A R1 R2R 3R
1.2.3.Quan điểm thứ hai: Giải tích xấp xỉ ở THPT
Quan điểm này nhấn mạnh sự khác biệt về bản chất giữa Đại số và Giải tích, nhấn mạnh sự ngắt quãng cơ bản trong kiểu t duy, phơng pháp và kỹ thuật sử dụng.
Theo quan điểm này, Giải tích xem nh thuộc phạm vi của xấp xỉ. Vì thế vấn đề mấu chốt là phải biết sử dụng và thao tác các quy trình, phơng pháp và kỹ thuật chặn trên, chặn dới, đóng khung, so sánh, đánh giá xấp xỉ.
Mặc dù ý thức rõ về mặt khó khăn chớng ngại khi đi vào phạm vi đánh giá xấp xỉ, nhng theo quan điểm này: Không vợt qua những khó khăn và chớng ngại này có nghĩa là không hiểu đợc “đúng nghĩa” của Giải tích ngời ta chỉ còn hiểu đợc nghĩa về mặt Đại số của nó. Một ''Giải tích Đại số hóa'' nh vậy, từ một quan điểm nào đó, có thể cho phép thành công một số công việc giảng dạy ở trờng học, nhng không thích ứng với việc giải quyết các vấn đề lớn của cuộc sống, của các ngành khoa học khác, đặc biệt trong việc giải quyết những vấn đề cơ bản của Vật lý. Quả thực ''Giải tích Đại số hóa'' chỉ cho phép nghiên cứu một lớp hữu hạn các hàm số, dãy số cơ bản, đơn giản. Chẳng hạn ngời ta không có
công cụ nghiên cứu giới hạn của các dãy lặp dạng nh: un+1 = f(un), hay tích phân của các hàm số mà nguyên hàm của chúng không thể tính đợc. Do đó, quan điểm Giải tích xấp xỉ chủ trơng hạn chế tối đa mặt Đại số hóa.
Mặt khác, quan điểm này cũng nhấn mạnh ảnh hởng của công nghệ thông tin, của việc sử dụng máy tính trong nhà trờng. Những công cụ mới này, tạo điều kiện thuận lợi cho việc đa vào giảng dạy các phơng pháp và kỹ thuật xấp xỉ, qua nội dung ''phơng pháp số''. Trong quan điểm này lại phân biệt hai xu h- ớng chủ yếu :
a) Xu hớng thứ nhất: Đa vào khái niệm cơ bản đợc định nghĩa một cách chặt chẽ lý thuyết; sử dụng ngôn ngữ '' ε , δ '', '' ε , N '' với phơng pháp và kỹ thuật xấp xỉ của các số, dãy số và hàm số. Nghĩa là xử lý đồng thời cả hai mặt: quan niệm và kỹ thuật đánh giá xấp xỉ.
b) Xu hớng thứ hai: Tránh những mặt định nghĩa hình thức, nhng nhấn
mạnh vai trò của phơng pháp và kỷ thuật đánh giá xấp xỉ. Do đó thay vì làm việc với '' ε , δ '', '' ε , N '' ngời ta lại làm việc với các hàm số, dãy số sơ cấp cơ bản nhờ vào phơng pháp và kỹ thuật xấp xỉ này.
1.2.5. Quan điểm thứ ba : Giải tích hỗn hợp ở THPT
Quan điểm này nhấn mạnh rằng Giải tích là một phạm vi trong đó tồn tại và hoạt động xen kẽ nhiều hình thức t duy và kĩ thuật bản chất khác nhau, mà chủ yếu là t duy và kỹ thuật mang đặc trng Đại số và mang đặc trng xấp xỉ của Giải tích.
Tuy ''Giải tích Đại số hóa'' có những mặt hạn chế nhng cũng nhấn mạnh rằng kiểu t duy'' hữu hạn '', ''rời rạc'' và các phơng pháp kỹ thuật của Đaị số vẫn có một vai trò quan trọng trong Giải tích.
Còn quan niệm bản chất Giải tích là xấp xỉ, thấy rõ sự cần thiết cho học sinh học thao tác, sử dụng các kỹ thuật và phơng pháp xấp xỉ, nhng quan niệm này cũng ý thức về những hạn chế của quan điểm ''Giải tích xấp xỉ'', quan điểm trong đó khi thực hiện sự giảng dạy Giải tích thỏa mãn mặt khoa học luận của
nội dung, nhng lại cha quan tâm đúng mức quy trình nhận thức, khả năng tiếp thu của học sinh, ít tính đến những khó khăn lớn mà học sinh phải gặp khi thao tác các phơng pháp và kỹ thuật đánh giá xấp xỉ.
Ví dụ 2: Chứng minh: Hàm số f( x ) = x3 +x2+1 có giới hạn là 1, khi x→ 0.
Ta thấy : - Định lý Đại số ''về giới hạn của tổng'', cho ngay kết quả: limx→0 (x3 +x2+1) = lim0 → x (x3)+ lim0 → x ( x2)+ lim0 → x (1) = 1.
- Thì kĩ thuật đánh giá, xấp xỉ của Giải tích có lời giải, sau đây: '' f(x)−1 = | x2(x+1) | = | x2 | . | x+1| .
Để đạt đợc bất đẳng thức: | f(x) – 1 | < 2 | x2 |, ta cần chọn số thực λ và một khoảng I tâm 0 sao cho: | ( x+ 1) | < λ , với ∀ x ∈ I .
chẳng hạn ta lấy I = (-1;1), thì (x+1) ∈ (-1;1), do đó | x+1| < 2. Khi đó, với ∀ x ∈ I, ta có: | f(x) - 1 | = | x2 | . | x+1| < 2 | x2 |. Theo định lí so sánh đã học, ta suy ra : limx→0f(x) = 1''.
- Mặt khác, việc lạm dụng kĩ thuật xấp xỉ lại gặp phải hạn chế của kĩ thuật này, chẳng hạn nh: Ví dụ 3: Tính nlim→+∞ 1 2 2+ − n n .
Ta nhận thấy:kỹ thuật Đại số cho lời giải : nlim→+∞ 2+21 − n n = nlim→+∞ 2 2 1 1 2 1 n n n + − = 0.
- Với kỹ thuật, đánh giá xấp xỉ của Giải tích, : 2+21 − n n ≤ 1 2+ n n < n2 n = n1 . Theo định lý so sánh, ta suy ra: nlim→+∞
12 2 2+ − n n = 0.
Tuy nhiên, kỹ thuật này không còn đơn giản nh vậy, dù chỉ thay đổi vài chi tiết rất nhỏ trong bài toán, chẳng hạn:
Ví dụ 4 : Tìm nlim→+∞ 1 2 2− + n n .
Ta biến đổi: 2−21 + n n ≤ 2 2 2 2 n n n n − + = n6 , với ∀ n > 1.
Chắc chắn, những kỹ xảo ''thêm, bớt'' nh vậy rất khó khăn đối với học sinh. Qua đó ta thấy, quan điểm "Giải tích hỗn hợp" nhấn mạnh mối quan hệ biện chứng giữa hai thành phần: Đại số hóa /xấp xỉ, nhằm đạt tới xác định một tỉ lệ thích hợp giữa chúng. Chú ý tới các biện pháp, phơng thức s phạm thích hợp nhằm phát huy TTCNT của học sinh.
Để thấy rõ sự khác biệt giữa các xu hớng trong dạy học Giải tích ở các trờng THPT, cần phải so sánh chúng trên cở sở phân tích nhiều yếu tố khác nhau. Tuy nhiên ở đây chỉ dựa chủ yếu việc phân tích so sánh mối quan hệ giữa mặt Đại
số và mặt xấp xỉ của Giải tích.