Khối chóp đã có chân đường cao

Chương 3. THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

II. Phân dạng thể tích khối chóp

1. Khối chóp đã có chân đường cao

Khi bài toán đã có sẳn chân đường cao rồi thì nhiệm vụ còn lại của ta chỉ là tính đường cao và diện tích đáy thay vào công thức thể tích là xong. Mà để tính được đường cao thường các Em sẽ phải xác định góc giữa đường thẳng với mặt phẳng hoặc góc của mặt phẳng với mặt phẳng. Các ví dụ Thầy sẽ cố gắng trình bài từ dễ nhất và tăng dần độ khó để các Em mới học dễ theo dõi. Tất nhiên nếu Em nào đã vững rồi thì có thể bỏ qua các bài dễ, nhưng làm lại thì các tốt càng tốt Em nhé!

a. Bài tập mẫu

Ví dụ 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SB hợp với đáy một góc bằng 30 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai SD và AB.

Phân tích:Khi đọc vào đề này thì Em phải nhớ ngay kết quả

     

 ;  ; 

BC SAB BD SAC CD SAD . Để khi lúc sao có khi sữ dụng. Các kết quả này Em dễ dạng chứng minh được. Bài toán này ta dễ dạng tính được diện tích đáy, phần còn lại là tính đường cao SA thôi. Mà muốn tính được SA thì phải xác định được góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD). Ta có B là giao điểm giữa SB và (ABCD) và SAABCDSB ABCD;  SBA .

Giải + Tính VS ABCD. .

Ta có B SB ABCD và SAABCD

 

 

 SB ABCD; SBA . Khi đó:  .tan30 

3

SA AB a và SABCD a2.

Vậy . 1 .  1. . 2 3 3

3 3 3 9

S ABCD ABCD a a

V SA S a .

Q d

P

H S

A

a

30°

D

B

A

C S

H

+ Tính d AB SD ; .

Ta có AB // DC AB // (SAD) d AB SD ; d A SAD ;  .

Kẻ AH SD , ta chứng minh AHSDC. Ta có    

 

CD AD

CD AH

CD SA . Mà AH SD , do đó

     

   ;

AH SDC AH d A SDC . Xét tam giác SAD vuông tại A, có đường cao AH suy ra:

     

2 2 2 32 2

1 1 1 1

2a

AH SA AD a a AH . Vậy d AB SD ;  2a.

Ví dụ 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, với AD = 2AB. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. Biết SC hợp với đáy một góc 45 và

 2 SD a .

Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Phân tích:Rõ ràng đề này muốn làm khó ta rôi cho góc giữa SC và đáy nhưng không cho cạnh nào trong tam giác này. Vậy phải nghĩ xem SD có liên quan gì? Ak…!Không khó để ta thấy được

SHD SHCSC SD a  2 . Vậy là được rồi nhé!

Giải

Ta có SCH chính là góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) suy ra SCH 45 .

SHD SHCSC SD a  2SH HC SC  .sin45 a .

Xét tam giác BHC vuông tại H có 2 2  2  2 2  2   2  

4 5 5

BC a a

BC HB HC BC a BC AB .

Vậy . 1. .  1. .2 .  2 3

3 3 5 5 30

S ABCD ABCD a a a

V SH S a .

+ d A SCD ;  .

Ta có AH // CD AH // (SDC)  d A SDC ;  d H SDC ;  .

45°

a a 2

H E

C

A

B

D S

K

H E

C B

A D

Gọi E là trung điểm của DC, kẻ HK SE HK d H SCD  ;   .Xét tam giác SHE vuông tại H, có đường cao HK suy ra: 12  12  12  12  52   2

4 HK 3a

HK SH HE a a . Vậy d A SCD ;  23a.

Ví dụ 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy một góc 60 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm N của AB đến mặt phẳng (SBC).

Phân tích: Bài này thì ta dễ dàng tính được diện tích đáy rồi. Phần còn lại là tính SA, vậy cần xác định góc giữa (SBC) và (ABC). Nhớ là lại cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, đầu tiên ta có

   

 

BC SBC ABC , tiếp theo kẻ AE BC tại E thì E là trung điểm của BC vàSE BC . Khi đó ta có SEA là góc giữa (SBC) và (ABC).

Giải

+ Tính VS ABC.

Kẻ AE BC tại E thì E là trung điểm của BC; AE a 3vàSE BC . Khi đó ta có SEA là góc giữa (SBC) và (ABC) suy ra SEA60 .

Ta có SA AE .tan60 a .

Vây . 1. .  1 .4 2 3  3 3

3 3 4 2

S ABC ABC a a

V SA S a .

+ Tính d M SBC ;  .

Ta có    

 

 ;;    12  ;  12  ;  

d M SBC MB d M SBC d A SBC

d A SBC AB .

Kẻ AK SE tại K, khi đó AK d A SBC  ;   . Ta có :

     

2 2 2 2 2 3

1 1 1 1 1

3 AK a2

AK SA AE a a .

Vậyd M SBC ;   12d A SBC ;  a43 .

Ví dụ 36. (Trích đề THPT Quốc Gia -2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc mặt phẳng(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng45 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC.

Giải

60°

M E

A

C

B S

K

2a E

60°

M C

B A

+ TínhVS ABCD. .

Ta có: SC ABCD;  SCA45 và ABCDlà hình vuông cạch a suy raSA AC a  2 .

  2  3

. 1. . 1. 2. 2

3 3 3

S ABCD ABCD a

V SA S a a .

+ Tính d AC SB ; .

Kẻ đường thẳng d đi qua B và song song với AC. Kẻ AE d tại E, AK SE tại K.

Ta có      

 

BE AE BE SAE BE AK

BE SA . Mà AK SE , do đó

     

   ;

AK SBE AK d A SBE .

Ta có AC // BE AC // (SBE) d AC SB ; d A SBE ;  AK.

Xét tam giác ABE vuông tại E có  .sin 45  2

AE AB a . Xét tam giác SAE vuông tại A, có đường

cao AK suy ra: 12  12  12  12  22   10

2 AK a 5

AK SA AE a a . Vậy d AC SB ; a 510 .

Ví dụ 37. (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;  3 2a

SD ;hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).

Giải

d

a

45°

E

C B

A D

d

45°

a

D

B

A

C S

E K

a M H

A D

B C

a 3a

2

H

C

A

B

D S

M E

+ TínhVS ABCD. .

Gọi H là trung điểm của AB, ta có AH ABCD. Tam giác ADH vuông tại A nên:

    2  2

2 2 2 2 5

4 4

a a

HD AD AH a .

Tam giác SHD vuông H nên :  2 2  9 2 5 2  4a 4a

SH SD HD a.

Khi đó : . 1. . 1. . 2  3

3 3 3

S ABCD ABCD a

V SH S a a .

+ Tính d A SBD ;  .

Ta có    

 

 ;;    2  ;  2  ;  

d A SBD AB d A SBD d H SBD

d H SBD HB .

Kẻ HM BD tại M;kẻ HE SM  1 tại E . Ta chứng minh HESBD.

Ta có:        

BD HM BD SHM BD HE 2

BD SH .

Từ (1) và (2) suy raHESBDHE d H;SBD . Ta cóHM HB .sin 45  a42 .

Tam giác SHM vuông tại H, có đường cao HE nên:

   

2 2 2

1 1 1

3a

HE HS HM HE . Vậy d A SBD ;  2d H SBD ;   23a.

Ví dụ 38. (Trích KD -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; cạnh bên SA vuông góc với đáy; BAD120 ; M là trung điểm của cạnh BC vàSMA45 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

Giải

+ TínhVS ABCD. .

a 45°

M B S

C A

D

H

a

a a

60°

M

D B

A C

120  60  

BAD BAC ABCđều  3   2 3

2 ABCD 2

a a

AM S .

SAMvuông tại A và SMA45  SAMvuông cân tại A   3 a2 SA AM .

Vậy: . 1. .  1. 3. 2 3  3

3 3 2 2 4

S ABCD ABCD a a a

V SA S .

+ Tính d D SBC ;  .

Ta có AD // BC AD // (SBC) d D SBC ;  d A SBC ;  .

Kẻ AH SM  1 tại H , do        

BC AM BC SAM BC AH 2

BC SA .

Từ (1) và (2) suy ra AH SBCAH d A SBC  ;  .

Ta có  .sin 45  3. 2  6

2 2 4

a a

AH AM . Vậy d D SBC ;   a46 .

Ví dụ 39. (Trích KA -2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao choHA2HB. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

Giải

+ TínhVS ABCD. .

Từ 2   2 ; 

3a 3a

HA HB HA HB . Xét tam giác CHB, ta có

    

2 2 2 2 . .cos60 7

a3

CH HB BC HB BC CH .

Góc giữa SC và phẳng (ABC) chính là góc SCH, suy ra

60

SCH . Ta có:  .tan60  21

a 3

SH CH .

Do đó: . 1. .  1. 21. 2 3  3 7

3 3 3 4 12

S ABCD ABC a a a

V SH S .

+ Tính d SA BC ; .

Kẻ đường thẳng d đi qua A và song song với BC. Kẻ HE d tại E,



HK SE tại K.

B d

60°

H A

C S

E K

d 2a

3

a 3 a

60°

E

C

B A

H

Ta có      

 

AE HE

AE SHE AE HK

AE SH . Mà HK SE , do đó

     

   ;

HK SAE HK d H SAE .

Ta có BC // AE BC // (SAE) d BC SA ; d B SAE ;  .

Ta có đường thẳng đi qua điểm B và H cắt d tại A suy ra:

Ta có    

 

 ;;    32  ;  32  ;  

d B SAE BA d B SAE d H SAE

d H SAE HA .

Xét tam giác AHE vuông tại E có  .sin60  2 . 3  3 3 2a a3

HE AH . Xét tam giác SHE vuông tại

E, có đường cao HK suy ra: 12  12  12   42 a12 HK SH HE HK .

Vậy d SA BC ; 23d H SAE ;   a 842 .

Bài 40. (Trích KA -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN và MD. Biết SH vuông góc mặt phẳng (ABCD) vàSH a 3 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và SC.

Phân tích: Các Em nên vẽ đa giác đáy ra, bài toán này Em sẽ phát hiện ra rằng ND MC , khi đó

 

ND SCM và NDSCMH, để tính d ND SC ; , chỉ cần kẻ HK SC , thì HK là khoảng cách cần tính.

Giải

+ TínhVS DCNM. .

Ta có:     2 2  2 5 2

8 4 8

DCNM ABCD AMN BCM a a a

S S S S a .

a

H N

M

C B

A D

N H

M D

B A

C S

K

Vậy: . 1. . 1. 3.5 2 5 3 3

3 3 8 24

S DCNM DCNM a a

V SH S a .

+ Tính d SC ND ; .

Ta có DAN CDMADN DCM ADN CMD DCM CMD   90 DN CM . Kết hợp thêm DN SH DNSCM. Kẻ HK SC , khi đó HK là đoạn thẳng vuông góc chung của

DN và SC HK d SC ND  ; .

Xét tam giác DCM vuông tại D, có đường cao DH, ta có: .  2   2 5 CH CM CD CH a .

Ta có : 1 2  12  1 2   2 3 19 HK a

HK SH HC .

Vậy  ; 2 3

19 d SC ND a . b. Bài tập rèn luyện

Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD); SC hợp với mặt phẳng (SCD) một góc 60 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và khoảng cách từ trung điểm M của SB đến mặt phẳng (SCD).

Bài 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân với AB=AC=a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là hình trung điểm của BC. Mặt phẳng (SAB) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc 45 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).

Bài 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng đáy một góc45 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC.

Bài 34. (Trích KD -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC BAD 90 ;

  ; 2

BA BC a AD a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và cạnh bên SA a 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDC).

Bài 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật, SA a AB a AC ;  ; 2a; SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCG).

Bài 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật, AB2 ;a AD a ; K là hình chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC; các điểm H,M lần lượt là trung điểm của AK và DC.

Cạnh SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng45 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MH.

Bài 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật vớiAB a AD ; 2a và

 

SA ABCD . Gọi M là trung điểm của CD và SC hợp với mặt phẳng đáy một góc  sao cho

 1

tan 5 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM).

Bài 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 3 2a

SD . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn thẳng AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.

Bài 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAABCD. Cạnh SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30 . Goi E là trung điểm BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC.

Bài 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh, a 3;BAD120 . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.