Ta phải định nghĩa phân biệt rõ ràng giới hạn dơng vô cực(+ ∞ ) và âm vô cực (- ∞ ) chứ không định nghĩa giới hạn vô cực ( ∞ ) ở dạng chung chung, : +) ''Dãy số un đợc gọi là có giới hạn + ∞ khi n dần tới dơng vô cực nếu với
mỗi số dơng M tồn tại số nguyên dơng n0 sao cho : un > M , ∀ n > n0 . Kí hiệu : nlim→+∞un = + ∞ ''.
+) ''Dãy số un đợc gọi là có giới hạn - ∞ khi n dần tới dơng vô cực nếu với mỗi số dơng M tồn tại số nguyên dơng n0 sao cho: un < - M , ∀ n > n0 ,
Kí hiệu : nlim→+∞ (un ) = - ∞ ''.
+) Hoặc để đơn giản và làm rõ mối quan hệ giữa hai khái niệm ( ± ∞ ) ta xem định nghĩa dãy số un có giới hạn - ∞ thông qua + ∞ nh sau: ''Dãy số un
đợc gọi là có giới hạn - ∞ nếu nlim→+∞ (-un ) = + ∞ ”.
b) Về kí hiệu: + ∞ , - ∞ có thể xem nh là Giới hạn của dãy số Xét ví dụ 15: nlim→+∞ Xét ví dụ 15: nlim→+∞ n 1000 1000 = 0; nlim→+∞ (n−10001000) = + ∞ ; nlim→+∞ 1000( )1000 n − = - ∞ .
Qua ví dụ 15 này ta thấy, với ''một số thực rất lớn'' là nói đến một số cụ thể ở “trạng thái tĩnh tại, cố định''. Còn bản chất của + ∞ và - ∞ không phải là những số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng ra nói đến lân cận của + ∞ tức là khoảng (a, + ∞ ) và lân cận của - ∞ là khoảng (- ∞ ; a ) với ∀a∈ R, do đó
không thể thực hiện các qui tắc hay phép toán đại số trên chúng, nhng kết quả giới hạn (nếu có) của dãy số un có thể là: Giới hạn hữu hạn (0, hằng số L ≠
0 ) hoặc Giới hạn vô cực ( ±∞ ), nên ta có thể xem kí hiệu + ∞ và - ∞ nh là giới hạn của dãy số. Thực ra, có thể định nghĩa đợc các giới hạn vô cực + ∞ và - ∞ , nhng định nghĩa này khác hẳn về bản chất so với định nghĩa của giới hạn hữu hạn. Nh vậy, khi thực hành trong giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn, giữa hai khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' và ''giới hạn vô hạn vô cực'', trong việc biến đổi các phép toán về giới hạn và dẫn đến sai lầm trong kí hiệu nh:
01 = ∞ ? ; (+ ∞ ) - (+ ∞ ) = 0 ? ; 0 . ∞ = 0 ?...
c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn hoặc vô cực ( ±∞ )
Ví dụ 16: Dãy số un = (-1)n không có giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực. Ví dụ 17 : Xét lim(( )1nn2) n − +∞ → và n qn +∞ →