Luận văn thạc sỹ toán học 6

Luận văn thạc sỹ toán học 6

Mở đầuI Lí do chọn đề tài

1.1 Đào tạo những ngời lao động phát triển toàn diện, có t duy sáng tạo,

có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trớcyêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hoá - hiện đại hoá gắn với phát triển nền kinhtế trí thức và xu hớng toàn cầu hoá là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáodục nớc ta hiện nay Để thực hiện đợc nhiệm vụ đó sự nghiệp giáo dục cần đ-ợc đổi mới Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới cănbản về t duy giáo dục và phơng pháp dạy học, trong đó phơng pháp dạy họcmôn Toán là một yếu tố quan trọng Một trong những nhiệm vụ và giải pháplớn về giáo dục đợc đề ra trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ X của Đảnglà: "Nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện Đổi mới cơ cấu, tổ chức, nội dung,phơng pháp dạy và học theo hớng ‘‘chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hội hoá” Pháthuy trí sáng tạo, khả năng vận dụng, thực hành của ngời học Đề cao tráchnhiệm của gia đình, nhà trờng và xã hội" [43, tr 58].

1.2 ''Lí luận liên hệ với thực tiễn'' là một yêu cầu có tính nguyên tắc trong

dạy học môn Toán đợc rút ra từ luận điểm triết học: ''Thực tiễn là nguồn gốccủa nhận thức, là tiêu chuẩn của chân lí'' Chủ tịch Hồ Chí Minh đã viết:"Thống nhất giữa lí luận và thực tiễn là một nguyên tắc căn bản của chủ nghĩaMác - Lênin Thực tiễn không có lí luận hớng dẫn thì thành thực tiễn mù quáng.Lí luận mà không liên hệ với thực tiễn là lí luận suông" [52, tr 66] Trong lĩnhvực Giáo dục và Đào tạo, Bác là ngời có quan điểm và hành động chiến lợc vợttầm thời đại Về mục đích việc học Bác xác định rõ: học để làm việc Còn vềphơng pháp học tập Ngời xác định: Học phải gắn liền với hành; học tập suốt

đời; học ở mọi nơi, mọi lúc, mọi ngời Quan điểm này đợc Ngời nhấn mạnh:

"Học để hành: Học với hành phải đi đôi Học mà không hành thì vô ích Hànhmà không học thì không trôi chảy" Vấn đề này đã đợc cụ thể hoá và quy địnhtrong Luật giáo dục nớc ta (năm 2005) Tại chơng 1, điều 3, khoản 2: ''Hoạtđộng giáo dục phải đợc thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáodục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhàtrờng kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội'' Chơng 2, mục 2, điều27 và 28 xác định rằng: "Giáo dục trung học phổ thông nhằm giúp học sinh ,có điều kiện phát huy năng lực cá nhân để lựa chọn hớng phát triển, tiếp tục họcđại học, cao đẳng, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động'' "Ph-ơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi d-

ỡng phơng pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận

dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứngthú học tập cho học sinh"

1.3 Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là "chìa khoá" trong hầu hết các

hoạt động của con ngời Nó có mặt ở khắp nơi Toán học là kết quả của sự trừutợng hoá các sự vật hiện tợng trong thực tiễn trên những bình diện khác nhau vàcó vai trò rất quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổthông Mặc dù là ngành khoa học có tính trừu tợng cao nhng Toán học có mốiliên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có thể ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vựckhác nhau: là công cụ để học tập các môn học trong nhà trờng, nghiên cứu nhiềungành khoa học và là công cụ để hoạt động trong sản xuất và đời sống thực tế.Trong th gửi các bạn trẻ yêu toán, thủ tớng Phạm Văn Đồng đã nhấn mạnh: "Dùcác bạn phục vụ ở nghành nào, trong công tác nào, thì các kiến thức và phơngpháp toán cũng cần cho các bạn" [7, tr 14] ''Toán học có vai trò quan trọngtrong khoa học công nghệ cũng nh trong đời sống'' [19, tr 50]

1.4 Mặc dù vậy, do nhiều lí do khác nhau mà SGK Toán phổ thông nói

chung, sách Đại số và Giải tích 11; Giải tích 12 (chỉnh lí hợp nhất năm 2000)nói riêng, cha thực sự quan tâm đúng mức, thờng xuyên tới việc làm rõ mốiliên hệ với thực tiễn ngoài Toán học, nhằm bồi dỡng cho học sinh ý thức vànăng lực vận dụng những hiểu biết Toán học vào việc học tập các môn họckhác, giải quyết nhiều tình huống đặt ra trong cuộc sống lao động sản xuất.

Bên cạnh đó, thực trạng dạy học Toán ở trờng phổ thông cho thấy rằng,đa số giáo viên chỉ quan tâm tới việc truyền thụ lí thuyết, thiếu thực hành vàliên hệ kiến thức với thực tiễn Học sinh ''đang học Toán chỉ giới hạn trongphạm vi bốn bức tờng của lớp học, thành thử không để ý đến những tơng quanToán học quen thuộc trong thế giới những sự vật hiện tợng xung quanh, không

biết ứng dụng những kiến thức Toán học đã thu nhận đợc vào thực tiễn'' [33,

tr 5] Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn thì coi đây là kiểu ''Dạy và học toán tách rờicuộc sống đời thờng''

1.5 Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học và nội dung sách giáo khoa

của Bộ giáo dục và Đào tạo đã xác định rõ: Cần dạy học theo cách sao cho họcsinh có thể nắm vững tri thức, kỉ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Tạo cơsở để học sinh học tiếp hoặc đi vào cuộc sống lao động Sách giáo khoa cần chúý nêu rõ ý nghĩa và ứng dụng của các kiến thức, chú ý mối quan hệ liên môn.

Gần đây đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề này,trong đó phải kể đến:

- Nguyễn Ngọc Anh (2000), ứng dụng phép tính vi phân (Phần đạo hàm)để giải các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế trong dạy học toán 12trung học phổ thông, Luận án Tiến sỹ Giáo dục học, Viện khoa học giáo dục, Hà

- Nguyễn Văn Bảo (2005), Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lựcvận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực

tiễn, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học, trờng Đại học Vinh.

- Bùi Huy Ngọc (2003), Tăng cờng khai thác nội dung thực tế trong dạyhọc Số học và Đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng Toán học vào thựctiễn cho học sinh Trung học cơ sở, Luận án Tiến sỹ Giáo dục học, Trờng Đại

học Vinh, Vinh.

Luận văn này trên cơ sở kế thừa, phát triển và cụ thể hoá những kết quảnghiên cứu của các tác giả đi trớc, nhằm tìm hiểu để làm sáng tỏ thêm việc tăngcờng liên hệ các kiến thức Giải tích ở trờng Trung học phổ thông với thực tiễn.

Vì những lí do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là:

"Tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy họcmột số chủ đề Giải tích ở trờng trung học phổ thông".

II Mục đích nghiên cứu

Mục đích của Luận văn là tìm hiểu mối liên hệ của một số kiến thức Giảitích trong chơng trình Toán phổ thông với thực tiễn và vận dụng vào đổi mớiPhơng pháp dạy học, nhằm góp phần nâng cao chất lợng giáo dục Toán họccho học sinh Trung học phổ thông

III Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Tổng hợp các quan điểm của các nhà khoa học liên quan đến vấn

đề tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong dạy Toán nói chung và dạy học Giảitích nói riêng.

3.2 Nghiên cứu kĩ nội dung các SGK Đại số và Giải tích 11; Giải tích 12

hiện hành và các tài liệu tham khảo có liên quan để làm rõ những nội dung cómối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn

3.3 Tìm hiểu thực trạng và nguyên nhân của việc dạy và học môn Giải

tích ở trờng Trung học phổ thông theo hớng nghiên cứu của đề tài

3.4 Xây dựng một số biện pháp tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong quá

trình dạy học Giải tích lớp 11 và 12 nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học.

3.5 Tiến hành tổ chức thực nghiệm s phạm để đánh giá tính khả thi của

một số phơng án dạy học môn Giải tích nhằm điều chỉnh và rút ra kết luận.

IV Giả thuyết khoa học

Giả thuyết khoa học của đề tài là: trên cơ sở tôn trọng sách giáo khoa

hiện hành, nếu giáo viên chú ý đến việc tăng cờng liên hệ với thực tiễn trongquá trình dạy học thì sẽ góp phần nâng cao chất lợng học tập môn Giải tích ở

nhà trờng phổ thông và góp phần đào tạo những ngời lao động đáp ứng yêucầu của đất nớc trong giai đoạn hội nhập hiện nay.

V Phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu toán học;

ph-ơng pháp dạy học môn Toán và các tài liệu khác liên quan đến đề tài.

5.2 Quan sát: Quan sát thực trạng dạy và học môn Toán nói chung và

phân môn Giải tích nói riêng ở trờng phổ thông ở một số địa phơng.

5.3 Thực nghiệm s phạm: Tổ chức thực nghiệm s phạm để xem xét tính

khả thi và hiệu quả của việc tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong dạy học Giảitích ở trờng phổ thông.

VI Những đóng góp của luận văn

6.1 Góp phần làm rõ tầm quan trọng của việc rèn luyện cho học sinh ý

thức tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học.

6.2 Làm rõ sự phản ánh thực tiễn, nguồn gốc thực tiễn và các ứng dụng

trong thực tiễn của một số vấn đề Giải tích.

6.3 Đề xuất một số quan điểm cơ bản nhằm làm cơ sở đa ra một số biện

pháp tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Giải tích.

6.4 Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành

S phạm Toán và giáo viên Toán ở trờng Trung học phổ thông.

VII Cấu trúc luận vănMở đầu

I Lí do chọn đề tàiII Mục đích nghiên cứuIII Nhiệm vụ nghiên cứu

IV Giả thuyết khoa học V Phơng pháp nghiên cứuVI Đóng góp của Luận văn

Chơng 1: Một số vấn đề cơ sở lí luận và thực tiễn1.1 Về phạm trù thực tiễn

1.2 Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn trong dạy học Toán1.3 Mục đích của việc tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy

học Toán ở trờng Trung học phổ thông

1.4 Cơ sở thực tiễn1.5 Kết luận chơng 1

Chơng 2: Dạy học môn Giải tích ở trờng phổ thông theo hớng tăng ờng liên hệ với thực tiễn

c-2.1 Sơ lợc về lịch sử hình thành và phát triển của một số vấn đề Giải tích2.2 Tiềm năng của một số chủ đề Giải tích trong việc rèn luyện cho học

sinh năng lực liên hệ với thực tiễn

2.3 Một số biện pháp s phạm nhằm tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong

quá trình dạy học Giải tích

2.4 Kết luận chơng 2

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm3.1 Mục đích thực nghiệm3.2 Tổ chức thực nghiệm3.3 Nội dung thực nghiệm

3.4 Phân tích kết quả thực nghiệm3.5 Kết luận chung về thực nghiệmKết luận

Tài liệu tham khảo

Chơng 1

Một số vấn đề Cơ sở lí luận và thực tiễn

Trong chơng này chúng tôi sẽ trình bày ngắn gọn một số lí luận và hoạtđộng thực tiễn liên quan đến vấn đề "Tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong dạyhọc Toán" nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu chơng 2 Cụ thể sẽ làm rõ:

 Triết học quan niệm về thực tiễn nh thế nào?

 Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn và việc vận dụng vàoquá trình dạy học Toán.

 Tại sao phải tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong dạy học Toán?

 Làm rõ thực trạng dạy học và nội dung các SGK theo hớng nghiên cứucủa đề tài.

1.1 Về phạm trù thực tiễn

1.1.1 Thuật ngữ thực tiễn trong một số tài liệu ngôn ngữ khoa học

Theo Từ điển Tiếng Việt: 'Thực tiễn'' là ''những hoạt động của con ngời,trớc hết là lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sựtồn tại của xã hội (nói tổng quát)'' [56, tr 974].

Còn Từ điển học sinh thì định nghĩa: "Thực tiễn" là "toàn bộ những hoạtđộng của con ngời để tạo ra những điều kiện cần thiết cho đời sống xã hội baogồm các hoạt động sản xuất, đấu tranh giai cấp và thực nghiệm khoa học:không có thực tiễn thì không có lí luận khoa học" [31, tr 575]

1.1.2 Phạm trù thực tiễn trong Triết học

Phạm trù thực tiễn đã đợc Lútvích Phoiơbắc - nhà duy vật lớn nhất trớc

Mác đề cập đến Song ông không nhận thức đợc ''hoạt động cảm giác của con

ngời là thực tiễn'' nên còn quá coi trọng hoạt động lí luận và cha thấy hết đợcvai trò, ý nghĩa của thực tiễn đối với nhận thức của con ngời.

Các nhà duy tâm cũng chỉ hiểu thực tiễn nh là hoạt động tinh thần chứ

không hiểu nó nh là hoạt động hiện thực, hoạt động vật chất cảm tính của conngời Ngay cả Hêghen - nhà triết học duy tâm lớn nhất trớc Mác, mặc dù đã cónhững t tởng hợp lí sâu sắc (bằng thực tiễn, chủ thể tự ''nhân đôi'' mình, đối t-ợng hoá bản thân mình trong quan hệ với thế giới bên ngoài [52, tr 53] ) nhng

cũng chỉ giới hạn thực tiễn ở ý niệm, ông cho rằng thực tiễn là một ''suy lí

Kế thừa những yếu tố hợp lí, chỉ rõ và khắc phục những thiết sót trongquan điểm của các nhà triết học đi trớc Mác và ăngghen đã đem lại một quan

niệm đúng đắn, khoa học về thực tiễn: ''Thực tiễn là những hoạt động vật chất

''cảm tính'', có mục đích, có tính lịch sử xã hội của con ngời, nhằm cải tạo tự

nhiên và xã hội'' [52, tr 54].

Nh vậy, thực tiễn không phải bao gồm toàn bộ hoạt động của con ngời

mà chỉ là những hoạt động vật chất - hoạt động đặc trng, có mục đích, có ýthức, năng động, sáng tạo Hoạt động này có sự thay đổi qua các giai đoạnlịch sử khác nhau và đợc tiến hành bởi đông đảo quần chúng nhân dân trong

xã hội Con ngời sử dụng các phơng tiện, công cụ vật chất, sức mạnh vật chấtcủa mình tác động vào tự nhiên, xã hội để làm biến đổi chúng trong hiện thựccho phù hợp với nhu cầu của mình và làm cơ sở để biến đổi hình ảnh sự vật

trong nhận thức ''Thực tiễn trở thành mắt khâu trung gian nối liền ý thức con

ngời với thế giới bên ngoài'' [52, tr 55] Con ngời và xã hội loài ngời sẽ không

thể tồn tại và phát triển đợc nếu không có hoạt động thực tiễn (mà dạng cơbản đầu tiên và nguyên thuỷ nhất là hoạt động sản xuất vật chất) ''Thực tiễn là

phơng thức tồn tại cơ bản của con ngời và xã hội, là phơng thức đầu tiên và chủyếu của mối quan hệ giữa con ngời với thế giới'' [52, tr 55].

1.2 Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn trong dạy học Toán

1.2.1 Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn

Giữa lý luận và thực tiễn có mối quan hệ biện chứng với nhau, tác độngqua lại lẫn nhau Việc quán triệt mối quan hệ này có ý nghĩa quan trọng trongnhận thức khoa học và hoạt động thực tiễn cách mạng Con ngời quan hệ vớithế giới bắt đầu từ thực tiễn Lý luận là hệ thống sản phẩm tri thức đợc kháiquát từ thực tiễn nhờ sự phát triển cao của nhận thức

Thực tiễn là cơ sở, mục đích và động lực chủ yếu của nhận thức, lý luận.Thực tiễn cung cấp tài liệu cho nhận thức, không có thực tiễn thì không cónhận thức Mọi tri thức khoa học dù trực tiếp hay gián tiếp thì xét đến cùngđều bắt nguồn từ thực tiễn Nhận thức, lý luận sau khi ra đời phải quay vềphục vụ thực tiễn, hớng dẫn và chỉ đạo thực tiễn Ngợc lại, thực tiễn là công cụxác nhận, kiểm nghiệm tri trức thu đợc là đúng hay sai, chân lý hay sai lầm vànghiêm khắc chứng minh chân lý, bác bỏ sai lầm - "Thực tiễn là tiêu chuẩncủa chân lý" Cần coi trọng thực tiễn Việc nhận thức phải xuất phát từ thựctiễn, dựa trên cơ sở thực tiễn, đi sâu đi sát thực tiễn, nghiên cứu lý luận phảiliên hệ với thực tiễn, "học đi đôi với hành" Tuy nhiên không có nghĩa là coinhẹ, xa rời lý luận Chủ tịch Hồ Chí Minh đã viết: "Thống nhất giữa lí luận vàthực tiễn là một nguyên tắc căn bản của chủ nghĩa Mác - Lênin Thực tiễnkhông có lí luận hớng dẫn thì thành thực tiễn mù quáng Lí luận mà khôngliên hệ với thực tiễn là lí luận suông" [52, tr 66]

1.2.2 Một số quan điểm về vấn đề liên hệ với thực tiễn trong dạy học

Trong lĩnh vực Giáo dục và Đào tạo, Chủ tịch Hồ Chí Minh là ngời cóquan điểm và hành động chiến lợc vợt tầm thời đại Về mục đích việc học Bác

xác định rõ: Học để giúp dân cứu nớc; học để làm việc Còn về phơng pháp họctập (là một nội dung của mục đích học) Ngời xác định: Học phải gắn liền với

hành; học tập suốt đời; học ở mọi nơi, mọi lúc, mọi ngời Quan điểm này đợc

Ngời nhấn mạnh: "Học để hành: Học với hành phải đi đôi Học mà không hànhthì vô ích Hành mà không học thì không trôi chảy" [37, tr 2-3-5] Đồng chíTrờng Chinh cũng đã nêu: "dạy tốt là khi giảng bài phải liên hệ với thựctiễn, làm cho học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và có thể áp dụng điều mình đã học vàocông tác thực tiễn đợc"

Còn theo Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn, trong dạy học không nên đi theocon đờng sao chép lí luận ở đâu đó rồi nhồi cho ngời học, vì học nh vậy làkiểu học sách vở Nên theo con đờng có một lí luận hớng dẫn ban đầu rồi bắttay hoạt động thực tiễn, dùng thực tiễn này mà củng cố lí luận, kế thừa cóphê phán lí luận của ngời khác, rồi lại hoạt động thực tiễn, cứ thế theo mốiquan hệ qua lại giữa lí luận và thực tiễn mà đi lên.

1.2.3 Nguyên lý giáo dục và định hớng tăng cờng liên hệ với thực tiễn

trong dạy học môn Toán

1.2.2.1 Nguyên lý giáo dục

Luật Giáo dục nớc ta (năm 2005) xác định: ''Hoạt động giáo dục phải đợcthực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao độngsản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trờng kết hợp với giáodục gia đình và giáo dục xã hội''

1.2.2.2 Định hớng tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn Toán

Toán học là môn học có tính trừu tợng cao Tuy nhiên, Toán học cónguồn gốc thực tiễn nên tính trừu tợng chỉ che lấp chứ không hề làm mất đitính thực tiễn của nó Với vai trò là môn học công cụ nên các tri thức, kĩ năngvà phơng pháp làm việc của môn Toán đợc sử dụng cho việc học tập các mônhọc khác trong nhà trờng, trong nhiều ngành khoa học khác nhau và trong đờisống thực tế Chẳng hạn, trong Vật lí chúng ta gặp mối liên hệ giữa quảng đ-ờng đi đợc s và thời gian t trong một chuyển động đều biểu thị bởi: s = vt, mốiliên hệ giữa hiệu điện thế U và cờng độ dòng điện I khi điện trở R không đổibiểu thị bởi: U = I.R; trong Hình học chúng ta gặp mối liên hệ giữa chu vi Cvà bán kính R của đờng tròn biểu thị bởi: C = 2R; trong Hóa học chúng tagặp mối liên hệ giữa phân tử gam M của một chất khí với tỉ khối d của chấtkhí đó đối với không khí biểu thị bởi: M = 29d; mối quan hệ giữa giá tiền pvới chiều dài n của tấm vải biểu thị bởi: p = a.n;… Bằng cách trừu t Bằng cách trừu tợng hóa,gạt ra một bên các đại lợng cụ thể và chỉ chú ý tới quan hệ của các đại lợngđó, chúng ta có hàm số y = a.x.

Do vậy, có thể nói rằng, môn Toán có nhiều tiềm năng liên hệ với thựctiễn trong dạy học Theo [19, tr 71] thì liên hệ với thực tiễn trong quá trìnhdạy học Toán là một trong ba phơng hớng thực hiện Nguyên lí giáo dục nóitrên Cụ thể là cần liên hệ với thực tiễn qua các mặt sau:

1) Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: số tự nhiên ra đời do nhu cầu

đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụtbên bờ sông Nil (Ai cập), … Bằng cách trừu t

2) Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: khái niệm véctơ phản ánh những

đại lợng đặc trng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hớng, chẳng hạn vậntốc, lực,… Bằng cách trừu t khái niệm đồng dạng phản ánh những hình đồng dạng nhng khácnhau về độ lớn… Bằng cách trừu t trong Toán học có chứng minh thuận, chứng minh đảo thìtrong cuộc sống ta thờng khuyên nhau: "nghĩ đi rồi phải nghĩ lại", "có qua cólại", "sống phải có trớc có sau", … Bằng cách trừu t

3) Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: ứng dụng lợng giác để đo

khoảng cách không tới đợc, đạo hàm đợc ứng dụng để tính vận tốc tức thời,tích phân đợc ứng dụng để tính diện tích, thể tích… Bằng cách trừu t Muốn vậy, cần quan tâmtăng cờng cho học sinh tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tiễn trongkhi học lí thuyết cũng nh làm bài tập.

- Trong nội bộ môn Toán, cần cho học sinh làm toán có nội dung thựctiễn nh giải bài toán bằng cách lập phơng trình, bài toán cực trị, đo khoảngcách không tới đợc… Bằng cách trừu t

- Cần cho học sinh vận dụng những tri thức và phơng pháp Toán học vàonhững môn học trong nhà trờng, chẳng hạn vận dụng véctơ để biểu thị lực, vậntốc, gia tốc, vận dụng đạo hàm để tính vận tốc tức thời trong Vật lí, vận dụngtổ hợp xác suất khi nghiên cứu di truyền, vận dụng tri thức về hình học khônggian trong vẽ kĩ thuật… Bằng cách trừu t

- Tổ chức những hoạt động thực hành toán học trong và ngoài nhà trờngkể cả những hoạt động có tính chất tập dợt nghiên cứu bao gồm khâu đặt bàitoán, xây dựng mô hình, thu thập dữ liệu, xử lí mô hình để tìm lời giải, đốichiếu lời giải với thực tế để kiểm tra và điều chỉnh [16, tr 53].

Tất cả những hoạt động trên cần dẫn tới hình thành phẩm chất luôn luônmuốn ứng dụng tri thức và phơng pháp Toán để giải thích, phê phán và giảiquyết những sự việc xảy ra trong đời sống Chẳng hạn, khi nhìn thấy một sốghi ở một cột bên lề đờng, có thể học sinh cha biết đợc số đó chỉ cái gì Chínhý thức và phong cách vận dụng Toán học sẽ thôi thúc họ xem xét sự biến thiên

của các số trên các cột để giải đáp điều đó Tác giả Trần Kiều cho rằng: "HọcToán trong nhà trờng phổ thông không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các côngthức, định lý, phơng pháp thuần túy mang tính lí thuyết , cái đầu tiên và cáicuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới là hiểu đợc nguồn gốc thực tiễncủa Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụngToán học vào cuộc sống" [21, tr 3 - 4] "Loại trừ những ứng dụng khỏi Toánhọc chẳng khác gì đi tìm một thực thể sống chỉ từ một hài cốt, không bắp thịt,không thần kinh, không mạch máu" [6, tr 31] Tuy nhiên, trớc hết học sinhcần đợc trang bị cho một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ năng, phơngpháp Toán học phổ thông một cách có hệ thống, cơ bản, hiện đại, sát thực tiễnViệt Nam theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp.

1.3 Mục đích của việc tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong quá trìnhdạy học Toán ở trờng Trung học phổ thông

1.3.1 Tăng cờng liên hệ với thực tiễn góp phần hoàn thành mục tiêu,nhiệm vụ dạy học bộ môn Toán ở trờng phổ thông trong giai đoạn hiện nay

Trớc hết ta đề cập đến mục tiêu chung của của giáo dục nớc ta đã đợcquy định trong Luật Giáo dục (năm 2005): "Mục tiêu của giáo dục phổ thônglà giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ vàcác kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo,hình thành nhân cách con ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng t cách vàtrách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộcsống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc" (Điều 27) Nói mộtcách tổng quát, mục tiêu của nhà trờng phổ thông nớc ta là hình thành nhữngcơ sở ban đầu và trọng yếu của con ngời mới phát triển toàn diện phù hợp vớiyêu cầu và điều kiện, hoàn cảnh của đất nớc Việt Nam.

Hiện nay, thế giới đã bớc vào kỉ nguyên kinh tế tri thức và toàn cầu hóacùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, đặc biệt là lĩnh vựccông nghệ kỉ thuật cao Còn nớc ta, vào tháng 4 năm 2006, diễn ra Đại hộiĐảng toàn quốc lần thứ 10; ngày 07 tháng 11 năm 2006 Việt Nam trở thànhthành viên chính thức của Tổ chức Thơng mại Thế giới (WTO) và ngày 17tháng 11 năm 2006 khai mạc Diễn đàn Hợp tác Kinh tế Châu á - Thái BìnhDơng (APEC) lần thứ 14 tại Hà Nội Việt Nam đang tự tin bớc vào một kỉnguyên mới - kỉ nguyên hội nhập quốc tế và hợp tác cạnh tranh toàn cầu.

Để theo kịp với những chuyển biến to lớn trên về tình hình kinh tế vàchính trị xã hội của nớc ta cũng nh trên thế giới trong giai đoạn này - một giai

đoạn mà cạnh tranh quốc tế là cạnh tranh về con ngời Nền giáo dục phải cósứ mệnh làm sao đào tạo ra những thế hệ con ngời Việt Nam có đủ sức mạnhtrí tuệ và nhân cách để đa nớc ta hội nhập thành công và cạnh tranh thắng lợitrong môi trờng toàn cầu Giáo s Hoàng Tụy đã từng có ý kiến cho rằng: "xãhội công nghệ ngày nay đòi hỏi một lực lợng lao động có trình độ suy luận,biết so sánh phân tích, ớc lợng tính toán, hiểu và vận dụng đợc những mối quanhệ định lợng hoặc lôgic, xây dựng và kiểm nghiệm các giả thuyết và mô hìnhđể rút ra những kết luận có tính lôgic" [53, tr 5 - 6] Muốn vậy, nền giáo dụccũng phải có những thay đổi về mục tiêu, nhiệm vụ và phơng pháp dạy học.Trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ X của Đảng, một trong những nhiệmvụ và giải pháp lớn về giáo dục đợc đề ra là: "Nâng cao chất lợng giáo dụctoàn diện Đổi mới cơ cấu, tổ chức, nội dung, phơng pháp dạy và học theo h-ớng "chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hội hoá” Phát huy trí sáng tạo, khả năng vậndụng, thực hành của ngời học Đề cao trách nhiệm của gia đình, nhà trờng vàxã hội" [43, tr 58].

Trong trờng phổ thông môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức quantrọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông Đặc biệttrong giai đoạn hiện nay nó càng có vai trò và ý nghĩa quan trọng hơn, là mộtthành phần không thể thiếu của trình độ văn hóa phổ thông của con ngời mới.

1.3.1.1 Tăng cờng liên hệ với thực tiễn góp phần hoàn thiện một số tri

thức và kĩ năng toán học cần thiết cho học sinh

Trong quá trình liên hệ với thực tiễn, thông qua một yếu tố lịch sử, mộtứng dụng Toán học nào đó hoặc một mệnh đề đánh giá (chẳng hạn, "Toán họclà "chìa khóa" của hầu hết các hoạt động của con ngời".) thì hai dạng tri thức

là tri thức sự vật và tri thức giá trị đợc hình thành và hoàn thiện.

Còn thông qua các ứng dụng Toán học, học sinh sẽ đợc rèn luyện nhữngkĩ năng trên các bình diện khác nhau sau:

- Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán

- Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau.- Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống

Qua việc rèn luyện các kĩ năng trên bình diện thứ nhất và thứ hai sẽ nângcao mức độ thông hiểu tri thức Toán học cho học sinh Vì rằng muốn vậndụng đợc tri thức để làm toán thì cần phải thông hiểu nó Đồng thời, thể hiệnvai trò công cụ của Toán học đối với những khoa học khác; thể hiện mối quanhệ liên môn giữa các môn học trong nhà trờng Do vậy ngời giáo viên dạy

Toán cần có quan điểm tích hợp trong dạy học bộ môn Còn trên bình diện thứ

ba, đây là một mục tiêu quan trọng của môn Toán Cho học sinh thấy rõ mốiliên hệ giữa Toán học và đời sống Qua đây, giúp học sinh hình thành và pháttriển kĩ năng "toán học hóa tình huống thực tế"

Dựa vào sự phân tích các mục tiêu dạy học của Benjamin Bloom và cáccộng sự (Dẫn theo [19, tr 51 - 52]), quá trình liên hệ với thực tiễn trong dạyhọc Toán còn giúp học sinh phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩnăng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp lên cao thể hiện qua sơ đồ sau:

Nh vậy, việc tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong dạy học Toán đã giúphọc sinh hoàn thiện các tri thức nh tri thức phơng pháp, tri thức giá trị và rènluyện nhằm hoàn thiện một số kĩ năng nh kĩ năng ứng dụng (cả trong và ngoàimôn Toán), kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá… Bằng cách trừu t

1.3.1.2 Tăng cờng liên hệ với thực tiễn giúp hình thành và phát triển thế

giới quan duy vật biện chứng cho học sinh

Dạy học Toán theo hớng tăng cờng liênhệ với thực tiễn sẽ góp phần làm rõ mốiquan hệ biện chứng giữa Toán học và thực

tiễn: Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và trởvề phục vụ thực tiễn

Lịch sử đã cho thấy rằng, Toán học cónguồn gốc thực tiễn, chính sự phát triển của

thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với toán học Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh,phát triển và hoàn thiện các lí thuyết Toán học

Ví dụ: Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm các đồ vật Tập hợp số nguyên

đợc xây dựng để cho phép trừ luôn thực hiện đợc, hoặc các phơng trình dạng a+ x = b luôn có nghiệm Trong quá trình đo đạc nhiều khi gặp phải những đạilợng không chứa đựng một số tự nhiên hoặc do nhu cầu chia những vật ranhiều phần bằng nhau mà số biểu diễn bởi phân số đợc phát sinh Hệ thống sốhữu tỉ đợc hình thành do nhu cầu đo những đại lợng có thể xét theo hai chiềungợc nhau Hệ thống số thực đợc xây dựng do nhu cầu đo những đoạn thẳng,sao cho mỗi đoạn thẳng, kể cả những đoạn thẳng không đo đợc bằng số hữu tỉ,

Biết Thông

hiểu dụngVận Phân tích Tổng hợp Đánh giá

Phục vụXây dựng nên

Các lí thuyết Toánhọc

Thực tiễn

đều có một số đo Trong lịch sử Toán học, để giải phơng trình bậc 3 ngời ta đãphải giải phơng trình bậc 2 nh một bớc trung gian Khi xét phơng trình: x3 - x= 0 rõ ràng là có 3 nghiệm 0, 1, -1 nhng ta nhận thấy rằng phơng trình bậc 2trung gian lại có biệt số âm Việc "Không có căn bậc 2 của số âm", "Phơngtrình bậc 2 vô nghiệm khi biệt số âm" đã làm xuất hiện mâu thuẫn Nhng nếuthử chấp nhận những số mà bình phơng bằng -1 (một cách hình thức) để biểu thịnghiệm của phơng trình bậc hai trung gian thì cuối cùng cũng đi đến ba nghiệmcủa phơng trình bậc 3 nói trên Thực tế này gợi ra việc cần phải mở rộng tập sốthực, đa thêm vào cả những số mà bình phơng bằng số âm, đi đến tập hợp sốphức.

Nh vậy, học sinh sẽ hình thành đợc quan điểm duy vật về nguồn gốcToán học, thấy rõ Toán học không phải là một sản phẩm thuần tuý của trí tuệmà đợc phát sinh và phát triển do nh cầu thực tế cuộc sống Đồng thời cũnggiúp học sinh nghiệm ra rằng mâu thuẫn biện chứng là động lực của sự phát triển.

Ngợc lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn thúc đẩy thực tiễn pháttriển Với vai trò là công cụ, Toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do thựctiễn đặt ra Mối quan hệ biện chứng giữa lí luận và thực tiễn cũng thể hiện quacông thức nhận thức thiên tài của V I Lênin: "Từ trực quan sinh động đến tduy trừu tợng và từ t duy trừu tợng đến thực tiễn, đó là con đờng nhận thứcchân lí, con đờng nhận thức hiện thực khách quan".

Trong dạy học, theo Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn là không nên đi theo conđờng sao chép lí luận ở đâu đó rồi nhồi cho ngời học, vì học nh vậy là kiểuhọc sách vở Nên theo con đờng có một lí luận hớng dẫn ban đầu rồi bắt tayhoạt động thực tiễn, dùng thực tiễn này mà củng có lí luận, kế thừa có phêphán lí luận của ngời khác, rồi lại hoạt động thực tiễn, cứ thế theo mối quanhệ qua lại giữa lí luận và thực tiễn mà đi lên.

Ví dụ [5, tr 40]:

Khi dạy về "Số thực dơng, số thực âm" để cho học sinh dễ dàng tiếp thu

ta có thể đề cập sự liên hệ: "Một ngời A nào đó suy cho cùng, hoặc là khôngcó tiền (A không có đồng tiền nào cả) hoặc có tiền (A có một số tiền nào đó)hoặc đang nợ tiền Và nh vậy ta có thể gán số 0 với trờng hợp A không cótiền, số dơng với trờng hợp A có tiền và số âm với trờng hợp A đang nợ tiền.Lúc này thì học sinh sẽ dễ dàng tiếp nhận tính chất "Nếu a> 0, b > 0 thì a+ b> 0", "Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề "a  0"".

Với tính chất " a b a cb c

" ta có thể liên hệ nh sau:

"Bạn A có số tiền lớn hơn bạn B và bạn B lại có số tiền lớn hơn bạn C"thì bằng thực tế, học sinh dễ dàng nói đợc một cách chắc chắn rằng bạn A cósố tiền lớn hơn bạn C.

Một tính chất khá quan trọng và có nhiều ứng dụng đó là:

Có thể minh họa để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ nh sau:Gọi a, b lần lợt là số ngời của 2 nhóm A và B.

a > b: số ngời nhóm A lớn hơn số ngời nhóm B.Nh vậy:

Nếu nhân số ngời mỗi nhóm với một số tiền nào đó thì số tiền nhóm Athu đợc lớn hơn số tiền nhóm B.

Nếu nhân số ngời mỗi nhóm với một số tiền nợ nào đó thì số tiền nhómA nợ sẽ nhiều hơn số tiền nhóm B nợ.

Sau khi có sự liên hệ trên, ta cho học sinh Quy tắc:

Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dơng, ta đợc mộtbất đẳng thức cùng chiều và tơng đơng.

Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta đợc mộtbất đẳng thức trái chiều và tơng đơng.

Rõ ràng sự liên hệ trên sẽ giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và tránh đợccách dạy học "sao chép lí luận ở đâu đó rồi nhồi cho ng ời học" nh GS.Nguyễn Cảnh Toàn đã đề cập Đặc biệt rèn luyện cho học sinh thói quen liêntởng, kiểm nghiệm tính đúng đắn của các kiến thức mỗi khi sử dụng Nhờ vậy,những phẩm chất, tính cách của ngời lao động mới nh tính cẩn thận, chính xáccũng đợc hình thành và hoàn thiện.

1.3.1.3 Tăng cờng liên hệ với thực tiễn góp phần rèn luyện và phát triển

các năng lực trí tuệ

Môn Toán có tiềm năng rất lớn trong việc góp phần phát triển năng lựctrí tuệ chung cho học sinh nh t duy trừu tợng, t duy lôgic, t duy biện chứng, rènluyện các trí tuệ cơ bản nh phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa… Bằng cách trừu t, cácphẩm chất t duy nh linh hoạt, độc lập, sáng tạo… Bằng cách trừu t Chính trong quá trình dạyhọc theo hớng tăng cờng liên hệ với thực tiễn mà các năng lực trí tuệ này đợchình thành và phát triển.

d

- Các hoạt động trí tuệ cơ bản: việc tăng cờng liên hệ với thực tiễn trongdạy học môn Toán đòi hỏi học sinh phải thờng xuyên thực hiện những hoạtđộng trí tuệ cơ bản nh phân tích, tổng hợp, trừu tợng hóa, khái quát hóa, tơngtự hóa, so sánh,… Bằng cách trừu t nên có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện cho học sinhnhững hoạt động trí tuệ này Trong đó phân tích và tổng hợp là hai hoạt độngtrí tuệ cơ bản của quá trình t duy, làm nền tảng cho các hoạt động trí tuệkhác; là hai hoạt động trái ngợc nhau nhng lại là hai mặt của một quá trìnhthống nhất.

- Hình thành những phẩm chất trí tuệ nh tính linh hoạt, tính độc lập, tínhsáng tạo Việc rèn luyện cho học sinh những phẩm chất trí tuệ này có ý nghĩato lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc sống

 Tính linh hoạt: thể hiện ở khả năng phát hiện, chuyển hớng nhanh quá

trình t duy nhằm ứng dụng kiến thức Toán học để giải quyết thành công mộtvấn đề.

 Tính độc lập: thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình

xác định phơng hớng và lựa chọn kiến thức để ứng dụng giải quyết một bàitoán đặt ra trong thực tiễn, tự mình kiểm tra lại và đánh giá kết quả Tính độc

lập có liên hệ mật thiết với tính phê phán của t duy

 Tính sáng tạo: hai phẩm chất trí tuệ nói trên là những điều cần thiết,

những đặc điểm về những mặt khác nhau của t duy sáng tạo Tính sáng tạocủa t duy đợc thể hiện rõ nét ở việc biết vận dụng linh hoạt các kiến thức Toánđã đợc học ở trờng để giải quyết các vấn đề đặt ra trong thực tiễn

- Phát triển khả năng suy đoán và tởng tợng: việc liên hệ với thực tiễn sẽrèn luyện cho học sinh khả năng hình dung những đối tợng Toán học có trongcuộc sống và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời Đồng thờitạo cho học sinh ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán nh xét tơng tự, khái quáthóa, quy lạ về quen… Bằng cách trừu t trên nền tảng tri thức và kinh nghiệm nhất định.

- Khả năng t duy lôgic và sử dụng ngôn ngữ chính xác cũng đ ợc pháttriển trong hoạt động giải toán cực trị, hoặc trong vận dụng Toán học vàocác bộ môn khác

1.3.1.4 Tăng cờng liên hệ với thực tiễn nhằm giáo dục lòng yêu nớc, yêu

chủ nghĩa xã hội

Cũng nh các bộ môn khác, quá trình dạy học Toán phải là một quá trìnhthống nhất giữa dạy chữ và dạy ngời Muốn vậy cần khai thác tiềm năng đặc

thù của môn Toán so với các môn học khác để đóng góp vào việc thực hiệnmục tiêu này.

Trong quá trình dạy Toán giáo viên cần tranh thủ đa ra những số liệu vềcông cuộc xây dựng và bảo vệ Tổ quốc vào những đề toán trong trờng hợp cóthể Chẳng hạn những bài toán có nội dung thực tế giải bằng cách lập phơngtrình hoặc hệ phơng trình.

Cũng có thể khai thác một số sự kiện về lịch sử Toán học có liên quan tớitruyền thống dân tộc Chẳng hạn, trong dân gian có lu truyền quy tắc tính gầnđúng số  : "Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị", tức là "chia (chu vi) làm8 phần, bỏ đi 3 phần, còn lại 5 phần, chia đôi" Theo quy tắc này, tỉ số của đ -

ờng kính và chu vi đờng trong bằng 5

16, do đó

1.3.1.5 Tăng cờng liên hệ với thực tiễn nhằm giúp học sinh nắm vững

kiến thức cơ bản Đồng thời phát hiện, phát triển và bồi dỡng năng lực ứngdụng toán học của học sinh, góp phần tạo cơ sở để học sinh học tiếp hoặc đivào cuộc sống lao động

Tính trừu tợng là một đặc điểm rõ nét của môn Giải tích Do vậy, so vớicác vấn đề khác của toán học, học sinh thờng gặp nhiều khó khăn, chớng ngạihơn trong việc tiếp thu các vấn đề Giải tích Để làm giảm bớt sự trừu tợng vàtạo niềm vui, hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập, giáo viên nênquan tâm đến việc liên hệ với thực tiễn Xem việc tăng cờng liên hệ với thựctiễn nh là phơng tiện để truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng, bồi dỡng ý thứcvà năng lực ứng dụng Toán học

Thế giới đã bớc vào kỷ nguyên kinh tế tri thức và toàn cầu hóa với sựphát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ Giáo dục, với chức năng chuẩn bịlực lợng lao động cho xã hội, chắc chắn phải có những sự chuyển biến to lớn, t-ơng ứng với tình hình Hội đồng quốc tế về Giáo dục cho thế kỷ 21 đợcUNESCO thành lập 1993 do Jacques Delors lãnh đạo, nhằm hỗ trợ các nớctrong việc tìm tòi cách thức tốt nhất để kiến tạo lại nền giáo dục của mình vì sựphát triển bền vững của con ngời Năm 1996, Hội đồng đã xuất bản ấn phẩm

Học tập: một kho báu tiềm ẩn, trong đó có xác định "Học tập suốt đời" đợc dựa

trên bốn "trụ cột" là: Học để biết; Học để làm; Học để chung sống với nhau;Học để làm ngời "Học để làm" đợc coi là "không chỉ liên quan đến việc nắm đ-ợc những kỹ năng mà còn đến việc ứng dụng kiến thức", "Học để làm nhằm

làm cho ngời học nắm đợc không những một nghề nghiệp mà con có khả năngđối mặt đợc với nhiều tình huống và biết làm việc đồng đội" (dẫn theo [44, tr.29 - 30])

ở trờng phổ thông nớc ta trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu chủ yếu củaviệc giảng dạy Toán là hình thành và rèn luyện năng lực ứng dụng Theo NgôHữu Dũng: ứng dụng Toán học vào thực tế là một trong những năng lực toánhọc cơ bản, cần phải rèn luyện cho học sinh [9, tr 13 - 16] Đành rằng, đâykhông phải là yêu cầu chỉ của riêng môn Toán, nhng vì vai trò và vị trí quantrọng của nó - là "chìa khóa" của sự phát triển đối với nhiều ngành khoa học,công nghệ, của các ngành kinh tế quốc dân… Bằng cách trừu t Do đó, mục tiêu này đợc nhấnmạnh trong giảng dạy Toán Việc tăng cờng liên hệ với thực tiễn sẽ phát hiện,phát triển và bồi dỡng năng lực ứng dụng toán học cho học sinh Vấn đề nàycần đợc đặc biệt quan tâm ở cấp trung học phổ thông, bởi vì họ đang ở giaiđoạn chuẩn bị tham gia trực tiếp vào quá trình lao động, sản xuất của xã hội,hoặc tham gia vào các quá trình đào tạo có tính chuyên môn hóa cao hơn Rõràng đây là một trong những yếu tố góp phần thể hiện những quan điểm trêncủa UNESCO, góp phần thực hiện "học để làm" trong dạy học Toán ở trờngphổ thông nớc ta hiện nay Muốn vậy, không thể bằng cách nào tốt hơn là sựquan tâm thích đáng của giáo viên đến việc liên hệ với thực tiễn trong quátrình dạy học Trong đó, đặc biệt chú ý luyện tập các ứng dụng để giải quyếtcác bài toán trong thực tế với mức độ và phơng pháp thích hợp.

1.3.2 Tăng cờng liên hệ với thực tiễn nhằm thực hiện nguyên tắc dạyhọc vận dụng vào môn Toán

Theo [19, tr 76], hai tác giả Hà Thế Ngữ - Đặng Vũ Hoạt đã đa ra 6nguyên tắc dạy học Việc tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạyhọc toán là thực hiện nguyên tắc "đảm bảo sự thống nhất giữa lí luận và thựctiễn" Để thực hiện nguyên tắc này, [16, tr 149 - 150] đa ra các chú ý:

- Đảm bảo cho học sinh nắm vững kiến thức toán học để có thể vận dụngđúng vào thực tiễn.

- Chú trọng nêu các ứng dụng của toán học vào trong thực tiễn.

- Chú trọng đến các kiến thức toán học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.- Chú trọng rèn luyện cho học sinh có những kĩ năng toán học vững chắc.- Chú trọng công tác thực hành toán học trong nội khóa cũng nh ngoại khóa.Thực hiện các chú ý nêu trên đồng thời cũng là thực hiện tăng cờng rènluyện ý thức và kĩ năng vận dụng toán vào thực tiễn cho học sinh.

1.3.3 Tăng cờng liên hệ với thực tiễn góp phần hoàn thiện hoạt độnggợi động cơ và hoạt động củng cố

Trong quá trình dạy học bộ môn Toán, gợi động cơ là một trong nhữngkhâu quan trọng nhằm kích thích hứng thú học tập cho học sinh, làm cho việchọc tập trở nên tự giác, tích cực, chủ động Do vậy, để học sinh tiếp thu tốt cầnphải tiến hành các hoạt động gợi động cơ (gợi động cơ mở đầu, gợi động cơtrung gian, gợi động cơ kết thúc) ở các lớp dới, hình thức gợi động cơ mà cácgiáo viên thờng sử dụng nh cho điểm, khen chê, thông báo kết quả học tập chogia đình, Tuy nhiên, càng lên lớp cao, cùng với sự tr ởng thành của họcsinh, với trình độ nhận thức và giác ngộ chính trị ngày càng đợc nâng cao, thìnhững cách gợi động cơ xuất phát từ nội dung hớng vào những nhu cầu nhậnthức, nhu cầu của đời sống, trách nhiệm đối với xã hội, ngày càng trở nênquan trọng Với gợi động cơ mở đầu và gợi động cơ kết thúc trong nhiều trờnghợp có thể xuất phát từ một tình huống thực tiễn nào đó (từ đời sống hoặc từnội bộ Toán học) Thực tế cho thấy, gợi động cơ theo cách này kích thích đợchứng thú học tập cho học sinh Đối với hoạt động củng cố kiến thức cũng cóthể dùng hình thức liên hệ với thực tiễn mà cụ thể có thể cho học sinh ứngdụng kiến thức vừa học vào giải quyết một bài toán nào đó.

1.3.4 Tăng cờng liên hệ với thực tiễn góp phần rèn luyện một số thànhtố trong cấu trúc năng lực toán học của học sinh

Theo V A Cruchetxki: ''Năng lực Toán học đợc hiểu là những đặc điểmtâm lí cá nhân (trớc hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng nhữngyêu cầu của hoạt động học tập Toán học, và trong những điều kiện vững chắcnh nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cáchsáng tạo toán học với t cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tơng đốinhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toánhọc'' (dẫn theo [16])

Dựa theo quan điểm của Lý thuyết thông tin, V A Krutecxki cho rằng

Cấu trúc năng lực toán học bao gồm những thành tố sau:1) Về mặt thu nhận thông tin toán học

Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu Toán học, năng lực nắm cấutrúc hình thức của bài toán.

2) Về mặt chế biến thông tin toán học

- Năng lực t duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lợng và không gian,

hệ thống ký hiệu số và dấu Năng lực t duy bằng các ký hiệu toán học.

- Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tợng, quan hệ toán học

và các phép toán.

- Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toántơng ứng Năng lực t duy bằng các cấu trúc rút gọn.

- Tính linh hoạt của quá trình t duy trong hoạt động toán học.

- Khuynh hớng vơn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời giải.- Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phơng hớng của quá trình t

duy, năng lực chuyển từ tiến trình t duy thuận sang tiến trình t duy đảo (trongsuy luận toán học).

3) Về mặt lu trữ thông tin toán học

Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học; đặc điểmvề loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phơng pháp giải toán; nguyên tắc, đ-ờng lối giải toán).

Nh vậy, năng lực toán học có liên quan trực tiếp đến những đặc điểm tâmlí cá nhân mà trớc hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ Những điều kiệntâm lí chung, cần thiết để đảm bảo thực hiện thắng lợi hoạt động, chẳng hạnnh: khuynh hớng hứng thú; các tình trạng tâm lí; kiến thức kỹ năng, kỷ xảotrong lĩnh vực Toán học Việc rèn luyện cho học sinh ý thức liên hệ với thựctiễn mà đặc biệt là ứng dụng kiến thức Toán học vào giải quyết các bài toántrong thực tế, sẽ có tác dụng tích cực, góp phần phát triển một số thành tốtrong cấu trúc năng lực toán học cho học sinh

Chẳng hạn, đối với năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán, thì việcnắm đợc cấu trúc hình thức của bài toán thuần túy toán học không khó khănbằng việc nắm cấu trúc hình thức của bài toán thực tế tơng ứng (kiến thứcToán học bản chất của hai bài toán là nh nhau) - do bài toán thực tế liên quannhiều đến số liệu, dữ liệu, đối tợng khác nhau, tạo nên cái vỏ hình thức phongphú, đa dạng hơn Do đó, việc rèn luyện cho học sinh ý thức liên hệ với thựctiễn trong quá trình dạy học sẽ góp phần phát triển năng lực toán học này.Cũng xin nêu một ví dụ nữa, chẳng hạn, xét về năng lực khái quát nhanhchóng và rộng rãi các đối tợng, quan hệ các phép toán của Toán học: khi họcsinh làm việc với phơng trình ẩn x đối tợng của x là số, học sinh có thể kháiquát đối tợng của x là vận tốc, quảng đờng hay thời gian, Điều này có nghĩalà, giải những bài toán thực tiễn sẽ tạo điều kiện cho học sinh khái quát dễdàng hơn, góp phần phát triển năng lực này.

Trong cấu trúc năng lực toán học của V A Cruchetxki, các thành tốnăng lực có quan hệ mật thiết và ảnh hởng lẫn nhau, có tác dụng tơng hỗ, đan

xen nhau; chính vì vậy trong việc phát triển năng lực toán học ở học sinh, việcrèn luyện, phát triển năng lực này thờng liên quan đến kỹ năng, năng lực khác;chẳng hạn, năng lực nắm đợc cấu trúc hình thức của bài toán là cơ sở gópphần quan trọng cho năng lực t duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lợngvà các quan hệ không gian (nếu không nắm đợc cấu trúc hình thức của bàitoán thì năng lực t duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lợng và các quan hệkhông gian của học sinh bị hạn chế đi rất nhiều), Việc rèn luyện cho họcsinh vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn vừa nhằm hình thành, củng cốcho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, vừa phát triển năng lực t duy củahọc sinh Đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, góp phần phát triển nănglực toán học ở học sinh

1) Đối với sách giáo khoa trớc đây, rất ít thấy các bài tập và các vấn đề toánhọc gắn liền với thực tiễn Chẳng hạn, trong cuốn Đại số và Giải tích 11 (1999)chỉ tìm thấy: bài tập 8, 9, 10 (trang 10, 11); thí dụ (trang 95); bài tập 7 (trang 96)và thí dụ 4 (trang 99)

2) Sách Đại số và Giải tích 11; Giải tích 12 (chỉnh lí hợp nhất năm 2000).- Đại số và Giải tích 11[13]:

+ ở chơng I, Đ1, khi nói đến mở rộng khái niệm góc có đề cập: " Trong… Bằng cách trừu tthực tiễn còn có những góc lớn hơn 3600 Chẳng hạn bán kính OM của một bánh

xe có thể quay 4

3 vòng, 2 vòng,… Bằng cách trừu t" [13, tr 6].

Cũng trong Đ1 có bài tập 8 [13, tr 12] gắn liền với thực tiễn.

+ Trong chơng III, Đ3 có nêu ra một ví dụ về cấp số cộng gần với thựctiễn [13, tr 98].

Cũng trong Đ3, ở phần bài tập có 1 bài "trồng cây theo hình tam giác"ở trang 100.

Còn trong Đ4, có đa vào một ví dụ về cấp số nhân - "phần thởng củahoàng tử ấn Độ Xiram cho ngời phát minh ra trò chơi cờ vua" ở trang 103

- Giải tích 12 hiện hành [26]:

+ Chơng I, Đ1, trang 1 và 2, trớc khi đa ra định nghĩa đạo hàm, sách đãđa vào "bài toán tìm vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển độngthẳng".

Cũng trong Đ1, ở trang 10 có nêu lên ý nghĩa vật lí của đạo hàm Còn ởtrang 11 đa vào một bài tập về vấn đề này.

+ ở Đ4, có nêu lên "ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2" cùng với 1 ví dụ(trang 38 ) và 1 bài tập (trang 39).

+ Trong bài tập ôn tập chơng I có 1 bài liên hệ với thực tiễn ở trang 43.+ Trong chơng II, sách trình bày những ứng dụng của đạo hàm Tuynhiên cũng chỉ quan tâm đến những ứng dụng thuần túy trong nội bộ toán học.Chỉ có một ví dụ (ví dụ 2) đợc nêu ra ở Đ3, trang 62 gắn liền với thực tiễn sản xuất.

+ Trong chơng III, lại một lần nữa sách giáo khoa cũng quan tâm nhiềuhơn các ứng dụng trong nội bộ toán mặc dù có hẳn một bài về ứng dụng hình họcvà vật lí của tích phân (Đ4 ở trang 143 - 154) Cụ thể là chỉ có 2 bài toán ápdụng phép tính tích phân để giải bài tập vật lí 12.

3) Còn các SGK mới hiện nay, mặc dù nhiều chủ đề có rất nhiều tiềmnăng có thể đa vào đợc những tình huống thực tiễn (sẽ làm sáng tỏ ở Chơng2) và thực sự cũng đã có những những quan tâm nhất định Tuy nhiên, vấn đềnày lại một lần nữa vẫn cha đợc làm rõ Chẳng hạn:

- Đại số và Giải tích 11 [14].

+ Trong chơng I, từ trang 4 đến trang 41 không có bất cứ một kiến thứcnào gắn liền với thực tiễn ngoài toán học.

+ Trong chơng II, đây là một chơng dạy về toán ứng dụng nên có khánhiều vấn đề liên hệ với thực tiễn:

 ở Đ1 có ví dụ 1(trang 43); ví dụ 2, ví dụ 3 (trang 44); phần hoạt độngcủa học sinh, ví dụ 4 (trang 45); bài tập 3, 4 (trang 46).

 ở Đ2 có ví dụ 1 (trang 46); ví dụ 2 (trang 47); ví dụ 3 (trang 49); ví dụ 6,hoạt động của học sinh (trang 52); bài tập 2,3,5 (trang 54 và 55).

 ở Đ3 có ví dụ 1, 3, 4, 5 (trang 60, 61 và 63); bài tập 1 - 7 (trang 63 và 64). ở Đ5 có ví dụ 1 - 7 (trang 65 - 71); bài tập 1 - 7 (trang 74 và 75).

 Trong ôn tập chơng 2 có các bài tập 5, 6, 7, 9 (trang 76 và 77).

+ Trong chơng III, có liên hệ dãy số Fibonacci với thực tiễn (trong mụcbạn có biết, trang 91).

 ở Đ4, phần hoạt động của học sinh (trang 98); ví dụ 3 (trang 100);bài tập 5, 6 (trang 104); bài tập 12 (trang 108).

+ Trong chơng IV, Đ1, có hoạt động của học sinh (trang 117); bài đọcthêm (trang 120).

 ở Đ2 có bài tập 7 (trang 133 và 134); Đ4 không có kiến thức nào đợcliên hệ với thực tiễn.

 Trong ôn tập chơng IV có bài tập 3 (trang 141 và 142).

+ Trong chơng V, ngay Đ1, trớc khi đa ra định nghĩa đạo hàm, sách đã a vào "bài toán tìm vận tốc tức thời" và "bài toán tìm cờng độ tức thời" Ngoàira còn có bài tập 7 (trang 157).

đ- ở Đ5 có nêu ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2 cùng 1 ví dụ. Trong ôn tập chơng V, có bài tập 8 (trang 177).

+ Phần ôn tập cuối năm, có bài tập 4, 6, 7 (trang 179).- Đại số và Giải tích 11(nâng cao) [38].

+ Trong chơng I, có bài đọc thêm (trang 15); mục em có biết (trang 18). ở Đ2 có bài tập 17 (trang 29); bài 24, 25 phần luyện tập (trang 31, 32). ở Đ3 có bài tập 31 phần câu hỏi và bài tập (trang 41); bài tập 37 phầnluyện tập (trang 46)

+ Trong chơng II, đây là một chơng dạy về toán ứng dụng nên có khánhiều vấn đề liên hệ với thực tiễn:

 ở Đ1 có ví dụ 1, 2, 3, 4, 5 (trang 51- 54 ); bài tập 1, 3 phần câu hỏi vàbài tập (trang 54); bài đọc thêm (trang 55).

 ở Đ2 có ví dụ 1, 2, 4 (trang 56 - 58); ví dụ 7 (trang 61); bài tập 5 - 8 phầncâu hỏi và bài tập (trang 62); bài tập 9, 11, 13, 15 phần luyện tập (trang 63, 64).

 ở Đ4, tất cả các ví dụ đều gắn liền với thực tiễn (8 ví dụ); phần bài tậpcó 2 bài (trang 75 và 76); trong phần luyện tập có 3 bài (trang 76).

 ở Đ5, tất cả các ví dụ đều gắn liền với thực tiễn (7 ví dụ); phần câuhỏi và bài tập có 4 bài đều gần với thực tiễn (trang 83); phần luyện tập cócác bài 41, 42 (trang 85).

 ở Đ6, tất cả các ví dụ đều gắn liền với thực tiễn (6 ví dụ); phần câu hỏivà bài tập có tất cả 7 bài liên hệ với thực tiễn (trang 90, 91); phần luyện tập cóbài 50 và 51 (trang 92).

+ Phần câu hỏi và bài tập ôn tập chơng II có bài 57 (trang 93); bài 59,62, 63, 67 (trang 94, 95).

+ Trong chơng III, có bài đọc thêm ở trang 107.

 ở Đ3, ví dụ 3 và hoạt động 5 (trang 113) Trong phần câu hỏi và bài tậpkhông có bài nào gắn liền với thực tiễn ngoài toán học.

 ở Đ4, trớc khi định nghĩa cấp số nhân có đa vào 1 bài toán về "gửi tiềntiết kiệm" (trang 115); hoạt động 3 (trang 119); Trong phần câu hỏi và bài tậpcó bài 35 (trang 121).

+ Phần câu hỏi và bài tập ôn tập chơng 3 có 1 bài gắn với thực tiễn cuộcsống ở trang 124.

+ Trong chơng IV, không có bất cứ một vấn đề nào liên hệ với thực tiễnngoài toán học.

+ Trong chơng V, ngay Đ1, trớc khi đa ra định nghĩa đạo hàm, sách đã a vào "ví dụ mở đầu"; trang 188 có nêu "ý nghĩa cơ học của đạo hàm" Ngoàira còn có bài tập 6 (phần câu hỏi và bài tập, trang 192).

đ- ở Đ3, phần luyện tập có bài 37 (trang 212).

 ở Đ5, có đa vào ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2 cùng với 1 ví dụ;phần câu hỏi và bài tập có 1 bài (bài 44, trang 219).

+ Phần câu hỏi và bài tập ôn tập cuối năm có 2 bài (trang 224)

Nh vậy có thể thấy rằng, quan điểm chỉ đạo, xuyên suốt quá trình dạy họcở trờng phổ thông đợc nhấn mạnh trong Dự thảo chơng trình CCGD môn Toán

đã đợc quán triệt Tuy nhiên việc quán triệt quan điểm này cha thực sự toàn

diện và cân đối Thực tế thì sách giáo khoa toán hiện nay đã có những thay đổi

lớn về nội dung theo hớng tích cực và vấn đề gắn liền toán học với thực tiễn đãcó đợc những quan tâm nhất định Điều này đợc thể hiện ở việc sách giáo khoamới đã đa thêm vào phần toán học ứng dụng - Xác suất và đây cũng là điềuđáng nói nhất của sách giáo khoa Toán trong CCGD lần này Ngoài ra, theochúng tôi ở các nội dung khác (đặc biệt là phân môn Giải tích) tính thực tiễnngoài toán học vẫn cha đợc quan tâm đúng mức, thờng chỉ dừng lại ở mứcgiới thiệu là chính, ít bài tập Một lần nữa vai trò công cụ của môn Toánmà đặc biệt là phân môn Giải tích vẫn cha đợc làm rõ Mặc dù trong giaiđoạn hiện nay, nớc ta đang đứng trớc đòi hỏi ngày càng cao của sự nghiệpcông nghiệp hóa - hiện đại hóa, của nền kinh tế tri thức gắn với xu h ớng toàncầu hóa nên vai trò, vị trí và ý nghĩa của giáo dục học môn Toán càng trở nênquan trọng hơn.

1.4.2 Thực trạng liên hệ kiến thức môn Toán với thực tiễn trong dạyhọc Toán ở các nhà trờng phổ thông nớc ta

Tăng cờng liên hệ với thực tiễn trong dạy học nói chung và trong dạy họcbộ môn Toán nói riêng ở trờng phổ thông luôn đợc coi là một vấn đề quantrọng, cần thiết Tuy nhiên, theo các nhà Toán học và các nhà làm khoa họcGiáo dục cũng nh trong thực tế thì vì nhiều lí do khác nhau, trong một thờigian dài trớc đây cũng nh hiện nay, việc tăng cờng liên hệ với thực tiễn trongquá trình dạy học Toán cho học sinh vẫn, cha đợc đánh giá đúng mức và chađáp ứng đợc những yêu cầu cần thiết.

Các tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình (1975) thì cho rằng: Giảngdạy Toán "còn thiên về sách vở, hớng việc dạy Toán về việc giải nhiều loại bàitập mà hầu hết không có nội dung thực tiễn", "hậu quả tai hại là đa số học sinhtốt nghiệp lớp 7 hoặc lớp 10 còn rất bỡ ngỡ trớc nhiều công tác cần đến Toánhọc ở hợp tác xã, công trờng, xí nghiệp" (Dẫn theo [5]) Tác giả Trần Kiềucũng có nhận xét: "Do nhiều nguyên nhân, việc dạy và học Toán trong nhà tr-ờng hiện nay ở nớc ta đang rơi vào tình trạng quá coi nhẹ thực hành và ứngdụng Toán học vào cuộc sống" [21, tr 3 - 4] "Thực tế dạy học đã chỉ ra đây làmột trong những thiếu sót quan trọng nhất của giáo dục phổ thông nớc ta" [22,tr 1- 2] Theo Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn (1998) khi nhận xét về tình hình dạy

và học Toán hiện nay ở nớc ta thì một vấn đề quan trọng - một yếu kém cơbản là trong thực tế dạy Toán ở trờng phổ thông, các giáo viên không thờngxuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán học vàothực tiễn Học sinh bây giờ thờng phải đi tìm những mắt xích suy diễn phứctạp trong các bài toán khó, đặc biệt là các trờng chuyên Họ đợc rèn luyệnthêm về t duy kỹ thuật khi phải tìm những thủ thuật lắt léo để giải những bàitoán không mẫu mực Nhng những khía cạnh nhân văn trong thực tế cuộcsống đời thờng hay bị bỏ qua Chẳng hạn, trong Toán học có chứng minhthuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thờng khuyên nhau: "nghĩ đi rồiphải nghĩ lại", "có qua có lại", "sống phải có trớc có sau"; trong Toán học, khibiện luận phải xét cho hết mọi trờng hợp có thể xảy ra, thì trong đời thờng ng-ời ta hay khuyên nhau: "nghĩ cho hết nớc, hết cái"; trong Toán học có "biệnluận theo tham số", thì trong đời thờng ta thờng bảo nhau cần phải "thức thời"mà thời là một tham số quan trọng trong cuộc sống [50, tr 252] Theo Ông thìđây là kiểu "Dạy và học Toán tách rời cuộc sống đời thờng" Giáo s còn chorằng trong dạy học Toán hiện nay có biểu hiện: "không gắn lí luận với thựctiễn; không làm cho học sinh nắm rõ bản chất của khái niệm, bệnh hình thứcrất rõ; do hình thức mà học sinh chóng quên, vận dụng khó nhuần nhuyễn… Bằng cách trừu t"[49, tr.27 - 28] Trong Tạp chí Tia sáng 12/2001 giáo s Hoàng Tuỵ có ý kiếnnhận xét: Trong dạy học toán ở nớc ta hiện nay có tình trạng "chuộng cáchdạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài tập oái ăm, giảtạo, chẳng giúp ích gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rờithực tế, mệt mỏi và chán nản" [54, tr 35 - 40] Mới đây, trong hội thảo về "Triếtlí giáo dục Việt Nam" do Học viện quản lí giáo dục tổ chức, TS Nguyễn TùngLâm cho rằng: "Thiếu sót của giáo dục chúng ta trong nhiều năm qua là đã xarời mục tiêu chất lợng, không thực hiện phơng châm "Học đi đôi với hành"… Bằng cách trừu t"[2, tr 21] Vấn đề này theo JA j Perelman thì học sinh ''đang học Toán chỉgiới hạn trong phạm vi bốn bức tờng của lớp học, thành thử không để ý đếnnhững tơng quan Toán học quen thuộc trong thế giới những sự vật hiện tợngxung quanh, không biết ứng dụng những kiến thức Toán học đã thu nhận đợc

vào thực tiễn'' [33, tr 5]

Qua xâm nhập quan sát thực tế giảng dạy và sau một số năm dạy học,thông qua dự giờ, tham gia các cuộc họp rút kinh nghiệm giờ dạy và trao đổivới các đồng nghiệp Chúng tôi cũng có nhận định rằng, hiện nay việc tăng cờngliên hệ với thực tiễn trong qúa trình dạy học Toán ở trờng phổ thông hầu nh

các giáo viên không quan tâm Các lí lẽ mà các giáo viên đa ra để biện minhcho việc này thờng là không đủ thời gian, do áp lực thi cử… Bằng cách trừu t và một lí do cầnđợc quan tâm là "sách giáo khoa cũng không thể hiện nhiều đến tính thựctiễn của tri thức"!?

Theo quan điểm của chúng tôi, sở dĩ để xảy ra tình trạng trên có thể domột số nguyên nhân chính sau đây:

1) Thứ nhất, do áp lực và cách đánh giá trong thi cử, kết hợp với bệnh

thành tích của nền giáo dục phổ thông nớc ta trong một thời gian dài Họcsinh học xong lớp 12 thì "phải thi" đại học đang là một tồn tại trong xã hội tahiện nay Mà đề ra trong các kì thi thì hầu nh các ứng dụng ngoài toán họckhông đợc đề cập đến Từ đây dẫn đến lối dạy học "phục vụ thi cử", chỉ chú ýdạy những gì học sinh đi thi

2) Thứ hai, do ảnh hởng của sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo.

Trong một thời gian dài trớc đây cũng nh hiện nay, các sách giáo khoacũng nh các tài liệu tham khảo không quan tâm nhiều đến tính thực tiễn ngoàiToán học của các tri thức (xem 1.4.1) mà thông thờng chỉ tập trung vào cácứng dụng trong "nội bộ" môn toán Đành rằng, muốn ứng dụng đợc vào cuộcsống thì trớc hết học sinh phải có những thông hiểu nhất định các kiến thức,kĩ năng, phơng pháp toán Tuy nhiên, với sự liên hệ quá ít nh vậy sẽ khônghình thành và rèn luyện cho học sinh ý thức vận dụng toán học và không làmrõ đợc vai trò công cụ của toán học trong hệ thống các khoa học và thực tếcuộc sống

3) Thứ ba, còn một nguyên nhân sâu xa nữa là từ khâu đào tạo của các

trờng s phạm Khi còn ngồi trên giảng đờng, những ngời giáo viên tơng laicũng chỉ "học toán trong phạm vi bốn bức tờng" mà thôi, thiếu hẳn tính thựctiễn trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.

Nói tóm lại, sở dĩ có tình trạng trên là do hệ thống giáo dục và đào tạocủa nớc ta, trong đó yếu giáo viên và sách giáo khoa là hai yếu tố chính.

1.4.3 Vấn đề liên hệ với thực tiễn là một trong những xu hớng quantrọng của giáo dục Toán học trên thế giới từ trớc tới nay

Để thích ứng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ vànền sản xuất hiện đại, phong trào cải cách giáo dục Toán học ở tr ờng phổthông đã đợc thực hiện rộng khắp và sâu sắc ở nhiều n ớc trên thế giới Cóthể nhận thấy rằng, tăng cờng hoạt động liên hệ Toán học với thực tiễn là một

trong những vấn đề từ lâu đã rất đợc quan tâm và đang là một trào lu giáo dụcToán học hiện nay trên thế giới.

Ngay từ khi phong trào cải cách dạy toán ở trờng phổ thông do nhà toánhọc nổi tiếng Kơlanh khởi xớng đã có luận điểm cho rằng: "nên có những ứngdụng của Toán học vào Vật lí,… Bằng cách trừu t[16, tr 271]".

Trong Hội nghị Quốc tế lần thứ nhất về dạy Toán, tiến hành từ ngày 24 đếnngày 30 tháng 8 năm 1969 tại Liông (Pháp), các bản Báo cáo và Thảo luận đãnói lên các quan điểm cải cách môn Toán ở trờng phổ thông theo xu hớng cố

gắng thiết lập mối quan hệ hợp lý giữa cái "cổ điển" và cái "hiện đại", các kiến

thức phải đợc trình bày có tính chất cổ truyền dới ánh sáng của những quanđiểm Toán học hiện đại… Một trong những quan điểm của xu hớng này là "liên.

hệ việc dạy toán với thực tiễn"[16, tr 278] Tiêu biểu theo xu hớng này là Chơngtrình và sách giáo khoa Toán của trờng phổ thông Liên Xô và các nớc Xã hộichủ nghĩa khác

Qua hội nghị lần thứ hai đợc tiến hành từ ngày 29 tháng 8 đến ngày 2tháng 9 năm 1972 tại thành phố écxôto (Anh) và lần thứ ba từ ngày 16 đếnngày 21 tháng 8 năm 1976 tại thành phố Caclơrue (Tây Đức) Nhìn chung, xuthế cơ bản của việc cải cách môn Toán ở trờng phổ thông trên thế giới là:"hiện đại hóa thận trọng, tăng cờng việc gắn liền toán học với các khoa học

khác, với đời sống" [16, tr 279]

Theo "Pháp lệnh về mục tiêu giáo dục Hoa kì năm 2000", trong số 8 mụctiêu đa ra có 2 mục tiêu hàm chứa yêu cầu cao về năng lực vận dụng của họcsinh: "Tất cả học sinh học hết các lớp 4, 8 và 12 phải có năng lực ứng dụngthực tế, độc lập suy nghĩ, … Bằng cách trừu t, có khả năng tiếp nhận các công việc trong đời sốnghiện đại" "Mỗi công dân đã trởng thành đều phải có văn hóa, có tri thức và kĩnăng cần thiết trong cuộc cạnh tranh kinh tế thế giới" (Dẫn theo [30, tr 10]).

Còn theo Chơng trình Quốc gia nớc Anh, một trong các lĩnh vực kiếnthức môn Toán là "ứng dụng toán học".

Với chơng trình bộ môn Toán nớc Pháp, tác giả Phạm Gia Đức nhận xét:"toán học dạy ở nhà trờng gắn với nhu cầu cuộc sống", "coi trọng thao tác tínhtoán, thực hành" [30, tr 11].

Phải thừa nhận một điều rằng, xã hội càng hiện đại, khoa học kĩ thuậtcàng phát triển thì vai trò công cụ của Toán học trong cuộc sống và lao độngsản xuất càng bộc lộ rõ Nh A N Krylov đã viết: "Toán học đối với kỹ s làmột công cụ nh cái kìm, cái dũa, cái búa của ngời thợ nguội" [6, tr 8] Theo

V V Firxôv : việc giảng dạy toán ở trờng phổ thông không thể không chú ýđến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa học toán học.Điều đó phải đợc thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng toán học đểgiải quyết các bài toán có nội dung thực tế (Dẫn theo [3]) Liên hệ với thựctiễn trong quá trình dạy học toán nh là phơng tiện để truyền thụ tri thức, rènluyện kỹ năng và bồi dỡng ý thức ứng dụng Toán học Hiện nay, xu hớng nàyđang rất đợc coi trọng và đợc thể hiện rõ trong chơng trình, sách giáo khoacủa nhiều nớc trên thế giới

1.5 Kết luận chơng 1

Trong Chơng 1, Luận văn đã phân tích làm rõ các vấn đề lí luận và thựctiễn liên quan đến đề tài Qua đây có thể khẳng định rằng, tăng cờng liên hệvới thực tiễn trong dạy học Toán là hớng đổi mới phơng pháp dạy học phù hợpvới điều kiện hoàn cảnh nớc ta trong giai đoạn hội nhập hiện nay Đồng thờicũng phù hợp với xu hớng giáo dục Toán học của nhiều nớc tiên tiến trên thếgiới Đây là cơ sở để tiến hành thực hiện tiếp chơng 2 của Luận văn.

 Nguồn gốc thực tiễn của Giải tích. Sự phản ánh thực tiễn của Giải tích.

 Giải tích đợc ứng dụng nhiều trong thực tiễn, bao gồm: ứng dụng trong nội bộ môn Toán.

 ứng dụng vào các môn học khác nhau.

 ứng dụng vào đời sống và các khoa học khác.

Vấn đề này, theo PGS TS Trần Kiều, có thể chia làm hai loại: Nhữngứng dụng trong nội bộ môn Toán và những ứng dụng trong các lĩnh vực ngoàiToán học Thông qua các ứng dụng nh vậy sẽ góp phần đánh giá đợc mức độthông hiểu tri thức của học sinh.

Hình 2.1: Sơ đồ liên hệ các kiến thức Giải tích với thực tiễn

Trong chơng này, trên cơ sở tôn trọng Chơng trình, sách giáo khoa ToánTrung học phổ thông hiện hành, chúng tôi sẽ tập trung làm rõ tiềm năng liên hệvới thực tiễn trong quá trình dạy học bộ môn Giải tích Từ đó làm căn cứ đa racác biện pháp thực hiện Cụ thể sẽ tập trung giải quyết các vấn đề sau đây:

 Nêu rõ nguồn gốc thực tiễn của một số vấn đề Giải tích.

 Tiềm năng của các vấn đề Giải tích trong việc liên hệ với thực tiễn. Đề xuất một số quan điểm nhằm nâng cao tính khả thi của đề tài và làmcơ sở để đa ra một số biện pháp thực hiện

- Giải tích là ngành Toán học có đối tợng nghiên cứu là các hàm số vàcác suy rộng của nó bằng phơng pháp giới hạn hay phơng pháp vô cùng bé (vìkhái niệm giới hạn có liên quan mật thiết với khái niệm biến l ợng vôcùng bé), trong đó bao gồm hai t tởng chính là phép tính vi phân và phép tínhtích phân Theo nghĩa thông thờng, cơ sở của Giải tích bao gồm: Lí thuyết sốthực, khái niệm hàm số, giới hạn, dãy số, chuỗi số và liên tục

Giải tích đợc đa vào chơng trình môn Toán trong nhà trờng phổ thông ớc ta ở hai lớp 11 và 12 với những nội dung chính sau: 1) Dãy số: bao gồmđịnh nghĩa, những tính chất thông thờng của dãy số và hai dãy số đặc biệt làCấp số cộng và Cấp số nhân; 2) Giới hạn: bao gồm giới hạn của dãy số, giớihạn của hàm số, hàm số liên tục; 3) Đạo hàm; 4) ứng dụng của đạo hàm; 5)Nguyên hàm và Tích phân Khái niệm Tích phân đợc định nghĩa theo côngthức Newton-Leibniz và đa số các định lí đều đợc công nhận không chứngminh.

n-2.1 Sơ lợc về lịch sử hình thành và phát triển của một số vấn đề Giảitích

Nguồn gốc thực tiễn

Phản ánh thực tiễn

ứng dụng trong thực tiễn

Trong nội bộ môn Toán

Trong các môn học khác

Trong cuộc sống lao động, sản xuất

2.1.1 Sơ lợc về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm Hàm số

Khái niệm sơ khai về hàm số đã có từ 1000 năm trớc công nguyên khinhững ngời Babilon đã biết lập những bảng tỉ số thực nghiệm trong thiênvăn Nhng mãi đến thế kỉ thứ XVII khái niệm này mới đợc hình thành rõràng và có hệ thống trong Toán học nhờ các công trình của Phermat vàDescartes.

Giữa thế kỉ thứ XVII, khi đụng chạm đến bài toán về sự dao động của sợidây đã nảy sinh nhu cầu về một định nghĩa hàm số tổng quát Khoảng năm 1694danh từ hàm số đợc Leibniz dùng lần đầu tiên Lúc này khái niệm hàm số gắnliền với biểu diễn hình học của hàm số bằng một đờng.

Thế kỉ thứ XVII cũng là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn t ơng quanhàm số từ trực giác hình học sang biểu thức giải tích Năm 1718, JohannBernoulli đĩnh nghĩa: "Hàm số của một biến lợng là một biểu thức giải tíchgồm biến lợng đó và các đại lợng không đổi" Năm 1748, D'Alembert cũng đara định nghĩa: "Hàm số là một biểu thức giải tích" Trong thế kỉ thứ XVIIIbiểu thức giải tích đóng vai trò cơ bản trong việc xác định tơng quan hàm số.Tuy nhiên trong thế kỉ này cũng có những định nghĩa tổng quát hơn, coi hàmsố nh một đại lợng phụ thuộc Năm 1755, Euler định nghĩa: "Khi một đại lợngphụ thuộc vào các đại lợng khác sao cho sự thay đổi của các đại lợng thứ haikéo theo sự thay đổi của đại lợng thứ nhất thì đại lợng thứ nhất gọi là hàm sốcủa đại lợng thứ hai" [20, tr 92].

Trong thế kỉ thứ XIX với sự phát triển của giải tích toán học, khái niệmhàm số đòi hỏi phải đợc mở rộng Xây dựng khái niệm này dựa vào sự tơngứng giữa các giá trị của hai đại lợng Năm 1837, Dirichler định nghĩa: "y làhàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tơng ứng một giá trị hoàn toàn xácđịnh của y còn sự tơng ứng đó đợc thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàntoàn không quan trọng" Ông đa ra ví dụ:

1 nếu x hữu tỉ( )

0 nếu x vô tỉ

yD x

Định nghĩa này đã đợc tất cả các nhà bác học lúc bấy giờ chấp nhận ng về sau khi lí thuyết tập hợp phát triển thành nền tảng của toán học đòi hỏiphải mở rộng hơn nữa khái niệm hàm số Lúc này khái niệm hàm không dùngđại lợng biến thiên mà dựa vào lí thuyết tập hợp Đây là một khuynh hớnghiện đại dẫn tới mở rộng khái niệm hàm vì nó nghiên cứu những sự tơng

Nh-ứng không phải chỉ giữa các giá trị của những đại lợng Do đó nó có khả năngphục vụ cho tất cả các ứng dụng cổ truyền của Toán học cũng nh nhiều ứng dụngmới xuất hiện Sau đây là bốn dạng định nghĩa (Dẫn theo [20, tr 94]):

- Dạng định nghĩa tình huống hàm - nghĩa là tình huống mà trong đó cóthể nói rằng có một hàm số:

+ "Giả sử A và B là hai tập hợp bất kì Ngời ta nói rằng trên A đợc xácđịnh một hàm f nhận các giá trị trong B nếu với mỗi phần tử x  A đặt tơngứng một và chỉ một phần tử trong B" Trong trờng hợp các tập hợp có bảnchất bất kì thì thay từ "Hàm" ngời ta thờng dùng từu " ánh xạ" và nói về ánhxạ của tập hợp A đến tập hợp B.

+ "Cho hai tập hợp A và B Ta nói rằng đã xác định một ánh xạ f của tậphợp A vào tập hợp B và kí hiệu f: A B nếu bằng cách nào đó đặt tơng ứngvới mỗi phần tử a  A một phần tử xác định b B".

- Hàm nh một quy tắc tơng ứng của hai tập hợp:

"A và B là hai tập hợp đã cho Một ánh xạ f từ A đến B là một quy tắccho tơng ứng với mỗi phần tử a  A một phần tử duy nhất b  B".

- Hàm nh một sự tơng ứng: "Hàm là một sự tơng ứng mà theo đó với mỗiphần tử x của tập hợp X tơng ứng một phần tử y của tập hợp Y nào đó".

Rõ ràng các định nghĩa hàm thuộc ba dạng trên đã dựa vào tập hợp nhngcha triệt để: Dạng thứ nhất cha chỉ đợc đích danh hàm là gì, còn có nhữngthuật ngữ cha rõ nh "quy tắc" ở dạng 2, "sự tơng ứng" ở dạng 3 Dạng cuốicùng sau đây sẽ khắc phục đợc các nhợc điểm trên.

- Định nghĩa hàm triệt để dựa vào tập hợp của Bourbaki:+ Định nghĩa đầy đủ:

Một tập hợp G mà mỗi phần tử của nó là những cặp đợc gọi là một đồ thị.Tập hợp tất cả các phần tử thứ nhất của các cặp trong G đợc gọi là miền xácđịnh của đồ thị G Kí hiệu là pr1G Tập hợp tất cả các phần tử thứ 2 của cáccặp trong G đợc gọi là miền giá trị của G, kí hiệu là pr2G.

Một bộ ba (G, A, B), trong đó G là một đồ thị sao cho pr1G  A vàpr2G  B, đợc gọi là một sự tơng ứng giữa các tập hợp A và B, A gọi là nguồnvà B gọi là đích của sự tơng ứng đó.

Một đồ thị đợc gọi là một đồ thị hàm nếu trong đó không có hai cặp phânbiệt nào cùng chung phần tử thứ nhất Một sự tơng ứng (F, A, B) đợc gọi làmột hàm nếu F là một đồ thị hàm và A = pr1F.

Nh vậy theo những định nghĩa trên của Bourbaki thì một bộ ba tập hợp(F, A, B), trong đó F là tập những cặp sao cho pr1G  A và pr2G  B, đợc gọilà một hàm nếu mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉmột cặp thuộc F.

+ Định nghĩa rút gọn: "Một hàm là một tập hợp những cặp (x, y) sao chođối với mỗi x bất kì trong tập hợp đó không có quá một cặp (x, y) với phần tửthứ nhất x cho trớc.

Nh vậy nguồn và đích không có mặt trong định nghĩa rút gọn còn hàmchính là đồ thị hàm theo định nghĩa đầy đủ.

Ta thấy rằng khái niệm hàm số phát sinh, phát triển, ngày càng mở rộng,chính xác hoá và hoàn thiện là do nhu cầu của thực tiễn Và những định nghĩadạng cuối cùng (theo cách đầy đủ hay rút gọn) là tiêu biểu nhất cho khuynh h-ớng hiện đại - khuynh hớng lí thuyết tập hợp.

2.1.2 Sơ lợc về lịch sử hình thành, phát triển của phép tính vi phân và

tích phân

Các ý tởng giúp hình thành môn vi phân, tích phân phát triển qua mộtthời gian dài và những ngời đi những bớc tiên phong là các nhà toán học HiLạp Xét về mặt lịch sử thì t tởng phép tính tích phân ra đời trớc và ít lâu sauphép tính vi phân mới đợc nghĩ tới Leucippus, Democritus và Antiphon đã cónhững đóng góp vào phơng pháp "vét kiệt" (Method of Exhaustion) của HiLạp Nhng mãi về sau mới đợc Euxodus (408 - 355) nâng lên thành lí luậnkhoa học (Sở dĩ gọi là phơng pháp "vét kiệt" vì xem diện tích của một hình đ-ợc tính bằng vô số hình, càng lúc càng lấp đầy hình đó.)

Phơng pháp vét kiệt thừa nhận tính chia hết vô hạn của các độ lớn, đợccoi là câu trả lời của trờng phái Platon đối với những nghịch lí của Zeno.Mệnh đề cơ sở nh sau: "Nếu từ bất kì một đại lợng nào đó và bỏ đi một phầnkhông nhỏ hơn một nửa của nó, rồi từ chỗ còn lại bỏ đi một phần khác khôngnhỏ hơn một nửa của nó, vân vân thì cuối cùng sẽ còn lại một đại lợng nhỏ

hơn bất kỳ đại lợng nào đợc ấn định cùng loại".

Tuy nhiên, chỉ có Archimedes (287 - 212) mới là ngời Hi Lạp kiệt xuấtnhất với phơng pháp cân bằng đợc tìm thấy vào năm 1906 T tởng chính của

phơng pháp Archimedes là: "Để tìm một diện tích hoặc một thể tích thì cắt nó

ra thành một số rất lớn các dải phẳng mỏng song song và (nghĩ trong óc) là

treo chúng ở đầu tâm đã biết" Thành tựu to lớn đầu tiên của ông là tìm đợc

diện tích của hình tam giác cong parabol bằng 4/3 diện tích của tam giác có

cùng đáy và đỉnh và bằng 2/3 diện tích của hình bình hành ngoại tiếp Kết quảnày đợc tìm ra bằng cách dựng một dãy vô tận các tam giác, bắt đầu với tamgiác có diện tích bằng S và tiếp tục ghép thêm các tam giác mới nằm xen giữacác tam giác đã có với đờng parabol Hình parabol dần dần đợc lấp đầy bởicác tam giác có diện tích là:

Trong tất cả những khám phá của mình, Archimedes tâm đắc nhất là việctìm ra công thức tính thể tích hình cầu: "Thể tích hình cầu bằng 2/3 thể tích

hình trụ ngoại tiếp " Sau khi ông mất, thể theo nguyện vọng lúc sinh thời,

ng-ời ta cho dựng một mộ bia có khắc hoa văn một hình cầu nội tiếp một hình trụ.Cũng từ khi ông mất cho đến thế kỉ thứ XVII, nền toán học hầu nh rơi vàotrong bóng tối Lúc này do nhu cầu của kỉ thuật, phép tính vi tích phân trở lại đểgiải quyết những bài toán về sự biến thiên của các đại lợng vật lí Các nhà toánhọc lớn nh Ferrmat (1601 - 1665), Roberval, Descartes (1596 - 1650), Cavalieriđã tập trung giải quyết bốn bài toán lớn sau:

1 Tìm tiếp tuyến của một đờng cong.2 Tìm độ dài của một đờng cong.

3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lợng, chẳng hạn tìm khoảng

cách gần nhất và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời hoặc khoảng cách tốiđa mà một đạn đạo có thể bay tới theo góc bắn đi của nó.

4 Tìm vận tốc và gia tốc của một vật thể

Và thế kỉ XVII đợc xem là một bớc ngoặt trong lịch sử Toán học khiphép tính vi - tích phân đợc phát triển nhờ tìm ra cách giải quyết các bài toántrên Tất cả cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi hai nhà toán học IsaacNewton (1643 - 1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) đã nghiên

cứu một cách có hệ thống, hoàn thiện phép tính vi - tích phân vào cuối thế kỉnày Đây cũng là thành tựu Toán học nổi bật nhất vào thời kì đó

2.1.3 Sơ lợc về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giớihạn và liên tục của hàm số

Khái niêm vô hạn đã từng gây nhiều khó khăn cho nhận thức của con ngờicho đến thế kỉ 17 Điều này đã đợc thể hiện qua hai nghịch lí nổi tiếng củaZéno là nghịch lí mũi tên, nghịch lí phân đôi Khái niệm này đợc J Kepler(1571 - 1630) và B Cavalieri (1598 - 1647) quan tâm trở lại và đã mở đờng choIsaac Newton (1643 - 1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) pháttriển và hoàn thiện hai phép tính vi phân, tích phân nh đã đề cập ở mục2.1.2 Lúc bấy giờ các nhà toán học đã tính toán trên các giới hạn Tuy nhiên,họ cha đa ra đợc một định nghĩa chặt chẽ, mà chỉ quan niệm một cách trựcgiác các khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số.

Về sau nhiều nhà toán học mới thực sự lu ý đến sự cần thiết phải chínhxác hoá các khái niệm cơ bản này nhằm làm cho các phép tính tích phân và viphân có cơ sở chặt chẽ Nhng các khái niệm này muốn đợc chính xác hóacũng gặp nhiều khó khăn.

Chẳng hạn, sự "dần tới" một giá trị nào đó lại liên quan đến vấn đề chuyểnđộng, mà hai phép tính vi phân và tích phân lại xem chuyển động là một quátrình liên tục - theo nghĩa biến phải nhận mọi giá trị trong khoảng mà chuyểnđộng xảy ra Nhng làm thế nào để mô tả bằng toán học biến di chuyển qua tấtcả các điểm kế tiếp nhau trong một khoảng? Rõ ràng không thể nói rằng "đi từđiểm này đến điểm kế tiếp sau" vì không có điểm kế tiếp (giữa hai điểm bất kìcó một điểm khác) Dù vậy, vào năm 1817, B Bolzano (1781 - 1848) đã đa ramột định nghĩa chính xác về liên tục: hàm số f(x) liên tục trong một khoảngnếu tại bất kì x nào trong khoảng đó thì hiệu f(x + ) - f(x) có thể làm nhỏtùy ý khi cho  đủ lớn (Dẫn theo [27, tr 31])

Còn khái niệm giới hạn: hằng số c đợc gọi là giới hạn của x nếu ta có thểlàm cho x có thể tiến gần đến c một cách tùy ý thông qua sự thay đổi liên tục.Để chính xác hóa khái niệm này cần phải mô tả bằng toán học khái niệm "gầnmột cách tùy ý".

A L Cauchy (1789 - 1857) đã có công lớn trong việc chính xác hóakhái niệm giới hạn và liên tục Ông đa ra định nghĩa: cho x là biến số thực.x đợc gọi là có giới hạn là c nếu với bất kì số dơng cho trớc thì giá trị tuyệt

đối của hiệu x và c có thể làm nhỏ hơn một số dơng cho trớc đó (Dẫn theo[27, tr 31 - 32]) Nhà toán học Đức K Weierstrass (1815 - 1897) đã làm rõhơn khái niệm mà A L Cauchy đã đa ra theo ngôn ngữ " , ".

Nh vậy, B Bolzano, A L Cauchy và K Weierstrass đã định nghĩa mộtcách chính xác khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số góp phần giảithích các nghịch lí của Zéno và làm cho hai phép toán vi phân và tích phâncó cơ sở chặt chẽ

2.2 Tiềm năng của một số chủ đề Giải tích trong việc rèn luyện chohọc sinh năng lực liên hệ với thực tiễn

2.2.1 Về sự phản ánh thực tiễn của bộ môn Giải tích2.2.1.1 Vấn đề Dãy số và Giới hạn

a) Vết đạn ở trờng bắn Ta tởng tợng mỗi vết

đạn trên mục tiêu ở trờng bắn nh một điểm và đợcđánh dấu bởi số thứ tự của nó Những hình tròn củamục tiêu và cuộc thi bắn đợc xem nh kéo dài vôhạn Ta gọi những phần tử đợc đánh số của tập hợpcác vết đạn là các số hạng của một dãy Nh vậy dãylà một tập hợp vô hạn các phần tử đợc đánh số.

Nếu tiếp tục theo dõi cuộc thi bắn thì sẽ tìm ranhững hình ảnh "rất đắt" để nói về dãy và về giớihạn:

- Với xạ thủ giỏi, dù lấy hình tròn nhỏ baonhiêu, bắt đầu từ một lần bắn nào đó trở đi các vếtđạn tiếp sau đều rơi vào hình tròn đó Theo cách nóiToán học có nghĩa là dãy các vết đạn hớng tới tâmbia, tâm bia là giới hạn của dãy các vết đạn.

- Còn với xạ thủ còn non kinh nghiệm thì dù cóchọn trớc một hình tròn bán kính nào đó xung quanh

tâm bia và chọn một số thứ tự nào đó, bao giờ cũng có một viên đạn có số thứtự lớn hơn nằm ngoài giới hạn của hình tròn đã chọn Theo cách nói Toán họcthì dãy các vết đạn không dần tới tâm hình tròn.

b) Sự chính xác hóa dần các hằng số của thế giới Vận tốc ánh sáng là

một trong những đại lợng Vật lí mà khoa học gọi tên là hằng số của thế giới.Năm 1675 lần đầu tiên trong lịch sử khoa học, nhà thiên văn học ĐanMạch Rême đã tính toán đợc vận tốc ánh sáng là 226.000km/s.

67 89 11

Hình 2.2

Năm 1849, Fiđô đã cho các tia sáng đi qua các bánh răng của một bánhxe răng quay nhanh và đã đo đợc con số chính xác hơn về vận tốc ánh sánglà 313.274,304km/s.

Một phần t thế kỉ sau, cũng bằng phơng pháp trên, Kornuy đã đạt đợccon số mới 298.400 1.000km/s.

Các nhà nghiên cứu tiếp sau đều cố gắng làm cho sai số ngày càng nhỏthậm chí có thể đến vài mét trên một giây

Sự kiện Vật lí trên nếu đợc mô tả theo Toán học thì có thể nói rằng, vớimột sai số nhỏ bất kì mà nhà nghiên cứu đạt đợc thì bắt đầu từ đó, những kếtquả tiếp sau sẽ sai khác với giá trị thực của vận tốc ánh sáng không quá sai sốđã cho Nếu việc nghiên cứu đợc tiếp tục, độ chính xác của phép đo tăng lên,thì đợc một dãy kết quả và ta nói dãy các kết quả dần tới vận tốc ánh sáng.

c) Nên chia kẹo cho các cậu bé nh thế nào? Tất nhiên phải là: Cậu một

nửa - mình một nửa.

Ngời có kẹo phải chia nó làm hai phần bằng nhau để cho bạn Phần thu ợc cũng phải chia làm đôi để phân cho bạn của mình Cứ nh vậy có thể chia cáikẹo thành một số phần tuỳ ý, độ lớn của các phần chia liên tiếp giảm dần tớikhông: Một cái kẹo, nửa cái kẹo, phần t cái kẹo, phần tám, phần mời sáu… Bằng cách trừu t vàcái kẹo ban đầu cứ thế nhỏ dần Dù cho trớc một độ lớn nào, bắt đầu từ mộtphần chia nào đó tất cả các phần chia tiếp sau sẽ nhỏ hơn độ lớn cho trớc.

d) Giới hạn về năng lực thể thao của con ngời.

Trong [38, tr 154] có trình bày (không chứng minh) định lí: "Dãy sốgiảm và bị chặn dới thì có giới hạn hữu hạn" Bây giờ ta hãy liên hệ định línày vào lĩnh vực thể thao.

Cách đây không lâu thì thành tích mà các vận động viên chạy 100m cầncố gắng là 9s và bây giờ đã đạt đợc Có thể khẳng định một nhà quán quân t-ơng lai nào đó sẽ rút ngắn thời gian thêm 1 đến 2 giây Ta xem kỉ lục về chạy

Hình 2.4

cự li 100m nh là các số hạng của một dãy nào đó Nhà Toán học gọi nó là dãyđơn điệu giảm Nếu khẳng định đợc rằng không ai có thể chạy 100m ít hơn 2sthì ta nói rằng các số hạng của dãy số của chúng ta bị chặn ở dới Theo định lítrên thì trên bậc thang kết quả chạy 100m có một mốc mà dãy các kỉ lục sẽdần tới Dù chọn một lân cận nhỏ tuỳ ý của mốc, mọi số hạng của dãy bắt đầutừ một số hạng nào đó sẽ nằm trong lân cận Dãy các kỉ lục có thể dần tới giớihạn mà không đạt tới giới hạn đó Kỉ lục hôm nay khác với giới hạn một phầnmời giây thì kỉ lục tiếp sau sẽ có thể khác năm phần trăm, kỉ lục tiếp theo khácmột phần trăm, tiếp theo nữa là một phần nghìn… Bằng cách trừu t và mỗi kết quả đứng sau sẽlà một kỉ lục vì nó nhỏ hơn kết quả đứng trớc Ta nói rằng dãy các kỉ lục chạy100m của con ngời là có giới hạn.

e) Chiều cao của con ngời

Cứ mỗi lần sinh nhật con ngời cha lại đánh dấu chiều cao và cẩn thận ghichiều cao vào bên cạnh Qua năm tháng, cậu bé lớn dần lên đã tạo nên mộtbậc thang toàn bộ các vạch dấu trên khung cửa Đó là dãy các độ tăng chiềucao từ năm này qua năm khác Các vạch dấu trên dầm cửa xích lại gần nhauvà đến một thời gian nào đó chúng ngừng tăng Nói theo Toán học thì dãy cácchiều cao ghi trên dầm cửa có giới hạn và dãy các độ tăng chiều cao của conngời từ năm này qua năm khác giảm dần đến không

f) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Trong một tam giác cân có một vòng tròn nộitiếp ở phía trên nó có một hình tròn thứ 2 tiếp xúcvới hình tròn thứ nhất và tiếp xúc với các cạnh bêncủa tam giác Phía trên hình tròn thứ 2 là hình trònthứ 3 Cứ nh thế, toàn bộ góc ở đỉnh của tam giác đợclấp đầy bởi một dãy hình tròn bán kính ngày càng nhỏ.

Số lợng của chúng là vô hạn (Hình 2.5) Lúc này đờng

kính của các hình tròn tạo thành một cấp số nhân lùivô hạn (vì tỉ số của đờng kính hình tròn thứ 2 với hìnhtròn thứ nhất, giữa hình tròn thứ 3 với hình tròn thứ 2,

là một số không đổi và nhỏ hơn 1) … Bằng cách trừu t

Vấn đề đặt ra là nếu cộng liên tiếp đờng kính cáchình tròn thì sao? Không cần dùng công thức tínhtổng của một cấp số nhân lùi vô hạn Chỉ cần xoay tấtcả các hình tròn lại sao cho đờng kính của chúng

thẳng đứng (Hình 2.6).

Hình 2.5

Hình 2.6

Nh vậy tổng vô hạn sẽ hoàn toàn bằng một đại lợng hữu hạn - chiều caocủa tam giác.

g) Ngời bán hàng trẻ tuổi còn thiếu kinh nghiệm cân hàng.

Sau 2 lần xúc và đa gói đờng lên cân nhng đờng nhiều quá phải xúc bớtra Xúc một nửa muôi ra và gói đờng lại đợc đặt lên cân Lần này thì số đờnglại ít hơn Lại xúc vào Lại thừa và lại xúc ra… Bằng cách trừu t Khối lợng đờng trớc mỗi lầncô bán hàng thêm vào hoặc bớt ra lập thành một dãy Các số hạng của dãynày khi thì "dơng" (lúc cô bán hàng bớt đờng ra), khi thì "âm" (lúc thêm vào).Theo cách nói của Toán học, dãy này tiến dần tới giới hạn do ng ời mua hàngđịnh trớc.

2.2.1.2 Về định nghĩa Hàm số:

- Theo [36, tr.36], "Các hàm số là chân dung Toán học của tính qui luậtcủa tự nhiên" Ta hãy để ý đến các hiện tợng của thế giới xung quanh mà conngời gọi chúng là các "qui luật tự nhiên": "Chuồn chuồn bay thấp thì ma, baycao thì nắng, bay vừa thì râm"; "Chớp đông

nhay nháy, gà gáy thì ma";… Bằng cách trừu t Các "quiluật" này diễn tả một sự tơng ứng của mộthiện tợng thứ nhất với một hiên tợng thứhai

- Trong nghệ thuật nhiếp ảnh thì lợngánh sáng tác động vào phim ảnh cho tơngứng với độ đen của nó.

Trong Toán học mọi quy tắc xác định sự tơng ứng đợc gọi là một hàm số.Trong ví dụ thứ 2, theo cách nói của Toán học thì độ đen của phim ảnh là hàmsố của lợng ánh sáng.

2.2.1.3 Tính chất của các hàm

a) Tính đơn điệu Để liên hệ với thực tiễn các tính chất đặc trng của các

hàm ta hãy để ý đến các câu thành ngữ, châm ngôn Chúng phản ánh nhữngqui luật bền vững rút ra từ kinh nghiệm lâu đời của con ngời.

"Đi một đoạn đàng, học một sàng khôn "

"Ngọc càng mài càng sáng, vàng càng luyện càng trong".

Những thành ngữ trên phản ánh sự phụ thuộc của hiện tợng này (thứ hai)vào một hiện tợng khác (thứ nhất) sao cho hiện tợng thứ nhất tăng (về số lợnghay chất lợng) thì hiện tơng thứ hai cũng tăng (về số lợng hay chất lợng).Những liên hệ phụ thuộc nh vậy khá phổ biến trong thực tiễn Kiến thức giảitích phản ánh sự liên hệ nh vậy là các hàm số đơn điệu tăng.

L ợng ánh sángMức

Hình 2.7

CẪu chẪm ngẬn (Nga): "ChÌo nấu vợi bÈ thỨ khẬng thiu" cúng thể hiệnmờt tÝnh chất tÈng tỳ Chất lùng chÌo cọ thể xem nh mờt hẾm cũa khội lùngbÈ trong nọ Theo chẪm ngẬn thỨ hẾm nẾy khẬng giảm nếu thàm bÈ vẾo Nọcọ thể tẨng làn hoặc cọ thể giứ nguyàn nh cú Mờt loỈi hẾm tÈng tỳ nh vậy Ẽùcgồi lẾ hẾm ẼÈn Ẽiệu khẬng giảm

Nh vậy, tẨng - cọ nghịa lẾ vùt hÈn làn KhẬng giảm - cọ nghịa lẾ hoặc vùthÈn làn hoặc khẬng hÈn làn, khẬng kÐm Ẽi TẨng lẾ trÈng hùp Ẽặc biệt cũakhẬng giảm ThÝ dừ hẾm hÍng thuờc vẾo sộ cÌc hẾm sộ khẬng giảm mặc dủnọ khẬng tẨng làn ỡ bất kỨ bờ phận nẾo cũa miền xÌc ẼÞnh cả.

Nhứng liàn hệ phừ thuờc theo chiều hợngngùc lỈi nh: "CẾng xa cha Ẽớ Ẽầu, cẾng Ýt tờilối" HẾm nẾy chì ra cÌch biàn thiàn cũa Ẽờ Ẽotời lối theo Ẽờ xa ngởi cha Ẽớ Ẽầu ưẪy lẾ mờthẾm ẼÈn Ẽiệu giảm

b) Cỳc ẼỈi - Cỳc tiểu.

NhẾ nẬng thởng nọi: "Cấy dẾy khẬng tộtbÍng cấy tha" Kinh nghiệm nẾy chựng tõ: MủamẾng chì tẨng theo mật Ẽờ cấy Ẽến mờt lục nẾoẼọ, nếu quÌ Ẽi thỨ nọ sé giảm xuộng vỨ khi mồcdẾy quÌ thỨ cẪy lụa sé lấn Ìt nhau.

Mực thu hoỈch lẾ cỳc ẼỈi khi ruờng Ẽùccấy vửa phải Nọ nh lẾ Ẽình nụi, tử Ẽọ mồi conẼởng Ẽều Ẽi xuộng thấp, bất kể bợc về hợngnẾo Tuy nhiàn, nếu bợc Ẽi xa hÈn thỨ ỡ ẼẪu Ẽọsỳ Ẽi xuộng sé thay Ẽỗi vẾ Ẽi làn Ta nọi, cỳcẼỈi lẾ giÌ trÞ lợn nhất cũa hẾm sộ trong nhứng

Ẽiểm lẪn cận nẾo Ẽọ hay cỳc ẼỈi cọ tÝnh chất ẼÞa phÈng.

TrÌi ngùc vợi cỳc ẼỈi cọ cỳc tiểu Cỳc tiểu - xem nh lẾ ẼÌy cũa thunglúng, tử Ẽọ mồi con Ẽởng Ẽều Ẽi làn cao, bất kể bợc về hợng nẾo Tuy nhiàn,nếu bợc Ẽi xa hÈn thỨ ỡ ẼẪu Ẽọ sỳ tẨng làn cọ thể sé thay Ẽỗi vẾ Ẽi xuộng KhiẼọ ta nọi rÍng cỳc tiểu cọ tÝnh chất ẼÞa phÈng

Cỳc ẼỈi vẾ cỳc tiểu Ẽùc Ẽặc trng bỡi tàn gồi khÌi quÌt lẾ "cỳc trÞ" Cúngnh tử "trẽ em" cọ thể hiểu lẾ em trai hoặc em gÌi.

c) TÝnh lổi, lóm.

 Viàn ẼỈn b¾n ra tử nòng sụng nghiàng mờt gọc nẾo Ẽọ vợi mặt nÍmngang sau khi ẼỈt Ẽờ cao cỳc ẼỈi, nọ b¾t Ẽầu rÈi xuộng Quị ẼỈo bay cũa nọ lẾ

ưiểm ẼỈt cỳc ẼỈi

Cỳc ẼỈi

Mật Ẽờ gieoThu

af(a) -

HỨnh 2.9

Khoảng cÌch Ẽến cha Ẽớ dầuườ Ẽo

tời lối

HỨnh 2.8

một parabol lồi.

 Độ tăng chiều cao của con ngời giảm đi theo thời gian, khi đến tuổi ởng thành chiều cao con ngời không tăng nữa và khi về già chiều cao lại giảmxuống Trái lại dân số trên Trái Đất tăng càng nhanh theo thời gian Nếu biểuthị 2 sự kiện này lên đồ thị thì trong trờng hợp thứ nhất ta đợc một đồ thị lồi,còn trờng hợp thứ 2 là một đồ thị lõm.

tr-d) Chu kì của hàm tuần hoàn.

 Câu nói: "Chu kì hoạt động tích cực của mặt trời" đợc khẳng định theongôn ngữ thông thờng Tuy nhiên chỉ có thể nói về sự xen kẽ của các hoạtđộng, nhng không thể nói về tính tuần hoàn theo ý nghĩa chặt chẽ đợc Vì nếunh mọi hiện tợng trên Mặt Trời đợc qui định bởi tính tuần hoàn chặt chẽ thìcác cơ quan nghiên cứu Mặt Trời ở trên khắp thế giới này sẽ trở nên khôngcần thiết.

 Còn câu nói "Tờ báo thờng kì" có ý nghĩa chặt chẽ hơn các tờ báo rahằng ngày, còn nếu cứ thứ 2 mới ra một số thì có thể nói về chu kì một tuần.Các tạp chí thì đợc phát hành 1 số/1 tháng Tuy nhiên ở đây khái niệm về chukì cũng cha có ý nghĩa chặt chẽ tuyệt đối vì các bài báo không trùng nhauhoặc thời gian phát hành cha hẳn đã chính xác tuyệt đối.

e) Tính liên tục và gián đoạn của hàm số.

Sự liên tục và gián đoạn là một trong những khái niệm quan trọng củaGiải tích Trớc hết ta thấy rằng, hàm liên tục là hàm mà ta không phải nhấcbút lên khi vẽ đồ thị của nó Còn hàm gián đoạn thì không vẽ đợc nh vậy.

 Trong thực tế, khi đi xem phim ở rạp chiếu bóng, ngời phụ trách ánhsáng quay từ từ cái cần biến trở, ánh sáng tờ mờ liên tục tắt dần rồi tắt hẳn.Nhng khi ở nhà, lúc tắt bóng đèn thì trớc một thời điểm nào đó độ sáng vẫnkhông giảm và đột nhiên tắt hẳn Sự chuyển từ sáng tới tối nh thế đợc mô tảbằng một hàm gián đoạn.

 Thời gian có thuộc tính liên tục, nhng khi phân chia thành giây, phút,giờ… Bằng cách trừu tthì lại là gián đoạn.

 Đờng thẳng là trờng hợp điển hình cho sự liên tục Nhng các con số tựnhiên kết hợp với điểm trên đờng thẳng là là gián đoan

 Chiếc xe chạy từ Vinh ra Hà Nội thì quảng đờng đi đợc tăng liên tụctheo thời gian.

Bây giờ ta xét một ví dụ tổng quát: Khi ta đi trên đờng dốc hoặc trông

thấy những ngọn núi chẳng hạn ta có suy nghĩ gì về độ dốc của một mặt hay