Luận văn thạc sĩ toán học

Luận văn thạc sĩ toán học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC

================

Nguyễn Tuyết Nga

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

ĐẠI HỌC KHOA HỌC ================

Nguyễn Tuyết Nga

ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NHÓM TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40

Hướng dẫn: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn

2.2 Một số ứng dụng của Định lí Lagrange 19

2.3 Ưng dụng của Công thức các lớp và Định lí Burnside ´ 20

3 Ưng dụng vào tổ hợp´ 263.1 Nhóm đối xứng 26

3.2 Ưng dụng vào tổ hợp ´ 27

3.3 Một số ví dụ minh họa 31

Tài liệu tham khảo 41

Lời cảm ơn

Sau hơn nửa năm nghiên cứu miệt mài, luận văn thạc sĩ của tôi với đềtài nghiên cứu “ ´Ưng dụng của lý thuyết nhóm trong một số bài toán sơcấp” đG được hoàn thành Những kết qủa ban đầu mà tôi thu được đó lànhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của cô giáo PGS TS Lê ThịThanh Nhàn Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Cô.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và KhoaToán-Tin của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đG tạomọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành đề tài này trong thời gian qua.Đội ngũ cán bộ thuộc phòng Đào tạo và Khoa Toán - Tin đG hết lòngủng hộ, giúp đỡ lớp cao học Khóa I chúng tôi với một thái độ nhiệt tình,thân thiện nhất Điều này sẽ mGi là ấn tượng rất tốt đẹp trong lòng mỗichúng tôi đối với nhà Trường.

Tôi cũng rất tự hào rằng trong quá trình học tập đG được Trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên bố trí những nhà toán học hàngđầu Việt nam về lĩnh vực Phương pháp toán sơ cấp giảng dạy cho chúngtôi như GS Hà Huy Khoái, GS Nguyễn Minh Hà, GS Phan Huy Khải

Và cũng là lời cảm ơn chân thành của tôi tới bạn bè, những ngườithân đG luôn động viên, cổ vũ tôi trong suốt qúa trình nghiên cứu.

Lời nói đầu

Lí thuyết nhóm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọngcủa Đại số hiện đại Lí thuyết này có những ứng dụng sâu sắc trongnhiều hướng khác nhau của toán học, vật lí Đặc biệt, một số kĩ thuậttrong lí thuyết nhóm đG được sử dụng để mang lại những kết quả đẹpcủa toán sơ cấp Chẳng hạn, tính giải được của các đa thức đG được giảiquyết trọn vẹn bởi E Galois thông qua việc sử dụng các kiến thức của líthuyết nhóm phối hợp một cách tài tình với lí thuyết trường và đa thức.

Trong luận văn này, chúng tôi khai thác một số ứng dụng của lí thuyếtnhóm vào toán sơ cấp ở 2 lĩnh vực: Số học và Tổ hợp Công cụ chủ yếucủa lí thuyết nhóm được vận dụng ở đây là Định lý Lagrange “Cấp vàchỉ số của một nhóm con của một nhóm hữu hạn là ước của cấp của toànnhóm” và Định lý Burnside “Nếu nhóm hữu hạn G tác động lên tập hữuhạn X thì số quỹ đạo của tác động là 1

(G : e)

f (g), trong đó f (g) làsố phần tử của X cố định qua tác động của g”.

Luận văn được trình bày trong 3 chương Chương 1 là những kiếnthức chuẩn bị về lý thuyết nhóm nhằm phục vụ cho 2 chương sau, baogồm các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm, đồng cấu nhóm, nhómđối xứng và tác động của nhóm lên tập hợp Các kiến thức và thuật ngữcủa Chương I được tham khảo chủ yếu trong các cuốn sách về lý thuyếtnhóm của J Rotman [Rot] và J F Humphreys [Hum].

Chương 2 là một số ứng dụng vào số học Một số kết quả ở các Tiết2.1 và 2.2 là sự tổng hợp lại theo một chủ đề những ứng dụng đG biếtcủa lí thuyết nhóm trong số học (xem 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.2.1, 2.2.2),

nh−ng còng cã nh÷ng tÝnh chÊt mµ t¸c gi¶ luËn v¨n tù t×m tßi b»ng hiÓubiÕt cña m×nh (xem 2.1.1, 2.1.2) TiÕt 2.3, ®−îc tr×nh bµy theo bµi b¸oc«ng bè n¨m 2005 cña T Evans vµ B Holt [EH], chøng minh l¹i nh÷ngc«ng thøc sè häc cæ ®iÓn b»ng ph−¬ng ph¸p sö dông c«ng thøc c¸c lípvµ §Þnh lý Burnside trong lÝ thuyÕt nhãm.

Ch−¬ng cuèi cña luËn v¨n lµ nh÷ng øng dông cña lý thuyÕt nhãm vµomét sè bµi to¸n tæ hîp Thùc chÊt, khi cã lÝ thuyÕt nhãm soi vµo, c¸cbµi to¸n tæ hîp nµy ®G bít phøc t¹p h¬n, c¸ch gi¶i quyÕt nã còng kh«ngcßn lµ nh÷ng mÑo mùc hay bÝ Èn dÔ nhÇm lÉn cña To¸n tæ hîp n÷a, mµnã trë thµnh râ rµng, hÖ thèng vµ dÔ hiÓu.

Kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm

Mục đích của chương này là nhắc lại một số kiến thức về nhóm, địnhlí Lagrange, tác động của nhóm lên tập hợp, công thức các lớp và Địnhlí Burnside Kiến thức này là cần thiết cho những ứng dụng giải một sốbài toán sơ cấp được trình bày trong Chương II và Chương III Các kiếnthức và thuật ngữ ở đây được tham khảo trong các cuốn sách về lí thuyếtnhóm [Ash], [Rot] và [Hum].

- Tập Z các số nguyên, tập Q các số hữu tỷ, tập R các số thực, tập Ccác số phức với phép cộng thông thường đều là nhóm giao hoán cấp vôhạn.

- Tập S(X) các song ánh từ một tập X đến chính nó với phép hợpthành các ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm đối xứng của X Nếu X cón phần tử thì S(X) có cấp n! và nhóm này không giao hoán khi n ≥ 3.- Với mỗi số tự nhiên m ≥ 1, tập Zm các lớp thặng dư theo môđun mvới phép cộng các lớp thặng dư là một nhóm giao hoán cấp m Tập Z∗

các lớp thặng dư theo môđun m nguyên tố cùng nhau với m với phépnhân các lớp thặng dư là một nhóm giao hoán cấp ϕ(m), trong đó ϕ làhàm Euler.

• Một số tính chất cơ sở: Cho G là một nhóm với đơn vị e Khi đó- Phần tử đơn vị của G là duy nhất.

- Phần tử nghịch đảo của mỗi phần tử của G là duy nhất.

- Mọi phần tử của G đều chính quy, tức là thỏa mGn luật giản ước.1.1.2 Định nghĩa Tập con H của một nhóm G được gọi là nhóm concủa G nếu e ∈ H và aư1 ∈ H, ab ∈ H với mọi a, b ∈ H.

1.1.3 Định nghĩa Một nhóm G được gọi là xyclic nếu tồn tại a ∈ Gsao cho mỗi phần tử của G đều là một luỹ thừa của a Trong trường hợpnày G được gọi là nhóm xyclic sinh bởi a và viết G =< a >

Chú ý rằng nhóm con của nhóm xyclic là xyclic Cho G là một nhómvà a ∈ G Đặt

< a >= {an | n ∈ Z}.

Khi đó < a > là nhóm con của G, được gọi là nhóm con xyclic sinh bởia Cấp của nhóm con < a > được gọi là cấp của phần tử a Dễ thấyrằng a có cấp vô hạn nếu và chỉ nếu an = 0 kéo theo n = 0 với mọi

n ∈ Z Hơn nữa, a có cấp n nếu và chỉ nếu n là số nguyên dương bénhất sao cho an = e.

1.1.4 Định nghĩa Cho A là tập con của một nhóm G Khi đó tồn tạinhững nhóm con của G chứa A, chẳng hạn G Giao của tất cả các nhómcon của G chứa A là nhóm con nhỏ nhất của G chứa A Nhóm con nàyđược gọi là nhóm con sinh bởi tập A và kí hiệu là < A >

Rõ ràng nhóm con sinh bởi tập rỗng là {e} Nếu A = ∅ thì< A >= {a1a2 an | n ∈ N, a1, , an ∈ A ∪ Aư1},

trong đó Aư1 = {xư1 | x ∈ A}.

1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm

1.2.1 Định nghĩa Cho H là một nhóm con của một nhóm G Ta địnhnghĩa quan hệ ∼ trên G như sau: a ∼ b nếu và chỉ nếu abư1 ∈ H vớimọi a, b ∈ G Dễ kiểm tra được ∼ là một quan hệ tương đương tren G.Với mỗi a ∈ G, gọi a là lớp tương đương của a Ta có

a = {ha | h ∈ H} = Ha.

Mỗi lớp tương đương Ha được gọi là một lớp ghép trái của H trong G.Tập thương của G theo quan hệ tương đương ∼ được kí hiệu bởi G/H.Khi H chỉ có hữu hạn lớp ghép trái thì ta gọi chỉ số của H trong G, kíhiệu là (G : H), là số các lớp ghép trái của H.

1.2.2 Định lý (Định lí Lagrange) Trong một nhóm hữu hạn, cấp vàchỉ số của một nhóm con là ước của cấp của toàn nhóm.

• Sau đây là một số hệ quả trực tiếp của Định lí Lagrange.

- Cho G là nhóm cấp n và a ∈ G Khi đó cấp của a là ước của n.Hơn nữa, an = e.

- Mỗi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xylic sinh bởi một phần tửtùy ý khác đơn vị.

- Mọi nhóm cấp
5 đều giao hoán.

1.2.3 Định nghĩa Cho G là một nhóm Một nhóm con H của G đượcgọi là nhóm con chuẩn tắc nếu Ha = aH với mọi a ∈ G.

Cho H là nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G Kí hiệu G/H là tậpcác lớp ghép trái của H trong G Khi đó quy tắc nhân

HaHb = Hab với mọi Ha, Hb ∈ G/H

là một phép toán trên G/H, và cùng với phép toán này, G/H làm thànhmột nhóm Nhóm G/H xác định như trên được gọi là nhóm thương củaG theo nhóm con chuẩn tắc H.

1.2.4 Định nghĩa Cho G và H là các nhóm ´Anh xạ f : G ư→ Hđược gọi là đồng cấu nhóm nếu f(xy) = f (x)f (y) với mọi x, y ∈ G.Một đồng cấu nhóm được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu nó làđơn ánh (toàn ánh, song ánh) Hai nhóm G và H được gọi là đẳng cấuvới nhau, viết là G ∼= H, nếu có một đẳng cấu giữa G và H.

• Một số tính chất:

- Hợp thành của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm.

- Nếu f : G ư→ H là đồng cấu nhóm thì f (xư1) = (f (x))ư1 vàf (e) = e với mọi x ∈ G.

- Nếu f : G ư→ H là đồng cấu nhóm, A là nhóm con của G và B lànhóm con của H thì f(A) là nhóm con của H và fư1(B) là nhóm concủa G Hơn nữa, nếu B là nhóm con chuẩn tắc thì fư1(B) là nhóm conchuẩn tắc.

1.2.5 Định nghĩa Giả sử f : G ư→ H là đồng cấu nhóm Khi đó tậpKer f = {x ∈ G | f (x) = e}

là một nhóm con chuẩn tắc của G và được gọi là hạt nhân của f TậpIm f = f (G) là một nhóm con của H và được gọi là ảnh của f

1.2.6 Định lý (Định lí đồng cấu nhóm) Cho f : G ư→ H là đồngcấu nhóm Khi đó G/ Ker f ∼= Im f.

1.3 Tác động của nhóm lên tập hợp

1.3.1 Định nghĩa Cho S là một tập hợp và G là một nhóm với e là đơnvị của G Một tác động trái của G lên S là một ánh xạ G ì S ư→ Ssao cho nếu ta kí hiệu ảnh của phần tử (x, s) ∈ G ì S là xs thì ta có(i) x(ys) = (xy)s với mọi x, y ∈ G, s ∈ S.

(ii) es = s với mọi s ∈ S.

Hoàn toàn tương tự, chúng ta có khái niệm tác động phải Khi có mộttác động trái từ G lên S thì ta nói S là một Gưtập, và ảnh của phần tử(x, s) ∈ G ì S qua tác động này được kí hiệu là xs hoặc x • s Từ naytrở đi chúng ta chỉ xét các tác động trái, và để thuận tiện ta gọi chúng làcác tác động.

Ta thấy rằng nhóm G tác động lên tập S nếu và chỉ nếu với mỗi x ∈ G,có một ánh xạ từ S đến S cho ứng mỗi s ∈ S với phần tử kí hiệu làxs ∈ S sao cho x(ys) = (xy)s và es = s với mọi x, y ∈ G, s ∈ S Ta gọiphần tử xs là tác động của x lên s Với x ∈ G, ánh xạ cho ứng s ∈ Svới xs ∈ S được gọi là ánh xạ liên kết của x.

• Một số ví dụ về tác động của nhóm lên tập hợp.

- Cho G là nhóm Khi đó G tác động lên chính nó bằng phép liênhợp như sau: Với x, a ∈ G, ta dùng kí hiệu x • a cho tác động của x lêna, và đặt x • a = xaxư1 Ta gọi xaxư1 là liên hợp của a bởi x.

- Cho G là nhóm Kí hiệu S là tập các tập con của G Khi đó nhómG tác động lên tập S bằng phép nhân như sau: Với x ∈ G và H ∈ S, tadùng kí hiệu x • H cho tác động của x lên H, và đặt x • H = xH.

- Cho G là nhóm và A là nhóm con của G Nhóm con B của G đượcgọi là liên hợp với A nếu tồn tại x ∈ G sao cho B = xAxư1 Chú ý rằngnếu B liên hợp với A và C liên hợp với B thì C liên hợp với A Kí hiệuS là tập các nhóm con của G liên hợp với A Khi đó G tác động lên Sbằng cách liên hợp như sau: với mỗi x ∈ G, B ∈ S, đặt x • B = xBxư1.

1.4Công thức các lớp và Định lí Burnside

1.4.1 Bổ đề Cho G là nhóm và S là một Gưtập Với s ∈ S, đặtGs = {a ∈ G | as = s}.

Khi đó Gs là nhóm con của G.

Chứng minh Cho s ∈ S Vì es = s nên e ∈ Gs Cho x, y ∈ Gs Khi đóxs = s và ys = s Vì thế (xy)s = x(ys) = xs = s Suy ra xy ∈ Gs.Cuối cùng, cho x ∈ Gs Khi đó xs = s Vì thế

s = es = (xư1x)s = xư1(xs) = xư1s.

Suy ra xư1 ∈ Gs Vậy Gs là nhóm con của G.

Nhóm con Gs định nghĩa trong Bổ đề 1.4.1 được gọi là nhóm conđẳng hướng của G ứng với phần tử s.

1.4.2 Định nghĩa Cho G là nhóm, S là Gưtập và s ∈ S ĐặtGs = {xs | x ∈ G}.

Khi đó Gs là bộ phận của S Ta gọi Gs là quỹ đạo của s trong S.• Sau đây là một số ví dụ về nhóm con đẳng hướng và quỹ đạo.

- Xét tác động chính quy của G lên chính nó: x • a = xa, với mọix, a ∈ G Với a ∈ G, kí hiệu Ga là quỹ đạo của a Với mỗi y ∈ G tacó y = (yaư1)a ∈ Ga Do đó Ga = G Vì thế tác động này chỉ có 1 quỹđạo, đó là G Nhóm con đẳng hướng ứng với a là

Ga = {x ∈ G : xa = a} = {e}.

- Xét tác động của nhóm G lên chính nó bằng phép liên hợp: x • a =xaxư1 với mọi x, a ∈ G Với a ∈ G, quỹ đạo của a là

Ga = {x • a | x ∈ G} = {xaxư1 | x ∈ G}.Nhóm con đẳng hướng ứng với a là

Ga = {x ∈ G | xaxư1 = a} = {x ∈ G | xa = ax}.

- Kí hiệu S là tập các nhóm con của một nhóm G Xét tác động củanhóm G lên S bằng phép liên hợp: x • H = xHxư1 với mọi x ∈ G vàmọi H ∈ S Với H ∈ S, quỹ đạo của H là {xHxư1 | x ∈ G} - tập cácnhóm con liên hợp với H; nhóm con đẳng hướng của H là

GH = {x ∈ G | xH = Hx}.

1.4.3 Mệnh đề Cho G là nhóm và S là Gưtập Khi đó(i) Gs = ∅ với mọi s ∈ S.

(ii) S = 

Gs.

(iii) Gs = Gr hoặc Gs ∩ Gr = ∅ với mọi s, r ∈ S.

Chứng minh (i), (ii) Vì s = es ∈ Gs nên Gs = ∅ Suy ra S = 

Gs.(iii) Giả sử Gs ∩ Gr = ∅ Khi đó tồn tại x, y ∈ G sao cho xs = yr Suyra s = es = xư1xs = xư1yr Cho as ∈ Gs Ta có as = (axư1y)r ∈ Gr.Do đó Gs ⊆ Gr Tương tự Gr ⊆ Gs, và vì thế Gs = Gr.

Mệnh đề 1.4.3 chỉ ra rằng tập các quỹ đạo trong S làm thành mộtphép phân hoạch trên S.

1.4.4 Định lý (Công thức các lớp) Cho G là nhóm, S là Gưtập vàs ∈ S Kí hiệu G/Gs là tập các lớp ghép trái của nhóm con đẳng hướngGs Khi đó tương ứng f : G/Gs ư→ Gs cho bởi f (xGs) = xs là mộtsong ánh Giả thiết thêm rằng S là một tập hữu hạn Khi đó chỉ số củaGs chính là số phần tử của quỹ đạo Gs Hơn nữa, nếu Gs1, , Gst làcác quỹ đạo đôi một rời nhau trong S thì

1.4.5 Định lý (Định lí Burnside) Giả sử một nhóm hữu hạn G tácđộng lên một tập hữu hạn X Với mỗi g ∈ G, kí hiệu f(g) là số phầntử của X cố định qua tác động của g, tức là số phần tử của tập hợp{x ∈ X : gx = x} Khi đó số quỹ đạo của tác động là

1(G : e)

f (g).Người ta gọi 1

(G : e)

f (g) là số điểm cố định trung bình qua tácđộng của các phần tử của G Theo định lí trên, số quỹ đạo của tác độngchính là số điểm cố định trung bình.

Chứng minh Chúng ta dùng một kĩ thuật chuẩn tắc của tổ hợp gọi là “kĩthuật tính toán theo 2 cách” để chứng minh Gọi T là tập các cặp sắpthứ tự (g, x) sao cho g ∈ G, x ∈ X và gx = x Với mỗi x ∈ X, số cácphần tử g ∈ G sao cho (g, x) ∈ T chính là cấp của nhóm con đẳng hướngGx của x Vì thế ta có

(Gx : e)(G : e) =

1(G : e)

(Gx : e)

(G : e) + +

(Gx : e)(G : e) .

Với mỗi i = 1, , t, theo Định lí 1.4.4, tổng

(Gx : e)

(G : e) bao gồmCard(Gxi) số hạng, mỗi số hạng đều bằng 1

Card(Gxi) Vì thế

(Gx : e)(G : e) = 1với mọi i = 1, , t Suy ra

(Gx : e)(G : e) = t.

Một số ứng dụng vào số học

2.1 Một số ứng dụng đơn giản

Nhận xét mở đầu Giả sử p là số nguyên tố Khi đó Z∗

p = {1, , p ư 1}là một nhóm với phép nhân các lớp thặng dư theo môđun p Vì nghịchđảo của hai phần tử khác nhau trong Z∗

p là khác nhau nên ta luôn có{1ư1, 2ư1, , (p ư 1)ư1} = {1, 2, , p ư 1}.

Bây giờ ta áp dụng nhận xét này để chứng minh một số bài toán vềsố học liên quan đến số nguyên tố, được thể hiện qua các mệnh đề sau.2.1.1 Mệnh đề Cho p > 2 là một số nguyên tố Viết biểu thức

11 +

2 + +1p ư 1

dưới dạng phân số tối giản a/b Khi đó p là ước của a.Chứng minh Theo nhận xét trên, trong Zp ta có

11 +

2 + +1p ư 1 =

1 + 2 + + n = n(n + 1)2 .

Cho k > 1 là số tự nhiên và p là số nguyên tố Nếu

2.1.2 Mệnh đề Cho p là số nguyên tố Giả sửa

b =112 + 1

22 + + 1(p − 1)2

ab = 1

13 + 1

23 + + 1(p − 1)3,trong đó a/b và a/b là những phân số tối giản Khi đó

i) Nếu p > 3 thì p là −ớc của a.ii) Nếu p > 2 thì p là −ớc của a.

Chứng minh (i) Theo nhận xét trên, trong Zp ta có1

i2 = 0 ∈ Zp Do đó p là −ớc của a.

(ii) Tương tự ta có1

i3 = 0 ∈ Zp Vì thế p là ước củaa.

Nhận xét trên có thể sử dụng để chứng minh kết quả sau đây.

2.1.3 Mệnh đề (Định lí Wilson) Số tự nhiên p là số nguyên tố nếu vàchỉ nếu (p ư 1)! ≡ ư1 (mod p).

Chứng minh Cho p nguyên tố Nếu p = 2 thì (2 ư 1)! ≡ ư1 (mod 2).Cho p > 2 Khi đó p lẻ Trong nhóm nhân Z∗

p = {1, , p ư 1}, nghịchđảo của 1 là 1, nghịch đảo của p ư 1 là p ư 1 Hơn nữa, nghịch đảo của akhác a với 1 < a < p ư 1 Thật vậy, nếu ngược lại ta có a2 ≡ 1 (mod p),do đó p là ước của a2ư 1 = (a ư 1)(a + 1), điều này là vô lí Như vậy tacó thể nhóm p ư 3 phần tử {2, , p ư 2} của Z∗

p thành (p ư 3)/2 cặp,mỗi cặp là nghịch đảo của nhau Suy ra 2 (p ư 2) = 1 ∈ Z∗

p Do đó(p ư 1)! = 2 (p ư 2)(p ư 1) ≡ 1.(p ư 1) ≡ ư1 (mod p).

Ngược lại, giả sử (p ư 1)! ≡ ư1 (mod p) Giả sử p không nguyên tố.Gọi a là một ước thực sự của p Khi đó 1 < a < p Do đó a là ước của(p ư 1)! Vì (p ư 1)! + 1 là bội của p nên nó là bội của a Lại do a làước của (p ư 1)! nên a là ước của 1, điều này là vô lí.

Chú ý rằng nhóm con của một nhóm xyclic là xyclic Từ nhận xétnày ta có thể chứng minh kết quả sau đây.

2.1.4 Bổ đề Cho a1, , an là các số tự nhiên không đồng thời bằng0 Giả sử d = gcd(a1, , an) Khi đó tồn tại các số nguyên x1, , xn

sao cho d = a1x1 + + anxn.

Chứng minh Đặt H = {a1x1+ a2x2+ + anxn | xi ∈ Z, ∀i} Khi đóH là nhóm con của nhóm cộng Z Vì Z xylic nên H là xyclic, tức làH = tZ với t ∈ N Ta khẳng định t = gcd(a1, , an) Vì

ai = 0a1 + + 0aiư1+ 1ai + 0ai+1+ + 0an

nên ai ∈ H = tZ, suy ra ai chia hết cho t với mọi i = 1, , n Giả sửr là một ước chung của a1, , an Vì t ∈ H nên t biểu diễn được dướidạng t = a1x1 + + anxn, trong đó x1, , xn ∈ Z Do xi chia hếtcho t với mọi i = 1, , n nên t chia hết cho r Vậy t là ước chung lớnnhất của các ai Suy ra d = t Do đó ta có kết quả.

2.1.5 Mệnh đề (Định lí Bezout) Các số nguyên a1, , an là nguyêntố cùng nhau nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên x1, , xn sao cho

1 = a1x1 + + anxn.

Chứng minh Đặt H = {a1x1+ a2x2+ + anxn | xi ∈ Z, ∀i} Theo bổđề trên, H = dZ với d = gcd(a1, , an) Nếu d = 1 thì H = Z Do đó1 ∈ H, vì thế 1 có biểu diễn 1 = a1x1 + + anxn với x1, , xn ∈ Z.Ngược lại, nếu có biểu diễn 1 = a1x1+ + anxn thì 1 ∈ H = dZ Suyra d = 1.

2.2 Một số ứng dụng của Định lí Lagrange

Trong tiết này, chúng ta sử dụng Định lí Lagrange phát biểu ở Chương Iđể chứng minh một số kết quả trong số học.

2.2.1 Mệnh đề (Định lí Fermat bé) Cho p là một số nguyên tố và alà một số nguyên Khi đó ap ≡ a (mod p).

2.2.2 Mệnh đề (Định lí Euler) Cho m > 1 là một số tự nhiên và alà một số nguyên nguyên tố cùng nhau với m Kí hiệu ϕ là hàm Euler.Khi đó aϕ(m) ≡ 1 (mod m).

Chứng minh Xét nhóm nhân Z∗

m các lớp thặng dư theo môđun m nguyêntố cùng nhau với m Nhóm này có cấp ϕ(m) Vì gcd(a, m) = 1 nêna ∈ Z∗m Trong nhóm Z∗m, áp dụng Định lí Lagrange ta có aϕ(m) = 1, tứclà aϕ(m) ≡ 1 (mod m).

Cho G = (a) là nhóm xyclic cấp n Khi đó phần tử ak là phần tửsinh của G nếu và chỉ nếu gcd(n, k) = 1 Vì thế G có đúng ϕ(n) phầntử sinh, trong đó ϕ là hàm Euler Hơn nữa, nếu d là một ước của n thì Gcó duy nhất một nhóm con cấp d, đó là nhóm con sinh bởi phần tử an/d.

Ap dụng Định lí Lagrange kết hợp với nhận xét này, ta có “đồng nhấtEuler” sau đây.