, hệ phương trình cách kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ thực hành giải toán phần cẩn thận Việc hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải tốn phù hợp với dạng vấn đề quan trọng, phải tích cực quan tâm thường xuyên, không giúp em nắm lý thuyết mà cịn phải tạo cho em có phương pháp học tập cho thân, rèn cho em có khả thực hành Nếu làm điều chắn kết học tập em đạt mong muốn Kết luận phần Từ lí nêu trên, giáo viên khơng truyền thụ cho học sinh kiến thức sách giáo khoa (SGK) mà dạy cho học sinh cách giải tập Giáo viên hướng dẫn cho học sinh giải toán dạng phải dựa quy tắc chung là: yêu cầu giải toán, quy tắc giải toán cách lập phương trình, phân loại dạng tốn, làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng dẫn đến lập phương trình dễ dàng Và lập phương trình địi hỏi phải giải cho xác, tìm kết sau kết luận toán Đây bước đặc biệt quan trọng khó khăn khơng học sinh mà cịn giáo viên Do giáo viên cố gắng rèn luyện cho học sinh cách giải mà cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn, tạo lịng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, khơng cịn tâm lý ngại ngùng việc giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình 9 Phần GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỌC SINH LỚP 2.1 Phân tích, tìm hiểu dạng tốn “Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình” Từ khó khăn học sinh yếu tố khách quan khác, tơi cố gắng tìm giải pháp khắc phục nhằm đạt hiệu cao cơng tác Nắm bắt tình hình học sinh ngại khó giải tốn cách lập phương trình nên tơi đưa dạng tập khác để phân loại cho phù hợp với khả nhận thức đối tượng Các tập dạng từ thấp đến cao để em nhận thức chậm làm tốt tốn mức độ trung bình, đồng thời kích thích tìm tòi sáng tạo học sinh khá, giỏi Bên cạnh tơi thường xun hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến em Cho học sinh làm việc cá nhân cịn phải tham gia trao đổi nhóm cần thiết Tơi u cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách nhiệm với thân tập thể Mặc dù khả nhận thức suy luận học sinh lớp chưa đồng giải tốn cách lập phương trình tất phải dựa vào quy tắc chung: Đó bước giải toán cách lập phương trình Cụ thể sau : Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) gồm cơng việc sau - Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) đặt điều kiện cho ẩn; - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) - Tùy phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn phù hợp 10 Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem nghiệm phương trình ( nghiệm hệ phương trình), nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận) Lưu ý: Trước thực bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận dạng tốn dạng tốn nào, sau tóm tắt đề giải Bước có tính chất định Thường đầu hỏi số liệu ta đặt ẩn số Xác định đơn vị điều kiện ẩn phải phù hợp với thực tế sống 2.2 Phân tích, tìm hiểu yêu cầu giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Tuy có quy tắc người giáo viên trình hướng dẫn cần đảm bảo cho học sinh thực theo yêu cầu sau : Yêu cầu : Lời giải khơng phạm sai lầm khơng có sai sót nhỏ Để học sinh khơng mắc phải sai lầm người giáo viên phải hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề tốn Do trước giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc thật kỹ đề bài, đọc lại đề nhiều lần, câu, chữ đề để nắm đề cho gì, yêu cầu tìm Từ giúp học sinh hiểu kỹ đề tốn q trình giải khơng có sai sót nhỏ khơng phạm sai lầm Việc hiểu kỹ nội dung đề tiền đề quan trọng việc giải tập tốn Nó giúp học sinh nhiều việc chọn ẩn, đặt điều kiện ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ tính tốn, … Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn đối chiều với điều kiện ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót kết luận tốn Ví dụ : Bài tập 37 SBT Tốn tập - trang 09 Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 63 Tổng số cho số tạo thành 99 Tìm số cho Phân tích : Học sinh cần phải nắm cấu tạo số hệ thập phân: + số có hai chữ số ab biểu diễn 10a + b 11 Ta thấy hai đại lượng chưa biết chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số cần tìm Theo giả thiết, viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta số có hai chữ số Điều chứng tỏ hai chữ số phải khác Giải : Gọi chữ số hàng chục số cần tìm x (ĐK : < x ≤ ) chữ số hàng đơn vị số cần tìm y (ĐK : < y ≤ ) Theo đề ta có : Số ban đầu cần tìm : xy = 10 x + y Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta số : yx = 10 y + x Theo điều kiện đề ta có hệ phương trình : ( 10 y + x ) − ( 10 x + y ) = 63 − x + y = ⇔  x + y = ( 10 x + y ) + ( 10 y + x ) = 99 x = Giải hệ ta :  y = Vậy số ban đầu cần tìm : 18 x = Sau tìm  , giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện ban đầu y = đề xem thỏa mãn điều kiện chưa Yêu cầu : Lời giải phải có xác Khi giải tốn cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lập luận phải có phải xác, khoa học Vì câu lập luận giải liên quan đến ẩn số kiện cho đề tốn Do giáo viên cần phải giúp học sinh hiểu đâu ẩn số, đâu kiện cho toán, để từ dựa vào yếu tố mối liên quan đại lượng cho ẩn số để lập luận lập nên phương trình Vì thế, trước hướng dẫn học sinh giải tốn cách lập phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyện tập phương pháp biểu diễn tương quan đại lượng biểu thức chứa ẩn, ẩn số đại diện cho đại lượng chưa biết Học sinh sử dụng cách lập 12 bảng (có thể viết giấy nháp) để biểu diễn đại lượng chưa biết biểu thức ẩn với quan hệ chúng Ví dụ : Bài tốn SGK toán tập - trang 22 Hai đội công nhân làm đoạn đường 24 ngày xong Mỗi ngày, phần việc đội A làm nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi làm đội làm xong đoạn đường ? Phân tích : Từ giả thiết hai đội làm 24 ngày xong đoạn đường (và xem xong công việc), ta suy ngày hai đội làm chung công việc 24 Tương tự, số phần công việc mà đội làm ngày số ngày cần thiết để đội hồn thành cơng việc hai đại lượng tỉ lệ nghịch Khi gọi : + x số ngày để đội A làm một hồn thành tồn cơng việc + y số ngày để đội B làm một hồn thành tồn cơng việc Ta có bảng sau : Công việc Đội A Đội B Cả hai đội Hệ PT Năng suất x y 1 + = x y 24 1 1  x + y = 24  1 =  x y Trong ví dụ trên, chọn ẩn số theo cách khác : Nếu gọi : + x số phần công việc làm ngày đội A + y số phần công việc làm ngày đội B Thời gian x ngày (x > 0) y ngày (y > 0) 24 ngày 13 Ta có bảng sau : Công việc Năng suất Đội A x Đội B y Cả hai đội x+ y= Hệ PT Thời gian ngày (x > 0) x ngày (y > 0) y 24 24 ngày   x + y = 24  x = y  Qua ta thấy chọn ẩn “thời gian” hệ phương trình phức tạp so với chọn ẩn “năng suất làm việc” Do giải cần ý đến việc chọn ẩn Yêu cầu : Lời giải phải đầy đủ mang tính tồn diện Giáo viên giảng dạy cho học sinh giải loại toán cần phải ý đến tính tồn diện giải Nghĩa lời giải tốn phải đầy đủ, xác, không thừa không thiếu Phải sử dụng hết tất kiện đề bài, khơng bỏ sót kiện, chi tiết dù nhỏ, sử dụng hết tất kiện tốn, lập phương trình, giải tìm kết cuối em phải ý đối chiếu kết với điều kiện ẩn thử lại kết để trả lời, kết luận tốn cho xác Có thể tính đầy đủ tồn diện Ví dụ 3: Bài tập 30 SGK Tốn tập 2- trang 22 Một tơ từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h đến B chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định Tính độ dài quãng đường AB thời điểm xuất phát ôtô A Hướng dẫn giải : Gọi độ dài quãng đường AB x (km) thời gian dự định từ A đến B y (giờ) 14 Ta có bảng sau : Dự định Quãng đường (km) x (x > 0) Vận tốc (km/h) - Đi chậm x 35 km/h Đi nhanh x 50 km/h Thời gian (giờ) y (y > 0) x 35 x 50 x  35 + = y   x −1 = y  50 Hệ PT  x = 350 Giải hệ ta :  y = Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát ôtô : 12 – = sáng Yêu cầu 4: Lời giải toán đơn giản tốt Bài giải phải đảm bảo u cầu khơng sai sót, có lập luận, mang tính tồn diện phù hợp kiến thức, trình độ học sinh, đại đa số học sinh hiểu làm Ví dụ 4: Bài tốn cổ SGK toán tập - trang 24 “Vừa gà vừa chó Bó lại cho trịn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Hỏi có gà, chó?” Hướng dẫn : Gọi số gà cần tìm x ( x ∈ Z + ,0 < x < 36 ) số chó cần tìm y ( y ∈ Z + ,0 < y < 36 )  x + y = 36 Theo đề ta có hệ phương trình :   x + y = 100 Nếu ta giải tốn theo hướng lời giải ngắn gọn, hệ phương trình dễ giải 15 Nhưng ta chọn ẩn số sau : Gọi số chân gà x ( x ∈ Z + ,0 < x < 100 ) số chân chó y ( y ∈ Z + ,0 < y < 100 )  x + y = 100  Theo đề ta có hệ phương trình :  x y  + = 36 Nếu ta giải tốn theo hướng việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai lầm Yêu cầu : Lời giải phải trình bày khoa học Khi giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình cần lập luận dựa vào kiện đề Tuy nhiên lập luận trình bày lời giải cần phải có thứ tự, vấn đề cần lập luận trước, vấn đề cần lập luận sau Giữa bước lập luận biểu diễn tương quan đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau, bước sau kế thừa bước trước, bước trước nêu nhằm chủ ý cho bước sau tiếp nối Khơng nên diễn giải lung tung, khơng có trình tự, dài dòng bước Trên yêu cầu quan trọng thực giải toán cách lập phương trình hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh Ngoài việc nhắc nhở học sinh nắm vững bước giải tốn cách lập hệ phương trình, phương trình, nắm vững yêu cầu đặt việc giải toán, học sinh đối tượng để giải tốt tập, việc quan trọng thành công dạy học người giáo viên Để học sinh học tốt, hiểu bài, vận dụng lý thuyết để giải tập trước hết giáo viên phải soạn thật tốt, chuẩn bị hệ thống câu hỏi phù hợp, số tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với đối tượng học sinh Phân tích thật rõ ràng tỉ mỉ ví dụ sách giáo khoa tiết dạy lớp phân tích thật kĩ tập mẫu cho học sinh qua học tự chọn để làm tảng cho học sinh giải tập khác Mặt khác giáo viên chia học sinh thành nhóm nhỏ, nhóm có nhóm trưởng tổ chức thảo luận tập mẫu để em học sinh yếu hiểu cách sâu hơn, giúp em giải số tập tương tự, làm cho em không chán 16 nản, không ngại khó giải tập giải tốn cách lập phương trình Từ giúp em có hứng thú giải tập dạng khó Do giáo viên cần phải cho học sinh tập tương tự để em tự làm cần phải phân loại rõ ràng cho học sinh dạng tốn giải tốn cách lập phương trình để từ học sinh chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn 2.3 Phân loại hướng dẫn giải dạng toán cụ thể giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình 2.3.1 Dạng tốn chuyển động - Phương pháp giải Toán chuyển động gồm đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian S = v.t quãng đường = vận tốc ´ thời gian t= S v thời gian = quãng đường : vận tốc v= S t vận tốc = quãng đường : thời gian Đi nhanh vận tốc lớn hơn; Đi chậm vận tốc nhỏ hơn; Đến sớm (đến trước) thời gian hơn; Đến muộn ( đến chậm, đến sau) thời gian nhiều Thường chọn vận tốc làm ẩn phương trình phương trình thời gian - Một số dạng tập thường gặp ví dụ minh họa + Dạng “Khởi hành lúc, nơi chiều” : Ví dụ 5: Bài 47/Trang 59 (SGK) Bác Hiệp cô Liên xe đạp từ làng lên tỉnh quãng đường dài 30 km, khởi hành lúc Vận tốc xe Bác Hiệp lớn vận tốc xe cô Liên km/h nên bác Hiệp đến tỉnh trước Liên nửa Tính vận tốc xe người 17 Đk: x > S(km) v(km/h) Bác Hiệp (nhanh) 30 x Cô Liên (chậm) 30 x+3 Phương trình 30 30 − = x+3 x t(h) 30 x 30 x+3 + Dạng “Tìm vận tốc thực, tìm vận tốc xi (ngược) dịng”: Vận tốc thực : Là vận tốc vật dòng chảy đứng n vxi = vthực + vdịng vdịng = (vxi - vngược ) : vngược = vthực - vdòng vthực = (vxi + vngược ) : Ví dụ 6: Bài 52 /Trang 60 (SGK) Khoảng cách hai bến sông A B 30 km Một canô từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút bến B quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến tới bến A hết tất Hãy tìm vận tốc canơ nước yên lặng, biết vận tốc nước chảy km/h Đk: x > S(km) v(km/h) t(h) x Ca nô nước đứng yên Khi xi dịng 30 x+3 30 x+3 Khi ngược dịng 30 x−3 30 x−3 Phương trình 30 30 + + =6 x+3 x −3 + Dạng “có nghỉ dọc đường thay đổi vận tốc”: Ví dụ 7: Bài 43/Trang 58 (SGK) Một xuồng du lịch từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo đường sơng dài 120 km Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại thị trấn Năm Căn Khi về, 18 xuồng theo đường khác dài đường lúc km với vận tốc nhỏ vận tốc lúc km/h Tính vận tốc xuồng lúc đi, biết thời gian thời gian Đk: x >0 S(km) v(km/h) Lúc (nhanh) 120 x Lúc (chậm) 125 x−5 Phương trình 120 125 +1 = x x −5 t(h) 120 x 125 x −5 2.3.2 Loại toán “lao động sản xuất” - Phương pháp giải Tổng số lượng công việc = số đối tượng × lượng c.việc đối tượng Lượng c.việc đối tượng = (Tổng số lượng c việc) : (số đối tượng) Lượng công việc : số hàng, số cây, số m2, số bàn ghế,… Đối tượng : số xe, số người, số tàu,… Thường chọn số đối tượng làm ẩn - Một số dạng tập thường gặp ví dụ minh họa Ví dụ 8: Trong buổi lao động trồng cây, tổ học sinh giao nhiệm vụ trồng 56 Vì có bạn tổ phân cơng làm việc khác nên để trồng đủ số giao, bạn lại tổ trồng tăng thêm so với dự định lúc đầu Hỏi tổ học sinh có bạn, biết số phân cho bạn trồng (ĐS: h/s) 19 Đk: x Lúc đầu Lúc sau Số Số h/s Số h/s (cây) (nguời) (cây/ người) 56 56 Phương trình x  56 x  x −1  56 x −1  56 56 − =1 x −1 x 2.3.3 Loại tốn “cơng việc” - Phương pháp giải Năng suất lao động : lượng công việc làm đơn vị thời gian Lượng công việc = thời gian ´ suất ⇒ Năng suất = lượng công việc : thời gian Năng suất thời gian tỉ lệ nghịch với Thường chọn thời gian làm ẩn “Công việc” = Làm nhanh ( suất cao hơn) thời gian hơn; làm chậm ( suất thấp hơn) nhiều thời gian cơng việc = thời gian × suất Năng suất = cơng việc : thời gian Thường chọn thời gian làm ẩn x Đk : x > thời gian hai Phương trình thường : Năng suất I + Năng suất II = Năng suất hai - Một số dạng tập thường gặp ví dụ minh họa Ví dụ 9: Hai đội học sinh tham gia ngày “Lao động xây dựng Tổ quốc” làm chung xong cơng việc phân cơng Nếu để đội làm 20 đội I làm nhanh đội II Tính xem đội làm phải thời gian xong công việc (Đáp số: 12 giờ) Đk : x > Công việc Thời gian (giờ) Năng suất ( cv/giờ) Đội I (nhanh) x  Đội II (chậm) x+6  Cả hai đội 1 x x+6 4 Phương trình   1 + = x x+6 2.3.4 Loại tốn “liên quan đến hình học” - Phương pháp giải Nên vẽ hình (ngồi nháp được) Các kích thước hình: độ dài cạnh hình Phải thuộc hệ thức, cơng thức, định lý, hệ … liên quan đến hình để vận dụng vào tốn Đối với hình chữ nhật: chu vi = ( dài + rộng) ; Þ Dài = chu vi - rộng ; diện tích = dài ´ rộng Rộng = chu vi - dài Nếu chọn chiều rộng ẩn điều kiện là: < rộng < Nếu chọn chiều dài làm ẩn điều kiện là: chu vi chu vi chu vi < dài < : 21 Đối với tam giác vng: Nếu chọn cạnh góc vng làm ẩn x Đk là: < x < cạnh huyền Diện tích tam giác = đá y ´ cao - Một số dạng tập thường gặp ví dụ minh họa Ví dụ 10: Cạnh huyền tam giác vuông 10 m Hai cạnh góc vng m Tìm cạnh góc vng tam giác Giải Gọi độ dài cạnh góc vng nhỏ x (m),( < x < 10 ); Độ dài cạnh góc vng lớn x + (m) Áp dụng định lý Pitago, ta có phương trình: ( x + 2)2 + x2 = 102 Ví dụ 11 : Bài 48/Trang 59 (SGK) Từ miếng tơn hình chữ nhật người ta cắt góc bốn hình vng có cạnh dm để làm thành thùng không nắp có dung tích 1500 dm Hãy tính kích thước miếng tôn lúc đầu, biết chiều dài gấp đơi chiều rộng Giải dm Gọi chiều rộng miếng tôn x (dm), (x > 10) dm dm Chiều dài miếng tôn 2x (dm) x Chiều rộng thùng x – 10 (dm) Chiều dài thùng 2x – 10 (dm) dm Vì thể tích thùng = dài ´ rộng ´ cao nên ta có phương trình: 2x 1500 = (2x – 10).(x – 10) (ĐS: rộng= 20dm dài =40 cm) 2.3.5 Loại tốn “liên quan vật lí, hóa học” - Phương pháp giải Cần nắm vững cơng thức vật lý, hóa học cơng thức suy để vận dụng vào toán 22 D= M V ìï D: khố i lượng riê ng (kg/m3) ïï ïí M : làkhố Þ i lượng (kg) ïï ïï V : làthểtích (m3) : ỵ V= M D M = V D Ví dụ dung dịch: Nồng độ dung dịch muối 12 % ta nên hiểu: Trong 100 gam dung dịch có 12 gam muối mdd = mct + mH 2O C% = mct 100% mdd Nếu đơn vị đo đại lượng chưa đơn vị phải đổi đơn vị - Một số dạng tập thường gặp ví dụ minh họa Ví dụ 12 : Bài 50/Trang 59 (SGK) Miếng kim loại thứ nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g Thể tích miếng thứ nhỏ thể tích miếng thứ hai 10 cm 3, khối lượng riêng miếng thứ lớn khối lượng riêng miếng thứ hai g/cm3 Tìm khối lượng riêng miếng kim loại (ĐS: 8,8 g/cm3 7,8 g/cm3) Đk: x > Khối lượng (M) (g) Miếng thứ 880 Miếng thứ hai 858 Phương trình 858 880 − = 10 x −1 x Ví dụ 13 : Bài 51/Trang 59(SGK) Thể tích (V) Khối lượng riêng (D) (cm3) (g/cm3) 880 x x 858 x −1 x −1 23 Người ta đổ thêm 200 g nước vào dung dịch chứa 40 g muối nồng độ dung dịch giảm 10% Hỏi trước đổ thêm nước dung dịch chứa nước ? Đk: x > Số gam nước Lúc đầu x Lúc sau x + 200 Số gam muối Phương trình Nồng độ dung dịch 40 x + 40 40 40 40 = x + 200 + 40 x + 240 40 40 10 − = x + 40 x + 240 100 40 2.3.6 Loại toán “Quan hệ số” - Phương pháp giải Cần phân biệt tổng bình phương với bình phương tổng + Tổng bình phương hai số a b a2 + b2 + Bình phương tổng hai số a b (a + b)2 a b nghịch đảo Số x có nghịch đảo b a x Phân tích số hai thừa số biến đổi số thành hai số khác nhân với Ví dụ: = Cho tổng hai số : Nếu gọi số thứ x, số thứ hai là: Tổng – x Cho hiệu hai số : Nếu gọi số lớn x, số nhỏ : x – hiệu Nếu gọi số nhỏ x, số lớn : x + hiệu - Một số dạng tập thường gặp ví dụ minh họa Ví dụ 14: Bài 41/Trang 58 (SGK) Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh bạn Lan người chọn số cho hai số tích chúng phải 150 Vậy hai bạn Minh Lan phải chọn số ? Giải Gọi số nhỏ mà bạn chọn x Số lớn bạn chọn x + (ĐS: 10 15 hoặc: – 10 –15) 24 Theo ta có phương trình x(x + 5) = 150 (HS tự giải tiếp) Ví dụ 15 : Bài 44/Trang 58 (SGK) Đố Đố em tìm số mà nửa trừ nửa đơn vị nhân với nửa nửa đơn vị (ĐS: –1) Giải : Gọi số phải tìm x nửa x Một nửa trừ nửa đơn vị x 2 Theo ta cú phng trỡnh ổx 1ử x ỗ - ữ = ữ ỗ ữ ỗ ố2 2ứ 2 Ví dụ 16 : Bài 45/Trang 58 (SGK) Tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng 109 Tìm hai số (ĐS: 11 12) Giải Gọi số tự nhiên bé x , (x Ỵ N, x > 0) Số tự nhiên liền sau là: x + Tích chúng là: x.(x + 1) = x2 + x Tổng chúng là: x + (x + 1) = 2x + Theo ta có phương trình (x2 + x) – (2x + 1) = 109 2.3.7 Một số tập đề nghị : Bài 1: Hai giá sách có 450 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 50 số sách giá thứ hai số sách giá thứ nhất.Tìm số sách lúc đầu giá Bài 2: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 hàng Khi khởi hành xe phải điều làm cơng việc khác, nên xe cịn lại phải chở nhiều 0,5 hàng so với dự định Hỏi thực tế có xe tham gia vận chuyển (biết khối lượng hàng xe chở nhau) 25 Bài 3: Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể Nếu để riêng vòi thứ chảy giờ, sau đóng lại mở vịi thứ hai chảy tiếp bể Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lâu? Bài 4: Một người xe máy khởi hành từ Hồi Ân Quy Nhơn Sau 75 phút, tuyến đường Ơ tơ khởi hành từ Quy Nhơn Hoài Ân với vận tốc lớn vận tốc xe máy 20 km/giờ Hai xe gặp Phù Cát Tính vận tốc xe, giả thiết Quy Nhơn cách Hoài Ân 100 km Quy Nhơn cách Phù Cát 30 km Bài 5: Một Ơ tơ khách Ô tô tải xuất phát từ địa điểm A đến địa điểm B đường dài 180 km vận tốc Ơ tơ khách lớn Ơ tơ tải 10 km/h nên Ơ tơ khách đến B trước Ơ tơ tải 36 phút Tính vận tốc Ơ tơ Biết q trình từ A đến B vận tốc Ơ tơ khơng đổi Bài 6: Một mô tô từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc thời gian dự định Nếu mơ tơ tăng vận tốc thêm 5km/h thỡ đến B sớm thời gian dự định 20 phút Nếu mô tô giảm vận tốc 5km/h đến B chậm 24 phút so với thời gian dự định Tính độ dài quảng đường từ thành phố A đến thành phố B Bài 7: Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24 km ; lúc đó, từ A B bè nứa trôi với vận tốc dòng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nô Bài 8: Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một Ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B, lại từ B A Thời gian lúc đến lúc trở A 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc Ơ tơ Bài 9: Cho ruộng hình chữ nhật có diện tích 100m2 Tính độ dài cạnh ruộng Biết tăng chiều rộng ruộng lên 2m giảm chiều dài ruộng 5m diện tích ruộng tăng thêm 5m2 26 Bài 10: Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) trồng tất 80 Biết số bạn nam trồng số bạn nữ trồng ; bạn nam trồng nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ Bài 11: Một ca nơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, lúc từ A bè nứa trơi với vận tốc dịng nước km /h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ Bài 12: Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ làm họ làm 25% công việc Hỏi người làm cơng việc xong? Bài 13: Tháng thứ hai tổ sản xuất 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vượt 15%.tổ vượt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất sản phẩm Bài 14: Hai hợp tác xã bán cho nhà nước 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã bán cho nhà nước Biết lần số thóc hợp tác xã thứ bán cho nhà nước nhiều hai lần số thóc hợp tác xã thứ hai bán 280 tÊn Bài 15: Tháng thứ hai tổ sản xuất 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vượt 15%.tổ vượt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất sản phẩm Kết luận phần Với giải pháp nêu tơi vận dụng vào q trình hướng dẫn cho học sinh giải toán dạng nhận thấy em nắm quy tắc giải tốn cách lập phương trình, phân loại dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng dẫn đến lập phương trình (hệ phương trình) dễ dàng, từ việc giải phương trình (hệ phương trình) tìm đáp số tốn xác khơng gặp phải khó khăn sai lầm gặp dạng tốn này, kích thích 27 học sinh lịng say mê tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn KẾT LUẬN Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, nhận thấy việc giảng dạy giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình có ý nghĩa thực tế cao Nó rèn luyện cho học sinh tư logic, khả sáng tạo, khả diễn đạt xác nhiều quan hệ tốn học, … Do giải dạng toán lớp 8, lớp giáo viên cần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài, nắm mối quan hệ biết chưa biết đại lượng để lập phương trình, hệ phương trình Các tốn, ví dụ nêu lên chủ yếu toán bậc nhất, nghĩa tốn dẫn đến phương trình quy bậc Lên đến lớp việc giải tốn cách lập phương trình tn theo bước lớp phương trình quy phương trình bậc hai hệ phương trình Vì giáo viên cần phân tích kỹ bước giải, lưu ý rõ cho học sinh yêu cầu giải dạng toán để học sinh có kiến thức vững phục vụ cho việc giải tốn Bên cạnh đó, giáo viên tạo hứng thú cho học sinh học, hướng dẫn học sinh cách học bài, làm cách nghiên cứu trước nhà Tăng cường phụ đạo học sinh yếu kém, tìm chỗ học sinh bị hổng để phụ đạo Điều địi hỏi người giáo viên phải có lịng u nghề, u thương học sinh phải có lượng kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh  ... THCS lớp sở toán ? ?Giải toán cách lập hệ phương trình? ?? Chương III - Đại số Toán tập 2, toán ? ?Giải tốn cách lập phương trình? ?? Chương IV - Đại số Toán tập 2, toán giải cách lập phương trình hệ phương. .. dàng việc ? ?Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình? ?? lớp 8, lớp thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập phương trình, hệ phương trình giải phương trình, hệ phương trình cách kỹ càng,... lý ngại ngùng việc giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình 9 Phần GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỌC SINH LỚP 2.1 Phân tích,