HInh hoc khong gian

Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (SAD) vaø (SBC). Cho hình choùp S.ABCD, ñaùy ABCD coù 2 caïnh ñoái dieän khoâng song song. Laáy ñieåm M thuoäc mieàn trong tam giaùc SCD. Cho töù [r]

Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng Khi giao tuyến đường thẳng qua hai điểm chung

   

       

A

AB B

 

 

 

  

  



  

CHƯƠNG II:

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG

I ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN

VẤN ĐỀ 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng

1. Cho S điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD)

2. Cho tứ diện S.ABCD, đáy ABCD hình thang (AB song song DC AB > CD) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC)

3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD có cạnh đối diện khơng song song Lấy điểm M thuộc miền tam giác SCD Tìm giao tuyến mặt phẳng :

a) (SBM) vaø (SCD) b) (ABM) vaø (SCD) c) (ABM) vaø (SAC)

4. Cho tứ diện ABCD điểm M thuộc miền tam giác ACD Gọi I J tương ứng điểm cạnh BC BD cho IJ khơng song song với CD

a) Xác định giao tuyến mặt phẳng (IJM) (ACD); (IJM) (ACD)

b) Lấy điểm N thuộc miền tam giác ABD cho JN cắt đoạn AB L Tìm giao tuyến mặt phẳng (MNJ) (ABC)

5. Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD có AB cắt CD E, AC cắt BD F a) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (SAB) (SCD), (SAC) (SBD) b) Tìm giao tuyến (SEF) với mặt phẳng (SAD), (SBC)

1 Xác định mặt phẳng

 Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng (mp(ABC), (ABC))

 Một điểm đường thẳng khơng qua điểm thuộc mặt phẳng (mp(A,d))

 Hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (mp(a, b))

2 Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn hình không gian

 Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng  Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt

- Trong   có sẵn đường thẳng b cắt a I

- Trong   khơng có sẵn đường thẳng b cắt a Khi ta thực sau : Chọn mặt phẳng   chứa a

Tìm giao tuyến c      Tìm giao điểm Iac Khi I a 

6. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình bình hành tâm O M, N, P trung điểm BC, CD, SO Tìm giao tuyến mp(MNP) với mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) (SCD)

7. Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AC BC K điểm cạnh BD cho KD < KB Tìm giao tuyến mp(IJK) với (ACD) (ABD)

8. Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AD BC a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (IBC) (JAD)

b) M điểm cạnh AB, N điểm cạnh AC Tìm giao tuyến mặt phẳng (IBC) (DMN)

9. Cho tứ diện (ABCD) M điểm bên ABD, N điểm bên ACD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (AMN) (BCD), (DMN) (ABC)

VẤN ĐỀ 2: Tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng  

   

I a b

a I

b  

  

  



 

1. Cho tứ diện S.ABCD, đáy ABCD hình thang (AB song song DC AB > CD) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) BC

2. Cho tứ diện ABCD Gọi I, J điểm nằm cạnh AB, AD

với ,

2

AD IB AJ  JD Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mặt phẳng (BCD)

3. Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, K điểm nằm cạnh AB, AD CD cho

với , ,

3

AI AB BJ  BC CK CD Tìm giao điểm đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK) 4. Cho tứ diện ABCD có điểm M N trung điểm AC BC Lấy điểm K thuộc

đoạn BD (K khơng trung điểm BD) Tìm giao điểm AD mặt phẳng (MNK)

5. Cho hình chóp S.ABCD M N tương ứng điểm thuộc cạnh SC BC Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AMD)

6. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm I lấy điểm J, K điểm thuộc miền tam giác BCD ACD Gọi L giao điểm mặt phẳng JK với mặt phẳng (ABC)

a) Hãy xác định điểm L

b) Tìm giao tuyến mặt phẳng (IJK) với mặt tứ diện ABCD

8. Cho tứ diện SABC Trên cạnh SA, SB lấy điểm M, N tùy ý O điểm tam giác ABC Tìm giao điểm mặt phẳng (OMN) với mặt phẳng lại

9. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AC, CB, BD lấy ba điểm M, N, P tùy ý Tìm giao điểm cạnh CD, AD mặt phẳng (PMN)

10. Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy điểm M, N cho MN khơng song song vói CD Gọi O điểm bên BCD

a) Tìm giao tuyến (OMN) (BCD)

b) Tìm giao điểm BC BD với mặt phẳng (OMN) 11. Cho hình chóp S.ABCD M điểm cạnh SC

a) Tìm giao điểm AM (SBD)

b) Gọi N điểm cạnh BC Tìm giao điểm SD (AMN)

12. Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC BC K điểm cạnh BD khơng trùng với trung điểm BD Tìm giao điểm CD AD với mặt phẳng (MNK)

13. Cho tứ diện ABCD M, N hai điểm AC AD O điểm bên BCD Tìm giao điểm của:

a) MN vaø (ABO) b) AO vaø (BMN) HD: a) Tìm giao tuyến (ABO) (ACD) b) Tìm giao tuyến (BMN) (ABO)

14. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang, cạnh đáy lớn AB Gọi I, J, K ba điểm SA, AB, BC

a) Tìm giao điểm IK với (SBD)

b) Tìm giao điểm mặt phẳng (IJK) với SD SC HD: a) Tìm giao tuyến (SBD) với (IJK)

b) Tìm giao tuyến (IJK) với (SBD (SCD)

VẤN ĐỀ 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui

 Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng thuộc hai mặt phẳng phân biệt

Ba điểm M, N, P thẳng hàng M N P, ,      

 Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng mà giao tuyến đường thẳng thứ ba Chứng minh a, b, c đồng qui :

Gọi Oab.Lấy M, N thuộc c Ta chứng minh M, N, O thẳng hàng

Hoặc chứng minh đường thẳng cắt đôi đường thẳng không đồng phẳng với hai đường thẳng lại

1. Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) M, N, P Chứng minh M, N, P thẳng hàng

3. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt theo giao tuyến d Trong (P) cho hai điểm tùy ý A, B cho AB cắt d C Gọi I điểm không gian, IA, IB cắt (Q) M, N Chứng minh M, N, C thẳng hàng

4. Chho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, AC, BD lấy điểm E, F, K tùy ý a) Tìm EFK  BCD

b) Gọi N, P giao điểm (EFK) với cạnh AD, BC tứ diện ABCD Chứng minh ba điểm P, N, K thẳng hàng

5. Cho M, N, P ba điểm tùy ý cạnh SA, SC, BC tứ diện SABC a) Tìm giao điềm Q mặt phẳng (MNP) với cạnh AB

b) Chứng minh QM, SB, PN đồng qui

6. Cho hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD Gọi M, N hai điểm tùy ý cạnh SA, SB

a) Xác định 1 OMN  SDA,  2 OMN  SBC b) Chứng minh1, 2,SRđồng qui với RADBC

7. Cho hình chóp S.ABCD Gọi I, J hai điểm cố định SA SC với SI > IA SJ < JC Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB M, SD N

a) CMR: IJ, MN SO đồng qui (O =ACBD) Suy cách dựng điểm N biết M b) AD cắt BC E, IN cắt MJ F CMR: S, E, F thẳng hàng

c) IN cắt AD P, MJ cắt BC Q CMR PQ qua điểm cố định (P) di động 8. Cho mặt phẳng (P) ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng ngồi (P) Giả sử đường

thẳng BC, CA, AB cắt (P) D, E, F Chứng minh D, E, F thẳng hàng

9. Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G ba điểm ba cạnh AB, AC, BD cho EF cắt BC I, EG cắt AD H Chứng minh CD, IG, HF đồng qui

10. Cho hai điểm cố định A, B mặt phẳng (P) cho AB không song song với (P) M điểm di động không gian cho MA, MB cắt (P) A, B Chứng minh AB qua điểm cố định

11. Cho tứ diện SABC Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB B1, B Qua B dựng mặt

phẳng (Q) cắt AC, SC C1, C BB, CC cắt O; BB1, CC1 cắt O1 Giả sử

OO1 kéo dài cắt SA I

a) Chứng minh: AO1, SO, BC đồng qui

VẤN ĐỀ 4: Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng

Muốn xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) ta làm sau:  Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến (P) với mặt hình chóp (có thể mặt phẳng trung gian)

 Cho giao tuyến cắt cạnh mặt hình chóp, ta điểm chung (P) với mặt khác Từ xác định giao tuyến với mặt

 Tiếp tục giao tuyến khép kín ta thiết diện

Lưu ý : giao điểm nằm ngồi cạnh khối đa diện khơng tính đỉnh tứ diện.

1. Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, I điềm nằm : a) AD, AB, AC

b) AB, BC, AD c) AB, AD, BC

Biết M, N, I không trùng với trung điểm đoạn thẳng tương ứng Tìm thiết diện trường hợp

2. Cho tứ diện ABCD Gọi E điểm đối xứng A qua điểm C Xác định thiết diện tứ diện cắt mặ phẳng qua B, E điểm F trường hợp sau :

a) F nằm đoạn CD không trùng với C D b) F nằm tam giác ACD

3. Cho hình chóp S,ABCD Trên ba cạnh SA, SB, SD lấy điểm O, P, G tùy ý a) Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (GOP) cắt hình chóp S.ABCD

b) Chứng minh hai giao tuyến d1, d2 mặt phẳng (GOP) với hai mặt phẳng (SBC)

(SDC) caét điểm nằm cạnh SC

4. Cho tứ diện S.ABCD Gọi M điểm tùy ý tam giác SCD Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (ABM) vời hình chóp

5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, I ba điểm AD, CD, SO Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI)

6. Cho tứ diện ABCD, cạnh a Kéo dài BC đoạn CE=a Kéo dài BD đoạn DF=a Gọi M trung điểm AB

a) Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng (MEF) b) Tính diện tích thiết diện HD: b)

2

6

a

7. Cho hình chóp S.ABC M điểm cạnh SC, N P trung điểm AB AD Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP)

HD: Thiết diện ngũ giác.

8. Cho hình chóp S.ABCD Trong SBC, lấy điểm M Trong SCD, lấy điểm N a) Tìm giao điểm MN (SAC)

b) Tìm giao điểm SC với (AMN)

9. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P trung điểm SB, SD OC

a) Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC), giao điểm (MNP) với SA

b) Xác định thiết diện hình chóp với (MNP) tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA, BC, CD

HD: b) Thiết diện ngũ giác Các tỉ số là: 1/3; 1; 1.

10. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SB, G trọng tâm SAD

a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) Chứng minh (CGM) chứa CD

b) Chứng minh (CGM) qua trung điểm SA Tìm thiết diện hình chóp với (CGM)

c) Tìm thiết diện hình chóp với (AGM)

HD: b) Thiết diện tứ giác c) Tìm (AGM)(SAC) Thiết diện tứ giác.

11. Cho hình chóp S.ABCD, M điểm cạnh BC, N điểm cạnh SD a) Tìm giao điểm I BN (SAC) giao điểm J MN (SAC)

b) DM cắt AC K Chứng minh S, K, J thẳng hàng

c) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN) HD: a) Gọi O=ACBD I=SOBN, J=AIMN

b) J điểm chung (SAC) (SDM)

c) Nối CI cắt SA P Thiết diện tứ giác BCNP

Tài liệu tham khảo :

1 Bài tập Hình học 11- NXBGD 2007

2 Bài tập Hình học 11Nâng Cao - NXBGD 2008

3 Các dạng tốn phương pháp giải Hình học 11 – Nguyễn Hữu Ngọc – NXBGD 2008