Luận văn thạc sĩ toán học 2

Luận văn thạc sĩ toán học 2

Phổ thông ở các nớc phát triển trong khu vực và trên Thế giới (đây không phải

vấn đề riêng của nớc ta, mà là vấn đề đang đợc quan tâm ở mọi quốc gia) nhằm

nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, phát triển nguồn nhân lựctrong giai đoạn mới, phục vụ các yều cầu đa dạng của nền Kinh tế – Xã hội Sự phát triển với tốc độ mang tính bùng nổ của khoa học công nghệ thểhiện qua sự ra đời nhiều thành tựu mới cũng nh khả năng ứng dụng chúng vàothực tế cao, rộng và nhanh cũng đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục Trong bốicảnh hội nhập giao lu, học sinh đợc tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đa dạng,phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, nên hiểu biết linh hoạt và thực tế hơn

nhiều, so với các thế hệ cùng lứa trớc đây mấy chục năm (đặc biệt là học sinh

THPT) Vì vậy, đòi hỏi Giáo dục - Đào tạo phải xác định lại mục tiêu, nội

dung, phơng pháp, phơng tiện, tổ chức, cách đánh giá, theo định hớng đổi mớiphơng pháp dạy học đã đợc xác định trong các tài liệu sau:

+ Nghị quyết Trung ơng 4 khóa VII (1- 1993) đã đề ra nhiệm vụ ''đổi mới

phơng pháp dạy học ở tất cả các cấp học, bậc học".

+ Nghị quyết Trung ơng 2 khóa VIII (12- 1996) đã chỉ rõ: "phơng pháp

Giáo dục - Đào tạo chậm đợc đổi mới, cha phát huy đợc tính tích cực, chủ động sángtạo của ngời học"

+ Luật Giáo dục (12 1998), cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục

-Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4-1999)

+ Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: ''Phơng pháp Giáo dục - Phổ thông phải

phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểmtừng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiếnthức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh '.’'.

Nh vậy, quan điểm chung về hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay

(và cũng là một trong những xu thế dạy học hiện đại trên Thế giới), trong đó có

phơng pháp dạy học môn Toán đã đợc khẳng định, không còn là vấn đề để tranh

luận nữa: Cốt lõi của phơng pháp dạy học là phát huy TTCNT trong học tậpcủa học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành chohọc sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, để tạo cho học sinh học tập mộtcách tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Đó là hớngtới học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tức là cho học sinh đợc suynghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn, khi đứng trớcmột vấn đề của nội dung bài học hay một yêu cầu thực tiễn của cuộc sống.

Đây chính là tiêu chí, thớc đo, đánh giá sự đổi mới phơng pháp dạy học.

Trên tinh thần đó, việc dạy học không chỉ phải thực hiện nhiệm vụ trang bịcho học sinh, những kiến thức cần thiết về môn dạy, mà điều có ý nghĩa to lớncòn ở chổ dần dần hình thành và rèn luyện cho học sinh tính tích cực, độc lậpsáng tạo trong quá trình học tập, để học sinh có thể chủ động, tự lực, tự đào tạo,tự hoàn thiện tri thức trong hoạt động thực tiễn sau này Do đó, việc thiết kếnhững nội dung dạy học cụ thể, nhằm tạo môi trờng để t duy nhận thức của họcsinh đợc hoạt động tích cực, là rất cần thiết Chẳng hạn, dạy học khái niệm về

chủ đề Giới hạn có thể là minh chứng rõ nét cho việc dạy học theo hớng phát

huy TTCNT của học sinh.

1.2 Chủ đề ''Giới hạn'' là một trong những chơng quan trọng, cơ bản,nền tảng và khó của Giải tích Toán học ở THPT Khái niệm Giới hạn không

chỉ là kiến thức cơ bản nền tảng của Giải tích vì: ''không có Giới hạn thì không

có Giải tích Hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến Giới hạn''[37, tr 147] mà còn là khái niệm Toán học khó đối với học sinh Có thể nóikhi học về chủ đề Giới hạn là quá trình biến đổi về chất trong nhận thức củahọc sinh, ở đây học sinh đợc xem xét các sự kiện trong mối liên hệ qua lại củathế giới khách quan rõ ràng nhất Vì ta đã biết Đại số đặc trng bởi kiểu t duy“hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh tại”, còn khi học về Giải tích kiểu t duy chủ yếu đ-ợc vận dụng liên quan đến “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên” Khái niệm Giớihạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề gắn liền với “vô hạn’'.’'.,‘’'.liên tục’'.’'., ‘’'.biến thiên’'.’' Do vậy, nắm vững đợc nội dung khái niệm Giới hạnlà khâu đầu tiên, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vậndụng vững chắc, có hiệu quả các kiến thức Giải tích Toán học ở phổ thông.Chủ đề Giới hạn có vai trò hết sức quan trọng trong toán học phổ thông còn lẽ

vì : "khái niệm Giới hạn là cơ sở, hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các

khái niệm đạo hàm và tích phân Đây là nội dung bao trùm chơng trình Giảitích THPT’'.’' [4, tr 12] Để hiểu đợc chứng minh, nắm vững nội dung củanhững khái niệm Giới hạn cần thiết phải có những phơng thức s phạm tốt, đólà các cách thức và phơng tiện thích hợp, những lời nói sinh động, những hìnhảnh trực quan, những ví dụ cụ thể, rèn luyện và phát triển khả năng chuyển đổitừ ngôn ngữ thông thờng sang ngôn ngữ Toán học, khả năng thực hiện cácthao tác t duy cơ bản, những sơ đồ, bảng biểu, những bài tập thích hợp vànhững tình huống s phạm ) Trong quá trình dạy học, giáo viên phối hợp sửdụng với từng nội dung bài học hợp lý để góp phần tạo nên những hoạt độngvà giao lu của giáo viên với học sinh và học sinh với học sinh, nhằm đạt đợccác mục tiêu dạy học chủ đề quan trọng này.

1.3 Thực tiễn của đổi mới chơng trình, cải cách phơng pháp dạy họchiện nay cho thấy việc sử dụng các phơng thức s phạm thích hợp theo hớngphát huy TTCNT của học sinh thì sẽ nâng cao chất lợng dạy học. Học vấn

nhà trờng trang bị không thể thâu tóm đợc mọi tri thức mong muốn Vì vậygiáo viên phải coi trọng việc dạy chiếm lĩnh và kiến tạo kiến thức của loài ng-ời Đối với từng nội dung kiến thức, giáo viên phải biết khai thác sử dụngnhững phơng thức s phạm với qui trình dạy học thích hợp để phát huy

TTCNT của học sinh, trên cơ sở đó ngời học có năng lực và thói quen tiếp tụchọc tập suốt đời Xã hội đòi hỏi ngời có học vấn hiện đại, không chỉ có khả

năng lấy ra từ trí nhớ các tri thức có sẵn đã lĩnh hội ở nhà trờng phổ thông, màcòn phải có khả năng chiếm lĩnh và biết cách thức sử dụng tri thức một cáchđộc lập, có khả năng đánh giá các sự kiện, hiện tợng mới các t tởng một cáchthông minh sáng suốt, khi gặp trong cuộc sống trong lao động và trong quanhệ với mọi ngời.

Do có những thay đổi trong đối tợng giáo dục, học sinh đợc tiếp nhậnnhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, hiểubiết đợc nhiều hơn, linh hoạt và thực tế hơn so với các thế hệ cùng lứa tuổi tr-ớc đây Mặt khác, trong học tập học sinh không thỏa mãn với vai trò ngờitiếp thu thụ động, không chỉ chấp nhận các giải pháp đã có sẵn đợc đa ra, ởlứa tuổi này nảy sinh một yêu cầu và cũng là một quá trình: sự lĩnh hội độc lậpcác tri thức và phát triển các kĩ năng Để hình thành phơng thức học tập mộtcách độc lập, phát huy đợc vai trò tích cực học tập của học sinh một cách chủđịnh thì cần phải có sự hớng dẫn của giáo viên, các biện pháp, phơng thức sphạm thích hợp đối với từng nội dung bài học cụ thể, giúp học sinh học tập

hứng thú, vận dụng tốt tiềm lực sẵn có để phát huy cao TTCNT.

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn:

Quan điểm Giải tích về các cách tiếp cận khái niệm “ Giới hạn và việc pháthuy TTCNT của học sinh trong dạy học chủ đề Giới hạn ở bậc THPT''.

2 Mục đích nghiên cứu

2.1 Xác định cơ sở lý luận cơ bản về phát huy TTCNT của học sinh qua

học môn Toán

2.2 Thiết kế xây dựng những phơng thức s phạm thích hợp cho việc dạyhọc chủ đề Giới hạn theo hớng phát huy TTCNT của học sinh.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Tìm hiểu dạy học chủ đề Giới hạn ở lớp 11-THPT.

3.2 Xác định làm rõ cơ sở lý luận, sáng tỏ vai trò và vị trí của Giải tíchnói chung và chủ đề Giới hạn nói riêng ở THPT và việc phát huy TTCNT của

3.4 Thực nghiệm s phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả

của nội dung các phơng thức đã đề xuất.

4 Giả thUYết khoa học

Trên cơ sở tôn trọng nội dung chơng trình và SGK hiện hành nếu định hớngđợc việc xây dựng các phơng thức s phạm thích hợp vào dạy học chủ đề Giớihạn theo hớng phát huy TTCNT thì sẽ kích thích tính tích cực, tự giác, chủ

động, độc lập, sáng tạo của học sinh, từ đó nâng cao đợc hiệu quả dạy học chủ

đề Giới hạn nói riêng, chất lợng dạy học Toán nói chung.

5 Phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, các văn bản,

tài liệu của nghành Giáo dục- Đào tạo có liên quan đến việc dạy học môn

Toán ở trờng THPT, các tài liệu tâm lý giáo dục về phát huy TTCNT của học

sinh để phục vụ cho đề tài luận văn.

- Tìm hiểu phân tích chơng trình, SGK, lý luận dạy học về Giải tích chủ

đề Giới hạn và các tài liệu tham khảo khác có liên quan.

5.2 Tìm hiểu, điều tra thực tiễn: Quan sát dự giờ thực dạy học sinh, tổng

kết kinh nghiệm dạy học chủ đề Giới hạn

5.3 Thực nghiệm s phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở

tr-ờng THPT để xác định tính khả thi và hiệu quả của đề tài luận văn.

6 Đóng góp của luận văn 6.1 Về mặt lý luận:

- Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận cơ bản về phát huy TTCNT của học sinh.

- Xây dựng và thực nghiệm các phơng thức s phạm thích hợp trong dạy học

về Giải tích chủ đề Giới hạn, nhằm phát huy TTCNT của học sinh.

6.2 Về mặt thực tiễn:

- Qua Luận văn này giúp giáo viên hiểu rõ và nắm vững hệ thống các

ph-ơng thức s phạm thích hợp trong dạy học nhằm phát huy TTCNT của học

sinh thông qua dạy học chủ đề Giới hạn.

- Có thể sử dụng Luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán đểgóp phần nâng cao hiệu quả dạy học ở trờng THPT.

7 Cấu trúc của luận văn

Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, có 3 chơng sau đây:

Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh trong dạy học.

1.1.1 Quan niệm về tính tích cực nhận thức (TTCNT) của học sinh 1.1.2 Vì sao phải phát huy TTCNT của học sinh?

1.1.3 Các cấp độ của TTCNT.

1.1.4 Một số biểu hiện TTCNT của học sinh trong học tập môn Toán 1.1.5 Các phơng thức s phạm thích hợp nhằm phát huy TTCNT của

học sinh trong dạy học nội dung chủ đề Giới hạn.

1.2 Quan điểm về Giải tích và vị trí đặc điểm của Giới hạn ở THPT 1.2.1 Vị trí đặc điểm Giới hạn của Giải tích ở THPT.

1.2.2 Quan điểm thứ nhất: Giải tích mà Đại số hóa tăng cờng ở THPT 1.2.3 Quan điểm thứ hai: Giải tích xấp xỉ ở THPT.

1.2.4 Quan điểm thứ ba: Giải tích hỗn hợp ở THPT.

1.3 Thực tiễn dạy học chủ đề khái niệm Giới hạn của Giải tích ở THPT 1.4 Kết luận chơng 1.

Chơng 2: các cách tiếp cận kháI niệm GIớI HạN Và VIệC PHáT HUY TíNH tíCH cực NHậN THức của HọC SINH

TRONG DạY HọC chủ đề GiớI HạN ở bậc THPT

2.1 Các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn ở THPT.

2.1.1 Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm “ Giới hạn dãy số ”

2.1.2 Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm “ Giới hạn hàm số” 2.1.3 Các cách định nghĩa sự liên tục - gián đoạn hàm số tại một điểm 2.1.4 Về việc mở rộng khái niệm giới hạn của dãy số và hàm số 2.2.Ví dụ minh họa dạy học chủ đề Giới hạn theo hớng phát huy TTCNT.

2.2.1 Thực hiện kế hoạch bài học theo phơng pháp dạy học tích cực với khái niệm đề giới hạn

2.2.2 Minh họa dạy học khái niệm Giới hạn

2.2.3 Minh họa dạy học bài tập về Giới hạn với chức năng phát huy TTCNT 2.2.4 Dự đoán phát hiện nguyên nhân và hớng khắc phục những khó khăn sai lầm của học sinh khi học chủ đề Giới hạn.

2.3 Kết luận chơng 2.

chơng 3: thực nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm 3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm.

Theo Rubinstein X L : ''Ngời ta bắt đầu t duy khi có nhu cầu hiểu biết mộtcái gì T duy thờng xuất phát từ một vấn đề hay một câu hỏi, từ một sự ngạc

nhiên hay một điều trăn trở'', mà hạt nhân cơ bản của TTCNT là hoạt động tduy, nên phát huy tính tích cực nhận thức (TTCNT) chính là nhằm phát triểnt duy, đặc biệt là t duy toán học cho học sinh, vậy thế nào là TTCNT của học

sinh trong học tập ?

1.1.1 Quan niệm về TTCNT của học sinh

Theo Kharlamop: ''Tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể, TTCNT

là trạng thái hoạt động của học sinh, đợc đặc trng bởi khát vọng học tập, cốgắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức''.

Nhiều nhà khoa học trong và ngoài nớc nhận định về TTCNT của học sinh

trong quá trình học tập theo những góc độ, những dấu hiệu khác nhau của chủthể đối với khách thể, đó là:

- Sự căng thẳng chú ý, sự tởng tợng, phân tích tổng hợp, ( Rôđac I.I.).

- Lòng mong muốn không chủ định và gây nên biểu hiện bên ngoài hoặc bên

trong của sự hoạt động (Ôkôn V.).

- Cờng độ, độ sâu, nhịp điệu của những hoạt động, quan sát, chú ý, t duy ghi nhớ

trong một thời gian nhất định ( TS Phạm Thị Diệu Vân).

- Huy động mức độ cao các chức năng tâm lý, đặc biệt là chức năng t duy( TS Đặng Vũ Hoạt).

- Hành động ý chí, trạng thái hoạt động về vẻ bề ngoài có vẻ giống nhau nhng

khác nhau về bản chất khi xét đến hoạt động cải tạo trong ý thức của chủ thể

(Aristova L.).

- Thái độ cải tạo của chủ thể đối với khách thể thông qua sự hoạt động ở mức độ

cao các chức năng tâm lý nhằm giải quyết những vấn đề học tập - nhận thức

( TS Nguyễn Ngọc Bảo).

- TTCNT phải thể hiện trớc hết ở động cơ học Toán đúng đắn, từ đó tự giác học

tập một cách hứng thú, từ chỗ cha biết đến biết, từ chỗ biết đến biết sâu sắc, không

những tiếp thu đợc chuẩn xác kiến thức Toán học, mà còn đúc kết đợc phơngpháp suy nghĩ giải quyết vấn đề (TS Lê Thống Nhất).

Trên đây là cách nhận định về TTCNT của các nhà tâm lý học, giáo dục

học Khác với quá trình nhận thức trong nghiên cứu khoa học, quá trình nhậnthức trong học tập, không nhằm phát huy những điều loài ngời cha biết mànhằm lĩnh hội những tri thức loài ngời đã tích lũy đợc Tuy nhiên trong họctập học sinh cũng phải ''khám phá'' ra những hiểu biết mới đối với bản thân.Học sinh sẽ ghi nhớ thông tin qua hiểu những gì đã nắm đợc qua hoạt độngchủ động, nổ lực của chính mình Đó là cha nói đến, khi tới một trình độ nhấtđịnh, sự học tập tích cực về nhận thức sẽ mang tính nghiên cứu khoa học vàngời học cũng làm ra đợc những tri thức mới cho khoa học.

TTCNT trong hoạt động học tập liên quan trớc hết với động cơ học tập.Động cơ đúng tạo ra hứng thú Hứng thú là tiền đề của tự giác (hứng thú và tựgiác là hai yếu tố tâm lý tạo nên TTCNT) TTCNT sản sinh nếp t duy độc lập.

Suy nghĩ độc lập là mầm mống của sáng tạo Tích cực gắn liền với động cơ,với sự kích thích hứng thú, với ý thức hứng thú, có ý thức về sự tự giác họctập, ý thức về sự giáo dục của chính mình, vì vậy có thể hiểu tiêu chí nhằm

phát huy TTCNT là tính tích cực t duy (t duy bên trong), tất nhiên phải đợc thểhiện qua ngôn ngữ và hành động tích cực (biểu hiện cả bên ngoài).

Ngợc lại, phong cách học tập phát huy TTCNT, độc lập, sáng tạo sẽ phát

triển tự giác, hứng thú, bồi dỡng động cơ học tập Ta có thể minh họa mối liênhệ tác động qua lại đó nh sau:

Động cơ 

HứNG THú 

Tự GIáC   SáNG TạO

TtC   ĐộC LậP

TTCNT và tính tích cực học tập có liên quan chặt chẽ với nhau, nhng không

phải đồng nhất Có một số trờng hợp, tính tích cực học tập thể hiện ở sự tích cực bênngoài, mà không phải tích cực trong t duy Đó là điều cần lu ý khi nhận xét đánh

giá TTCNT của học sinh

Rèn luyện kỹ năng học tập một cách tích cực độc lập cho học sinh, để họcsinh chủ động tự lực chiếm lĩnh kiến thức là cách hiệu quả nhất, làm cho họcsinh hiểu kiến thức một cách sâu sắc và có ý thức Vốn kiến thức, mà học sinhnắm đợc từ nỗ lực của bản thân chỉ sống và sinh sôi nảy nở nếu học sinh biếtsử dụng nó một cách chủ động độc lập sáng tạo Tính độc lập thực sự của họcsinh biểu hiện ở sự độc lập suy nghĩ, ở chỗ biết học tập một cách hợp lý khoahọc trên cơ sở quá trình giáo viên hớng dẫn, có phải đây là một trong những lý

do phát huy TTCNT của học sinh ?

1.1.2 Vì sao phải phát huy TTCNT của học sinh ?

Trong quá trình dạy học, TTCNT của học sinh không chỉ tồn tại nh một

trạng thái, một điều kiện, mà nó còn là kết quả của quá trình hoạt động nhậnthức, là mục đích của quá trình dạy học, chỉ có quá trình nhận thức tích cựcmới tạo cho học sinh có tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, hình thành ở học sinh tínhđộc lập sáng tạo và nhạy bén khi giải quyết các vấn đề trong học tập cũng nhthực tiễn.

Hiện nay và trong tơng lai xã hội loài ngời đang và sẽ phát triển tới mộthình mẫu ''Xã hội có sự thống trị của kiến thức'' dới tác động của sự bùng nổvề khoa học và công nghệ cùng nhiều yếu tố khác Để có thể tồn tại và pháttriển trong một xã hội nh vậy, con ngời phải có khả năng chiếm lĩnh sử dụngtri thức một cách độc lập sáng tạo Hiệu quả lĩnh hội tri thức không phải chỉ làở chỗ tri giác và giữ lại thông tin mà còn ở chỗ cải biến các kết quả thông tin

TtCnT

ấy Điều này đòi hỏi học sinh phải hoạt động tích cực, tìm tòi khám phá nhữngkhâu còn thiếu trong thông tin đã tiếp thu đợc, cải biến nó thành cái có nghĩađối với mình.

Phát huy TTCNT của học sinh và tăng cờng hoạt động trí tuệ độc lập của

học sinh trong quá trình thu nhận tri thức rèn luyện kỹ năng kỹ xảo Tích cựchóa việc dạy học không phải chỉ có giá trị về mặt kết quả trí dục mà còn đặcbiệt quan trọng về mặt giáo dục, nó ảnh hởng đến việc hình thành nhân cách

của học sinh Phát huy TTCNT trong học tập của học sinh có tác dụng phát

triển những đức tính quý giá nh tính mục đích, lòng ham hiểu biết, tính kiêntrì, óc phê phán Những phẩm chất cá nhân này trở thành những yếu tố kíchthích bên trong điều chỉnh hoạt động nhận thức của học sinh đó là những điềukiện hết sức quan trọng giúp cho việc học tập đạt kết quả tốt.

Quán triệt tinh thần đó việc vận dụng phơng pháp dạy học hiện đại vàodạy học môn Toán đòi hỏi phải tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinhnhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực độc lập và sáng tạo, nâng caonăng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở những kiến thức toán học đ-ợc tích lũy có hệ thống Để khai thác hết năng lực học tập của học sinh, việc

tổ chức quá trình dạy học phải theo đúng con đờng nhận thức khách quan ''từ

trực quan sinh động đến t duy trừu tợng và từ t duy trừu tợng đến thực tiễn'' mà điều

quan trọng nhất là học sinh hứng thú tự giác tham gia vào quá trình học tập vàchỉ có thế mới đảm bảo cho quá trình học tập đạt kết quả cao Vậy trong học

tập TTCNT có các cấp độ nào ? 1.1.3 Các cấp độ của TTCNT

Trong tác phẩm ''Giáo dục học trờng phổ thông'' G.L.Sukina, đã chia trong

học tập TTCNT có ba cấp độ từ thấp đến cao:

a) Tính tích cực bắt chớc, chấp nhận và tái hiện:

Học sinh bắt chớc và tái hiện đợc các kiến thức đã học, thực hiện đợc các

thao tác kỹ năng mà giáo viên đã nêu ra TTCNT ở đây xuất hiện do tác

động bên ngoài nh yêu cầu bắt buộc của giáo viên, thờng thấy ở học sinh cónăng lực nhận thức ở mức độ dới trung bình và trung bình.

b) Tính tích cực tìm tòi áp dụng:

Học sinh độc lập giải quyết các tình huống học tập nh quá trình lĩnh hộikhái niệm, định lý, bài toán với sự tham gia của động cơ nhu cầu hứng thúvà ý chí của học sinh Tính tích cực ở đây không bị hạn chế trong khuôn khổnhững yêu cầu của giáo viên trong giờ học mà hoàn toàn tự phát trong quátrình nhận thức, thấy ở học sinh có năng lực nhận thức trên trung bình và khá.

c) Tính tích cực sáng tạo :

Thể hiện ở chỗ trong học tập học sinh tự mình cũng có thể tìm ra đợc ng cách giải quyết mới, độc đáo hữu hiệu hay thực hiện tốt các yêu cầu hànhđộng do giáo viên đa ra mà không cần sự giúp đỡ của giáo viên Loại này th-ờng thấy ở học sinh có năng lực nhận thức ở mức độ giỏi, học sinh năngkhiếu.

Các phân loại trên, giúp giáo viên đánh giá đợc mức độ TTCNT của học

sinh theo mặt bằng chung của cả lớp Tuy nhiên nó còn rất khái quát, muốn

đánh giá đúng mức độ TTCNT của học sinh, giáo viên còn phải căn cứ vàocác mặt biểu hiện TTCNT của học sinh.

1.1.3.1 Các mặt biểu hiện TTCNT của học sinh a) Biểu hiện về mặt hoạt động nhận thức:

TTCNT của học sinh thể hiện ở mặt thao tác t duy, ngôn ngữ, sự quan sát,

ghi nhớ, t duy hình thành khái niệm, phơng thức hành động, hình thành kỹnăng, kỹ xảo, các câu hỏi nhận thức của học sinh, giải đáp các câu hỏi do giáoviên đa ra nhanh chóng chính xác, sự khát khao học hỏi, biết nhận rõ đúng saikhi bạn đa ra ý kiến, hoài nghi, phê phán và xác lập các quan hệ giúp ích chohoạt động nhận thức.

b) Biểu hiện về mặt cảm xúc, tình cảm:

Hay nêu thắc mắc, đòi hỏi giải thích cặn kẽ, những vấn đề cha đủ rõ, thểhiện sự đam mê, sự sốt sắng, hăng hái thực hiện yêu cầu mà giáo viên đặt ra,bổ sung các câu trả lời của bạn, thích phát biểu ý kiến của mình trớc vấn đềnêu ra.

c) Biểu hiện về mặt động cơ ý chí:

Tập trung chú ý vào vấn đề đang học, có nhu cầu hứng thú học tập có ýchí và quyết tâm kiên trì, hoàn thành các bài tập, không nản trớc những tìnhhuống khó khăn.

d) Biểu hiện về kết quả nhận thức:

Lĩnh hội kiến thức một cách nhanh chóng chính xác, chủ động vận dụngkiến thức, kỹ năng đã học để nhận thức vấn đề mới, kết quả học tập sau mộttiết học, một chơng…

Để có đợc phong cách học tập tích cực trong nhận thức, học sinh phải thậtsự tự giác, chủ động học tập Tích cực hóa gắn liền động cơ hóa, với sự kíchthích hứng thú, với ý thức trách nhiệm học tập, ý thức về sự giáo dục củachính mình.

1.1.3.2 Đặc trng cơ bản của t tởng TTCNT của học sinh

T tởng này là một trong những biểu hiện của sự phát triển lý luận và thựctiễn giáo dục hiện nay Nhấn mạnh vai trò trung tâm của học sinh và đồng thờichỉ rõ vai trò của ngời giáo viên trong toàn bộ quá trình dạy học Lấy học sinhlàm trung tâm là một thể hiện cơ bản của tính nhân văn, cũng nh một khẳngđịnh dứt khoát về vị trí trung tâm hoạt động của học sinh Vì vậy, có thể nói

đặc trng cơ bản của t tởng TTCNT của học sinh là:

a) Tính nhân văn:

Đợc thể hiện ở sự thừa nhận và tôn trọng nhu cầu, lợi ích, mục đích vànhững kinh nghiệm của cá nhân học sinh, cố gắng tạo điều kiện để học sinh tự''hình thành và phát triển'' theo tiềm lực và khả năng của bản thân.

b) Tính hoạt động:

Thể hiện sự tối đa hóa các hoạt động của học sinh với phơng thức chỉ đạolà: tự phát triển, tự thực hiện, tự kiểm tra và đánh giá quá trình hoạt động nhậnthức của bản thân Qua đó, hình thành và phát triển t duy độc lập sáng tạo củamỗi cá nhân học sinh.

c) Vai trò của giáo viên:

Phong phú mềm mại, sáng tạo và có trách nhiệm, có nghĩa là giáo viênkhông những truyền thụ tri thức, những sản phẩm sẵn có mà cần phải thiết kế,tổ chức điều khiển, ủy thác, thể chế hóa, đánh giá hoạt động tự lực nhận thứccủa ngời học sinh, nhằm hình thành cho học sinh thái độ năng lực phơng pháphọc tập và ý chí học tập từ đó tự khám phá ra những tri thức mới, đợc cụ thểhóa ở các vai trò:

*) Vai trò thiết kế:

Một giờ dạy muốn thành công phải có sự thiết kế chặt chẽ về các biệnpháp phơng thức cấu trúc lôgic giờ học, lập kế hoạch chuẩn bị quá trình dạy họccả về các mặt: mục đích, nội dung, phơng pháp, phơng tiện, tổ chức, đánh giá.Việc thiết kế tốt, phù hợp sẽ làm cho bài giảng luôn diễn ra trong sự kích thíchtởng tợng, tò mò và say mê tìm tòi cái mới đảm bảo cho giờ dạy có kết quả

*) Vai trò tổ chức:

Tổ chức một môi trờng học tập cho mỗi học sinh có cơ hội bộc lộ tối đakhả năng tạo điều kiện thuận lợi cho phát huy tính tích cực học tập nhằm hìnhthành năng lực ý chí phơng pháp học tập, từ đó tự khám phá những tri thứcmới, ý thức đợc nhiệm vụ của mình trong giờ học, thông qua các tranh luậntìm tòi tổng hợp tự mình phát huy đợc năng lực trí tuệ đi đến chân lý, bằngcon đờng này sẽ làm các em nhớ lâu hơn, hiểu kỹ hơn về các kiến thức đó.

*) Vai trò ủy thác:

Đây không phải là bắt trò học tập theo ý của giáo viên mà phải làm saocho học sinh tự giác biến ý đồ dạy của giáo viên thành nhiệm vụ của bản thân,đảm nhận quá trình họat động để kiến tạo tri thức, tức là hoạt động của thầy

nhằm chuyển giao ý đồ s phạm, ý đồ dạy học sang ý đồ nhận thức của họcsinh Học sinh nhận thấy đợc mong muốn giải quyết vấn đề thầy dặt ra nhờcác hoạt động t duy, tích cực, độc lập, sáng tạo ở khâu này giáo viên làmcông việc ngợc lại với nhà nghiên cứu: hoàn cảnh lại, thời gian hóa lại và cánhân hóa lại tri thức, học sinh tự mình đảm nhận lại quá trình giải quyết vấnđề sao cho hoạt động của học sinh gần giống với hoạt động của nhà nghiên

cứu, nhờ những lý do này mà học sinh phát huy cao độ TTCNT của thân.

*) Vai trò thể chế hóa:

Là xem xét những vấn đề học sinh tìm đợc là đúng hay sai, nếu sai thìphân tích sữa chữa sai lầm, nếu đúng thì ghi nhận cho học sinh đã chiếm lĩnhđợc tri thức và giáo viên phải trả lại vị trí của tri thức đó trong chơng trình,mối liên hệ của nó đối với các tri thức khác

*) Vai trò đánh giá:

Thái độ trân trọng của giáo viên đối với mỗi sự tìm tòi mới mẻ của họcsinh có một tác động mạnh mẽ đến hứng thú của các em việc đánh giá cao sựsáng tạo sẽ thúc đẩy năng lực học tập tính tích cực học tập của học sinh Muốnvậy giáo viên cần tạo cho mình vốn kiến thức đủ để nhận ra nét độc đáo trongsuy nghĩ của học sinh để có thể đánh giá đúng giá trị của sự tìm tòi học sinh,học sinh sẽ có phản ứng tiêu cực nếu bản thân sự đánh giá của giáo viên chathực làm học sinh thỏa đáng, sự nhìn nhận khách quan chính xác của giáo viêntạo đợc lòng tin của học sinh, từ đó phát huy tính sáng tạo của học sinh quasự tích cực hóa hoạt động học tập.

Vậy các vai trò của giáo viên là làm sao giúp học sinh học tập một cách

hiệu quả, thúc đẩy học sinh tự giác học tập phát huy cao độ TTCNT của bản

thân, qua đó học sinh hiểu đợc kiến thức tìm ra là một tri thức chung của nhânloại và giáo viên chính thức chấp nhận kết quả đạt đợc của học sinh.

Nhng thực tế dạy học ở trờng phổ thông cho thấy, đâu đó trong cách dạy

học vẫn cha phát huy đầy đủ đợc TTCNT của học sinh Do vậy, cần thiết dựa

trên một số biểu hiện về TTCNT trong học tập môn Toán từ đó hình thành vàphát triển TTCNT của học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng của

ngời giáo viên.

1.1.4 Một số biểu hiện TTCNT của học sinh trong học tập môn Toán

1.1.4.1 Về ý thức, thái độ học tập

- TTCNT của HS đợc thể hiện ở nhu cầu hiểu biết kiến thức, khát vọng và

mong muốn đợc giải quyết các tình huống học tập mà giáo viên đa ra đểchiếm lĩnh đợc kiến thức mới, giải quyết đợc bài toán mới.

- TTCNT của học sinh còn đợc thể hiện ở sự hứng thú, niềm say mê lao

động trí tuệ, sự sốt sắng thực hiện, có tinh thần trách nhiệm đối với các yêucầu mà giáo viên đa ra khi lĩnh hội kiến thức mới.

1.1.4.2 Về hoạt động trí tuệ cao

-TTCNT của học sinh thể hiện trong quá trình lĩnh hội tài liệu học tập:

Đó là việc thực hiện đầy đủ các yêu cầu của giáo viên đa ra, tích cực họatđộng trí tuệ, thực hiện các thao tác t duy ( phân tích, tổng hợp so sánh, trừu t-ợng hóa, khái quát hóa,…), nhanh chóng phát hiện dấu hiệu bản chất của cáckiến thức và tìm ra đợc nhiều con đờng giải quyết các tình huống do giáo viênđa ra trong quá trình dạy học.

-TTCNT của học sinh thể hiện ở sự ghi nhớ vận dụng kiến thức: Đó là sự

tái hiện nhanh chóng các kiến thức mới trong các trờng hợp cụ thể, biết kháiquát hóa, hệ thống hóa các kiến thức đã học, biết vận dụng các kiến thức đãhọc trong các trờng hợp cụ thể.

-TTCNT của học sinh thể hiện ở sự kiểm tra đánh giá: Đó là sự đánh giá

đúng mức công việc mà bản thân đã làm, nhanh chóng phát hiện và sửa chữasai lầm mắc phải trong quá trình hình thành khái niệm cũng nh vận dụng kháiniệm.

Trên đây là những biểu hiện TTCNT của học sinh trong quá trình chiếm

lĩnh kiến thức, giáo viên khi dựa vào những biểu hiện này có thể định hớng

cho việc phát huy TTCNT của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn

Toán nói chung, chủ đề Giới hạn nói riêng.

1.1.4.3 Điều kiện phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học

Muốn phát huy TTCNT của học sinh, giáo viên cần phải tổ chức môi

tr-ờng học tập đảm bảo : Tính sẵn sàng học tập và tính hoạt đông cao.

+ Có chủ định mà thiếu khả năng thì học sinh cũng không sẵn sàng họctập, vì không biết hoạt động.

Vì vậy, giáo viên cần phải tổ chức môi trờng học tập, xây dựng nhữngbiện pháp s phạm thích hợp làm cho việc dạy học phù hợp với khả năng họctập của học sinh, đồng thời tạo đợc động cơ, gây hứng thú, ý chí học tập củahọc sinh,…thì mới phát huy đợc TTCNT của học sinh

b) Tính hoạt động cao: Thể hiện ở nội dung dạy học và phải dựa trên những

tiêu chuẩn sau:

+ Mỗi hoạt động của giáo viên và học sinh đợc xác định cụ thể, rõ ràng, cóthể nhận thức đợc, cảm nhận đợc, hình dung đợc.

+ Nội dung dạy học chứa đựng những liên hệ phù hợp để đảm bảo cácquan hệ và hoạt động của thầy và trò đều hớng vào tổ chức và kích thích hànhđộng học sinh, tức là nội dung dạy học phải xây dựng đợc dới dạng những tìnhhuống có vấn đề.

Vậy để bảm bảo đợc tính hoạt động cao trong dạy học, ngời giáo viên cầnphải lựa chọn nội dung dạy học đáp ứng đợc hai tiêu chuẩn trên và tổ chứcmôi trờng học tập, xây dựng những biện pháp thích hợp từ đó xác định thiết kếxây dựng phơng thức dạy học sao cho kích thích tính chủ động, tự quyết, khảnăng tự thể hiện, đánh giá,…trong học tập, phát triển những cơ hội học tập,động cơ học tập, xây dựng mối quan hệ tơng tác giữa giáo viên và học sinh,học sinh và học sinh

1.1.5 Các phơng thức s phạm nhằm phát huy TTCNT của học sinhtrong dạy học nội dung chủ đề Giới hạn

1.1.5.1 Những phơng hớng phát huy TTCNT của học sinh trong dạyhọc

Để phát huy TTCNT của học sinh là một trong những nhiệm vụ chủ yếu

của ngời giáo viên trong quá trình dạy học Vì vậy, nó luôn là trung tâm chú ýcủa lý luận và thực tiễn dạy học Từ thời cổ đại các nhà s phạm tiền bối nhKhổng tử, Aristot…đã từng nói đến tầm quan trọng to lớn của việc phát huy

TTCNT của học sinh và đã có những định hớng và biện pháp để phát huyTTCNT của học sinh.

J A Komenxki nhà s phạm lỗi lạc của thế kỷ XVII đã đa ra những định

h-ớng, biện pháp dạy học là bắt học sinh phải tìm tòi, suy nghĩ để tự nắm đợc bản

chất của sự vật hiện tợng.

J J Ruxô cũng cho rằng, phải hớng học sinh tích cực tự giành lấy kiến

thức bằng cách tìm kiếm, khám phá và sáng tạo

A Distecvec thì cho rằng, ngời giáo viên tồi là ngời cung cấp cho học sinh

chân lý, ngời giáo viên giỏi là ngời dạy cho học sinh tự tìm ra chân lý.

K D Usinxki nhấn mạnh tầm quan trọng của việc điều khiển, dẫn dắt học

sinh của các giáo viên.

Trong thế kỷ IX, các nhà giáo dục Cổ, Kim, Đông, Tây, đã trao đổi bàn

luận để tìm kiếm con đờng nhằm phát huy TTCNT của học sinh trong dạy

học Chúng ta thờng kể đến t tởng các nhà giáo dục nổi tiếng nh: B.P.Êxipôp,M.A.Danilôp, M.N.Xcatkin, I.F.Kharlamôp, I.I.Xamôva (Liên Xô), Okon (BaLan), Skinner (Mĩ)…

ở Việt Nam các nhà lý luận dạy học cũng đã viết nhiều về phát huyTTCNT của học sinh nh: GS Hà Thế Ngữ, GS Nguyễn Quang Ngọc, GS.Đặng Vũ Hoạt …, mà cụ thể GS Đặng Vũ Hoạt đã nêu lên 6 định hớng là:

i) Giáo dục động cơ, thái độ học tập, trên cơ sở thấm nhuần mục đích học tập,

động viên khuyến khích kịp thời dựa vào tính tự nguyện của học sinh;

ii) Thực hiện dạy học nêu vấn đề là định hớng, phơng pháp cơ bản nhất;

iii) Tiến hành so sánh các sự vật, hiện tợng, tiến hành hệ thống hóa, khái quát

Trong quá trình dạy học phải tạo đợc động cơ hứng thú để học sinh có cơhội phát huy tính chủ động độc lập tự giác chiếm lĩnh kiến thức, ta có thể tổngquan về một số định hớng biện pháp s phạm thích hợp nhằm phát huy TTCNTcủa học sinh trong quá trình dạy học theo đặc thù môn Toán:

i) Kiến thức bài dạy làm sao có đợc tính kế thừa phát triển trên kiến thức đã học,

sự liên hệ với thực tiễn, gần gũi với cuộc sống, với suy nghĩ hằng ngày, thỏa mãn nhucầu nhận thức của học sinh;

ii) Sử dụng các phơng tiện dạy học, dụng cụ trực quan có tác dụng tốt trong việc

kích thích hứng thú phát huy TTCNT của học sinh;

iii) Xây dựng, sắp xếp, bổ sung và khai thác các ví dụ và phản ví dụ trong quá

trình dạy học;

iv) Phát triển khả năng chuyển đổi ngôn ngữ thờng sang ngôn ngữ Toán học, khả

năng thực hiện các thao tác t duy cơ bản;

v) Lập và sử dụng các bảng tổng kết, biểu đồ, sơ đồ thích hợp để làm rõ nguồn

gốc và mối liên kết logic của các kiến thức trong quá trình dạy học;

vi) Lựa chọn và sử dụng một cách hợp lý hệ thống các bài tập và sử dụng khai

thác các tình huống dễ mắc sai lầm Để học sinh tự kiểm tra, khắc phục các khó khănvà sửa chữa những sai lầm thờng gặp trong quá trình lĩnh hội kiến thức.

1.1.5.3 Các phơng thức s phạm nhằm phát huy TTCNT của học sinhtrong dạy học về khái niệm Giới hạn

Ta đã biết nắm vững đợc hệ thống khái niệm Giới hạn thì học sinh có khả

năng vận dụng vững chắc có hiệu quả các kiến thức về Giới hạn, đó là cơ sở

để học tốt về chủ đề Giới hạn nói chung, qua đó rèn luyện năng lực giải bàitập toán của nội dung Giới hạn nói riêng.

Trớc hết ta cần xác định rõ mối liên hệ trong hoạt động nhận thức của học

sinh là: giáo viên hớng dẫn và kích thích TTCNT của trò rồi huy động các

ph-ơng pháp phph-ơng thức s phạm tác động vào (chủ thể) học sinh, từ đó học sinh

có nhu cầu hiểu biết và huy động cao độ khả năng hớng tới tri giác tiếp đến biểu

t-ợng sau cùng (khách thể) khái niệm Giới hạn , cụ thể đợc minh họa theo sơ

đồ sau :

(Hình 1)

Nh vậy, quá trình phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức của họcsinh không phải là quá trình đa thông tin vào học sinh theo định hớng mộtchiều xem học sinh nh là cái máy thu thông tin thụ động, cụ thể ở đây bàn đến

dạy học về khái niệm Giới hạn qua thực hiện các phơng thức sau: Ph ơng thức 1 : Xác định rõ các cách xây dựng khái niệm Giới hạn.

Trớc hết hiểu rõ, xác định đúng đợc cách xây dựng khái niệm Toán học là: + Mô tả không định nghĩa: Chẳng hạn nh việc định nghĩa giới hạn 0 của dãysố là: ''dãy số (Un; n = 1,2,3,…) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi n ) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi n  +

, nếu un càng nhỏ khi n càng lớn, tức là nếu un có thể nhỏ bao nhiêu tùy ýmiễn là chọn n đủ lớn''.

+ Hay định nghĩa dới dạng kiến thiết – qui nạp nh : Con đờng đi tới địnhnghĩa giới hạn dãy theo ngôn ngữ " , " này là kiến thiết- qui nạp, từ việcmô tả: ''Khi n càng lớn thì Un càng bé và bé bao nhiêu cũng đợc'', đợcchuyển qua ngôn ngữ " , " bằng cách chọn miền giá trị  cụ thể để tiếntới khái quát hóa cho mọi , (đặc biệt cần sự giúp đỡ trực quan của trục số) là:''ta nói rằng dãy số thực Un có giới hạn là L (LR), khi n  + nếu vớimọi số dơng  cho trớc( nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên N(), sao cho vớimọi n > N() thì Un  L < ''.

+ Hoặc đợc định nghĩa dới dạng suy diễn nh : Khái niệm giới hạn L 0 đợcđịnh nghĩa theo con đờng suy diễn (nghĩa là trình bày phát biểu ngay định nghĩa,

thức s phạm

(Chủ thể)Học sinh

Có nhu cầu hiểu biết

Huy động cao

độ khả năng

(Khách thể)Khái niệm

sau đó trình bày ví dụ củng cố ), trên cơ sở giới hạn 0 đã đợc định nghĩa nh :

nlim un = L, (L  R )

nlim ( un – L) = 0.

+ Đặc biệt chú ý tới cấu trúc của định nghĩa mà mệnh đề nêu lên có tính

chất đặc trng của khái niệm là cấu trúc tuyển hay cấu trúc hội:

*) Đối với định nghĩa có cấu trúc hội: A(x)  P1(x)  P2(x)  … Pn(x),đợc xây dựng sao cho đối tợng : x  A(x)  x  P1(x)  P2(x)  … Pn(x).

*) Đối với định nghĩa có cấu trúc tuyển: A(x)  P1(x)  P2(x)  … Pn(x),cũng đợc xây dựng sao cho đối tợng: xA(x) xP1(x)  P2(x)  … Pn(x).Loại cấu trúc tuyển hay hội thờng đợc dùng định nghĩa tính liên tục hoặc giánđoạn của hàm số.

Ph ơng thức 2 : Tìm hiểu các định nghĩa khác nhau của cùng một khái niệmGiới hạn

Từ cách tìm hiểu các định nghĩa khác nhau của cùng một khái niệm sẽ thấy

đợc tính s phạm của mỗi cách định nghĩa, khi đó có biện pháp thích hợp vớimỗi loại đối tợng, làm sao cho học sinh hiểu các tính chất đặc trng, nhận dạngkhái niệm, đồng thời biết thể hiện chính xác, biết vận dụng khái niệm trongnhững tình huống cụ thể vào giải toán cũng nh ứng dụng thực tiễn

Với nội dung chủ đề Giới hạn khi học về các khái niệm có nhiều định nghĩa

đợc phát biểu dới các dạng khác nhau của cùng một khái niệm, chẳng hạn : + Định nghĩa Giới hạn của dãy số có thể trình bày theo cách ’'.’'.mô tả’'.’'.hoặc dùng ngôn ngữ “,N()’'.’'

+ Định nghĩa Giới hạn của hàm số có thể thông qua “dãy’'.’'.hoặc là “,

Ph ơng thức 3 : Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức về khái niệm Giới hạn của học

Để làm nảy sinh nhu cầu nhận thức khái niệm Giới hạn của học sinh ta cần liên hệ với thực

tiễn ví dụ nh chiều cao của con ngời có giới hạn dù tuổi có nhiều đi bao nhiêu nữa Hoặc trong

dạy học xây dựng phơng tiện trực quan tợng trng (mô hình, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng, )…

làm chỗ dựa trực giác Xây dựng hệ thống phản ví dụ và ví dụ gắn liền với ứng dụng thực tiễn,kết hợp với các phơng tiện trực quan tổ chức cho học sinh hình dung đợc nội dung khái niệm,phát hiện dấu hiệu bản chất của khái niệm từ đó khái quát hình thành khái niệm, chẳng hạn taxét bài toán của thực tiễn đặt ra, nh sau:

Bài toán 1: Theo dự đoán tỉ lệ tuổi thọ con ngời của một nớc đang phát

triển, sau x năm kể từ bây giờ là : T(x) =

năm Hỏi tuổi thọ của con

ngời sẽ đạt đợc tới mức giới hạn là bao nhiêu ?

Bài toán 2: Nhu cầu mỗi tháng đối với một sản phẩm mới hiện nay là 195

tấn Nhà quản lí của xí nghiệp đa ra một dự đoán rằng sau x năm kể từ bây giờinhu cầu hàng tháng cho sản phẩm sẽ là : S(x) =

x tấn Hỏi nhu cầu

đối với sản phẩm này hàng tháng sẽ đạt tới mức giới hạn nào sau một khoảngthời gian thật dài ?.

Bài toán 3 : Một bệnh truyền nhiễm lây lan qua đờng hô hấp nếu không có

thuốc tiêm phòng Mặc dù không quá nguy hiểm, nếu ai bị nhiễm bệnh sẽ trởthành ngời mang mầm bệnh Các nhân viên dự phòng y tế cho rằng sau x thángkể từ bây giời số phần trăm ngời mang bệnh sẽ là : B(x) =

x Hỏi cuối

cùng số ngời mang mầm bệnh sẽ là bao nhiêu ?

Từ đó tạo điều kiện tốt nhất, hiệu quả nhất để học sinh tự khám phá kiếnthức, tự giải quyết các vấn đề của thực tiễn đặt ra

Ph ơng thức 4 : Tìm hiểu sự phân chia khái niệm, sơ đồ hóa các khái niệm Giới

hạn có liên hệ với nhau, giúp học sinh tiếp thu đợc bản chất kiến thức.

Do các tri thức trong chủ đề giới hạn có mối quan hệ tơng quan hỗ trợ lẫn nhau nên việc hệ

thống, phân chia khái niệm liên hệ với nhau là việc làm rất cần thiết để dạy học đạt hiệu quả.Khi hệ thống hóa kiến thức cần chỉ cho học sinh những mối liên hệ chính yếu của các tri thức

toán, đặc biệt chú ý dùng sơ đồ biểu diễn các mối liên hệ giữa các kiến thức Qua tìm hiểu sự

phân chia sơ đồ hóa các khái niệm tập cho học sinh thói quen tìm hiểu sâu sắc, tiếp thu đợc

bản chất của kiến thứcgiúp học sinh hiểu bản chất mối quan hệ, hình dung ra bức tranh tổngthể của khái niệm có liên hệ với nhau nh sau:

hình (3) là sơ đồ biểu thị các mối liên hệ giữa giá trị của hàm số, khái niệm giới hạn

của hàm số, hàm số liên tục.

Giới hạn củadãy số

Giới hạn củahàm số

Giớihạn-

Giới hạntrái tại điểm

Giới hạnphải tại

Xét hàm số f(x)Tại x = a

Không tồn tại giới hạn: Tồn tại giới hạn:

f(x) không xác định tại af(x) xác định tại x = a

L = f(a) L ≠ f(a)

f(x) liên tục

tại x= a f (x) không liên tục tại x = a( f ( x) gián đoạn tại x = a)

Hình (4)

Hình (4) là sơ đồ so sánh khái niệm giới hạn của hàm số và hàm số liên tục

Ph ơng thức 5 : Tìm hiểu sự tiếp cận lịch sử phát triển Toán học về khái niệm

Giới hạn

Để kích thích học sinh hứng thú học tập, có thể nêu thêm lịch sử của cáckhái niệm Toán học về Giới hạn ra đời khi nào, do ai nêu ra và ý nghĩa saunày của khái niệm Giới hạn trong Toán học cũng nh trong đời sống, trong việcrèn luyện t duy Toán học Với việc dạy học nh vậy học sinh sẽ tiếp cận kiếnthức về khái niệm Giới hạn, xét về mặt nào đó, gần giống với việc nghiên cứucủa các nhà Toán học Khi đó học sinh sẽ biết đợc từ đâu xuất hiện các kiếnthức Giới hạn, tạo cho học sinh không khí học tập nh tập dợt nghiên cứu khoahọc, từ đó lĩnh hội đợc kinh nghiệm lịch sử của Giới hạn không những giúphọc sinh nắm vững chắc kiến thức mà còn bồi dỡng nhân cách cho học sinh,đó là sự giáo dục chứ không chỉ đơn thuần là việc dạy học.

Ngoài ra, nếu có điều kiện ta có thể sử dụng t liệu lịch sử Toán về khái niệmgiới hạn để gợi động cơ, hình thành, củng cố, khắc sâu khái niệm qua đó khơidậy phát huy TTCNT của học sinh trong các tiết dạy tự chọn, ôn luyện hayngoại khóa, chẳng hạn đa ra các bài toán thú vị sau:

f(x) có lim f(x) = L

f(x) không xác địnhtại x

0

Bài toán : A-sin (Achilis) đuổi rùa

Câu chuyện nghịch lý nổi tiếng của D’'.Elec Zénon (496 – 429) một triếtgia ngời Hi lạp cổ đại vào thế kỷ thứ V trớc Công nguyên, đã đa ra bài toán A-

sin (Achilis) đuổi rùa và lập luận nh sau :

A-sin (Achilis)“ là một lực sĩ trong thần thoại Hi lạp, ngời đợc mệnh danhlà “ có đôi chân nhanh nh gió “ đuổi theo môt con rùa trên một đờng thẳng.Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm R1 cách A-sin ở điểm A một khoảng a 0,thì mặc dù chạy nhanh hơn, nhng A-sin không bao giờ có thể đuổi kịp đợc rùa(!).

Thật vậy, để đuổi kịp rùa, trớc hết A-sin cần đi đến điểm xuất phát R1 củarùa Nhng trong khoảng thời gian đó rùa đã đi đến điểm R2 Để đuổi tiếp, A-sin lại phải đến đợc điểm R2 này Trong thời gian A-sin đi đến điểm thứ hai làR2 thì rùa lại tiến lên điểm thứ ba là R3 … Cứ nh thế, A-sin không bao giờiđuổi kịp rùa (!)” Nhng thực tế nhờ nghịch lý của ông đã góp phần thúc đẩy sựxuất hiện của Giới hạn và cũng từ khái niệm Giới hạn, con ngời có thể nghiêncứu các vấn đề liên quan tới sự vô hạn trong Giải tích.

(?) : Sau khi học về Giới hạn của dãy số, ta có thể có thể lập luận nh thế nàovề nghịch lý “A-sin không đuổi kịp rùa “ ?

(!) : Để đơn giản ở đây ta chỉ xét một trờng hợp đặc biệt (còn trờng hợp tổngquát đợc giải tơng tự, cụ thể minh họa ở hình vẽ :

km).

(?) : Khi A-sin chạy đến vị trí R3 thì rùa đã chạy đến R4, minh họa đoạn R3R4có độ dài: U4= ? ( U4= 2

(?) : Dãy (Un ) có đặc điểm nh thế nào?

(!) : Dãy (Un ) là một cấp số nhân, có công bội q = 100

, số hạng tổng quátUn = 2

n khi n càng tăng thì Un càng nhỏ, tức A-sin ngày càng gần rùahơn Un nhỏ bao nhiêu cũng đợc, miễn là n đủ đủ lớn Khi n thì Un0.Vậy chắc chắn đến một lúc nào đó A-sin có thể đuổi kịp đợc rùa

Nh vậy, việc sử dụng chất liệu cụ thể nhằm tạo môi trờng cho t duy nhận

thức của trò đợc hoạt động tích cực để phát huy cao TTCNT của học sinh

trong học tập môn Toán nói chung và khi học về chủ đề Giới hạn nói riêng là

rất cần thiết Từ đó gây hứng thú, tạo đợc động cơ, ý chí học tập của học sinhvà nâng cao đợc chất lợng cũng nh kết quả dạy học.

1.2 Quan điểm về Giải tích và vị trí đặc điểm Giới hạn ở THPT

Giải tích Toán học, cùng với Đại số là một trong hai nội dung chính củachơng trình Toán ở Phổ thông Giải tích là tên gọi chung của một số bộ môn

Toán học dựa trên khái niệm hàm và Giới hạn, riêng Giải tích lớp 11 ở Phổthông chỉ bao gồm: Giới hạn về dãy số, hàm số, hàm số liên tục.

Quan niệm phổ biến cho rằng, học sinh bắt đầu học Giải tích từ khi học

khái niệm Giới hạn (thờng ở lớp 11) và Giới hạn cũng là ranh giới phân chia

giữa Đại số và Giải tích.

1.2.1 Vị trí đặc điểm của Giới hạn ở THPT

Chủ đề Giới hạn là một chủ đề cơ bản, có vị trí đặc biệt quan trọng trong

Giải tích Toán học nói chung và Giải tích Toán học của phổ thông nói riêng,không những nh là một đối tợng nghiên cứu trọng tâm của đối tợng hàm sốmà còn là một công cụ đắc lực của Giải tích trong lý thuyết vi phân hàm, lýthuyết xấp xỉ, lí thuyết biểu diễn,…ngoài ra chủ đề này có nhiều ứng dụng về

mặt lý thuyết cũng nh thực tiễn Trên cơ sở nội dung của chủ đề này, ta có thểgiải quyết nhiều vấn đề thuộc phạm vi Đại số, Số học, Hình học, Vật lý, Vì

vậy, dạy học chủ đề Giới hạn ở trờng THPT có ý nghĩa rất quan trọng.

Có thể nói Giới hạn là kiến thức mở đầu cho bộ môn Giải tích ở trờng phổ

thông, nó là cơ sở đối với hai phép tính cơ bản của Giải tích toán học là phép

tính đạo hàm và phép tính vi phân Giới hạn còn đợc áp dụng nh một phơng

pháp để giải một số dạng toán nh: tính đạo hàm của hàm số tại một điểm, tìmtiệm cận của đồ thị, chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức, xét sự tồn tạinghiệm của phơng trình và bất phơng trình Dãy số, hàm số cùng với khái

niệm Giới hạn xây dựng khái niệm đạo hàm, vi phân, tích phân Các bài toán

về tính Giới hạn, các phơng pháp thông dụng và vấn đề chuyển qua Giới hạntrong các phép toán về Giới hạn là nền tảng cơ bản của Giải tích toán học và làmột trong những phép toán cốt lõi nhất của Giải tích hiện đại đây là cơ sở đểhọc sinh có khả năng tiếp tục học lên

Vậy Đại số đặc trng bởi kiểu t duy “hữu hạn “ , “ rời rạc” , “ tĩnh tại “ ,còn khi học về Giải tích vận dụng kiểu t duy “ vô hạn “ , “ liên tục “ , “ biếnthiên“ mà khái niệm Giới hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề

gắn liền với sự “ vô hạn “ , “ liên tục “ , “ biến thiên “ đó, chẳng hạn:

Đối với phép toán đặc trng bởi Đại số đã học cho tơng ứng một tập hữu hạn



1.2.2 Quan điểm thứ nhất: Giải tích mà Đại số hóa tăng cờng ở THPT

Quan điểm này giúp ta ý thức về những khó khăn lớn mà học sinh sẽ gặpphải lúc mới làm quen với kiểu t duy biến thiên, liên tục, vô hạn và khi học vềsử dụng các phơng pháp, kỹ thuật xấp xỉ.

Nhiều công trình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nớc đã làm rõ

những khó khăn của học sinh khi tiếp thu khái niệm Giới hạn, cũng nh những

chứng ngại khoa học luận liên quan tới khái niệm này, những khó khăn thaotác với các kỹ thuật đánh giá xấp xỉ, với các bất đẳng thức và giá trị tuyệt đối.Hơn nữa, hiểu đợc rằng từ một hệ thống chặn trên, chặn dới hay từ một dãynhững xấp xỉ có thể đạt những kết quả chính xác, rằng một khái niệm có thểđợc định nghĩa bằng các phơng pháp đánh giá xấp xỉ và thừa nhận đợc tínhtriết học trong những kiểu nh khi thực hiện chặn trên, chặn dới một hàm sốhay dãy số ta thờng dùng các kỹ thuật: Chọn số hạng trỗi nhất trong một biểuthức; thêm bớt mẫu số, tử số của một phân thức, Nh vậy khi giải quyết cácbài toán Giải tích điều này cũng tạo nên một chớng ngại khoa học luận mấuchốt, ngay cả đối với các nhà Toán học trong các thế kỷ trớc Để tránh nhữngkhó khăn nh vậy, quan điểm phổ biến là "Đại số hóa tăng cờng Giải tích".Theo quan niệm này, ngời ta cố gắng thu hẹp sự ngắt quãng giữa Đại số vàGiải tích, xây dựng cái mới trong sự liên tục chặt chẽ với cái cũ và hy vọngrằng học sinh sẽ dần dần tiếp thu đợc kiến thức mới Vì vậy, ngời ta tìm cách

tránh đến mức tới đa các phơng pháp và kỹ thuật xấp xỉ, thay vào đó là các phép

toán và quy trình kiểu Đại số Những vấn đề lớn nh : xấp xỉ các số, xấp xỉ cáchàm đều không đề cập đến nữa.

Ví dụ 1: Chứng minh: Hàm số f(x) =

= 0.

- Bằng kỹ thuật đáng giá, xấp xỉ của Giải tích, lời giải có thể là:

Với  x ( 21

-; 21

), ta có 21

< 1+x <23

<

< 2 

12 x  f( x)2 x Theo định lý so sánh đã biết, suy ra: lim0

Nghiên cứu Giới hạn trong ''Giải tích Đại số hóa'' thờng đợc thực hiện

theo các bớc sau đây :

a) Bớc 1:

Đa vào khái niệm Giới hạn, bớc này lại có hai xu thế chủ yếu:

+) Xu thế thứ nhất: Tìm cách định nghĩa chặt chẽ các khái niệm Giới hạn

theo ngôn ngữ '' , '' , '' , N ''.

+) Xu thế thứ hai: Thì ngợc lại tìm cách tránh ngôn ngữ hình thức

Ng-ời ta chỉ yêu cầu học sinh “hình dung” các khái niệm này bằng cách trình bày

khái niệm Giới hạn theo con đờng thực nghiệm, nghĩa là từ những con số

hoặc đồ thị để cho một t tởng tổng quát và nếu cần có thể đi đến các định

nghĩa kiểu ''mô tả'', chẳng hạn:

Đối với định nghĩa trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11 của Phan Đức

Chính (1999): ''dãy số (Un; n = 1,2,3,…) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi n ) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khin  +, nếu un càng nhỏ khi n càng lớn, tức là nếu un có thể nhỏ bao nhiêutùy ý miễn là chọn n đủ lớn'' Thông thờng, trớc hết ta đa ra khái niệm giới hạn 0,

sau đó định nghĩa giới hạn L 0.

b) Bớc 2:

Nghiên cứu Giới hạn của một dãy số hay hàm số cơ bản và đơn giản, nhờ

vào định nghĩa hay quan sát thực nghiệm, thậm chí công nhận.

c) Bớc 3:

Đa vào các định lý bản chất Đại số về Giới hạn của tổng, hiệu, tích,

th-ơng (thông thờng đợc công nhận, không chứng minh).

Trên cơ sở các dãy số hay hàm số cơ bản, các định lý này cho phép thu

gọn nghiên cứu Giới hạn vào việc sử dụng các phép toán và những qui trình

kiểu Đại số Chúng cho phép đa ra các quy tắc kiểu thuật toán nh để khử các

dạng vô định về Giới hạn, mà không cần đến kỹ thuật kiểu xấp xỉ Tiến trình

nêu trên cũng đợc áp dụng tơng tự trong việc nghiên cứu tính liên tục, đạohàm, nguyên hàm tích phân.

Nh vậy, các phơng pháp và kỹ thuật đánh giá xấp xỉ đợc tránh gần nh hoàntoàn Ngay cả với các khái niệm, dù đợc định nghĩa chặt chẽ bằng ngôn ngữhình thức, thì học sinh cũng rất ít có dịp thao tác trên chúng mà thờng chỉ làmviệc về tính giới hạn, tính liên tục theo kiểu Đại số, theo những qui tắc cótính thuật toán: phân tích hàm số đã cho thành tổng, thành tích của các hàm sốsơ cấp cơ bản có giới hạn hay liên tục.

Tóm lại, giảng dạy Giải tích chủ yếu chỉ xoay quanh các phép tính: giớihạn, đạo hàm, nguyên hàm tích phân, của một lớp các hàm số khá đơn giản.Còn các vấn đề liên quan đến xấp xỉ gần nh bị loại bỏ.

1.2.3 Quan điểm thứ hai : Giải tích xấp xỉ ở THPT

Quan điểm này nhấn mạnh sự khác biệt về bản chất giữa Đại số và Giảitích, nhấn mạnh sự ngắt quãng cơ bản trong kiểu t duy, phơng pháp và kỹthuật sử dụng.

Theo quan điểm này, Giải tích xem nh thuộc phạm vi của xấp xỉ Vì thếvấn đề mấu chốt là phải biết sử dụng và thao tác các quy trình, phơng pháp vàkỹ thuật chặn trên, chặn dới, đóng khung, so sánh, đánh giá xấp xỉ

Mặc dù ý thức rõ về mặt khó khăn chớng ngại khi đi vào phạm vi đánh giáxấp xỉ, nhng theo quan điểm này: Không vợt qua những khó khăn và chớng

ngại này có nghĩa là không hiểu đợc “đúng nghĩa” của Giải tích ngời ta chỉ

còn hiểu đợc nghĩa về mặt Đại số của nó Một ''Giải tích Đại số hóa'' nh vậy,từ một quan điểm nào đó, có thể cho phép thành công một số công việc giảngdạy ở trờng học, nhng không thích ứng với việc giải quyết các vấn đề lớn củacuộc sống, của các ngành khoa học khác, đặc biệt trong việc giải quyết nhữngvấn đề cơ bản của Vật lý Quả thực ''Giải tích Đại số hóa'' chỉ cho phép nghiên

cứu một lớp hữu hạn các hàm số, dãy số cơ bản, đơn giản Chẳng hạn ngời takhông có công cụ nghiên cứu giới hạn của các dãy lặp dạng nh: un+1 = f(un),hay tích phân của các hàm số mà nguyên hàm của chúng không thể tính đợc.

Do đó, quan điểm Giải tích xấp xỉ chủ trơng hạn chế tối đa mặt Đại số hóa.

Mặt khác, quan điểm này cũng nhấn mạnh ảnh hởng của công nghệ thôngtin, của việc sử dụng máy tính trong nhà trờng Những công cụ mới này, tạođiều kiện thuận lợi cho việc đa vào giảng dạy các phơng pháp và kỹ thuật xấpxỉ, qua nội dung ''phơng pháp số'' Trong quan điểm này lại phân biệt hai xu h-ớng chủ yếu :

a) Xu hớng thứ nhất: Đa vào khái niệm cơ bản đợc định nghĩa một cách

chặt chẽ lý thuyết; sử dụng ngôn ngữ '' , '', '' , N '' với phơng pháp và kỹthuật xấp xỉ của các số, dãy số và hàm số Nghĩa là xử lý đồng thời cả hai mặt:quan niệm và kỹ thuật đánh giá xấp xỉ.

b) Xu hớng thứ hai: Tránh những mặt định nghĩa hình thức, nhng nhấn

mạnh vai trò của phơng pháp và kỷ thuật đánh giá xấp xỉ Do đó thay vì làmviệc với '' , '', '' , N '' ngời ta lại làm việc với các hàm số, dãy số sơ cấp cơbản nhờ vào phơng pháp và kỹ thuật xấp xỉ này.

1.2.5 Quan điểm thứ ba : Giải tích hỗn hợp ở THPT

Quan điểm này nhấn mạnh rằng Giải tích là một phạm vi trong đó tồn tạivà hoạt động xen kẽ nhiều hình thức t duy và kĩ thuật bản chất khác nhau, màchủ yếu là t duy và kỹ thuật mang đặc trng Đại số và mang đặc trng xấp xỉ củaGiải tích.

Tuy ''Giải tích Đại số hóa'' có những mặt hạn chế nhng cũng nhấn mạnhrằng kiểu t duy'' hữu hạn '', ''rời rạc'' và các phơng pháp kỹ thuật của Đaị sốvẫn có một vai trò quan trọng trong Giải tích.

Còn quan niệm bản chất Giải tích là xấp xỉ, thấy rõ sự cần thiết cho họcsinh học thao tác, sử dụng các kỹ thuật và phơng pháp xấp xỉ, nhng quan niệmnày cũng ý thức về những hạn chế của quan điểm ''Giải tích xấp xỉ'', quan

điểm trong đó khi thực hiện sự giảng dạy Giải tích thỏa mãn mặt khoa họcluận của nội dung, nhng lại cha quan tâm đúng mức quy trình nhận thức, khảnăng tiếp thu của học sinh, ít tính đến những khó khăn lớn mà học sinh phảigặp khi thao tác các phơng pháp và kỹ thuật đánh giá xấp xỉ.

Ví dụ 2 : Chứng minh: Hàm số f( x ) = x3 +x2+1 có giới hạn là 1, khi x  0.Ta thấy : - Định lý Đại số ''về giới hạn của tổng'', cho ngay kết quả:

x | = | x2 | | x+1|

Để đạt đợc bất đẳng thức: | f(x) – 1 | < 2 | x2 |, ta cần chọn số thực  vàmột khoảng I tâm 0 sao cho: | ( x+ 1) | < , với xI

chẳng hạn ta lấy I = (-1;1), thì (x+1)(-1;1), do đó | x+1| < 2 Khi đó, với xI, ta có: | f(x) - 1 | = | x2 | | x+1| < 2 | x2 | Theo định lí so sánh đã học, ta suy ra : lim0

Ta nhận thấy:kỹ thuật Đại số cho lời giải :

=

= 0.

- Với kỹ thuật, đánh giá xấp xỉ của Giải tích, :

Ta biến đổi:

chứng giữa hai thành phần: Đại số hóa /xấp xỉ, nhằm đạt tới xác định một tỉ lệ

thích hợp giữa chúng Chú ý tới các biện pháp, phơng thức s phạm thích hợp

nhằm phát huy TTCNT của học sinh.

Để thấy rõ sự khác biệt giữa các xu hớng trong dạy học Giải tích ở các ờng THPT, cần phải so sánh chúng trên cở sở phân tích nhiều yếu tố khácnhau Tuy nhiên ở đây chỉ dựa chủ yếu việc phân tích so sánh mối quan hệ

tr-giữa mặt Đại số và mặt xấp xỉ của Giải tích.

1.3 Thực tiễn dạy học chủ đề khái niệm giới hạn

Qua thực tiễn và dự giờ giảng dạy môn Toán ở trờng THPT , cho thấy:

Chủ đề Giới hạn là một trong những chơng khó của Giải tích THPT Ngay cả

đối với học sinh khá khi tiếp cận với với ngôn ngữ Giải tích nh”  đủ bé”, “ x

dần về a” , “dãy số dần ra vô cực “ mà nếu không có trình độ t duy, khả năngnhận thức những vấn đề trừu tợng thì khó có thể lĩnh hội đợc chủ đề này, nêncách dạy chủ yếu là cung cấp tri thức, tiến hành các bài tập mẫu vận dụng, mànguyên nhân có thể là bắt nguồn từ những vấn đề sau đây:

- Một là, phần lớn giáo viên chỉ nghĩ đến việc dạy đúng, dạy đủ, dạy kháiniệm, định lý, kiến thức chủ đề Giới hạn chứ cha nghĩ đến việc dạy thế nào; - Hai là, tính chất về khái niệm Giới hạn quá trừu tợng vì : nó không tạo đ-

ợc mối liên hệ giữa hình học với đại số, từ đó dễ có cảm tởng rằng nó không thựcsự toán học Học sinh rất khó nắm đợc khái niệm vô cùng lớn, vô cùng bé , vôcực, nhất là giới hạn không thể tính trực tiếp bằng cách dùng phơng pháp đại sốvà số học quen thuộc Mặt khác, khó khăn nữa trong nhận thức khái niệm giớihạn là những khó khăn liên quan đến ngôn ngữ: "giới hạn", "dần về", "nhỏ tùy ý"

có ý nghĩa thông thờng không tơng hợp với khái niệm giới hạn dạng hình thứckhiến cho đa số học sinh khi học về vấn đề này vừa gặp khó khăn về mặt nhậnthức nên dễ rơi vào bị động bởi hàng loạt các định lý đợc thừa nhận không chứngminh, vừa làm cho việc áp dụng trở nên máy móc dẫn đến việc lĩnh hội kiến thứcmột cách cha thể trọn vẹn.

- Ba là, các hoạt động chỉ đạo, nghiên cứu, bồi dỡng giảng dạy còn nặng về

tìm hiểu, làm quen và khai thác nội dung chơng trình và Sách giáo khoa Thiếusự chuẩn bị đồng bộ đối với các mắt xích trong mối quan hệ rất chặt chẽ là mụctiêu, nội dung, phơng pháp, phơng tiện giảng dạy … Việc cụ thể hóa, quy trình

hóa những phơng pháp dạy học về chủ đề khái niệm Giới hạn để giúp giáo viên

sử dụng trong giảng dạy cha làm đợc bao nhiêu Ngoài ra cũng thiếu các thôngtin cần thiết về đổi mới phơng pháp dạy học nói riêng và đổi mới giáo dục nóichung trên thế giới;

- Bốn là, các kiểu đánh giá và thi cử cũng ảnh hởng rõ rệt tới phơng pháp

giảng dạy; đánh giá và thi cử nh thế nào thì sẽ có lối dạy tơng ứng đối phó nh thếấy

Tóm lại, với kiểu dạy học thầy truyền thụ kiến thức nói chung, chủ đề Giới

hạn nói riêng theo cách thụ động trò ngồi nghe, những gì thầy giảng thờng

không có sự tranh luận giữa thầy và trò, điều thầy nói có thể coi là tuyệt đốiđúng … Một phơng pháp giảng dạy vào kinh nghiệm, không xuất phát từ mụctiêu đào tạo, không có cơ sở kiến thức về những quy luật và nguyên tắc của lýluận dạy học sẽ làm cho quá trình học tập trở nên nghèo nàn, làm giảm ý nghĩagiáo dục cũng nh hiệu quả bài giảng.

Vì vậy cần tăng cờng các hoạt động phát hiện, tự khám phá, ý thức học tậpcủa mỗi học sinh:

+ Giảm nhẹ lí thuyết trừu tợng, coi trọng vai trò trực giác, rèn luyện khảnăng dự đoán và suy luận có lí ;

+ Phát huy TTCNT của học sinh trong tiến trình xây dựng kiến thức theo qui

nạp trong việc hình thành các khái niệm Giới hạn Một mặt nó phù hợp với qui

luật nhận thức " từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng " nên dễ dàng hơncho việc lĩnh hội kiến thức của học sinh Mặt khác, khi tham gia phơng thức nàylà cơ hội để học sinh tham gia tích cực vào việc xây dựng kiến thức mới, rènluyện các thao tác t duy nh Phân tích, Tổng hợp, Khái quát hóa, từ đó phát huyTTCNT

1.4 Kết luận chơng 1

Từ sự phân tích cơ sở lý luận và thực tiễn việc phát huy tính tích cực nhận

thức của học sinh trong dạy học môn Toán với các quan điểm Giải tích về đặc

điểm chủ đề Giới hạn ở trờng THPT cho thấy:

+ Đổi mới phơng pháp dạy học nhằm phát huy TTCNT của học sinh là

ph-ơng pháp dạy học hiệu quả nhất, để đạt đợc yêu cầu về sự cạnh tranh trí tuệ trêncon đờng hội nhập và phát triển toàn cầu, đồng thời đáp ứng đợc mục tiêu màxã hội đang đặt ra.

+ Đa ra một số quan điểm Giải tích về đặc điểm chủ đề Giới hạn, đây đợc

coi là nội dung quan trọng, cơ bản nền tảng và khó của Giải tích Toán học ở

THPT , vì vậy khi học về nội dung này chính là quá trình biến đổi về chất trong

nhận thức đối với học sinh

Những kết luận trên đây, là cơ sở cho việc định hớng, thiết kế xây dựng 5

phơng thức s phạm thích hợp, để dạy học khái niệm về chủ đề Giới hạn theo ớng phát huy TTCNT của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả dạy học Toán nóichung và chủ đề Giới hạn nói riêng ở trờng THPT

chơng 2

cách tiếp cận khái niệm GIớI HạN Và VIệC PHáT

HUY TíNH tíCH cực NHậN THức Của HọC SINHTRONG DạY HọC chủ đề GiớI HạN ở THPT

2.1 cách tiếp cận khái niệm GIớI HạN ở THPT

Thực tế trong chơng trình môn Toán ở THPT các khái niệm ''Giới hạn vềdãy số và hàm số, hàm số liên tục'' đợc trình bày theo các cách tiếp cận khônggiống nhau của mỗi tài liệu riêng biệt Xét trong các bộ SGK Giải tích - Đạisố lớp 11 của các nhóm tác giả ta sẽ thấy rõ hơn điều đó.

2.1.1 Các cách tiếp cận khái niệm giới hạn dãy số“ ”

2.1.1.1 Cách 1: Của nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh chủ biên, 1995 theongôn ngữ '' ,N()''

Con đờng đi tới định nghĩa khái niệm Giới hạn dãy số là qui nạp, từ việc

mô tả: ''Khi n càng lớn thì Un càng bé và bé bao nhiêu cũng đợc'', đợc chuyển qua

ngôn ngữ " , N()" bằng cách chọn miền giá trị  cụ thể để tiến tới kháiquát hóa cho mọi  : ''ta nói rằng dãy số thực (Un; n = 1,2,3,…) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi n ) có giới hạn là L(LR), khi n  + nếu với mọi số dơng  cho trớc (nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tựnhiên N() sao cho với mọi n > N() thì Un  L < .

Kí hiệu nlimUn = L''.

Định nghĩa này khá rắc rối, cấu trúc câu thì phức tạp, hơn nữa đây là lầnđầu tiên học sinh tiếp cận với ký hiệu của Hy Lạp là  Học sinh khá thì thắcmắc tại sao nói là ''với mọi số dơng  cho trớc'' còn sử dụng cụm từ ''nhỏ baonhiêu tùy ý '' để làm gì ? Thực ra, nếu không có lời giải thích đó các em sẽ ít

chú trọng đến tính chất '' vô cùng bé '', ( đây là đặc trng của Giải tích) mà các

em chỉ nghĩ đến giá trị cố định  , thì t duy lại theo kiểu ''tĩnh tại'', ''rời rạc’'.',''hữu hạn'' của Đại số Lời giải thích này hớng vào kiểu t duy ''biến thiên'',''liên tục'', ''vô hạn'' của lĩnh vực Giải tích.

2.1.1.2 Cách 2: Của nhóm tác giả Phan Đức Chính chủ biên, 1999theo ngôn ngữ mô tả ” ”

Khái niệm giới hạn dãy số đợc định nghĩa dới dạng “mô tả” bằng ngôn ngữthông thờng, đa vào từng bớc để giảm nhẹ mức độ trừu tợng của nó.

+) B ớc1 : Định nghĩa ''Giới hạn 0 của dãy số” là: ''dãy số (Un; n = 1,2,3,…) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi n )gọi là dần về 0 hay có giới hạn 0 khi n  +, (nếu Un càng nhỏ khi n càng lớn)tức là có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn đợc n đủ lớn Kí hiệu nlim Un = 0

hoặc Un  0 khi n  +''.

Định nghĩa này cha đảm bảo tính chính xác của một định nghĩa khái niệm,

nhng vì tính chất “mô tả” nên học sinh không bị choáng, vì vậy giúp học sinhbớc đầu hình thành khái niệm Giới hạn 0 của dãy số Tuy nhiên với cách định

nghĩa này, học sinh không thể dùng định nghĩa để chứng minh một dãy có Giới hạn 0và làm các bài toán về chứng minh Giới hạn bằng định nghĩa, mà học sinh chỉ có mỗimột con đờng là công nhận tất cả các Giới hạn cơ bản, cũng nh các định lý về Giớihạn

+) B ớc 2 : Định nghĩa “ Giới hạn L  0 của dãy số Un” là

''ta nói rằng dãy số thực (Un; n = 1,2,3,…) có giới hạn là L (LR), khin  + nếu với mọi số dơng  cho trớc (nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên

N , sao cho với mọi n > N() thì Un  L < Kí hiệu nlimUn = L''.

Qua sự phân tích trên ta thấy cần có sự thống nhất giữa các quan điểm đểhọc sinh lĩnh hội đợc các khái niệm, ngoài ra đảm bảo tính vừa sức, tính lôgicđúng đắn, từ đó giúp học sinh có sự nhận thức rõ ràng và sâu sắc hơn Chính vì

vậy, mà chơng trình cải cách SGK lần này đã quán triệt tinh thần đó, của nhóm

tác giả Phan Đức Chính, đó là cách 3:

2.1.1.3 Cách 3 : Của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh chủ biên, 2004

Trớc hết, thông qua ví dụ cụ thể điển hình, bằng việc tổ chức cho học sinhbiểu diễn dãy số và nhận xét khoảng cách từ điểm Un đến tọa độ 0 Qua thaotác s phạm, giáo viên hớng dẫn học sinh làm sao nêu bật lên đợc mặt logic của

khái niệm Giới hạn 0, một cách trực quan nhất, lúc này cả ba mặt ''trực giác số'' , ''trực giác hình học'' và ''suy luận'' đều đợc đề cập nhằm hình thành ở họcsinh biểu tợng ban đầu về khái niệm Giới hạn 0 của dãy số Tuy nhiên, mặt''suy luận'' chỉ đợc đề cập có mức độ Vậy muốn đi đến khái niệm Giới hạn 0,học sinh lại cần hiểu đợc mệnh đề tổng quát ''Un nhỏ hơn một số dơng bất kỳ,kể từ một số hạng nào đó trở đi'' Sau đó thông báo rằng với đặc trng này dãy (

U ) đợc gọi là có giới hạn 0 khi n  +.

Mệnh đề nêu trên chỉ dừng ở mức độ ''Un nhỏ hơn '', chứ cha phải là ''

U nhỏ hơn '' Tuy nhiên, với dãy số này, học sinh có thể có quan niệm sai

lệch rằng: ''nếu dãy (Un) có giới hạn là 0, thì Un phải là dãy đơn điệu và dần tới 0chỉ từ một phía, thậm chí (Un) phải dơng'' Nhng dãy (Un) có thể là dãy khôngđơn điệu và có thể dần về 0 từ bên trái hay từ bên phải, hoặc từ cả hai phía.Mục đích chủ yếu vẫn là giúp học sinh hiểu một cách trực giác khái niệm Giớihạn 0, do đó mô tả đặc trng của dãy số này trên cả hai phơng diện ''trực giácsố'' và ''trực giác hình học'' Để khắc phục khuyết điểm này và cũng cố biểu t-ợng ban đầu về Giới hạn 0, nên xét ví dụ dãy đan dấu:

Ví dụ 5: Chứng minh dãy số  

 có giới hạn 0 Xét :

)1(lim 

hạng nào đó trở đi'' có thể còn mơ hồ đối với học sinh, vì thế ta phải cho cụ

thể hai giá trị số dơng là:

nếu số dơng là 0,1 tức  1 0,1 n100

un thì từ số hạng thứ 101 trở đi;với số dơng là 0, tức  1 0,01 n10000

unthì từ số hạng thứ 1 001 trở đi.

Việc trình bày hỗn hợp ''trực giác - suy luận'' nh vậy cho phép đảm bảo ợc cả tính s phạm và tính chặt chẽ Toán học trong việc khẳng định tính chất cơbản của dãy số đã cho Giới hạn L 0 đợc định nghĩa qua khái niệm Giới hạn

đ-0 và theo con đờng suy diễn (nghĩa là phát biểu ngay định nghĩa, sau đó trình bày

ví dụ củng cố ).

Vấn đề là đa vào khái niệm Giới hạn qua “mô tả” mà không trình bày định

nghĩa chính xác, nên khó có thể lột tả đợc bản chất khái niệm, trên tinh thầnđó trong SGK mới, khái niệm Giới hạn 0 và Giới hạn + đợc đa vào theo con

đờng qui nạp Cụ thể qua các hoạt động và ví dụ, khái niệm đợc “mô tả” nhờ

vào các ghi nhận "trực giác số" và ''trực giác hình học" với “ suy luận” Còncác khái niệm Giới hạn L 0 và Giới hạn - đợc định nghĩa qua các Giớihạn 0 và Giới hạn +

Ngoài ra, SGK còn cho một số kết quả của giới hạn cơ bản đặc biệt, đểhọc sinh sử dụng kết quả đó làm cơ sở chứng minh những bài toán về giới

hạn (mà theo nh cách 2, của bớc 1 là đối với loại toán này ta không có cách

giải, mà chỉ có cách là công nhận các kết quả và định lý về giới hạn).

2.1.2 Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số” ” ở Phổ thông trong các bộ SGK Giải tích - Đại số lớp 11 khái niệm Giới

hạn hàm số đợc các tác giả trình bày theo hai ngôn ngữ khác nhau là: ''dãy'' và

'' , ''.

2.1.2.1 Cách 1: Của nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh chủ biên, 1996theo ngôn ngữ '' , ''

Định nghĩa khái niệm Giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ '' , '' là: '' Ta

nói rằng hàm số y = f(x) dần tới L khi x dần tới a (hoặc có giới hạn L khi x  a)nếu mọi số dơng cho trớc (nhỏ bao nhiêu tùy ý), ta có thể tìm đợc một số dơng 

sao cho khi 0 <x a< thì f(x) L< Kí hiệu limxaf x= L".

Cách phát biểu này đảm bảo về tính chính xác và tổng quát, tuy nhiên lạikhông đảm bảo về tính vừa sức đối với học sinh vì ngôn ngữ khá trừu tợng và