Phương pháp giải nhanh hình học không gian

Gọi I là tâm của hình vuông ABCD ( tâm của hình vuông là giao điểm hai đường chéo). Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳ[r]

Lời nói đầu Chào Em học sinh thân mến !

Câu hình học không gian nội dung quan trọng đề thi Bộ Giáo Dục Đào Tạo.Câu không khó Tuy nhiên nhiều Em học sinh lúng túng gặp phần Đặc biệt Em tính khoảng cách hay ý sau tốn Qua nhiều năm tham gia chấm thi Thầy nhận đa phần Em hay bị 0,5 điểm ý sau câu Với mục tiêu giúp Em cảm thấy nhẹ nhàn với hình học khơng gian lấy trọn điểm câu Thầy biên soạn tài liệu “PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH HÌNH KHƠNG GIAN” gửi đến Em Với cách hệ thống lý thuyết ví dụ xây dựng từ góc vấn đề, nâng dần đến giải vấn đề tổng quát Thầy tin mang đến cho Em nhìn rỏ ràng hình khơng gian có tự tin hình học không gian Để thuận lợi cho việc đọc tài liệu Thầy chia thành chương:

Chương Tóm tắt lý thuyết quan trọng

H

M

B C

A

Chương TÓM TẮT LÝ THUYẾT QUAN TRỌNG

Trong phần Thầy điểm qua lý thuyết hay sữ dụng giải tốn hình khơng gian Những phần lý thuyết khác có sữ dụng Thầy nhắc lại tập mẫu

A Hình học phẳng

I Các hệ thức lượng tam giác thường 1 Định lí cơsin

2 2

2 2

2 2

2 cos cos cosC            

a b c bc A b a c ac B c b a ab 2 Định lí sin

2 sin sin sinC

a b c

R

A B Trong R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC II Các hệ thức lượng tam giác vuông

Cho tam giác ABC vng A, có đường cao AH đường trung tuyến AM.Ta có:

2 2

2 2

2

1 1

;              

BC AB AC AH BC AB AC

AH AB AC MA MB MC

BH BC AB CH CB AC III Diện tích tam giác

   

1 1

2 2

1 1

sinC sin sin

2 2

.b.c ; ,                              

ABC a b c

ABC

ABC ABC

ABC

S ah bh ch

S ab bc A ac B

a

S S pr

R

a b c S p p a p b p c p

+ h h ha, b, clần lượt độ dài đường cao kẻ từ A, B C ABC + R: bán kính đường trịn ngoại tiếp

+ r: bán kính đường tròn nội tiếp + p: chu vi ABC

IV Diện đa giác

1 Diện tích tam giác vng

Diện tích tam giác vng ½ tích hai cạnh góc vuông

ABC 

S AB AC

2 Diện tích tam giác

Cho tam giác ABC cạnh a, ta có: +

2

3 ABC 

a S

+

2

 a

AH

+ Diện tích tam giác cạnh bình phương nhân 3chia + Đường cao cạnh nhân chia

3 Diện tích hình chữ nhật hình vng

 Diện tích hình vng cạnh bình phương

 Diện tích hình chữ nhật chiều dài nhân chiều rộng 4 Diện tích hình thang

Diện tích hình thang đường cao nhân tổng hai cạnh đáy

 

1

 

ABCD

S h AD BC

5 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc

 ABCD

S AC BD

Chú ý: Trường hợp không nhớ cơng thức tính diện tích tứ giác chia thành tam giác hình dễ tính, sau cộng lại ta có diện tích cần tính

B Hình khơng gian

I Đường thẳng vng góc mặt phẳng 1 Định nghĩa:

P

d

a

B C

A

a A

H

B C

h

A D

B C

B D

A

  ,  

    

d P d a a P

2 Định lí ( cách chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng)

 

, ,

 

  

d a d b

a b P a b O

  



  

 

d P

3 Góc đường thẳng mặt phẳng a Định nghĩa:

Góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc đường thẳng d hình chiếu vng góc (P)

b Cách xác định góc đường thẳng d (P): B1: Tìm A d  P

B2 Lấy điểm Sd(thường có sẳn), sau tìm H hình chiếu vng

góc S (P)

Suy AH hình chiếu d (P)

Suy d P; d AH; SAH II Mặt phẳng vng góc mặt phẳng 1 Định nghĩa:

Hai mặt phẳng gọi vng góc hai mặt phằng chứa đường thẳng vng góc mặt phẳng

2.Định lí

       

 

 

, d

 



   



  



P Q

P Q a d Q

d P a

3.Định lí

           

 

1

1

 



  



  



P P

P P d Q

P P d

P

d

a b

P

d S

A H

P d

Q

a P

d

P1 d

P2

4 Góc hai mặt phẳng a Định nghĩa

Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc giao tuyến hai mặt phẳng

b Cách xác định góc (P) (Q) B1: Xác định d   P  Q

B2: Lấy điểm S thuộc (P), tìm H hình chiếu vng góc S (Q)

B3: Từ H kẻ HA vng góc d(A thuộc d) Ta chứng minh SA vng góc với d Suy    P ; Q SA HA; SAH

III Hình chóp 1 Định nghĩa

Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy

Nhận xét:

+ Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với đáy góc

+ Các cạnh bên với đáy góc 2 Các hình chóp thường gặp

a) Hình chóp tam giác

Hình chóp tam giác đáy tam giác đều, cạnh bên chân đường cao hình chóp trọng tâm tam giác.Cho hình chóp S.ABC, đó:

+Tam giác ABC đều;chân đường cao hình chóp trọng tâm G

ABC

+Các mặt bên tam giác cân tai S +Góc cạnh bên mặt đáy Chú ý:

Hình chóp tam giác khác với tứ diện

+ Tứ diện cạnh bên cạnh đáy mặt bên tam giác Hình chóp tam giác

đáy tam giác cạnh bên

+ hình chóp tam giác cạnh bên chưa cạnh đáy b) Hình chóp tứ giác

Hình chóp tứ giác đáy hình vng, cạnh bên chân đường cao hình chóp tâm hình vng.Cho hình chóp S.ABCD,

Q d

P

H S

A

I C

A D

B

S

G M

A

khi đó:

+ABCD hình vng;chân đường cao hình chóp I hình vng ABCD +Các mặt bên tam giác cân tai S

+Góc cạnh bên mặt đáy IV Xác định đường cao hình chóp 1 Hình chóp có mặt bên vng góc đáy

Đường cao hình chóp đường cao mặt bên chứa mặt phẳng vng góc đáy

Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB vng góc đáy Ta kẻ SH vng góc AB SH đường cao hình chóp

2 Hình chóp có hai mặt bên vng góc đáy

Đường cao hình chóp giao tuyến hai mặt bên

Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) (SAC) vng góc đáy Khi đường cao SA

V Khoảng cách

1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta phải dựng đoạn thẳng vng góc kẻ từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm M (P) để dựng đoạn thẳng vng góc kẻ từ M đến (P) ta thường dùng hai cách sau:

Cách 1:

+ Xây dựng (Q) chứa M (Q) vng góc (P) + Xác định d( ) ( )P  Q

+ Dựng MH d MH d M P  ;( ) Cách 2:

Nếu tốn cóSA( )P Ta dựng MH song song với SA (H thuộc (P)) Khi đó:

+ Nếu MH SA/ / d M P ;( ) d S P;( ) + Nếu MH SA I   

 ;( );( ) 

d M P MI

d S P SI

ng (Q) chứa M (Q) vuông góc (P) + Xác định d( ) ( )P  Q

+ Dựng MH d MH d M P  ;( ) 2 Khoảng đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d (P) ta có:

+  

    

 



 

 

 ;

d P O

d d P

d P

+d/ / P d d P ;  d A P;( ) ,  A d

P d Q

H M

P H

M

S

3 Khoảng hai mặt phẳng +  

    

 



 

  

( )

( );

( )

Q P d

d Q P

Q P

+ (Q)/ / P d(Q); P  d A P;( ) ,  A (Q) 4 Khoảng hai hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng  1; 2khi đó: +           



1

1

1

;

d

+ 1/ / 2 d  1; 2 d M; 2 d N;    1, M 1; N 2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo

Cho hai đường thẳng  1; 2chéo Khi đoạn thẳng MN đồng thời vng góc với 1và 2 (M thuộc1;N thuộc 2) gọi đoạn thẳng vng góc chung 1và 2 MN khoảng cách giữa1và 2

Phương pháp:

Cách 1:Dựng mặt phẳng (P) chứa 1 song song 2 Khi đó: d  1; 2 d 2;( )P  Cách 2:Dựng đoạn thẳng vng góc chung tính độ dài đoạn thẳng

Phần ta tìm hiểu kỉ giải nhanh gọn chương VI Thể tích khối đa diện

1 Thể tích khối chóp 1

3

V Bh

+ B:Diên tích đáy

+ h: độ dài đường cao hình chóp oảng cách

2 Thể tích khối lăng trụ



V Bh

+ B:Diên tích đáy

+ h: độ dài đường cao hình chóp

3 Thể tích hình hộp chữ nhật



V a b c

Thể tích hình lập phương: V a 3 4 Tỉ số thể tích:



' ' '

'. '. '

S A B C S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC

h

B

D A

C S

C A

S

B A'

B' C'

C'

B'

H B

C A

Chương PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH

I Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1 Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên a Phương pháp:

Cho hình chóp có đỉnh S chân đường cao H Để tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng bên chứa S ta thực bước sau: + Xác định giao tuyến d mặt phẳng bên mặt phẳng đáy + Từ chân đường cao H dựng đoạn HM d Kẻ HK SM ,

đó HK khoảng cách cần tính Để tính HK ta nhớ phải tính đường cao hình chóp trước

Chú ý:

Trong tính khoảng cách ta nên vẻ thêm mặt phẳng đáy cho dễ phát tính chất vng góc, song song, để thuận tiện cho việc tính độ dài Tức đáy hình vng ta vẻ hình vng bên cạnh…

b Bài tập mẫu

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SA vng góc mặt phẳng đáy SC hợp với đáy góc 60

a) Tính d A SBC ;  b) Tính d A SBD ;  Phân tích:

Tính khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên dễ, tính khoảng cách quy khoảng cách chân đường cao Do Em phải làm thật vững phần muốn tính khoảng cách phần sau

Bởi lúc tính khoảng cách ta dựng thêm đường vng góc mặt phẳng đáy nên tốt ta vẽ mặt đáy Để dự đốn chân đường vng góc để tính chúng Trong số tốn đường vng góc từ chân đường cao kẻ đến mặt bên có sẳn nên ta khơng cần kẻ thêm Ví dụ để tính d A SBC ; thì ta cần kẻ AE vng góc BC

  

AB BC E B Tiếp theo ta cần kẻ AK vng góc SB AK khoảng cách cần tính Giải

a) Ta có C SC ABCDvà A hình chiếu S (ABCD) Suy AC hình chiếu SC (ABCD) Do đó:

d C A

D

B H

S

SC ABCD;( SCA60 Tam giác SAC vuông A nên

   

tanSCA SA SA a 2.tan60 a

AC

Ta cóAB BC , kẻ AK SB  1 Ta chứng minh

 



AK SBC

Ta có:         



AB BC BC SAB BC AK

SA BC Từ (1) (2) suy

    

   ;

AK SBC AK d A SBC Tam giác SAB vng A, có đường cao AK nên ta có:

      

2 2 2 42

1 1 1

7

6 AK a

AK AS AB AK a a Vậy d A SBC ;  a 742

b) Gọi I giao điểm AC BD AI BD Kẻ AH SI  3 , ta chứng minh AHSBD Ta có:        





BD AI BD SAI BD AH

BD SA

Từ (3) và(4) suy AHSBDAH d A SBD  ;  Tam giác SAI vng A, có đường cao AH nên ta có:

 

      

 

 

 

2 2 2 78

1 1 1

13

6

2

a AK

AH AS AI AK a a Vậy d A SBC ;  a1378

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SA vng góc mặt phẳng đáy SC hợp với đáy góc 60 Gọi M trung điểm BC Tính d A SMD ;  Phân tích:

Giao tuyến SMD  ABCDMD Do ta cần kẻ AH vng góc MD

Ở ví dụ ta khơng vẽ mặt phẳng đáy việc xác định hình chiếu vng góc từ A đến giao tuyến có sẳn Nhưng ví dụ ta vẻ thêm mặt phẳng đáy cho việc xác định hình chiếu từ A đến MD tính độ dài AH

Giải

Ta có C SC ABCDvà A hình chiếu S (ABCD) Suy AC hình chiếu SC (ABCD) Do đó:SC ABCD;( SCA60

60

I

D

B

A

C S

K

Tam giác SAC vuông A nên tanSCA SA SA a 2.tan60 a

AC

Giao tuyến (SDM) (ABCD) MD nên ta kẻ AH vng góc MD H Kẻ AK vng góc

SH K Ta chứng minhAK SMD Ta có:         



MD AH MD SAH MD AK

MD SA

Từ (1) (2) suy raAKSBCAK d A SMD  ;  Ta có:  2 

2

a

MD BD BM

Và        2 2 

4

AMD ABCD AMM BMD a a a

S S S S a Mà

    

2 2 5

1 .

2

AMD a a

S AH MD AH

Xét tam giác SAH vng A, có đường cao AK nên ta có:

      

2 2 2 52 51

1 1 1

17

6 AK a

AK AS AH AK a a Vậy d A SBC ; 2 51a17

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; 3

2a

SD ; hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H cạnh AB

a) Tính d H SDC ;  b) Tính d H SBD ;  Giải

a) H trung điểm AB SHABCDSH HD Suy ra:

 

 2  2 2 

SH SD HD SD HA AD a Kẻ HN DC N;kẻ HK SN  1 K Ta chứng minh HKSDC.Ta có:        





DC HN DC SHN DC HK

DC SH

Từ (1) (2) suy raHKSDCHK d H;SDC Tam giác SHN vuông H, có đường cao HK nên:

a

M

D

B

A

C S

H K

a

a

a M

H

M C

B

B C

   

2 2

1 1

2

a HK

HK HS HN Vậy dH;SDC a22

b) Kẻ HM BD M;kẻ HE SM  1 E Ta chứng minh HESBD.Ta có:

            

BD HM BD SHM BD HE

BD SH

Từ (1) (2) suy raHESBDHE d H;SBD Ta có  sin 45 

4

a

HM HB

Tam giác SHM vng H, có đường cao HE nên:

   

2 2

1 1

3

a HE

HE HS HM Vậy dH;SBD3a

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc SC (ABC) 60 a) Tính d H SAC ;  b) Tính d H SBC ; 

Giải

a) Ta có C SC ABCvà H hình chiếu S (ABC) Suy HC hình chiếu SC (ABC) Do đó:

 

SC ABC; SCA60 Xét tam giác BHC ta có:

 

     2   

2 2 2 . .cos 2 2 .cos60

3 3

a a a

HC HB BC HB BC HBC HC a a HC

.Xét tam giác SHC ta có:  tan  3 21

3

a a

SH HC SCH Kẻ



HM BC M;kẻ HE SM  1 K Ta chứng minh HESBC.Ta có:

            

BC HM BC SHM BC HE

BC SH

Từ (1) (2) suy raHESBCHE d H;SBC Tam giác HBM vng M, có

 sin60  3

3

a a

HM HB Tam giác SHM vng H, có đường cao HE nên:

   

2 2 609

1 1

87

a HE

HE HS HM Vậy dH;SBCa 87609

b) Kẻ HNAC N;kẻ HK SN  1 K Ta chứng minh HKSAC.Ta có:

   



    

 



AC HN AC SHN AC HK

AC SH Từ (1) (2) suy

    

   H;

HK SAC HK d SAC

Tam giác HAN vuông N, có  sin60 2 3

3 2a a3

HN HA Tam giác SHN vuông H, có

đường cao HK nên:

   

2 2 42

1 1

12

a HK

HK HS HN Vậy dH;SDC a1242

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A; ABC30 ; SBC tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc đáy

a) Xác định chân đường cao H hình chóp S.ABC tính độ dài đường cao b) Tính: d H SAC ;  d H SAB ; 

Phân tích: Để xác định chân đường cao hình chóp Em xem lại mục IV Do mặt phẳng (SBC) vng góc với (ABC) có chung đường thẳng BC nên ta cần kẻ SH vng góc BC; SH đường cao hình chóp Để ý, tam giác SBC nên H trung điểm BC

Giải

a) Kẻ SH BC , tam giác SBC nên H trung điểm BC Khi đó:

   

   

   

 

    



  

 ;

SBC ABC

SBC ABC BC SH ABC

SH BC SH SBC

Vậy SH đường cao hình chóp S.ABC

Tam giác SBC cạnh a nên 

2

a

SH

30

N M H

C A

B S

K E

30

N M

A

C

b) + Tính d H SAC ; 

Kẻ HN AC N;kẻ HE SN  1 E Ta chứng minh HESAC.Ta có:

   

 

   

 



AC HN

AC SHN AC HE

AC SH Từ (1) (2) suy

    

   H;

HE SAC HE d SAC

Tam giác HCN vuông N, có  sin60  

2

a a

HN HC Tam giác SHN vng H, có

đường cao HE nên:

   

2 2 15

1 1

10

a HK

HE HS HN Vậy dH;SDC a1015

+ Tính d H SAB ; 

Kẻ HMAB M;kẻ HK SM  1 K Ta chứng minh HKSAB.Ta có:

   



    

 



AB HM AB SHM AB HK

AB SH Từ (1) (2) suy

    

   H;

HK SAB HK d SAB

Tam giác HBM vng M, có  sin30  

2

a a

HM HB Tam giác SHM vng H, có

đường cao HK nên:

   

2 2 39

1 1

26

a HE

HK HS HM Vậy dH;SBC a2639

Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B; AB BC 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc mặt phẳng (ABC) Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính dA;SBC

Phân tích: Trước tiên ta cần xác định đường cao hình chóp Bài ta thấy SA đường cao hình chóp

Giải

Ta có:

   

   

     

 



  



  



SAB ABC

SAC ABC SA ABC

SAC SAB AB

30

2a

A C

B S

Mặt khác,       



BC AB

BC SAB SB BC

BC SA Do đó:

   

 SBC ; ABC   SB AB; SBA30 Tam giác SAB vuông tai A nên

   2

tan tan30

3

SA a

SBA SA AB

AB

Kẻ AK SB K, ta có:            

 ;

AK BC BC SAB

AK SBC AK d A SAB

AK SB

Tam giác SAB vng A, có đường cao AK nên:

   

2 2

1 1 AK a

AK AS AB Vậy dA;SBCa

Bình luận: Trong ví dụ để tính AK, Em xét tam giác ABK vuông K áp dụng định lý cosin cho tam giác vuông Tức là: AK AB sin30 a Khi Em khơng cần tính SA Nhưng tốn thường chung câu tính thể tích nên Thầy rèn luyện cho Em cách tính đường cao ln

Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm H AB Góc đường thẳng A’C mặt đáy 60 a) Tính đường cao A’H

b) Tính: d H ACC A ; ' '

Giải

a) Ta có: A H' ABC A HC' 60 Do

  3

' tan60

2

a a

A H CH

b) Kẻ HM AC M, kẻ HK SM K Khi đó:

 

 

 ; ' '

HK d H ACC A Ta có:

 sin60 

4

a

HM HA ,

   

2 2 13

1 1

26

' HK a

HK HM HA

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B; AD=2AB=2BC; BC=a;

 



SA ABCD SB hợp với mặt phẳng đáy góc 45 Tính d A SDC ;  Phân tích: Bài tốn cho ta đường cao SA, khơng khó để ta xác định độ dài SA Để tính

 

 ; 

d A SDC , ta cần kẻ AH vng góc DC H Để xác định vị trí điểm H Em nên vẻ hình

60

a

C'

B'

H

A C

B A'

thang ABCD ra, Em thấy H trùng C Tức AC DC ?? Thử vẻ lại cho tỷ lệ ta tin điều Vậy ta chứng minhAC DC Tiếp theo biết nhé.!

Giải

Ta có: SAABCD SBA45 Do SA AB a  Gọi I trung điểm AD, ta có ABCI hình vng   1  

2

CI AB AD ADC vuông C hay AC DC AC a Kẻ



AK SC K Khi đó:AK d A;SDC.Ta có: 12  12  12  

3

a AK

AK AS AC Vậy

 

A; 

3

a

d SDC

2 Khoảng cách từ điểm mặt đáy đến mặt bên a.Phương pháp:

Ta đưa toán trở khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên(dạng ta biết) Giả sử cho hình chóp có đỉnh S chân đường cao H cần tính khoảng cách từ điểm M thuộc mặt phẳng đáy đến mặt bên (SAB) ta thực bước sau:

Bước 1: Ta dựng đường thẳng d qua H M Khi đó:

+ Trường hợp1: Nếu d/ /SABthì d M SAB ; d H SAB ;  + Trường hợp 2: Nếu dSABKthì   

 

 ;;  

d M SAB MK

d H SAB HK (định lí Ta-let)

Bước 2: Tính d H SAB ;  (đã biết phần trước)

a

a C B

I

A D

C I

A D

B S

K

d

Trường hợp M

A C

B

D H

S

E F

Trường hợp A S

H D

B C

E F

K M

(SAB) N M

K F

b Bài tập mẫu

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a; BAC60 ; mặt bên SAB tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc đáy Mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc

30 Tính:

a) d A SBC ;  c) dM;SAD, với M trung điểm DC Giải

a) Tính d A SBC ; 

Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB cân S nên SH AB , mà SAB  ABCDnên

 



SH ABCD Tam giác ABC cân B cóBAC60  ABC CH AB 

2 a

CH

Vì AB // DC suy CH CD

Mà SH CD CDSHCCD SC SCD ABCD ; SCH30

Tam giác SHC vuông H  tan30 

2 a

SH HC

Đường thẳng AH cắt BC B  ;   2  ; 2  ; 

H;

d A SBC AB

d A SBC d H SBC

d SBC HB

Kẻ HE BC ;HF SE ,suy HF d H SBC  ; ( Các Em xem lại I.1 nhé!)

Ta có  sin60  3

2

a a

HE HB Tam giác SHE vng H, có đường cao HF suy ra:

     

2 2 162 21

1 1

14

3 HF a

HF SH HE a a Vậy dA;SBC2HF a 721

b) Tính dM;SAD

Ta có HM // AD  HM // (SAD) d M SAD ; d H SAD ; 

Kẻ HN BC HK SN ;  HK d H SAD  ;  ( Các Em xem lại chương2 I.1 nhé!)

60°

N

M E

D H

B

A C

K

N

B

M H

C

A

B

D S

Ta có  sin60  

2

a a

HN HA Tam giác SHN vuông N, có đường cao HK suy ra:

     

2 2 162 21

1 1

14

3 HK a

HK SH HN a a Vậy dM;SADHKa1421

Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A AB2 ;a AC2 3a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) trung điểm H AB Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 30 Tính:

a) dB;SAC c) dM;SAC, với M trung điểm BC Giải

a) Tính dB;SAC

Kẻ HE BC , mà SH BC BCSHESE BC SBC ; ABCDSEH30 Ta có: tanABC AC  3ABC60

AB ; HI BH sin60  a23 SH HI tan30  2a

Đường thẳng BH cắt AC A B;    2 B; 2  ; 

H;

d SAC BA

d SAC d H SAC

d SAC HA

Kẻ HK SA , màSH AC ACSAHAC HK HKSACHK d H SAC  ;  Ta có: 2  12  12  

5

a HK

HK SH HA Vậy dB;SAC2HK 5a5

b) Tính dM;SAC

Ta có HM // AC  HM // (SAC) d M SAC ; d H SAC ;  Vậy M; 

5

a

d SAC

Ví dụ 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A AB3 ;a CB5a Mặt bên

(SAC) vng góc với (ABC) Biết SA2 3a SAC30 Tính d A SBC ;  Giải

Kẻ SHACtại H, SAC  ABCSH ABC

30° M

H

A C

B S

K

E

E M

H A

B

B

Ta có SH SA sinSAC a AH SA cosSAC3aHC a Đường thẳng AH cắt BC C   

 

       

 ;    4 ; 4 ;

;

d A SBC AC a

d A SBC d H SBC

d H SBC HC a

Kẻ HE BC E vàHK SE K Khi HK d H SBC  ; 

Ta có tam giác CEH đồng dạng với tam giác CAB suy   

5a

HE AB HE

HC BC

   

2 2

1 1

14

a HK

HK SH HE Vậy d A SAB ; 4HK6 7a7

Ví dụ 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trọng tâm tam giác ABD Cạnh SD tạo với mặt phẳng đáy góc

60 Gọi M trung điểm AB

a) Tínhd A SBC ;  b) Tính d D SBC ;  c) Tínhd M SDC ;  Giải

a) Tínhd A SBC ; 

Gọi I tâm hình vng ABCD G trọng tâm tam giác ABD, SGABCD ta có

5a 3a

4a

E B

H A

A C

30°

H

C B

A S

E K

G 60°

N

E I

M

C

A

B

D S

K

F

I N

E G

M

D A

SDG góc đường thẳng SD mặt phẳng (ABCD) Do SD tạo với mặt phẳng đáy góc bằng60 SDG60 Do G trọng tâm tam giác ABD

  2 2 

3 a3

DG MD AM AD Xét tam giác SDG vng G,ta có

 tan60  15

3

a

SG DG

Ta có 2    3  2

3

AC AI AG AI AC AG AC GC

Đường thẳng AG cắt BC C  ;   3  ;   ; 

; 2

d A SBC AC

d A SBC d G SBC

d G SBC GC

Kẻ GN BC N vàGK SN K Khi GK d G SBC  ; 

Ta có tam giác CGN đồng dạng với tam giác CAB suy   2

3

GN GC GN a

AB AC .Ta có:

   

2 2 285

1 1

57

a GK

GK SG GN Vậy d A SBC ;  32GKa 19285

b) Tính d D SBC ; 

Ta có AD // BC  AD // (SBC) d D SBC ; d A SBC ;  Vậy  ;  285

19

a

d D SBC

c) Tínhd M SBC ; 

Đường thẳng MG cắt DC D   

 

       

 ;   3 ; 3 ;

; 2

d M SDC MD

d M SDC d G SDC

d G SDC GD

Kẻ GE DC E vàGF SE F Khi GF d G SDC  ;  Xét tam giác DGE vng E, ta có:

 sin 45   10

3

a a

GE DG

Tam giác SGE vng G, có đường cao GF suy ra:

      

2 2 32 182 105

1 1

21

5 GF a

GF SG GE GF a a

Vậy  ; 3 3 105  105

2 a 21 a14

Ví dụ 13 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, SA2a Điểm M trung điểm BC a) Tính d C SAB ;  b) Tính d M SAB ; 

Phân tích: AK…! Các Em cần nhớ lại định nghĩa hình chóp Các Em xem lý thuyết chương nhé!

Giải

a) Tính d C SAB ; 

Gọi G trọng tâm tam giác ABC; N trung điểm AB Do S.ABC hình chóp nên

 



SG ABC

Tam giác ABC cạnh a nên  3;  

2 3

a a

AM AG AM

Tam giác SAG vuông G nên:  2  33

3 a

SG SA AG

Ta có:   

 

 ;;   3  ; 3  ; 

d C SAB CN

d C SAB d G SAB

d G SAB GN

Kẻ GK SN K (Ta chứng minh đượcGKSAB Thầy để Em làm nhé! Xem tập nhỏ) Khi GK d G SAB  ;  Ta có: 12  12  12   165

45

a GK

GK SG GN

Vậy  ; 3  165

15

a

d C SAB GK

b) Tính d M SAB ;  Ta có:   

 

 ;;    23  ;  23  ;  30165

d M SAB MA a

d M SAB d G SAB

d G SAB GA

Ví dụ 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; 3

2a

SD ;hình chiếu vng góc S (ABCD) trung điểm cạnh AB

2a

G

M N

A

B

C S

K

a

G

N

M C

A

a) TínhdA;SBC b) Tínhd C SBD ;  Giải

a) TínhdA;SBC

Gọi H trung điểm AB, ta có AH ABCD Tam giác ADH vng A nên:

    

2 2

4

a a

HD AD AH a Tam giác SHD vuông H nên :

 2  5 

4a 4a

SH SD HD a

Ta có:   

 

 ;;    2  ; 2  ; 

d A SBC AB

d A SBC d H SBC

d H SBC HB

Kẻ HK SB K(Ta chứng minh đượcHKSBC Thầy để Em làm nhé! Xem tập nhỏ) Khi HK d H SBC  ;  Tam giác SHB vng H, có đường cao HK suy ra:

   

2 2

1 1

5

a HK

HK SH BH Vậy d A SBC ; 2HK 2 5a5

b) Tínhd C SBD ; 

Gọi I giao điểm CH BD Khi đó: IC CD  2 IC2IH

IH HB

Suy ra:   

 

 ;;    2  ; 2  ; 

d C SBD IC

d C SBD d H SBD

d H SBD IH

Kẻ HE BD E vàHF SE F(Ta chứng minh đượcHFSBD Thầy để Em làm nhé! Xem tập nhỏ) Khi HF d H SBD  ; 

Xét tam giác HBE vuông B, ta có:  sin 45  

2

a a

HE HB

C 3a

2

I H

A

B

D S

K

E F

a I E

H

D A

Tam giác SHE vuông H, có đường cao HF suy ra:

      

2 2 2 82

1 1 1

3

a HF

HF SH HE HF a a Vậy d C SBD ; 2HF 23a

Ví dụ 15 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABC) góc60 Điểm M trung điểm BC

a) Tính d B ACC A ; ' ' b) Tính d M ACC A ; ' ' Giải

a) Tính d B ACC A ; ' '

Gọi H trung điểm AC, ta có A H' ABC A'CH 60 Tam giácABC cạnh a H trung điểm AB nên 

2 a

CH Tam giác A’HC vuông H nên '  tan60 3

2a

A H CH

Ta có:   

 

 ;;    2  ; 2  ; 

d B SAC BA

d B SAC d H SAC

d H SAC HA

Kẻ HE AC E vàHF SE F(Ta chứng minh đượcHFSAC Thầy để Em làm nhé! Xem tập nhỏ) Khi HF d H SAC  ; 

Ta có :  sin60  3

2

a a

HE HA Tam giác A’HE vng E, có đường cao HF suy ra:

      

2 2 2 162 13

1 1

26

' HF a

HF A H HE HF a a

Vậy  ; 2 3 13

13

a

d B SAC HF

b) Tính d M ACC A ; ' '

Ta có MH // AC AC thuộc mặt phẳng (SAC) suy MH // (SAC)

60

M

C'

B'

H

B

C A

A'

E

F M

E

H C

B A

Do :  ;   ; 3 13

26

a

d M SAC d H SAC

Ví dụ 16 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy tam giác vng B, AB a AC , 2a Cạnh bên SA vng góc đáy Mặt phẳng (SBC) hợp với đáy góc 60 Tính khoảng từ trọng tâm G tam giác SAB đến mặt phẳng (SBC)

Giải

Ta có:      

 

BC AB

BC SAB BC SB

BC SA

Vậy ta       



 ; 60

SB BC

SBC ABC SBA

AB BC

Ta có: SA AB tan60 a Gọi M trung điểm SB

Ta có:  1  ; 1  ; 

3

GM d G SBC d A SBC

AM

Kẻ AK SB K (Ta chứng minh đượcAKSBC Thầy để Em làm nhé! Xem tập nhỏ nhé)

Khi AK d A;SBC

Tam giác SAB vng A,có đường cao AK suy ra:

      

2 2 2

1 1 1

2

3 AK a

AK SA AB AK a a

Vậy  ; 1 

3 a6

d G SBC AK

3 Khoảng cách từ điểm thuộc mặt đáy đến mặt bên a.Phương pháp:

Ta dựng đường thẳng d qua điểm song song mặt bên Sau tìm giao điểm d mặt đáy Khi ta đưa tốn trở khoảng cách từ điểm thuộc mặt đáy đến mặt bên Tiếp theo đưa khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên(tới biết nữa, mà phải biết)

Giả sử cho hình chóp S.ABCD cóSH ABCD Điểm M thuộc SA, cần tính d M SBC ;  Ta thực bước sau: Bước 1: Ta dựng đường thẳng d qua M song song SB Xác định E giao điểm AB d

ME//SB d(M;(SBC) =d(E;(SBC)

E A S

H D

B C

M

a

2a

60° G

M

A C

B S

Bước 2: Tính d M SAB ; d E SAB ;  (đã biết phần trước) b Bài tập mẫu

Ví dụ 17 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a; cạnh bên SA = 2a Gọi M trung điểm SA Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC)

Phân tích:Trước tiên cần nhớ chân đường cao hình chóp tứ giác tâm I hình vng Như phân tích trên, để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC); ta dựng đường thẳng d qua M song song với cạnh mặt phẳng (SBC) Do M thuộc SA; SA SC đồng phẳng; SA SB đồng phẳng Do ta dựng đường thẳng d qua M d // SC d // SB Đó lý thuyết!

Trong trường hợp này, M trung điểm SA; I trung điểm AC, ta phải thấy MI // SC Khi nên d M SBC ; d I SBC ;  Chẳn qua trường hợp đặc biệt; trường hợp tổng quát ta cần nhớ định lí Ta-let hay tam giác đồng dạng

Giải

Gọi I tâm hình vng ABCD ( tâm hình vng giao điểm hai đường chéo) Do S.ABCD hình chóp nên SI ABCD Ta có:

 2 

2 a

AC a AI

Tam giác SAI vuông I nên:

 2  14

2 a

SI SA AI

Do M, I trung điểm SA AC nên MI // SC suy MI // (SBC)

Từ MI // (SBC) ta có d M SBC ; d I SBC ; 

Kẻ IK BC K , K trung điểm BC Kẻ IF SK F (Ta chứng minh được

 



IF SBC Thầy để Em làm nhé! Xem tập nhỏ nhé) Khi IF d I SBC  ;  Tam giác SIK vuông I,có đường cao IF suy ra:

      

2 2 2 210

1 1

30

7 IF a

IF IK SI IF a a

Vậy  ;   ;   210

30

a

d M SBC d I SBC

Ví dụ 18 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy hình vng cạnh a; mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc đáy Gọi M điểm thuộc đoạn thẳng SD cho SD=4SM

a 2

a 2a

K M

I

C

A

D

B S

a) Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng AB đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng điểm M đến mặt phẳng (SBC)

Giải

a) Tính d H SBC ; 

Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB cạnh a nên SH AB 

2 a SH Ta lại có SAB  ABCDSHABCD Kẻ HK SB K (Ta chứng minh được

 



HK SBC Thầy để Em làm nhé! Xem tập nhỏ nhé) Khi đód H SBC ; HK Tam giác SBH vng H, có HK đường cao suy ra:

      

2 2 2

1 1 4

4

3 HK a

HK SH HB HK a a Vậyd H SBC ;  a43

b) Tính d M SBC ; 

Gọi I tâm hình vng; d đường thẳng qua M song song với SB; N giao điểm d BD

Khi MN // BC MN/ /SBCd M SBC ; d N SBC ;  Ta có:   1  

4

BN SM BN BD

BD SD N trung điểm BI Gọi E giao điểm HI BC

thì E trung điểm BC ( Do HI // AC H trung điểm AB E phải trung điểm BC) Ta có:

HI = EI (khơng khó Em thử kiểm tra xem tập nhỏ nhé!)

Ta có:   

 

N;;    12 N; 21  ; 12  83

d SBC NI a a

d SBC d H SBC

d H SBC HI

Vậy  ;   ;  

8

a

d M SBC d N SBC

a

I

E N

M

H

D

C A

B S

K a

E N

I H

C B

Ví dụ 19 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB choHA2HB Góc SC mặt phẳng (ABC) 60 Tính d M SAC ; , với M trung điểm SB

Giải

Gọi I trung điểm AB, ta có IM // SA  IM // (SAC) d M SAC ; d I SAC ;  Góc SC phẳng (ABC) góc SCH, suy raSCH60

Ta có:  2 22 cos60   7;  tan60  21

3

a a

HC BH BC BH BC HC SH CH

Ta có:   

 

       

1 ;  2 ;   3 ;  ;

2 ; 4

d I SAC IA

IA AB HA d I SAC d H SAC

d H SAC HA

Kẻ HE AC ,kẻ HF SE F (Ta chứng minh đượcHFSAC Thầy để Em làm nhé! Xem tập nhỏ nhé) Khi HF d H SAC  ; 

Ta có:  sin60 2 

3 2a a3

HE HA

Tam giác SHE vuông E,có đường cao HF suy ra:

       

2 2 32 32 42

1 1

12

7 HF a

HF HE SH HF a a d I SAC ;  43d H SAC ; a1642

Vây:  ;   ;  42

16

a

d M SAC d I SAC

4 Ứng dụng công thức thể tích để tính khoảng cách a.Phương pháp:

Sử dụng công thức 1  3

3 V

V S h h

S Một ý tưởng đơn giản để tính khoảng cách

60° a

60° E

I C

B

A H

60

B M

I H A

C S

cũng hiệu số trường hợp

Thường áp dụng với dễ tính thể tích Tuy nhiên nhược điểm khâu tính diện tích, để khắc phục điểm yếu ta sử dụng công thức Heron bấm máy tính Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm, tùy theo tốn cụ thể Do Em nắm hết phương pháp Thầy nhắc lại công thức Heron:

   

ABC    

S p AB p AC p BC ; Với   

2 AB BC AC

p

b Bài tập mẫu

Ví dụ 20 (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; 

2a SD

;hình chiếu vng góc S (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)

Giải + TínhVS ABCD.

Gọi H trung điểm AB, ta có AHABCD Tam giác ADH vuông A nên:

    

2 2

4

a a

HD AD AH a

Tam giác SHD vuông H nên :

   5 

4a 4a

SH SD HD a

Khi : . 1 1 

3 3

S ABCD ABCD a

V SH S a a

+ Tính d A SBD ; 

Ta có:    

3

13 13 2 6

S ABD ABD a

V SH S a a

Ta tính được:  2;  ; 

2a a5

BD a SD SD Với

 



3

2

2

2 a

a a

p

Áp dụng cơng thức Heron ta có:         

4

SBD

S p AB p AC p BC a

Vậy:   



3 3 

; :

6

A SBD SBD

V a a a

d A SBD

S

a 3a

2

H

D

C A

Ví dụ 21.(Trích KB -2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABC) góc60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’)

Giải + Tính VABC A B C ' ' '

Gọi H trung điểm AC, ta có A H' ABC



'BH 60

A Tam giácABC cạnh a H trung điểm AB nên 

2 a

CH  

4

ABC a

S Tam giác A’HC vuông H nên '  tan60 3

2a

A H CH

Do : ' ' '  '  3 3 3

2

ABC A B C ABC a a a

V A H S

+ Tính dB;ACC A' '

Ta có:    

2

A'.ABC 13 ' ABC 13 2.3a a 43 a83

V A H S

Ta có: '   '  10

2

a

A A AH A H ; AC a ; '  ' 3 : 

2

sin60A H a

A C a ÁP dụng công

thức Heron ta có :  '    '     '   39

8

A AC

S p A A p AC p A C a Với

 



10

2

a a a

p

Vậy   



 A'  2

'C

3 3 39 3 13

; 'C'C :

8 13

ABC AA

V a a

d B AA a

S

Ví dụ 22 (Trích KA -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A; ABC30 mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vng góc đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)

Giải

+ Tính VS ABCD.

Gọi H trung điểm BC, tam giác SBC nên ta có SH BC MàSBC  ABCvà

SBC  ABCBC ,do SH ABC

60

y

C'

B'

H A

C

Tam giác SBC cạnh a nên 

2 a

SH Tam giác ABC vng A ABC30 , ta có:

 sin60  3;  sin30 

2

a a

AC BC AB BC

Khi đó: . 1  1 3.1 

3 2 2 16

S ABCD ABC a a a a

V SH S

+ Tính dC;SAB Xét SHBvà SHA vng H; có chung SH

       

2 a

HA HB SHB SHA SA SB

Gọi I trung điểm AB, SI AB( vìSAB cân S) Ta có:  2  13

4

a

SI SB BI

Suy ra:  1 1 13  39

2 16

SAB a a a

S SI AB

Vậy:      



 3 S  39  39

C; ; 'C'C :

16 16 13

ABC SAB

V a a a

d SAB d B AA

S

Bình luận:

Ta khơng dành nhiều giấy mực cho phương pháp nhé!Vì với phương pháp cung cấp phía trước ta hồn tồn giải nhanh toán khoảng cách Ở đây, Thầy cấp thêm để Em tham khảo

II Khoảng cách hai đường thẳng chéo a.Phương pháp:

Cho hai đường thẳng a b chéo Để tính khoảng cách a b ta thực bước sau:

Cách 1: Phương pháp tổng quát

B1: Dựng mặt phẳng (P) chứa a (P) song song với b

B2: Khi ta đưa tốn khoảng cách hai đường thẳng a b toán khoảng cách từ điểm tùy ý thuộc đường thẳng b đến mặt phẳng (P).Việc lại biết phần trước

B3: Chỉ cần chọn điểm A phù hợp thuộc đường thẳng b tính khoảng cách từ điểm A đên (P)

a

a a

30°

I

H B

A

C S

H

b

a

(P)

Cách chọn mặt phẳng (P): Ta thường gặp yêu cầu tính khoảng cách đáy cạnh bên hình chóp hay hình lăng trụ Khi đó:

+ Ta chọn mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa cạnh bên song song cạnh đáy Vì đưa tốn tính khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đáy đến mặt phẳng bên(

biêt)

+ Cụ thể: Cho hình chóp S.ABCD có đáy H chân đường cao hình chóp Giả sử cần tính khoảng cách SA BD Ta thực hiện:

B1: Dựng đường thẳng d qua A d // BD Khi mặt phẳng (P) chứa SA d B2: Ta chuyển toán khoảng cách từ điểm từ ý thuộc BD đến mp(P) Thường điểm B D Tới Em cân nhớ lại cách tính khoảng cách từ mặt điểm thuộc mặt đáy đến mặt bên

Cách 2: Đặc biệt đường thẳng a b vng góc

Khi thường tốn có sẳn mặt mặt (P) chứa đường thẳng a (P) vng góc b (nếu khơng ta dựng thêm)

B1: Xác định giao điểm A đường thẳng b (P)

B2: Từ A kẻ AK vng góc đường thẳng a Khi đoạn thẳng AK khoảng cách cần tính

Chú ý:

Ngồi cách tính khoảng cách trực tiếp Thầy có biên soạn “ Chuyên đề phương pháp tọa độ hóa hình khơng gian’’ Các Em tìm đọc thấy phần phức tạp Ta đừng bận tâm việc phương pháp nhanh hay chậm, dài hay ngắn, đẹp hay không đẹp Điều ta nên bận tâm phải tích lũy nhiều phương pháp cho yêu cầu toán Trong toán cụ thể phương pháp thể điểm mạnh yếu Quan trọng Em phải mạnh dạn tư duy, đánh giá toán Xem tốn có hai đường thẳng có quan hệ vng góc hay dễ mặt phẳng song song đưa phương án phù hợp

b Bài tập mẫu

Ví dụ 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A; mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vng góc đáy.Tính khoảng cách hai đường thẳng SA;BC Phân tích: Trước hết ta cân xác định chân đường cao hình chóp Gọi H trung điểm BC, SH BC SHABC Để ý tí ta thấy BCSAH có điểm chung với mặt phẳng (SAH) điểm H Vậy để tính d SA BC ;  ta cần kẻ HK SA HK d SA BC  ; 

Giải

b

(P)

a

A

K d

A

B C

D H

Gọi H trung điểm BC, tam giác SBC nên ta có SH BC MàSBC  ABC,

 



SH ABC Tam giác SBC cạnh a nên 

2 a

SH

Tam giác ABC vuông cân A nên AH BC 1 

2 2a

AH BC ,mà SA BC BCSAH KẻHK SA K, BCSAHBC HK  HK đoạn thẳng vuông góc chung SA BC suy ra: HK d SA BC  ;  Tam giác SAH vuông tai H, có đường cao HK, suy ra:

      

2 2 2

1 1 4

4

3 HK a

HK SH HA HK a a Vậyd SA BC ;  a43

Bình luận: Câu hỏi đặt ta khơng phát BCSAH liệu có giải tốn khơng? Câu trả lời hồn tồn giải theo cách tổng quát, dài tí Nhưng với cách tư tổng Cụ thể:

Kẻ đường thẳng d qua A d // BC Để Em dể hình dung mặt phẳng (P) Ta lấy điểm E thuộc đường thẳng d, AE//BC BC // (SAE)d SA BC ; d H SAE ;  Qua toán khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên Tiếp theo kẻ HF AE F, nhiên nhớ

H B

A

C S

K a

H

B A

C

d

H

C

A B

S

K E

d

a

H

B A

C

 ; / /  

AH BC AE BC AH AE A, cần kẻ HK SA HK d H SAE  ; 

Ví dụ 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB choHA2HB Góc SC mặt phẳng (ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC

Giải

Góc SC phẳng (ABC) góc SCH, suy raSCH60 Ta có:

2  2 ; 

3a 3a

HA HB HA HB Xét tam giác HBC tam giác SHC vuông H ta có:

      

2 2 2. . .cos60 7; .tan60 21

3

a a

HC HB BC HB BC HC SH CH Kẻ đường thẳng d

đi qua A d // BC.Kẻ HE d E vàHK SE K Ta có

 



    

  

d HE d SEH d HK

d SH

Mà HK SE ,do HK vng góc với mặt phẳng (SAE)

Suy HK d H SAE  ;  Do BC // AE BC // (SAE) d SA BC ; d B SAE ;  Mà đường thẳng AB cắt (SAE) E suy

 

 

 

 ;;    32  ; 32  ; 

d B SAE BA

d B SAE d H SAE

d H SAE HA

Xét tam giác AHE vng E, có EAH ABC 60 (so le trong) , ta có:  sin60 

3

a

AE AH

Tam giác SEH vng H, có HE đường cao suy ra:

      

2 2 32 32 42

1 1

12

7 HK a

HK SH HE HK a a

Vậy  ; 3  ; 3 42  42

2 12a a

d B SAE d H SAE

60° d

60°

E

C

B

A H

60

B H A

C S

E

Ví dụ 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a; BAC60 ; mặt bên SAB tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc đáy Mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc

30 Tính khoảng cách giửa hai đường thẳng SB AD Giải

Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB cân S nên SH AB , mà SAB  ABCDnên

 



SH ABCD Tam giác ABC cân B cóBAC60  ABC CH AB 

2 a

CH

Vì AB // DC suy CH CD

Mà SH CD CDSHCCD SC SCD ABCD ; SCH30

Tam giác SHC vuông H   tan30 

2 a

SH HC

Ta có AD // BC AD // (SBC) d SB AD ; dA;SBC Mà đường thẳng AH cắt (SBC) B suy

 

 

 

 ;;    2  ; 2  ; 

d A SBC AB

d A SBC d H SBC

d H SBC HB

Kẻ HE BC ;HF SE ,suy HF d H SBC  ; (Thầy để Em chứng minh HFSBC

nhé!)

Ta có  sin60  3

2

a a

HE HB Tam giác SHE vuông H, có đường cao HF suy ra:

     

2 2 162 21

1 1

14

3 HF a

HF SH HE a a Vậy d SB AD ; 2HF a 721

Bình luận:

Bài tốn dễ chổ có sẳn mặt phẳng (SBC) // AD Khi làm tập ta nhớ ý, đánh giá tốn Có số hình vẽ ta phải nắm ln kết Tức vẽ hình Em phải nhớ

60°

E

D H

B

A C

B H

C

A

B

D S

hình vẽ có tính chất song song, vng góc hay tỉ lệ nào… Em làm nhiều tập tích lủy dần dạng hình vẽ , có kỉ vấn đề đơn giản

Ví dụ 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trọng tâm tam giác ABD Cạnh SD tạo với mặt phẳng đáy góc

60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SC AD

Giải

Gọi I tâm hình vng ABCD G trọng tâm tam giác ABD, SGABCD ta có

SDG góc đường thẳng SD mặt phẳng (ABCD) Do SD tạo với mặt phẳng đáy góc bằng60 SDG60 Do G trọng tâm tam giác ABD

  2 2 

3 a3

DG MD AM AD

Xét tam giác SDG vng G,ta có  tan60  15

3

a

SG DG

Ta có AD // BC AD // (SBC) d SC AD ; dA;SBC Ta có 2    3  2

3

AC AI AG AI AC AG AC GC

Đường thẳng AG cắt BC C  ;   3  ;   ; 

; 2

d A SBC AC

d A SBC d G SBC

d G SBC GC

Kẻ GN BC N vàGK SN K Khi GK d G SBC  ; 

Ta có tam giác CGN đồng dạng với tam giác CAB suy   2

3

GN GC GN a

AB AC .Ta có:

   

2 2 285

1 1

57

a GK

GK SG GN Vậy d AD SC ; d A SBC ; 32GK a 19285

60°

N I G M

C

A

B

D S

K I

N

G M

D A

Ví dụ 27 (Trích KB -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA; M trung điểm AE;N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MN AC

Giải + Chứng minh MN BD

Gọi I tâm hình vng, S.ABCD hình chóp nên SI ABCD

Gọi P trung điểm SA, mà M trung điểm AE nên MP đương trung bình tam giác ADE

Suy   

 

/ /

1

MP AD

MP AD

Mặt khác, ta có   

 

/ /

2

NC AD

NC AD

Từ (1) (2) ta suy tứ giác MPCN hình bình hành hình suy MN // PC (3)

Ta có         



BD AC

BD SAC BC CP

BD SI Từ (3) (4) suy MN BD

+ Tính d MN AC ; 

Do MN // CPMN // (SAC) d MN AC ; d N SAC ;  Đường thẳng BN cắt (SAC) C nên   

 

 ;;    12  ;  12  ; 

d N SAC NC

d N SAC d B SAC

d B SAC BC

Ta có:     ; 1 

2 a2

BI SAC BI d B SAC BD

Vậy  ; 1  ; 

2 a4

d MN AC d B SAC

Bình luận

Khi đề cho hình chóp S.ABCD ngồi tính chất hình chóp Em phải nhớ thêm vài kết BD vng góc (SAC) AC vng góc (SBD) Với mục tiêu giúp cho tất học sinh hiểu rỏ chuyên đề Thầy cố gắng trình bày chi tiết thi Thầy khuyên Em nên theo nguyên tất trình bày chi tiết tốt

M E

P

N I

D

B

A

Ví dụ 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B;

  , 2

AB BC a AD a; SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Góc hai mặt phẳng (SCD)

và (ABCD) 45 Tính d SM BD ;  theo a Giải

M trung điểm AD nên ta có tứ giác ABCM hình vng Suy

 1  

2

CM a AD ACDvuông C hayCD AD  1 Mặt khác,CD SA nên ta có

   

  

CD SAC CD SC Từ (1) (2) suy SCA góc hai mặt phẳng (SCD)

(ABCD) suy SCA45 Suy tam giác SAC vuông cân A SA AC a  2.Gọi N trung điểm AB trung điểm AB, ta có:

BD // MN BD // (SMN) d SM BD ; d B SMN ;  Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (SMN) N nên

 

 

 

 ;;   1  ;   ; 

d B SMN NB

d B SMN d A SMN

d A SMN NA

Kẻ AK MN K vàAH SK H Khi AH d A SMN  ; 

Xét tam giác giác AMN vng tai A có đường cao AK suy ra: 12  2  12  

2

a AK

AK AM AN

Xét tam giác giác SAK vng tai A có đường cao AH suy ra: 12  12  12   22

11

a AH

AH SA AK

Vậy  ;   ;  22

11

a

d SM BD d A SMN

Ví dụ 29 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A; BC2 ;a AB a Tính khoảng cách hai đường thẳng AA’ BC’

K N

C B

M

A D

45°

N

C M

A D

B S

Giải

Do AA’ // BB’ AA’ // (BB’C’C) d AA B C '; ' d A BB C C ; ' ' 

Kẻ AK BC K, màAK BB 'AK BB C C' ' AK d A BB C C  ; ' ' 

Tam giác ABC vuông A, ta có: AC BC2AB2 a   

2

a

AK BC AB AC AK

Vậy  '; ' 

2

a

d AA B C

Ví dụ 30 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng cân A; M trung điểm BC;BC a Mặt phảng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng A’M AB

Giải

Tam giác ABC vuông cân A suy

  sin45 

AB AC BC a ; AM BC  1 

2

a

AM

Ta có:         

 ' ' '

BC AM

BC A MA BC A M

BC AA

Từ (1) (2) ta suy A MA' góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) Suy A MA' 60 '  tan60 3

2

a

A A AM

B'

C'

A C

B A'

K

2a a

K A

B C

a 45°

N M B

B

A C

B'

60° N M

A'

C A

B C'

Gọi N trung điểm AC, ta có AB // MN  AB // (A’MN) d A M AB ' ; d A A MN ; '  Kẻ AHA M' H ( ta chứng minh AH A MN'  Thầy để Em chứng minh xem bài tập nhỏ nhé!) Khi AH d A A MN  ; '  Xét tam A’AN vng tai A có đường cao AH suy ra:

     

2 2 2 14

1 1

14

' AH a

AH A A AN a a

Vậy  ' ; 3 14

14

a

d A M AB

Ví dụ 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a;I trung điểm AB; H giao điểm BD CI SH vng góc với mặt phẳng đáy 

3

a

SH Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CI

Giải

Gọi M trung điểm DC, tứ giác AICM hình bình hành suy CI // AM  CI // (SAM) d SA CI ; d H SAM ;  Gọi N giao điểm DC AM; K E hình chiếu vng góc H D AM Do M trung điểm DC MN // CI suy N trung

điểm DH Từ ta có HK DE  2  12  12  2

HK DE DA MD Kẻ HF SK F ( ta

sẽ chứng minh HFSAM Thầy để Em chứng minh xem tập nhỏ nhé!) Khi HF d H SAM  ; 

Ta có: 12  12 12  12  12  2  32  12  42  

4

a HF

HF SH HK SH DA MD a a a

E

N M

H I

C

A D

B

S

K F

N E

K M

H

I B

A

Vậy  ;   ; 

4

a

d SA CI d H SAM

Ví dụ 32 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A;mặt bên ABB’A’ hình vng Biết B C' 'a , góc B’C mặt phẳng A’B’C’ 30 Tính khoảng cách hai đường thẳng BA’ B’C

Phân tích:Đối với tốn ta để ý tí nhận điều ACABB'A'AC BA ' , mà BA'B A' BA'B A' BA'B AC' .Vậy để tính d BA ';B'C , ta gọi

 ' '

I BA B A kẻ IK BC 'IK d BA  ';B'C

Giải

Ta có CB C' ' góc CB’ mặt phẳng (A’B’C’) suy

   

' ' 30 ' ' '.tan30

CB C CC B C a Do ABB’A’ hình vng nên BB'AA'AB A B CC ' ' ' a

Ta có       

 ' 'A' '

AC AB

AC ABB AC BA

AC AA , mà

 

    

' ' ' ' ' '

BA B A BA B A BA B AC Gọi I BA B A ' ' kẻ IK BC ' , mặt khác BA'B AC' BA'IK

Từ ta có IK d BA  ';B'C Tam giác B’AC đồng dạng với tam giác B’KI suy  '   '

' AC IB'

IK IB IK

AC CB CB

Ta có  ' 

2 a2

A B

IB ; AC BC2AB2 a 2; CB' CC'2B C' '2 2a Từ ta có: 

2 a

IK Vậy  ';B'C

2 a

d BA

Bình luận:

Trong trường hợp ta không nhận BA'B AC'  nào? Ta làm theo cách sau đây, nhiên Thầy khuyến khích Em nên mạnh dạn suy nghĩ phương pháp

Cách 2: B

30° a

I

C

A' C'

B' A

Gọi d đường thẳng qua B d // B’C; K giao điểm d B’C’ Ta kiểm tra B’ trung điểm KC’( Em kiểm tra thử nhé!) Khi B’C // BK  B’C // (BA’K)

    

d BA B C'; ' d B BA K'; '

Kẻ B E AK'  E B F BE'  F ( ta chứng minh

 



' '

B F BA K Thầy để Em chứng minh xem tập nhỏ nhé!) Khi

 

 



' '; '

B F d B BA K Xét tam BB’E vng B’ có đường cao B’F suy ra: 2  2  2

' ' '

B F B E BB

Ta có : cos ' ' cos ' '  ' '   sin ' '

' ' 3

A B

KB A B A C KB A

B C ;

   

2 '2 ' 22 '. '.cos 'A' 6

AK KB AB AB KB KB a



 1 ' 'sin 1 ' ' 'B'E

2 3

ABK a

S B K AB KBA B E A B

Suy 2  2  2  32  12  ' 

2

' ' ' B F a

B F B E BB a a

Vậy  '; ' 

2 a

d BA B C

III Bài tập rèn luyện

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC hợp với đáy góc 60 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) thuộc đoạn thẳng AB cho AB3AH Cạnh bên SC hợp với đáy góc 60 a) Tính d H SBC ;  b) Tính d H SAC ; 

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A, AB = a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Mặt bên (SBC) hợp với đáy góc

45

a 30°

K

C

B

A'

C'

B' A

E F

a

a a

a E

K

B'

A' K

a) Tính d G SBC ;  b) Tính d G SAC ; 

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy Cạnh bên SC hợp với mặt phẳng đáy góc 45 SD2a

a) Tính d A SBC ;  b) Tính d A SDC ;  c) Tính d A SBD ;  d) Tính d A SBM ;  M trung điểm DC

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) trung điểm H AB Cạnh bên SC hợp với đáy góc 45 SC a a) Tính d H SBC ;  b) Tính d H SAC ; 

Bài Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc đáy SA =2a Diện tích tam giác ABC gấp lần diện tích tam giác SBC Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cân; AD // BC ;   

2 AD

AB BC a; cạnh bên

SA vng góc đáy SA a

a) Tính dA;SBC b) Tính d A SDC ;  c) Tính d A SBD ;  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc đáy Gọi H, K trung điểm cạnh AB BC

a) Tính d H SBC ;  b) Tính d H SDC ; 

c) Tính d H SDK ;  d) Tính d H SAC ; 

e) Tính d H SAK ;  f) Tính d A SAD ;  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành với AB2AD2a;BAC60 Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AB Cạnh bên SC hợp với đáy góc 45

a) Tính d H SBC ;  b) Tính d H SDC ; 

Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a I tâm đa giác đáy Mặt bên hợp với mặt đáy góc 60

a) Tính d I SAB ; 

b) Tính d I SBM ;  , M trung điểm AD

Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm I; AB a BC a ,  Tam giác SAI cân S mặt phẳng (SAD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc SD mặt phẳng (ABCD) 60

a) Tính d A SDC ;  b) Tính d B SAD ;  c) Tính d C SAB ;  Bài 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A;mặt bên ABB’A’ hình vng Biết B C' 'a , góc B’C mặt phẳng A’B’C’ 30

a) Tính d A AB C '; ' ' b) Tính d B C '; 'AB 

Bài 14 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh AB, góc A’C mặt đáy 60 a) Tính d A A BC ; '  b) Tính d A BCC B ; ' '

Bài 15 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 60 Gọi M, N trung điểm BC CC’

a) Tính d M AB ; 'N b) Tính d B AB C ; ' '

Bài 16 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh AB, góc cạnh bên mặt đáy 45 Gọi M trung điểm B’C’

a) Tính d A A MC ; '  b) Tính d A BCC B ; ' ' Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, 

2a

SD Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm AB Gọi K trung điểm AD

a) Tính d SA BC ;  b) Tính d HK SB ; 

c) Tính d CK SB ;  d) Tính d SC BK ; 

Bài 18 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi I trung điểm AB; hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) trung điểm CI cạnh SA hợp với mặt phẳng

(ABC) góc 60

a) Tính d SA CI ;  b) Tính d SB AC ; 

a) Tính d SB AD ;  b) Tính d SB CM ;  c) Tính d BM AD ;  Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B, AD2AB2BC2a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H đoạn thẳng AB Cạnh SC

tạo với đáy góc 60 a) Tính d SB AD ; 

b) Tính d H SCD ; 

c) Tính d SC AB ;  d) Tính d SD AB ; 

Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AD2AB2a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc đáy Gọi M trung điểm SA

a) Tính d SB CD ;  b) Tính d SD AC ;  a) Tính d SB CM ;  Bài 22 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 a) Tính d SB AC ; 

b) Tính d CM SA ; , với M trung điểm SB

Bài 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A với BC2 ;a ABC60 Gọi M trung điểm BC Biết SA SC SM a  

a) Tính d SC AB ;  b) Tính d SA BC ; 

Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng; hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AB Cạnh bên SC hợp với đáy góc 60 SD a

a) Tính d SC BD ;  b) Tính d SB AD ; 

Bài 25 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông với AB BC a AA a  ; '

Gọi M trung điểm BC

a) Tính d AM CB ; ' b) Tính d B C A M ' ; ' 

Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm H tam giác ABD Cạnh SB tạo với mặt phẳng (ABCD)

một góc 60

a) Tính d SA CD ;  b) Tính d SA BD ; 

a) Tính d BD SC ;  b) Tính d CK AD ; 

Bài 28 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân C, AB3a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trọng tâm G tam giác ABC Cạnh  14

2 a

SB

a) Tính d B SAC ;  b) Tính d SC AB ; 

Bài 29 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Tính d SC AB ;  Bài 30 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên 2a Gọi K trung điểm SC

a) Tính d B SAC ;  b) Tính d K SAB ; 

c) Tính d SB AC ;  d) Tính d SA CD ; 

- Chương THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN

Trong chương Thầy trình bày dạng tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ Các tốn liên quan khoảng cách, quan hệ vng góc, quan hệ song song xác định góc… Ta biết muốn tính thể tích phải tính độ dài đường cao diện tích đa giác đáy Mà muốn tính đường cao trước tiên phải xác định chân đường cao Trong phần Thầy phân dạng cách xác định chân đường cao cách xác định góc mặt phẳng với mặt phẳng đường thẳng với mặt phẳng Các Em xem lại lý thuyết chương để đối chiếu với ví dụ làm tập rèn luyện Các Em ý phần Thầy ghép chung ln thể tích câu liên quan nhé! Để Em luyện tập lại phần học chương làm quen với cách hỏi đề thi

I Nhắc lại lý thuyết thường sữ dụng

1 Cách xác định góc đường thẳng d (P): B1: Tìm A d  P

B2 Lấy điểm Sd(thường có sẳn), sau tìm H hình chiếu vng

góc S (P)

Suy AH hình chiếu d (P)

Suy d P; d AH; SAH 2 Góc hai mặt phẳng a Định nghĩa

Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc giao P

d S

tuyến hai mặt phẳng

b Cách xác định góc (P) (Q) B1: Xác định d   P  Q

B2: Lấy điểm S thuộc (P), tìm H hình chiếu vng góc S (Q)

B3: Từ H kẻ HA vuông góc d(A thuộc d) Ta chứng minh SA vng góc với d Suy    P ; Q SA HA; SAH

II Phân dạng thể tích khối chóp

Các Em cần nhớ cơng thức tính thể tích khối chóp cơng thức tính diện tích đáy Để tốn giấy mực Em xem lại công thức chương nhé!

1 Khối chóp có chân đường cao

Khi tốn có sẳn chân đường cao nhiệm vụ cịn lại ta tính đường cao diện tích đáy thay vào cơng thức thể tích xong Mà để tính đường cao thường Em phải xác định góc đường thẳng với mặt phẳng góc mặt phẳng với mặt phẳng Các ví dụ Thầy cố gắng trình từ dễ tăng dần độ khó để Em học dễ theo dõi Tất nhiên Em vững bỏ qua dễ, làm lại tốt tốt Em nhé!

a Bài tập mẫu

Ví dụ 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SB hợp với đáy góc 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai SD AB

Phân tích:Khi đọc vào đề Em phải nhớ kết

     

 ;  ; 

BC SAB BD SAC CD SAD Để lúc có sữ dụng Các kết Em dễ

dạng chứng minh Bài toán ta dễ dạng tính diện tích đáy, phần cịn lại tính đường cao SA thơi Mà muốn tính SA phải xác định góc SB mặt phẳng (ABCD) Ta có B giao điểm SB (ABCD) SAABCDSB ABCD; SBA

Giải + Tính VS ABCD.

Ta có B SB ABCD SAABCD

 

 

 SB ABCD; SBA Khi đó:  tan30 

3 a

SA AB SABCD a2

Vậy . 1  2 3

3 3

S ABCD ABCD a a

V SA S a

Q d

P

H S

A

a

30°

D

B

A

C S

+ Tính d AB SD ; 

Ta có AB // DC AB // (SAD) d AB SD ; d A SAD ; 

Kẻ AH SD , ta chứng minh AHSDC Ta có     



CD AD

CD AH

CD SA Mà AH SD ,

    

   ;

AH SDC AH d A SDC Xét tam giác SAD vng A, có đường cao AH suy ra:

     

2 2 32

1 1

2a

AH

AH SA AD a a Vậy d AB SD ;  2a

Ví dụ 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, với AD = 2AB Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AB Biết SC hợp với đáy góc 45



SD a

Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Phân tích:Rõ ràng đề muốn làm khó ta rơi cho góc SC đáy không cho cạnh tam giác Vậy phải nghĩ xem SD có liên quan gì? Ak…!Khơng khó để ta thấy

SHD SHCSC SD a  Vậy nhé! Giải

Ta có SCH góc SC mặt phẳng (ABCD) suy SCH 45

SHD SHCSC SD a  2SH HC SC  sin45 a

Xét tam giác BHC vuông H có 2   2     

4 5 5

BC a a

BC HB HC BC a BC AB

Vậy . 1  .2 

3 5 5 30

S ABCD ABCD a a a

V SH S a

+ d A SCD ; 

Ta có AH // CD AH // (SDC)  d A SDC ; d H SDC ; 

45°

a a

E H

C

A

B

D S

K

E H

C B

Gọi E trung điểm DC, kẻ HK SE HK d H SCD  ;  Xét tam giác SHE vng H, có đường cao HK suy ra: 12  12  12  12  52  

3

4 HK a

HK SH HE a a Vậy d A SCD ; 23a

Ví dụ 35 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trung điểm N AB đến mặt phẳng (SBC)

Phân tích: Bài ta dễ dàng tính diện tích đáy Phần cịn lại tính SA, cần xác định góc (SBC) (ABC) Nhớ lại cách xác định góc hai mặt phẳng, ta có

   

 

BC SBC ABC , kẻ AE BC E E trung điểm BC vàSE BC Khi ta có SEA góc (SBC) (ABC)

Giải

+ Tính VS ABC.

Kẻ AE BC E E trung điểm BC; AE a 3vàSE BC Khi ta có SEA góc (SBC) (ABC) suy SEA60

Ta có SA AE tan60 a

Vây    

2

13 13 4 23

S ABC ABC a a

V SA S a

+ Tính d M SBC ;  Ta có   

 

 ;;    12  ; 12  ; 

d M SBC MB

d M SBC d A SBC

d A SBC AB

Kẻ AK SE K, AK d A SBC  ;  Ta có :

     

2 2 2

1 1 1

2

3 AK a

AK SA AE a a

Vậy  ;   ; 

2 a4

d M SBC d A SBC

Ví dụ 36 (Trích đề THPT Quốc Gia -2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SA vng góc mặt phẳng(ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) bằng45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB,AC

Giải

60°

M E

A

C

B S

K

E 2a

60° M

C

+ TínhVS ABCD.

Ta có: SC ABCD; SCA45 ABCDlà hình vng cạch a suy raSA AC a 

  

13 13 23

S ABCD ABCD a

V SA S a a

+ Tính d AC SB ; 

Kẻ đường thẳng d qua B song song với AC Kẻ AE d E, AK SE K Ta có      

 

BE AE BE SAE BE AK

BE SA Mà AK SE ,

    

   ;

AK SBE AK d A SBE

Ta có AC // BE AC // (SBE) d AC SB ; d A SBE ; AK Xét tam giác ABE vng E có  sin 45 

2

a

AE AB Xét tam giác SAE vng A, có đường cao AK suy ra: 12  12  12  12  22   10

5

2 AK a

AK SA AE a a Vậy d AC SB ; a 510

Ví dụ 37 (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; 

2a

SD ;hình chiếu vng góc S (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)

Giải

d

a

45°

E

C B

A D

d

45° a

D

B

A

C S

E K

a M

H

D A

B C

a 3a

2

H

C

A

B

D S

+ TínhVS ABCD.

Gọi H trung điểm AB, ta có AH ABCD Tam giác ADH vng A nên:

    

2 2

4

a a

HD AD AH a

Tam giác SHD vuông H nên :  2  5 

4a 4a

SH SD HD a

Khi :   

13 13 3

S ABCD ABCD a

V SH S a a

+ Tính d A SBD ;  Ta có   

 

 ;;    2  ; 2  ; 

d A SBD AB

d A SBD d H SBD

d H SBD HB

Kẻ HM BD M;kẻ HE SM  1 E Ta chứng minh HESBD Ta có:        





BD HM BD SHM BD HE

BD SH

Từ (1) (2) suy raHESBDHE d H;SBD Ta có  sin 45 

4

a

HM HB

Tam giác SHM vng H, có đường cao HE nên:

   

2 2

1 1

3

a HE

HE HS HM Vậy d A SBD ; 2d H SBD ;  23a

Ví dụ 38 (Trích KD -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a; cạnh bên SA vng góc với đáy; BAD120 ; M trung điểm cạnh BC vàSMA45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

Giải

+ TínhVS ABCD.

45° a

M B S

C A

D

H

a

a a

60°

M

D B

120  60  

BAD BAC ABCđều   

2 ABCD

a a

AM S

SAMvuông A SMA45  SAMvuông cân A  

2

a

SA AM

Vậy: . 1  3 

3 2

S ABCD ABCD a a a

V SA S

+ Tính d D SBC ; 

Ta có AD // BC AD // (SBC) d D SBC ; d A SBC ; 

Kẻ AH SM  1 H ,        





BC AM BC SAM BC AH

BC SA

Từ (1) (2) suy AH SBCAH d A SBC  ;  Ta có  sin 45  

2

a a

AH AM Vậy  ; 

4

a

d D SBC

Ví dụ 39 (Trích KA -2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB choHA2HB Góc SC mặt phẳng (ABC) 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC

Giải

+ TínhVS ABCD.

Từ 2   ; 

3a 3a

HA HB HA HB Xét tam giác CHB, ta có

    

2 2 2 . .cos60

3

a

CH HB BC HB BC CH

Góc SC phẳng (ABC) góc SCH, suy

60

SCH Ta có:  tan60  21

3

a

SH CH

Do đó: . 1  1 21 

3 3 12

S ABCD ABC a a a

V SH S

+ Tính d SA BC ; 

Kẻ đường thẳng d qua A song song với BC Kẻ HE d E,



HK SE K

B d

60°

H A

C S

E K

d 2a

3

a a

60°

E

C

B A

Ta có       



AE HE

AE SHE AE HK

AE SH Mà HK SE ,

    

   ;

HK SAE HK d H SAE

Ta có BC // AE BC // (SAE) d BC SA ; d B SAE ;  Ta có đường thẳng qua điểm B H cắt d A suy ra: Ta có   

 

 ;;    32  ; 32  ; 

d B SAE BA

d B SAE d H SAE

d H SAE HA

Xét tam giác AHE vuông E có  sin60  

3 2a a3

HE AH Xét tam giác SHE vng

E, có đường cao HK suy ra: 12  12  12   42

12

a HK

HK SH HE

Vậy  ;   ;  42

2 a

d SA BC d H SAE

Bài 40 (Trích KA -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm AB AD; H giao điểm CN MD Biết SH vng góc mặt

phẳng (ABCD) vàSH a Tính theo a thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng MD SC

Phân tích: Các Em nên vẽ đa giác đáy ra, toán Em phát ND MC ,

 



ND SCM NDSCMH, để tính d ND SC ; , cần kẻ HK SC , HK khoảng cách cần tính

Giải

+ TínhVS DCNM.

Ta có:       

2 2

2

8

DCNM ABCD AMN BCM a a a

S S S S a

a

H

N

M

C B

A D

H N

M D

B A

C S

Vậy:   

2

13 13 3.58 324

S DCNM DCNM a a

V SH S a

+ Tính d SC ND ; 

Ta có DAN CDMADN DCM ADN CMD DCM CMD   90 DN CM Kết hợp thêm DN SH DNSCM Kẻ HK SC , HK đoạn thẳng vng góc chung

DN SC HK d SC ND  ; 

Xét tam giác DCM vng D, có đường cao DH, ta có:   

5

a

CH CM CD CH

Ta có : 2  12  2  

19

a HK

HK SH HC

Vậy  ; 2

19

a

d SC ND

b Bài tập rèn luyện

Bài 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA vng góc với mặt phẳng

(ABCD); SC hợp với mặt phẳng (SCD) góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a khoảng cách từ trung điểm M SB đến mặt phẳng (SCD)

Bài 32 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân với AB=AC=a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) hình trung điểm BC Mặt phẳng (SAB) hợp với mặt phẳng

(ABC) góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)

Bài 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SB vng góc với mặt phẳng (ABCD) mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng đáy góc45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD AC

Bài 34 (Trích KD -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC BAD 90 ;

  ; 2

BA BC a AD a Cạnh bên SA vng góc với đáy cạnh bên SA a Gọi H hình

chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDC)

Bài 36 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB2 ;a AD a ; K hình chiếu vng góc B lên đường chéo AC; điểm H,M trung điểm AK DC

Cạnh SH vng góc với mặt phẳng (ABCD); góc SB mặt phẳng (ABCD) bằng45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB MH

Bài 37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật vớiAB a AD ; 2a

 



SA ABCD Gọi M trung điểm CD SC hợp với mặt phẳng đáy góc  cho 

tan

5

 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM)

Bài 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, 3

2a

SD Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H đoạn thẳng AB Gọi K trung điểm AD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng HK SD Bài 39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAABCD Cạnh SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30 Goi E trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng DE SC

Bài 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh, a 3;BAD120 Cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD SC 2 Khối chóp

Trong đề thi gặp khối chóp khối chóp tứ giác khối chóp tam giác thơi Các Em xem lại tính chất hình chóp chương nhé!

a Bài tập mẫu

Ví dụ 41 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Giải

60°

G

E

A C

S

F G

E C

+ TínhVS ABC.

Gọi E trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC Do S.ABC hình chóp nên

 



SG ABC Tam giác ABC canh a nên AE BC  3; 

2

a a

AE GE Ta có SEG góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABC) nên SEG60

 tan60  3

6

a a

SG GE

Vậy    

2

13 13 2 43 243

S ABC ABC a a a

V SG S

+ Tính d A SBC ;  Ta có :   

 

         

;

3 ; ;

;

d A SBC AE

d A SBC d G SBC

d G SBC GE

Kẻ GK SE , GK d G SBC  ;  Ta có:

      

2 2 2

1 1 12

4

a GK

GK SG GE GK a a

Vậy    

2

3

;

4 a

d A SBC GK

Ví dụ 42 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM SB

Giải

d

E G

M C

B A

B d E

G

M

A C

S

+ TínhVS ABC.

Gọi G trọng tâm tam giác ABC Do S.ABC hình chóp nênSGABC Tam giác ABC canh a nên AM BC  3; 

2

a a

AM AG Xét tam giác SAG vuông G, ta có:

   

     

 

2

2 2 33

3

a a

SG SA AG a

Vậy    

2

13 13 333 43 1211

S ABC ABC a a a

V SG S

+ Tính d AM SB ; 

Kẻ đường thẳng d qua B song song với AM Kẻ GE d E, GK SE K Ta có      

 

BE GE

BE SGE BE GK

BE SG Mà GK SE ,

    

   ;

GK SBE GK d G SBE

Ta có AM // BE AM // (SBE) d AM SB ; d G SBE ;  Ta có  

2 a

GE MB

      

2 2 32 517

1 1

47

11 GK a

GK SG GE GK a a Vậy d AM SB ;  a 47517

Ví dụ 43 (Trích KB -2012) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA2 ;a AB a Gọi H hình chiếu vng góc SA cạnh SC Chứng minh SC vng góc mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a

Phân tích:Trong để tính VS ABH. ta tính trực tiếp, nhiên Thầy đưa hướng khác cho Em sữ dụng tỷ số thể tích Tỷ số thể tích tìm hiểu kỉ phần sau

Giải

G I

A

C S

H

60° I

C

+ Chứng minh SCABH

Gọi I trung điểm AB; G trọng tâm ABC Ta cóSGABC  ;  3;GC

2

a a

CI AB CI

Ta có :       



AB CI

AB SCI AB SC

AB SG , thêm AH SC SCABH

+ TínhVS ABH. Ta có 

S ABH S ABC

V SH

V SC Do SGC vuông tai G, nên   

2 33

3 a

SG SC GC

Đặt SH x x , 0HC2a x Khi ta có phương trình:



  

13 13 333 43 1211

S ABC ABC a a a

V SG S

Đặt SH x x , 0HC2a x Khi ta có phương trình:

 

        2   

2 2 4 2 2 7

4a 4a

SA SH AC HC a x a a x x SH

Vậy       

3

7 : 2 7. 7. 11 11

4 8 12 96

S ABH

S ABH S ABC S ABC

V SH a a a a

a V V

V SC

Ví dụ 44 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên

2a Gọi

M,K trung điểm BC SD Tính theo a thể tích khơi chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng MK SB

Giải

E

N K

M I

D

B

A

C S

H a

I E

M N

C B

A

+ TínhVS ABCD.

Gọi I tâm hình vng Do S.ABCD hình chóp nênSI ABCD 

2

a

AI

Xét tam giác SAI vng I, có        

   

2

2

2a a2 2a

SI SA AI

Vậy . 1  

3

S ABCD ABCD a a

V SI S a

+ Tínhd MK SB ; 

Gọi N trung điểm AD, NK // SA MN // AB suy ra: MKN SABd MK SB ; d I SAB ; 

Kẻ IEAB E, IH SE H.Ta có       



IE AB

AB SIE AB IH

SI AB

Mà IH SE , IHSABIH d I SAB  ;  Ta có:

      

2 2 2 2

1 1 4

4

a IH

IH SI IE IH a a Vậy d MK SB ;  a42

Ví dụ 45 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi K trung điểm SD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD cosin góc hợp hai đường thẳng CK SB

Giải

+ TínhVS ABCD.

Gọi I giao điểm AC BD Do S.ABCD hình chóp nên SI ABCD 

2

a

ID

a 2

a

I

C B

A

D

a 60° K

I

D

B

A

Ta cóSDI góc SD mặt phẳng (ABCD)SDI 60 Xét tam giác SID vng I, ta có:  tan60  3

2

a a

SI ID

Vậy   

3

13 13 2 66

S ABCD ABCD a a

V SI S a

+ TínhcosCK SB; 

Ta có IK // SBCK SB;   CK KI; CIK Ta có       



IC BD

IC SBD IC IK

IC SI hay

tam giác IKC vuông I Xét tam giác SID vng I, ta có:

 2  2 

2

a

SD SI CD a IK

Do    

2

a

IC IK CIK vuông cân Icos cos45 

2

CIK

Vậy cos ; 

2

CK SB

Ví dụ 46 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có I tâm đa giác đáy cạnh đáy a Mặt bên hợp với đáy góc 60 Gọi E trung điểm SB Chứng minh IE vuông góc với SC tính theo a thể tích khối chóp S.EICB

Giải + Chứng minh SE CD

Do S.ABCD hình chóp nên SI ABCD Ta có       



CD IE CD SEI CD SE

CD SI

+ TínhVS EICB.

a

I E

C B

A

D

60°

E

I

D

B

A

Ta cóSEI góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABCD)SEI 60

 tan60  3

2

a a

SI IE

Diện tích    3

2

EICB

S EB IE BC a Vậy   

3

13 13 8 3 163

S ABCD EICB a a

V SI S a

b Bài tập rèn luyện

Bài 41 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên hợp với đáy góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Bài 42 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bênSA a SA hợp với đáy góc 60 Gọi K trung điểm SB.Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC cosin góc hợp hai đường thẳng CK SA

Bài 43 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với mặt đáy góc 45 Gọi H hình chiếu vng góc C cạnh SB Chứng minh SB vng góc với mặt phẳng (AHC) tính theo a thể tích khối chóp S.AHC

Bài 44 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a mặt bên hợp với mặt đáy góc 45 Gọi K trung điểm SD Tính theo a thể tích khối chóp S.AKC khoảng cách hai đường thẳng BK CD

Bài 45 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a cạnh bên hợp với mặt đáy góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD cosin góc hợp SC mặt phẳng (SAD) Bài 46 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a mặt bên hợp với mặt đáy góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD cosin góc hợp SC mặt phẳng (SAD) Bài 47 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên 2a mặt bên hợp với mặt đáy góc

60 Gọi M,K trung điểm SD BC.Tính theo a thể tích khối chóp K.AMCD Bài 48 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên SD = 2a tam giác SAC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

3 Khối chóp cần phải xác định chân đường cao

Bài tốn hình khơng gian việc quan trọng phải xác định chân đường cao khối chóp hay khối lăng trụ Ở hai dạng vừa trình bày xem có sẳn chân đường cao việc xác định chân đường cao khối chóp dễ dàng khối chóp Trong mục ta tìm hiểu số cách xác định chân đường cao Nhắc lại hai dạng thường gặp:

Đường cao hình chóp đường cao mặt bên chứa mặt phẳng vng góc đáy

Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB vng góc đáy Ta kẻ SH vng góc AB SH đường cao hình chóp

Dạng Hình chóp có hai mặt bên vng góc đáy Đường cao hình chóp giao tuyến hai mặt bên a Bài tập mẫu

Ví dụ 47 (Trích THPT Trần Phú 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a;I trung điểm AB; H giao điểm BD CI Các mặt bên (SCI) (SBD) vng góc với đáy Góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABCD) 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA CI

Giải

+ TínhVS ABCD.

Ta có SH giao tuyến hai mặt phẳng (SCI) (SBD), mà hai mặt phẳng (SCI) (SBD)

vng góc mặt phẳng (ABCD) suy SHABCD Kẻ HL AB L, SLH góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) suy SLH60

Ta có   1   1    tan60 

2 3a a3

HI IB HL HI HL SH HL

HC CD BC IC

Vậy   

3

13 13 3 93

S ABCD ABCD a a

V SH S a

+ Tính d SA CI ; 

Gọi M trung điểm DC, tứ giác AICM hình bình hành suy CI // AM  CI // (SAM) d SA CI ; d H SAM ;  Gọi N giao điểm DC AM; K E hình

L N E M

H I

C

A D

B

S

K F

L N

E

K M

H

I B

A

chiếu vng góc H D AM Do M trung điểm DC MN // CI suy N trung

điểm DH Từ ta có HK DE  2  12  12  2

HK DE DA MD Kẻ HF SK F ( ta

sẽ chứng minh HFSAM Thầy để Em chứng minh xem tập nhỏ nhé!) Khi

 

 

 ;

HF d H SAM Ta có:

         

2 2 2 32 2

1 1 1 1

4

a HF

HF SH HK SH DA MD a a a

Vậy  ;   ; 

4

a

d SA CI d H SAM

Ví dụ 48 (Trích KB -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Giải

+ TínhVS ABCD.

Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB

cạnh a nên ta có SH AB 

2 a

SH

MàSAB  ABCDvà SAB  ABCDAB ,do SHABC

Vậy:   

3

13 13 2 36

S ABCD ABCD a a

V SH S a

+ Tính dA;SDC

Do AB // DC d A SDC ; d H SDC ;  Gọi E trung điểm DC, kẻ HK SE K,

 

 ; 

d H SDC HK Ta có 12  12  12   21

7

a HK

HK SH HE Vậy dA;SDC a 721

Ví dụ 49 (Trích KD -2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A; mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA; BC

a

E H

D

C A

B S

Giải

+ TínhVS ABCD.

Gọi H trung điểm BC, tam giác SBC nên ta có SH BC MàSBC  ABC,

 



SH ABC Tam giác SBC cạnh a nên 

2 a

SH

Tam giác ABC vuông cân A BC=a,ta tính  

2 a

AB AC

Khi đó: . 1  1 3.1 2  3

3 2 2 24

S ABCD ABC a a a a

V SH S

+ Tính d SA BC ; 

Kẻ HK SA  1 K Ta có       





SH BC

BC SAH BC HK

AH BC Từ (1) (2) suy

 

 ;

HK d SA BC Ta có 2  12  12  

4

a HK

HK SH HA

Vậy  ; 

4

a

d SA BC

Ví dụ 50 (Trích TTLT Diệu Hiền 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnha 3; mặt bên (SAD) tam giác vng nằm mặt phẳng vng góc đáy; cạnh bên SC hợp với mặt phẳng (SAD) góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD góc hai mặt phẳng (SAC) (ABCD)

Giải

+ TínhVS ABCD. Gọi H hình chiếu vng góc S cạnh AD, đóSHABCD Ta có DC AD DC SH   DCSADDSC góc cạnh SC mặt phẳng (SAD) Xét tam giác SCD vng D, có SH  

tan60CD

SD a

H B

A

C S

K

a H

B A

Mặt khác xét tam giác SAD vng S cóSA AD2SD2 a Ta có   

3 a

SH AD SA AD SH Vậy   

3

13 13 3 6.3 36

S ABCD ABCD a a

V SH S a

+ TínhSAC ; ABCD

Kẻ HE AC  1 , mà SH AC ACSHEAC SE  2 Từ (1) (2) suy SEH góc

giữa hai mặt phẳng hai mặt phẳng (SAC) (ABCD)

Ta có  cos45 

3

a

HE HA

Xét tam giác SHE vuông H có tanSEH  SH  1 SEH 45

HE

Vậy SAC ; ABCD45

Ví dụ 51 (Trích Chun Hạ Long -2015) Cho hình chóp S.ABC có mặt ABC SBC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) nằm tam giác (ABC) Góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)

Giải + TínhVS ABC.

Gọi M trung điểm BC; tam giác ABC SBC nên      



BC SM

BC SAM

BC AM

Ta có SMA góc hai mặt phẳng (ABC) (ABC) SMA60 Thêm vào ABC SBCAM SM  SAM có cạnh

2

a

 

2

3 16

SAM a

S

a

E I

C D

B A

H

60°

A C

S

a

E

I

B

C A

D H

+ Tínhd B SAC ; 

Ta có          39

16

SAC a

S p p SA p AC p SC ,

  

3 2

a a a p

Vậy   



3 3 13

;

13

S ABC SAC

V a

d B SAC

S

Ví dụ 52 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tam I cạnh đáy a; mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc đáy Điểm M thuộc SB cho SB3MB E trung điểm CI.Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD chứng minh đường thẳng BE vng góc với đường thẳng AM

Giải

+ TínhVS ABCD.

Gọi H trung điểm AD ta có SHABCD 

2

a

SH

Vậy   

3

13 13 2 63

S ABCD ABCD a a

V SH S a

+ Chứng minh BEAM

Gọi d đường thẳng qua M ; d song song với SC cắt BC F  1

3

BF BC

Gọi K giao điểm HE BC, ta có   1 1 1

3

KC IC KC AH BC

HA IA

Từ  1 1 1   

3 2

KC FB BC BC BC KF BC AH Suy tứ giác AHKF hình bình hành suy HK//AF, mà MF//SC suy (MAF) // (SHE) (1)

K F M

E

H I

B

D

A

C S

J

K F

E

H I

C D

Gọi J trung điểm BC ta có AHJB hình chữ nhật nên nội tiếp đường trịn (C) với đường kính AJ BH JE đương trung bình tam giác JCI suy JE vng góc với AC suy E thuộc đường tròn (C) suy BE HE Mà BE SH , BESHE 2

Từ (1) (2) suy BEMFABE MA

Ví dụ 53(Trích KA-2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A D;  2 ; 2

AB AD a CD a ; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm

của AD, mặt phẳng (SCI) (SBI) vng góc mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Giải

Hai mặt phẳng (SCI) (SBI) vng góc mặt phẳng (ABCD), suy SI ABCD

Kẻ IK BC  1 K,        





SI BC

BC SIK BC SK

BC IK Từ (1) (2) suy SKI

là góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) suy SKI60 Gọi M trung điểm AB, ta có ADCM hình chữa nhật BC CM2MB2 a Ta có

   

  3 ;2  2; 

2

ABCD ABI CDI a

S AD AB CD a S a S

Suy       

2

3

BCI ABCD ABI CDI a

S S S S Mà  1  2  3

2 BCI

BCI

S a

S CK BC CK

BC

Xét tam giác SIK vuông I có  tan60  15

5 a

SI IK

Vậy   

3

13 13.3 155 3 515

S ABCD ABCD a a

V SI S a

Ví dụ 54(Trích KD-2007)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang có DAB ABC 90 ,BA BC a AD  , 2a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA a Gọi H hình chiếu vng góc A

SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) 60°

C D

M

A B

I

K S

a

a

a K

C D

I

M

Giải

+ Chứng minh tam giác SCD vuông

Gọi I trung điểm AD, ta có ABCI hình vng   1  

2

CI AB AD ADC vuông C

hay AC DC AC a Mà CD SA CDSACCD SC Vậy tam giác SCD vng C

+ Tính d H SCD ; 

Xét tam giác SAB vuông tai A có SB SA2AB2 a

 2   2 

3

SA a a

SH SB SA SH

SB a Ta có

 

 

 

          

; 2 2

; ;

; 3

d H SDC SH

d H SDC d B SDC

d B SCD SB

Gọi F giao điểm AB CD suy

 

 

 

 ;;    12  ;  12  ; 

d B SDC BF BC

d B SDC d A SDC

d A SCD AF AD

Từ suy  ; 1  ; 

3

d H SDC d A SDC

Kẻ AK SC K Khi đó:AK d A;SDC.Ta có: 12  12  12  12  12  

2 AK a

AK AS AC a a

Vậy  ; 1  ; 

3 3a

d H SDC d A SDC

b Bài tập rèn luyện

Bài 49 (Trích KD -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B; BA3 ;a BC a4 ; mặt phẳng (SBC) vng góc mặt phẳng (ABC) BiếtSB2 3a SBC30 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

Bài 50 (Trích KB -2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a;  ,SB

SA a a mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm

F

C I

A D

B S

K H

a a

F

C B

I

của AB BC Tính thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hợp hai đường thẳng SM DN

Bài 51 (Trích KA -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; mặt bên (SAD) tam giác nằm mặt phẳng vng góc đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB,BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính theo a thể tích khối tứ diện CMNP

Bài 52 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a; SAB tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc đáy Cạnh bên SC hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 53 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân, AB AC a  Các mặt phẳng (SAC) (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC

Bài 54 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh A, mặt bên SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SB AC

Bài 55 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật;tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc đáy Biết SD2 3a cạnh bên SC hợp với đáy góc 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)

Bài 56 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng;tam giác SAB tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc đáy Biết SD2 5a cạnh bên SC hợp với đáy góc 60 Gọi M trung điểm AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA MD

Bài 57 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B; AB BC a AD  ; 2a ; mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng CD SB

Bài 58 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Điểm H thuộc thẳng AB cho

2

Bài 59 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a, SA a SB a ,  3, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M trung điểm của, N điểm thuộc BC

sao cho3BN2BC

Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN 4 Tỷ số thể tích khối chóp

a Lý thuyết

Cho khối chóp S.ABC, giả sử mặt phẳng (P) cắt cạnh SA, SB, SC khối chóp A’,B’C’

Khi 

' ' '

'. '. '

S A B C S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC

Đặc biệt

Cho điểm M thuộc đoạn thẳng SC khối chóp S.ABC Khi đó: 

S ABM S ABC

V SM

V SC

b Bài tập mẫu

Ví dụ 55 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A; mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vng góc đáy Gọi G trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (P) qua G song song AC cắt SA,AC M N Tính theo a thể tích khối chóp S.BMN

Phân tích: Trong trường hợp việc tính thể tích khối chóp S.ABC đơn giản nên ta nghĩ đến lập tỷ số hai thể tích khối chóp để chuyển tốn tính VS ABC. Cần nhớ lại cách dựng mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) qua G song song với AC nên MN // AC Từ ta có

  

3 SM SN SG

SA SC SI với I trung điểm AC

Giải

Gọi H trung điểm BC, tam giác SBC nên ta có



SH BC MàSBC  ABC, SHABC.Tam giác SBC cạnh a nên 

2 a

SH Mặt phẳng (P) qua G song song với AC nên MN // AC Từ ta có   

3 SM SN SG

SA SC SI

C A

S

B A'

B' C'

A

B

C S

M

M

N G

I H

B

A

với I trung điểm AC

Ta có    .  .

4

9

S BMN

S BMN S BAC S BAC

V SN SM

V V

V SC SA

Tam giác ABC vng cân A BC=a,ta tính  

2 a

AB AC

Khi đó: . 1  1 3.1 2  3

3 2 2 24

S ABCD ABC a a a a

V SH S Vậy

  

49 9 243 543

S BMN S BAC a a

V V

Ví dụ 56 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc đáy Gọi M trung điểm SD, mặt phẳng (P) chứa CM song song với BD cắt SB N Tính theo a thể tích khối chóp S.CMN

Phân tích:Phải nắm cách dựng mặt phẳng (P) Do (P) song song với BD cắt SB N suy N trung điểm SB (M trung điểm SD) Việc tínhVS CMN. ta chuyên tính VS BCD.

Giải

Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB cạnh a nên ta có



SH ABvà 

2 a

SH

MàSAB  ABCDvà SAB  ABCDAB ,do

 



SH ABC Do (P) song song với BD cắt SB N suy N trung điểm SB (M trung điểm SD)

Ta có    .  .

1

4

S CMN

S CMN S CDB S CDB

V SM SN

V V

V SD SB

Vậy: .C 1  1  3

3 2 12

S DB BCD a a a

V SH S

Vậy . 1 .  3  3

4 12 48

S CMN S CDB a a

V V

Ví dụ 57 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA a Gọi E , F hình chiếu A cạnh SB, SD; mặt phẳng (AEF) cắt SC K

a) Chứng minh SCAEKF

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.AEKF a

a

N

M

H

D C

C A

Giải a) Chứng minh SCAEKF

Gọi I tâm hình vng, M giao điểm SI EF; K giao điểm AM SC

Ta có BCSABBC AE , mà

 

    

AE SB AE SBC AE SC SB ABCD; SBA

Tương tự ta có SC AF , SCAEKF b)Tính VS AEKF.

Do SAB SADAE AF VS AEK. VS AFK. VS AEKF. 2VS AEK.

Ta có SCAEKFSC AK , mà tam giác SAC vuông C SA SC a  suy K trung điểm SC.Ta có 

S AEK S ABC

V SE SK

V SB SC  

2

2 23

SE SA

SB SB SKSC 12

Mặt khác .ABC 1  1 2 

3

S ABC a a

V SA S a

Suy      

3

2

2 1

3 3 18

S AEK

S AEK S ABC S ABC

V SE SK a

V V

V SB SC Vậy  

3

29

S AEKF S AEK a

V V

c Bài tập rèn luyện

Bài 60 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a; H hình chiếu vng góc A SC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABH

Bài 61 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a M trung điểm SB; mặt phẳng (MCD) cắt SA N Tính theo a thể tích khối chóp S.MNDC

Bài 62 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy tam giác SAB cân Gọi M, N trung điểm SC SD Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN

Bài 63 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy tam giác vng cân A, AB = a ; mặt bên SBC tam giác nằm mặt phẳng vng góc đáy Gọi G tâm tam giác SAB; mặt phẳng B qua G song song AB cắt SA, SB M N Tính theo a thể tích khối chóp S.CMN

Bài 64 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy góc 60 Gọi M hình chiếu vng góc A SC Tính theo a thể tích khối chóp S.ACM

a E

F M

K

I

D

B

A

Bài 65 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi M, N trung điểm SB SD Mặt phẳng (AMN) cắt SC K Tính theo a thể tích khối chóp S.AMKN Bài 66 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC hợp với đáy góc 45 Gọi K hình chiếu A SC Mặt phẳng (P) chứa AK song song với BD cắt SB, SC M N Tính theo a thể tích khối chóp S.AMKN

Bài 67 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy tam giác vuông cân B, AB = 3a , BC = 4a Cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng (P) qua A vng góc SC (P) cắt SC, SB M,N

a) Chứng minh AMSBC

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN

III Thể tích khối lăng trụ

Thầy nghĩ Em nắm vững phần trình bày trước lăng trụ xem nhẹ Chắc ta không phân dạng nữa, mà tìm hiểu trực tiếp qua ví dụ Nếu qn cơng thức tính thể tích Em xem lại chương nhe!

a Bài tập mẫu

Ví dụ 58.(Trích đề THPT Quốc Gia -2016) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng cân B; AC= 2a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AC; đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) góc45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ chứng minhg A’B vng góc B’C

Giải + TínhVABC A B C ' ' '

Gọi H trung điểm AC, ta có A H' ABC



'BH 45

A Tam giác ABC vuông cân B AC=2a nên ta tính được: BH a vàAB BC a  Suy ra:

  

2

1 2 2

2

ABC

S a a a Tam giác A’HB vuông H A'BH 45 có nên tam giác A’HB vng cân H Suy A H BH a'  

Do : VABC A B C ' ' ' A H S' ABC a a a3 + Chứng minh B C AB'  '

45

K

B'

C'

H

A B

Gọi K giao điểm AB A’B’ K trung điểm A’B’ AB (vì ABB’A’ hình bình hành) Mặt khác tam giác A’HB vuông cân H suy HK AB ' 1  Mà HK đường trung bình tam giác B’AC nên HK // B’C (2) Từ (1) (2) suy B C AB'  '

Ví dụ 59.(Trích KB -2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABC) góc60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’)

Giải

+ TínhVABC A B C ' ' '

Gọi H trung điểm AC, ta có A H' ABC A'BH 60 Tam giácABC cạnh a H trung điểm AB nên 

2 a

CH  

2 3

4

ABC a

S Tam giác A’HC vuông H nên

 3

' tan60

2a

A H CH

Do : ' ' ' '   3 3

2

ABC A B C ABC a a a

V A H S

a) Tính d B ACC A ; ' ' Ta có:   

 

 ;;    2  ; 2  ; 

d B SAC BA

d B SAC d H SAC

d H SAC HA

Kẻ HE AC E vàHF SE F Khi HF d H SAC  ;  Ta có :  sin60  3

2

a a

HE HA Tam giác A’HE vng E, có đường cao HF suy ra:

      

2 2 2 162 13

1 1

26

' HF a

HF A H HE HF a a

Vậy  ; 2 3 13

13

a

d B SAC HF

60

C'

B'

H

B

C A

A'

E

F E

H C

Ví dụ 60.(Trích KD -2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng;tam giác A’AC A’C=a Tính theo a thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’)

Giải

+ TínhVABB C' '

Tam giác A’AC vuông cân A '   ' AC 

2

a

A C a AA Do

 

2 a

AB AD

Khi đó: ' '1  ' ' 1 .1 

3 2 2 48

ABB C BB C a a a a

V AB S

+ Tính d A BCD ; '

Do AD // BC d A BCD ; 'd D BCD ; '

Kẻ DH CD ' 1  H Ta có        



 ' ' '

BC CD

BC DCC D BC DH

BC DD

Từ (1) (2) suy DHBCD'DHD BCD; ' Ta có 2  2  12  12  22  42  

6

' DH a

DH D D DC DH a a Vậyd A BCD ; 'a66

b Bài tập rèn luyện

Bài 68 (Trích KB -2011) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1có đáy ABCD hình chữ nhật;

 ; 

AB a AD a Hình chiếu vng góc A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng ADD A1 1 mặt phẳng (ABCD) 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1và khoảng cách từ điểm B1đến mặt phẳng A BD1  Bài 69 (Trích KB -2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cóBB a' ;góc BB’ mặt phẳng (ABC) ; tam giác ABC vuông C BAC60 Hình chiếu B’ mặt phẳng (ABC) trùng vói trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a

Bài 70 (Trích KD -2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vng B;

 ,

AB a AA' ,A'C 3a a  Gọi M trung điểm A’C’; I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

Bài 71 (Trích KA -2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy tam giác ABC vuông A; AB a AC a ,  hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC)

D'

C' A'

C A

D

B B'

trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc hợp hai đường thẳng AA’ B’C’

Bài 72 (Trích KD -2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông;

 

AB BC a,cạnh bên AA'a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM B’C

Bài 73 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vng A, AB=2a, AC=a, AA’=3a Tính thể tích khối lăng trụ khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC

Bài 74 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cóAB a ;BC ; a ACB120 Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 30 Gọi M trung điểm BB’ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM CC’

Bài 75 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông với AB AC a  Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng A’B B’C’

Bài 76 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 60 Gọi M trung điểm BC N trung điểm CC’ Tính theo a thể tích khối chóp A.BB’C’C khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB’N)

Bài 77 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác đều, tam giác A’AC vuông cân A’C=a

Tính theo a thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC) IV Bài tập tổng hợp

Bài 78 Cho hình chóp hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB6 ;a AD8a; tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD cosin góc hợp mặt phẳng (SAC) (SAD)

Bài 79 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân BC AD/ / .Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AD; SH a AB BC CD a AD ;    ; 2a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB AD Bài 80 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân; AB AC a  M trung điểm AB Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam

Bài 81 Cho hình chóp hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB2AD2a; điểm M thuộc đoạn thẳng AB cho 

2 a

AM Gọi H giao điểm AC MD , biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ADCM khoảng cách hai đường thẳng SD AC

Bài 82 Cho hình chóp hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SAD SAB BAD  60 SA =a

Tính theo a thể tích khối chóp S.ADCM khoảng cách hai đường thẳng SD AB Bài 83 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G tam giác ABC; góc SA mặt phẳng

(ABCD) bằng30 Tính thể tích khối chóp S.ABCD cosin góc hợp đường thẳng AC mặt phẳng (SAB)

Bài 84 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SB AC

Bài 85 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A D, AB AD 2 ;a CD a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng Ì(ABCD) trung điểm H AD Biết khoảng cách từ

H đến mặt phẳng (SBC)

2

a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Bài 86 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, góc cạnh A’C mặt phẳng (BB’C’C) 30 Gọi M trung điểm CC’ Tính theo a thể tích khối lăng trụ khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (A’BC)

Bài 86 Cho chóp S.ABC có cạnh bên 2a mặt bên hợp với đáy góc 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 87 Cho hình chóp hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SA SB a  ,SDa ; mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABDC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Bài 88 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trùng với tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường

Bài 89 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam vng B; BC a ;ACa 10 Hai mặt phẳng (SAC) (SAB) vng góc mặt phẳng (ABC) Góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng

(ABC) 60

Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SM AC, với M điểm thuộc đoạn BC choMC2MB

Bài 90 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm I , cạnh đáy a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm IA Cạnh bên SB hợp với đáy

một góc30

Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB)

Bài 91 Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC A AD ' 60 Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABCD) trung điểm H CD.Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ khoảng cách hai đường thẳng A’D BC

Bài 92 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác Hình chiếu vng góc C’ mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm I tam giác ABC Biết d I A A ; ' a mặt phẳng (AA’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’B’B) góc  cho tan 3

2

 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A’B’C’)

Bài 93 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, AB = a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) BC tạo với mặt phẳng (SAC) góc60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 94 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SA a ;SB a 3 Mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC), với M trung điểm SA

Bài 95 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SAABCD Cạnh bên SD a cạnh SB hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA CM, với M trung điểm SD

Bài 96 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, AB2AC2a Các cạnh bên hình chóp a Gọi M H trung AB BC điểm I thỏa mãn AC3BI

Bài 97 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cân AB a BAC , 120 Mặt bên (A’BC) hợp với mặt phẳng đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A’BC)

Bài 98 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật vớiAB a AD ; 2a

 



SA ABCD Gọi M trung điểm CD SC hợp với mặt phẳng đáy góc  cho 

tan

5

 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến (SBM) Bài 99 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; mặt bên SAD tam giác



SB a Gọi E, F trung điểm AD AB Gọi H giao điểm FC EB Chứng minh SE EB CH SB ;  tính theo a thể tích khối chóp C.SEB

Bài 100 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm I Cạnh SA vng góc mặt phẳng (ABCD) SA a Biết bán kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD

3

a

30

ACB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường t AC SB - “Khơng có việc khó

Chỉ Sợ lịng khơng bền Đào núi lấp biển Quyết chí làm nên!”