skkn rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình; hệ phương trình

Ngay từ khi cắp sách đến trường các em đã được làm quen với phương trình dưới dạng đơn giản đó là điền số thích hợp vào ô trống và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong một đẳng thức

MỤC LỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2013-2014

I TÊN SÁNG KIẾN:

''Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình; hệ phương trình''

II TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:

Dương Thị Bích Huệ – Giáo viên Trường THCS Tân Thành

- Kim Sơn – Ninh Bình III NỘI DUNG SÁNG KIẾN:

1 Giải pháp cũ thường làm:

Trong chương trình giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay nhìn chung tất cả các môn học đều cho chúng ta tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học ứng dụng Đặc biệt bộ môn toán, các em được tiếp thu kiến thức xây dựng trên tinh thần toán học hiện đại Trong đó có nội dung xuyên suốt quá trình học tập của các em đó

là phương trình Ngay từ khi cắp sách đến trường các em đã được làm quen với phương trình dưới dạng đơn giản đó là điền số thích hợp vào ô trống và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong một đẳng thức và cao hơn nữa ở lớp 8, lớp 9 các em phải làm một số bài toán phức tạp Lớp 9, các đề toán trong chương trình đại số về phương trình không đơn giản , mà có hẳn một loại bài toán có lời Các em căn cứ vào lời bài toán đã cho phải tự mình thành lập lấy phương trình và giải phương trình Kết quả tìm được không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải phương trình

mà còn phụ thuộc rất nhiều vào việc thành lập phương trình

Việc giải bài toán bằng cách lập phương trình ở bậc THCS là một việc làm mới mẻ, đề bài toán là một đoạn văn trong đó mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng

mà có đại lượng chưa biết, cần tìm, yêu cầu học sinh phải có kiến thức phân tích, khái quát, tổng hợp, liên kết các đại lượng với nhau, chuyển đổi các mối quan hệ toán học Từ đề bài toán cho học sinh phải tự mình thành lập lấy phương trình để giải Những bài toán dạng này nội dung của nó hầu hết gắn liền với các hoạt động thực tiễn của con người, của tự nhiên, xã hội Nên trong quá trình giải học sinh phải quan tâm đến ý nghĩa thực tế của nó

Khó khăn của học sinh khi giải bài toán này là kỹ năng của các em còn hạn chế, khả năng phân tích khái quát hoá, tổng hợp của các em rất chậm, các em không quan tâm đến ý nghĩa thực tế của bài toán

Trong quá trình giảng dạy toán tại trường THCS tôi thấy dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình luôn luôn là một trong những dạng toán cơ bản Dạng toán này không thể thiếu được trong các bài kiểm tra học kỳ môn toán lớp 9, cũng như trong các bài thi vào THPT, nó chiếm 2 điểm nhưng đại đa số học sinh bị

mất điểm ở bài này do không nắm chắc cách giải chúng, cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì:

- Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện không chính xác

- Không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương trình

- Lời giải thiếu chặt chẽ

- Giải phương trình chưa đúng

- Quên đối chiếu điều kiện

Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ năng giải các loại bài tập này tránh những sai lầm của học sinh hay mắc phải Do đó, khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này phải dựa trên quy tắc chung là: Yêu cầu về giải bài toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại các bài toán dựa vào quá trình tham gia của các đại lượng làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng, từ đó học sinh tìm ra lời giải cho bài toán đó

Trong giảng dạy một số giáo viên chưa chú ý phân loại các dạng toán, mà chỉ chú trọng đến việc học sinh làm được nhiều bài, đôi lúc biến việc làm thành gánh nặng, một công việc buồn tẻ đối với học sinh Xuất phát từ đặc điểm tâm lý của học sinh, giáo viên cần dạy và rèn cho học sinh các phương pháp tìm lời giải các bài toán

- Thực tế đã có rất nhiều giáo viên nghiên cứu về phương pháp giải các dạng phương trình và giải bài toán bằng cách lập phương trình song mới chỉ dừng lại ở việc vận dụng các bước giải một cách nhuần nhuyễn chứ chưa chú ý đến việc phân loại dạng toán - kỹ năng giải từng loại và những điều cần chú ý khi giải từng loại

đó Sau khi có kết quả điều tra về chất lượng học tập bộ môn toán của học sinh và tìm hiểu được nguyên nhân dẫn đến kết quả đó tôi đã đưa ra một vài biện pháp và

áp dụng các biện pháp đó vào trong quá trình giảng dạy thấy rằng học sinh có

những tiến bộ, học sinh tiếp cận kiến thức một cách nhẹ nhàng hơn kết quả học tập của các em khả thi hơn

Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổ thông

tôi đã mạnh dạn viết đề tài ''Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình; hệ phương trình'' cho học sinh lớp 9 Rèn luyện cho học sinh khả năng

phân tích, xem xét; đưa bài toán về các dạng cơ bản Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải khác để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng

tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình

2.Giải pháp mới cải tiến.

2.1 Yêu cầu về giải một bài toán:

1 Yêu cầu 1: Học sinh phải hiểu rõ đề bài

2 Yêu cầu 2: Học sinh biết phân loại dạng toán

3 Yêu cầu 3: Học sinh nắm vững các bước giải một bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1:

+ Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập PT biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: + Giải phương trình

Bước 3: + Đối chiếu điều kiện rồi kết luận bài toán

Bài giải phải đảm bảo dễ hiểu Có lập luận, mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm được

4 Yêu cầu 4: Lời giải phải trình bày khoa học

Đó là lưu ý đến mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau Các bước sau được suy ra từ các bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều đã biết từ trước

5 Yêu cầu 5: Lời giải bài toán phải rõ ràng , đầy đủ, có thể lên kiểm tra lại.

Cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nhất là đối với phương trình bậc hai

2.2 Phân loại dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình :

Trong số các bài tập thường gặp về giải bài toán bằng cách lập phương trình

ta có thể phân loại thành các dạng như sau:

-Dạng bài toán về chuyển động

- Dạng toán về năng suất lao động

-Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng

-Dạng toán về sự thay đổi các thừa số của tích

-Dạng toán có liên quan đến hình học

-Dạng toán có liên quan đến vật lí, hoá học

2.3 Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán:

Dạng toán chuyển động:

Chú ý:

- Trong dạng toán chuyển động cần cho học sinh nhớ và nắm chắc mối quan

hệ giữa các đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian (S = v.t) Do đó, khi giải nên chọn một trong ba đại lượng( thường thì hỏi gì thì chọn cái đó ) làm ẩn và điều kiện thường luôn dương

- Trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng

Chuyển động cùng chiều: (tvật chạy chậm- tvật chạy nhanh = tchênh lệch)

Ví dụ 1: Bài tậpp 47 trang 59 SGK

Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ Tính vận tốc xe của mỗi người

Hướng dẫn giải : Hai đối tượng tham gia bài toán là bác Hiệp và cô Liên , còn các đại lượng liên quan là quãng đường (đã biết) , thời gian và vận tốc( chưa biết), các đại lượng ấy quan hệ với nhau theo công thức :

S = v.t ; t = S : v

Nên chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn Gỉa sử gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x(km/h) ta có thể lập bảng để biểu diễn các đại lượng trong bài toán như sau :

Giải:

Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x (km/h), x >3

Khi đó vận tốc xe của cô Liên là x – 3 (km/h)

x (h)

3

x - (h)

3

x - - 30

x =1

2

⇔x2 – 3x – 180 = 0

suy ra x1 = 15(thỏa mãn đk) Nhận ; x2 = - 12 (không thỏa mãn đk) ( loại)

Vậy vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h

Vận tốc của xe cô Liên là 12 km/h

Ví dụ 2:

Một người đi xe máy trên quãng đường AB dài 120 km với vận tốc định trước Sau khi đi được

3

1

quãng đường với vận tốc đó, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường Biết người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút

Hướng dẫn giải:

- Trong bài này cần hướng dẫn học sinh xác định được vận tốc dự định của

xe máy Từ đó xác định thời gian dự định đi hết quãng đường của xe máy; thời gian xe máy thực tế đi hết quãng đường AB

- Thời gian dự định đi hết quãng đường của xe máy bằng quãng đường AB chia cho vận tốc dự định của xe máy

- Thời gian thực tế đi hết quãng đường AB của xe máy bằng thời gian đi trên

3

1

quãng đường đầu và quãng đường sau

- Thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là 24 phút

Giải:

Đổi 24 phút =

5

2

(giờ)

Gọi vận tốc dự định của người đi xe máy là x (km/h) ; x > 0

Suy ra, thời gian dự định để đi hết quãng đường AB là:

x

120

(giờ)

Thời gian người đi xe máy đi hết

3

1

quãng đường (tương ứng với

3

120

= 40 km) là:

x

40

(giờ)

3

2

quãng đường còn lại người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h nên thời gian người

đi xe máy đi hết

3

2

quãng đường là:

10 x

80

Do người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút nên ta có phương trình:

x

120

= 40x + x80+10 + 52





−

=

=

) i

¹ lo ( 50 x

40 x

Vậy vận tốc dự định là 40 km/h và thời gian dự định là 12040 = 3(giờ)

Thời gian xe lăn bánh trên đường là thời gian dự định trừ thời gian đến sớm bằng:

3 − 52 = 253 (giờ) = 2 giờ 36 phút

Giáo viên có thể hướng dẫn HS làm theo cách khác như sau: Xe tăng vận tốc thêm

10 km/h trên 2/3 quãng đường còn lại do đó về B sớm 24 phút như vậy phương trình không cần phải có sự tham gia của 1/3 quãng đường đầu

Gọi vận tốc dự định của người đi xe máy là x (km/h) ; x > 0

Lập luận tương tự như trên ta có phương trình :

80

x -

10 x

80

+ =

5 2

-Chuyển động ngược chiều: Sau một thời gian hai chuyển động gặp nhau thì có

thể lập phương trình: S1 + S2 = S

Ví dụ 3:

Hai địa điểm A và B cách nhau 32 km Cùng một lúc xe máy khởi hành từ A đến B, một xe đạp khởi hành từ B về A sau

5

4 giờ thì gặp nhau Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe máy nhanh hơn vận tốc của xe đạp 16 km/h

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe máy

y (km/h) là vận tốc của xe đạp

Điều kiện : x > y > 0

Vì sau

5

4

giờ thì 2 xe gặp nhau, nên ta có phương trình :

5

Vì vận tốc của xe máy nhanh hơn vận tốc của xe đạp 16 km/h, nên ta có phương trình :

16

=

−y







=

=

12

28

y

x

(thoả đk) Vậy : Vận tốc của xe máy 28 km/h

Vận tốc của xe đạp 12 km/h

Toán tổng hợp về chuyển động:

Ví dụ 4:

Hai người đi xe đạp trên đoạn đường AB Người thứ nhất đi từ A đến B, cùng lúc

đó người thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng vận tốc của người thứ nhất Sau 2 giờ 30 phút họ gặp nhau Hỏi mỗi người đi hết đoạn đường AB mất bao lâu?

Hướng dẫn giải:

Bài toán là sự kết hợp của toán chuyển động ngược chiều và toán tìm thời gian để một mình hoàn thành một công việc

Giải:

Gọi thời gian người thứ nhất đi hết đoạn đường AB là x (km/h) đk x > 0

Thì 1 giờ người thứ nhất đi được đoạn đường AB

1 giờ người thứ hai đi được đoạn đường AB

Sau 2 giờ 30 phút = giờ họ gặp nhau nghĩa là tổng quãng đường hai người đi được sau giờ là cả một đoạn đường AB Vậy 1 giờ hai người đi được là giờ

Theo bài ra ta có phương trình:

+ =

Giải ra ta được x = ( thỏa mãn đk)

Vậy thời gian người thứ nhất đi hết đoạn đường AB là giờ

1 giờ người thứ nhất đi được đoạn đường AB

1 giờ người thứ hai đi được = đoạn đường AB

Vậy thời gian người thứ hai đi hết đoạn đường AB là giờ

Chuyển động dưới nước( Có sự tham gia của vận tốc dòng nước)

Ví dụ 5:

Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km Cả đi và về mất 8 giờ 20 phút Tính vận tốc của tầu thuỷ khi nước yên lặng Biết vận tốc của dòng nước là 4km/h

Hướng dẫn giải:

Trong chuyển động dưới nước có sự tham gia của vận tốc dòng nước thì :

Vxuôi = Vriêng + Vnước ; Vngược = Vriêng - Vnước ; Tđi + Tvề = Tcả đi và về

Giải:

Gọi vận tốc của tầu thuỷ khi nước yên lặng là x km/h (x > 4)

Vận tốc của tầu thuỷ khi xuôi dòng là: x + 4 ( km/h)

Vận tốc của tầu thuỷ khi ngược dòng là: x - 4 (km/h)

Theo bài ra ta có phương trình:

80 80 25

x +x =

⇔5x2 - 96x - 80 = 0

Giải phương trình tìm được :

x1 = 20 (thỏa mãn đk) ; x2 = 8

10

− ( không thỏa mãn đk) loại Vậy vận tốc của tầu thuỷ khi nước yên lặng là 20 km/h

Dạng toán về năng suất lao động:

Ví dụ: ( SGK đại số 9)

Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy Trong tháng hai tổ một vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy, tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Hướng dẫn giải:

- Biết số chi tiết máy cả hai tổ trong tháng đầu là 720 Nếu biết được một trong hai tổ sẽ tính được tổ kia

- Đã biết được số chi tiết máy của tháng đầu, sẽ tính được số chi tiết máy sản xuất được của tháng hai

- Tính số chi tiết máy sản xuất vượt mức trong tháng sau từ đó xây dựng phương trình

Giải: Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu là x (chi tiết )

Điều kiện x nguyên, dương, x < 720

Khi đó tháng đầu tổ 2 sản xuất được: 720 - x ( chi tiết )

100 x ( chi tiết )

Số chi tiết máy tháng 2 cả hai tổ vượt mức:

819 - 720 = 99 ( chi tiết )

Theo bài ra ta có phương trình:

15 . 12 .(720 )

⇔ 15x + 8640 - 12x = 9900

⇔ 3x = 9900 - 8640

⇔ 3x = 1260

⇔ x = 420 (thoả mãn).

Vậy, trong tháng giêng tổ một sản xuất được 420 chi tiết máy, Tổ hai sản xuất được 720 - 420 = 300 chi tiết máy

Chú ý:

Loại toán này tương đối khó giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu

rõ bản chất nội dung của bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phương trình

và giải phương trình như các loại toán khác

Khi gọi ẩn, điều kiện của ẩn cần lưu ý bám sát ý nghĩa thực tế của bài toán

Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.

Bài tập 38 tr 24 sgk:

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 1 giờ 20 phút

bể đầy Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì được

bể Tính thời gian mỗi vòi chảy riêng đầy bể?

Giải:

h = h = h = h

Gọi x(giờ), y(giờ)là thời gian vòi 1; vòi 2 chảy một mình đầy bể ĐK x;y >

Trong 1 giờ vòi I chảy được:

1

x(bể) Trong 1 giờ vòi II chảy được:

1

y(bể) Trong 1 giờ cả 2 vòi chảy được:

3

= ( bể)

Theo đề cho ta có hệ pt:

(1) 4

(2)

x y

x y

 + =







Giải hệ ta được x=2, y=4

Thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là: 2(giờ)

Thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là: 4(giờ)

Dạng toán về sự thay đổi các thừa số của tích:

Ví dụ: Bài tập 34 tr 24 sgk:

Nhà Lan có một mảnh vườn trồng cây cải bắp Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống và mỗi luống giảm đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây Nếu giảm đi 4 luống và mỗi luống tăng 2 cây thì số cây toàn vườn tăng thêm 32 cây Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây cải bắp?

Số cây rau cải bắp cả vườn : xy(cây)

Nếu tăng thêm 8 luống và mỗi luống giảm đi 3 cây thì số cây là:(x+8).(y-3) (cây) Nếu giảm đi 4 luống và mỗi luống tăng 2 cây thì số cây là: (x-4).(y+2) (cây)

Theo đề ta có hệ phương trình :

xy x y





Giải hệ ta được : x=50; y=15 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số luống rau trong vườn là: 50 luống và số cây trong mỗi luống là 15 cây

Số cây cải bắp trong vườn là 50 15 = 750 (cây)

Dạng toán có liên quan đến hình học:

Ví dụ: ( SGK đại số lớp 9 )