Tài liệu Chuyên đề:Thể Tích Khối Đa Diện-Mặt TX

8 Năm 2011 Thể tích khối đa diện – Mặt trịn xoay Tốn HH 12 MỤC LỤC PHẦN I THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TRỤ Thể tích khối chóp, khối lăng trụ2-11Các Sai Lầm Thiết Sót Khi Tính Giới Hạn Kỹ Năng Giải Tốn Trắc Nghiệm Về Giới HạnThể Tích khối chóp, khối lăng trụ liên quan đến góc 12-16 P ( n) ∞ I Giới hạn dãy có dạng un = Q(n) , Giới hạn hàm số dạng ∞ II Giới hạn hàm số dạng …… 10 - 11 dạng ∞ − ∞ ………………………… 12 - 13 Một Số Câu Hỏi Trắc Nghiệm Về Giới HạnTỷ số thể tích 16 17-19 Một Số Câu Hỏi Trắc Nghiệm Về Giới HạnDiện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp 16 20-21 Bài tập tự rèn luyện .22-23 PHẦN II MẶT TRÒN XOAY Cơng Thức, Ví dụ .24-26 Bài tập tự rèn luyện 277 PHẦN III MỘT SỐ ĐỀ THI Một đề thi học kỳ , tốt nghiệp liên quan đến thể tích .28-308 Phụ lục Đáp số .318 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang Thể tích khối đa diện – Mặt trịn xoay Tốn HH 12 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ Phần I Trong trường phổ thông , Hình học Không gian toán khó học sinh, học sinh phải đọc thật kỹ đề từ xác định giả thuyết toán, vẽ hình tiến hành giải toán Cả hai chương trình chuẩn nâng cao đề cập đến thể tích khối đa diện ( thể tích khối chóp, khối lăng trụ) Thông thường toán hình chóp phân thành dạng sau: Cho hình chóp Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt − Hình chóp S phẳng đáy S A C O C A B B - Hình chóp tam giác Đa giác đáy : − Tam giác vuông − Tam giác cân − Tam giác − Hình vuông, chữ nhật - Hình chóp tứ giác Thông thường toán hình lăng trụ: C1 A1 C1 A1 V = B.h B1 B1 B: diện tích đáy h : đường cao A C A B Lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 A1A ⊥ (ABC) Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc G C H B Lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 A1G ⊥ (ABC) Trang Thể tích khối đa diện – Mặt trịn xoay Tốn HH 12 HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN A Các Tính Chất : a Tam giác : − Diện tích tam giác A A * S ∆ABC = AB AC.sin µ h * S ∆ABC = BC AH B C H − Các tam giác đặc biệt : o Tam giác vuông : + Định lý pitago: BC = AB + AC + Tỷ số lượng giác tam giác vng A b c C a B Đối b = Huyền a Kề c µ cos B = = Huyền a µ Đối = b tan B = Kề c µ sin B = + Diện tích tam giác vng: S ∆ABC = AB AC o Tam giác cân: A + Đường cao AH đường trung tuyến + Tính đường cao diện tích µ AH = BH tan B S ∆ABC = BC AH B o Tam giác A H C + Đường cao tam giác h = AM = AB G B Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc 3 ) = ( AB ) ( đường cao h = cạnh x C M + Diện tích : S ∆ABC Trang b Tứ giác − Hình vng A + Diện tích hình vuông : B S ABCD = ( AB ) ( Diện tích cạnh bình phương) + Đường chéo hình vng O AC = BD = AB ( đường chéo hình vng cạnh x ) D C + OA = OB = OC = OD − Hình chữ nhật A B + Diện tích hình vng : S ABCD = AB AD ( Diện tích dài nhân rộng) O + Đường chéo hình chữa nhật C OA = OB = OC = OD D B Thể Tích Khối Chóp: + Thể tích khối chóp S V = B.h h C A H Trong : B diện tích đa giác đáy h : đường cao hình chóp B Các khối chóp đặc biệt : − Khối tứ diện đều: + Tất cạnh A + Tất mặt tam giác D B − O + O trọng tâm tam giác đáy Và AO ⊥ (BCD) M S C Khối chóp tứ giác + Tất cạnh bên + Đa giác đáy hình vng tâm O A + SO ⊥ (ABCD) D Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc B O C Trang C Góc: Cách xác định góc − Góc đường thẳng d mặt phẳng (P): o Tìm hình chiếu d/ d lên mặt phẳng (P) o Khi góc d (P) góc d d/ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng, SA vng góc với (ABCD) góc SC với (ABCD) 450 Hãy xác định góc S Giải Ta có : AC = hc( ABCD ) SC · · · ⇒ (SC ,( ABCD )) = (SC , AC ) = SCA = 45o A B O D 45 C − Góc hai mặt phẳng (P) (Q) : o Xác định giao tuyến d (P) (Q) o Tìm (P) đường thẳng a ⊥ (d) , mặt phẳng (Q) đường thẳng b ⊥ (d) o Khi góc (P) (Q) góc hai đường thẳng a b Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ABCD hình vng, góc mặt bên với mặt đáy 600 Hãy xác định góc S A B 60 M O Giải Gọi M trung điểm BC Ta có : (SBC) ∩ (ABCD) = BC (ABCD) ⊃ AM ⊥ BC (SBC) ⊃ SM ⊥ BC ( AM = hc SM ) ( ABCD ) · · · ⇒ (( SBC ), ( ABCD)) = ( SM , AM ) = SMA = 60o C Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang Baøi Toán 1.1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B, AB = a , AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) vẽ thẳng đứng − Sử dụng định lý pitago tam giác vuông  Lời giải: Ta có : AB = a , S AC = a SB = a * ∆ ABC vuông B nên BC = AC − AB = a C A ⇒ S∆ABC = BA.BC = a 2.a = a 2 2 * ∆ SAB vng A có SA = SB − AB = a * Thể tích khối chóp S.ABC B 1 a2 a3 VS ABC = S ABC SA = a = 3 Bài Toán 1.2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) vẽ thẳng đứng − Tam giác ABC vuông , cân B nên BA = BC sử dụng định lý pitago tam giác vng  Lời giải: Ta có : AC = a , S SB = a * ∆ ABC vuông, cân B nên AC =a 1 a2 = BA.BC = a.a = 2 BA = BC = C A B ⇒ S∆ABC * ∆ SAB vng A có SA = SB − AB = a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a2 a3 VS ABC = S ABC SA = a = 3 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang Bài Toán 1.3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) vẽ thẳng đứng − Tam giác ABC có ba góc 600 sử dụng định lý pitago tam giác vuông SAB  Lời giải: * ∆ ABC cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a S ⇒ S∆ABC = BA.BC.sin 600 = 2a.2a = a 2 C A * ∆ SAB vng A có SA = SB − AB = a * Thể tích khối chóp S.ABC B VS ABC 1 a3 = S ABC SA = a 3.a = 3 Bài Toán 1.4: · Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân A, BC = 2a , BAC = 1200 ,cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) vẽ thẳng đứng − Tam giác ABC cân A Â = 1200  Lời giải: · * ∆ ABC cân A, BAC = 1200 , BC = 2a AB = AC = BC = 2a S Xét ∆ AMB vng M có BM = a , Â = 600 C A M B BM a = =a tan 60 1 = AM BC = a.2a = a 2 ⇒ AM = ⇒ S∆ABC * SA = a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a3 VS ABC = S ABC SA = a 3.a = 3 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang Bài Toán 1.5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ đáy hình vng ( vẽ hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) vẽ thẳng đứng − ABCD hình vng ; sử dụng định lý pitago tam giác vuông  Lời giải: Ta có : ABCD hình vng cạnh a S SC = a * Diện tích ABCD ( ⇒ SABCD = a A B ) = 2a * Ta có : AC = AB = a 2 = 2a ∆ SAC vuông A ⇒ SA = SC − AC = a * Thể tích khối chóp S.ABCD D C 1 2a VS ABCD = S ABCD SA = 2a a = 3 Bài Toán 1.6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = AC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ đáy hình vng ( vẽ hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) vẽ thẳng đứng − Biết AC suy cạnh hình vng (Đường chéo hình vng cạnh nhân với )  Lời giải: S Ta có : SA = AC = a * ABCD hình vng AC = AB ⇒ AB = A B AC =a 2 Diện tích ABCD : SABCD = a * SA = a * Thể tích khối chóp S.ABCD D Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc C 1 a3 VS ABCD = S ABCD SA = a a = 3 Trang Bài Toán 1.7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Hình chóp tam giác có đáy tam giác tâm O + Gọi M trung điểm BC + O trọng tâm tam ABC + AM đường cao ∆ ABC − Đường cao hình chóp SO ( SO ⊥ (ABC))  Lời giải:  * S.ABC hình chóp tam giác Gọi M trung điểm BC ∆ ABC cạnh a , tâm O SO ⊥ (ABC) SA=SB=SC = 2a S A C O * ∆ ABC cạnh a M B ⇒ S∆ABC ⇒ AM = a 3 = 3a 2 2 3a ⇒ AO= AM = = a 3 1 3a = AB AC.sin 60 = a 3.a = 2 * ∆ SAO vng A có SO = SA2 − AO = a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 3a a3 VS ABC = S ABC SA = a = 3 4  Nhận xét: học sinh thường làm sai tốn − Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác + khơng xác định vị trí điểm O + khơng hiểu tính chất hình chóp SO ⊥ (ABC) + khơng tính AM khơng tính AO − Tính tốn sai kết thể tích Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính thể tích khối chóp S.AMN A.BCNM Giải  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa kiện liên quan đến khối chóp cho Lời giải:  ( Dùng công thức tỷ số thể tích) S Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh S góc đỉnh S Do theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có N M C A VS AMN SA SM SN 1 = = = VS ABC SA SB SC 2 a 3.a VS ABC a3 ⇒ VS AMN = = = 4 ⇒ VA BCNM = VS ABC = 3a 4 B Bài Toán 3.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi I trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD Giải  Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa kiện liên quan đến khối chóp cho  Lời giải: Gọi O giao điểm AC BD Ta có : IO // SA SA ⊥ (ABCD) ⇒ IO ⊥ (ABCD) S I A D O C Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc ⇒ VI ABCD = S ABCD IO Mà : S ABCD = a B SA IO = =a a3 VI ABCD = a a = Vậy 3 Trang 18 Dạng DIỆN TÍCH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP THỂ TÍCH KHỐI CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP Trong chương trình tốn phổ thơng, u cầu xác định tâm , bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu - Xác định tâm I bán kính mặt cầu ngoại tiếp hinh chóp - Cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu S( s ) = 4π R V( s ) = 4π R 3 Bài Toán 4.1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên tạo với đáy góc 45o Tính thể tích khối chóp S.ABCD thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Giải  Lời giải: S * S.ABCD hình chóp tứ giác ABCD hình vng cạnh 2a , tâm O SO ⊥ (ABCD) OC = hc SC ( ABCD ) · · · ⇒ ( SC , ( ABCD)) = ( SC , OC ) = SCO = 45o A D B O * Diện tích hình vng ABCD ⇒ AC = 2a ⇒ OC=AO= AC = 2a = a 2 2 ⇒ SABCD = ( 2a ) = 4a 45 C · * ∆ SOC vuông O có OC = a , SCO = 45o ⇒ SO = OC = a * Thể tích khối chóp S.ABCD 1 4a VS ABCD = S ABCD SO = 4a a = 3 * Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Ta có OA=OB=OC=OD=OS= a ⇒ mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có tâm O bán kính R = a 4π R 4π (a 2)3 8π a3 Vậy V( s ) = = = Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc 3 Trang 19 Bài Toán 4.2: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a 1) Tính thể tích khối chóp 2) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 3) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Giải S M I C B O A D Gọi O giao điểm AC BD Ta có : SO ⊥ (ABCD) V = SO.dt ( ABCD ) 0,25 dt(ABCD) = a2 2a a2 7a 2 SO = SC = 4a − = 2 a 14 ⇒ SO = a 14 Vậy : V = 0,25 Dựng trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD) Dựng trung trực SA ⇒ d ⊥ SA trung điểm M Xét (SAO) có d cắt SO I, ta có : SI = IA IA = IB = IC = ID ⇒ IS = IA = IB = IC = ID ⇒ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I bán kính r = SI ∆SIM : ∆SAO ⇒ 0,25 0,25 0,25 0,25 SI SM SM.SA = ⇒ SI = SA SO SO ⇒ SI = 2a 14 2a 14 Vậy : r = SI = 7 224π a 49 448π a 14 V = π r3 = 1029 0,25 S = 4π r = Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc 0,25 Trang 20 Bài Tập Về Thể Tích Khối Đa Diện Bài 1.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Tính thể tích khối chóp S BCD theo a Bài 1.2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a; góc cạnh bên đáy 60 Tính thể tích khối chóp theo a ? Bài 1.3 Cho khối chóp tam giác S.ABC có AB = a , góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp theo a Bài 1.4 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a ; SA ⊥ ( ABCD ) Cạnh bên SB a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 1.5 Bài 1.6 Cho hình chóp S.ABC có ABC vng cân B, AC = 2a, SA ⊥ ( ABC ) , góc SB mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 1.7 Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông B, AB = a 3,AC = 2a , góc cạnh bên SB mặt đáy (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 1.8 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C, AB = 2a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy góc 30 Gọi M trung điểm SB Tính thể tích khối chóp M.ABC Bài 1.9 Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân A với BC = 2a , biết SA ⊥ (ABC) mặt (SBC) hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC Bài 1.10 Cho hình chóp tam giác S.ABC, gọi M, N, K trung điểm AB, BC, CA Tính tỷ số thể tích hai khối chóp SMNK SABC · Cho hình chóp S.ABC có SB = a ,AB=AC = a, BAC = 600 , Hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 1.12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AC = a , Bài 1.11 cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 1.13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA= b Cắt khối chóp mặt phẳng (SBD) ta hai khối chóp đỉnh S a) Kể tên so sánh thể tích hai khối chóp b) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình chóp S.ABCD c) Tính thể tích hai khối chóp S.ABC S.ABCD Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 21 Bài 1.14 Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh a a) Chứng minh SABCD khối chóp tứ giác b) Tính thể tích khối chóp SABCD c) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABCD Bài 1.15 Cho hình chóp S.ABC , có đáy ABC tam giác cạnh 3a , tâm O.Các cạnh bên SA=SB=SC cạnh bên SA tạo với mặt đáy góc 45o a).Tính thể tích khối chóp SABC b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 1.16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác tâm O, cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Xác định tâm I tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 1.17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD · Biết AB = 3a, BC = 4a SAO = 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 1.18 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AC = a , hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) SA = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính diện tích thể tích mặt cầu khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài 1.19 Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vuông A, A/A=A/B=A/C , AB = a, AC = a , cạnh A/A tạo với mặt đáy góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ Bài 1.20 Cho tứ diện ABCD cạnh a.Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Tính diện tích mặt cầu Tính thể tích khối cầu tương ứng Bài 1.21 Cho hình chóp tứ giác có cạnh a, cạnh bên hợp đáy góc 600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích mặt cầu Tính thể tích khối cầu tương ứng Bài 1.22 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân với AB=AC=a · BAC = 120 , cạnh AA’= a Gọi I trung điểm CC’ a) Chứng minh Tam giác AB’I vuông A b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 1.23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA ⊥ (ABC) SA = 2a Gọi M trung điểm SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB) Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 22 MẶT TRỊN XOAY Phần II HÌNH TRỤ HÌNH NĨN B R A l =h S O l = h2 + R2 l l h A' O' A B' * Diện tích xung quanh R O * Diện tích xung quanh Sxq = 2π Rl Sxq = π Rl * Diện tích tồn phần * Diện tích tồn phần Stp = 2π Rl + 2π R Stp = π Rl + π R * Thể Tích Khối trụ * Thể Tích Khối trụ V(T ) = π R h V( N ) = π R2h Ví dụ 2.1: Cho hình trụ có bán kính R = a, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích 6a Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ Giải * Mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo hình chữ nhật ⇒ S = l R = 6a ⇒ l= 6a = 3a 2R * Diện tích xung quanh : Sxq = 2π Rl = 2π a.3a = 6π a 2 * Thể tích khối trụ : V(T ) = π R h = π a 3a = 3π a Ví dụ 2.2: Cho hình nón,mặt phẳng qua trục cắt hình nón tạo thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón Giải * Mặt phẳng qua trục cắt hình nón tạo tam giác cạnh 2a ⇒ l = R = 2a ⇒ h = l − R = (2a)2 − a = a * Diện tích xung quanh : Sxq = π Rl = π a.2a = 2π a * Thể tích khối trụ : V(T ) = Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc π R h π a a π a3 = = 3 Trang 23 B · Cho khối chóp S.ABCD có AB = a, gọi O tâm đáy, SAO = 600 1.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 2.Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S, đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Giải 0.25 1) Vì S.ABCD nên SO ⊥ ( ABCD) Ta có : S ABCD = a ; 0.25 a a a · ∆SOA vuông O có : SO = AO tan SAO = tan 60 = 3= 2 0.25 1 a a3 (đvtt) ⇒ VS.ABCD = SABCD SO = a = 0.25 3 S Ví dụ 2.3: A D O B C 2.Gọi l,r đường sinh,bán kính đáy hình nón Ta có : r = OA = a ; 0.25 2 a 6 a 2 3a a l = SA = SO + AO =  + = + =a  ÷  ÷ ÷ ÷ 2     ⇒ Sxq = πrl = π 0.25 a a = πa (đvdt) 0.5 Ví dụ 2.4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAC 45 o a) Tính thể tích khối chóp b) Tính diện tích xung quanh mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Giải a) Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD) V = B.h, B = a ; h = SO = OA.tan 450 = a 3 ⇒ V= a (đvtt) b) Ta có R =OA, l =SA= a a a2 Vậy Sxq = π a =π 2 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 24 Ví dụ 2.5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b) Tính diện tích mặt trụ trịn xoay ngoại tiếp hình trụ a) Ta có V = B.h , B diện tích đáy lăng trụ, h chiều cao lăng trụ a2 Vì tam giác ABC đều, có cạnh a nên B = S ABC = h = AA’ = a ⇒ V = a3 (đvtt) b) Diện tích xung quanh mặt trụ tính theo cơng thức Sxq = 2π R.l R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC a a = , l =AA’ =a 3 ⇒ R= Vậy diện tích cần tìm Sxq = 2π a a2 (đvdt) a = 2π 3 Ví dụ 2.6: Một hình nón có đường sinh 2a thiết diện qua trục tam giác vng a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón Giải ∧ ∧ S a) Thiết diện qua trục tam giác SAB vuông cân S nên A = B = 450 ⇒ SO = OA = h=R= l =a ⇒ Sxq = πRl = π.a 2a = 2πa2 ⇒ Stp = Sxq + Sđáy = 2π a + 2π a = (2 + 2)π a =2a 45 1 2πa3 A b) V = πR h = π2a2 a = O 3 Ví dụ 2.7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA o vng góc với đáy Gọi I trung điểm SC a) Tính thể tích khối chóp I.ABCD b) Tính thể tích khối nón ngoại tiếp khối chóp I.ABCD ( khối nón có đỉnh I đáy hình trịn ngoại tiếp hình vng ABCD) SA a S = a) Ta có IO ⊥ (ABCD) IO = 2 Thể tích VI ABCD I A B a3 = S ABCD IO = b) Ta có khối nón có h = IO = a Bán kính hình trịn đáy R = D O Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc C OA = AC a = 2 Trang 25 B Vậy V( N ) a2 a π a3 = π R h = π = 3 2 12 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 26 Bài Tập Về Mặt Tròn Xoay Bài 2.1 Một hình trụ có khoảng cách hai đáy 7a Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục đoạn d = 3a theo thiết diện có diện tích S=56a2 Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ Bài 2.2 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính thể tích khối nón diện tích xung quanh hình nón đă cho Bài 2.3 Cho hình nón trịn xoay có đường cao h=a, bán kính đáy r=1,5a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón cho theo a Bài 2.4 Cho tam giác ABC vng cân A,có BC=20 (cm) Hình nón tr ̣ịn xoay quay đường gấp khúc CBA xung quanh trục đường thẳng chứa cạnh AB Tính Diện tích xung quanh hình nón Thể tích khối nón Bài 2.5 Cho hình lập phương ABCD A' B 'C ' D ' có cạnh a Gọi O tâm hình vng ABCD a) Tính thể tích hình chóp O A' B 'C ' b) Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón có đỉnh O đáy hình tr ̣ịn nội tiếp hình vng A' B 'C ' D ' Bài 2.6 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có SA vng góc với đáy SA = AC a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Khi quay tam giác SAB quanh trục SA tạo hình nón Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón Bài 2.7 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có SA vng góc với đáy cạnh SB = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 2.8 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm BC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC S.ABI theo a b) Một hình nón có đỉnh trùng với đỉnh hình chóp đáy hình trịn ngoại tiếp đa giác đáy hình chóp Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón Bài 2.9 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, SA vng góc với đáy Biết AB=a, BC = a , SA=3a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài 2.10 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, SA vng góc với đáy Biết SA=AB=BC=a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 27 MỘT SỐ ĐỀ THI LIÊN QUAN ĐẾN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Đề Thi Học Kỳ 1- Năm học 2008-2009 (1,0 điểm) Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a S Gọi O tâm đáy M trung điểm BC Do S.ABC hình chóp tam giác nên:  SO ⊥ ( ABC )   ·  g ( (SBC );( ABC ) ) = SMO = 60  0,25 2a A C O 2a Vì tam giác ABC tam giác cạnh 2a nên: (2a)2 3 a B S∆ABC = = a OM = 2a = a Xét tam giác vuông SMO: SO = OM t an60 = 3=a 1 a3 Vậy V = S∆ABC SO = a 3.a = 3 60 M 2a 0,25 0,25 0,25 Đề Thi Học Kỳ 1- Năm học 2009-2010 (2,0 điểm) Đáp số : V = Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc 3a3 2a ,R = Trang 28 Đề Thi Diễn Tập TN 2009 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông B, AB = a 3,AC = 2a , góc mặt bên (SBC) mặt đáy (ABC) 600 Gọi M trung điểm AC Tính thể tích khối chóp S.BCM khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) Giải Tính thể tích khối chóp S.BCM khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) 1.0 ì SA ^ (ABC) ï ï · · Þ BC ^ SB Þ SBA = éSBC ) ;( ABC ) ù= 600 ( Do í ë û ï BC ^ AB ï ï ỵ S 0.25 Xét tam giác vng SAB SBC ta có: ì ï ï ï ï SA = AB.t an600 = a 3 = 3a ï ï ï A ï SB = SA + AB2 = 2a ï ï ï ï ï BC = AC2 - AB2 = a í ï ï ï ï ï dt(D MBC) = dt(D ABC) = AB.BC = a ï ï 4 ï ï ï ï dt(D SBC) = SB.BC = a2 ï ï ỵ Suy ra: 1 a2 a3 VS.BCM = dt(D MBC).SA = 3a = 3 4 a 3 3VS.BCM 3a d(M,(SBC)) = = 24 = dt(D SBC) a M B C 0.25 0.25 0.25 Đề Thi Diễn Tập TN 2010 (1,0 điểm) Đáp số : V = Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc a3 36 Trang 29 Đề thi TN 2009 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc · với mặt phẳng đáy Biết BAC = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Đề thi TN 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBD) mặt phẳng đáy 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 30 PHỤ LỤC ĐÁP SỐ Phần I a3 1.1 a 1.2 6 a 1.3 3 b) R = 2a 3 10a3 a3 a V= ,R= 1.19 V= a3 1.8 2a 3 1.9 a3 3 1.10 a 1.11 V= π a 8π a a R= ,S= 3 1.21 V= 3 3a3 3π a a R= ,S= 1.20 1.7 8π a 27 1.22 1.12 a3 1.13 S xq = a b + a + b ( ( Stq = a a + b + a + b a3 1.23 12 V= V= Sxq = 70π a2 , V = 175π a3 2a 3 1.18 a3 1.6 2.1 a3 1.17 2a 3 1.5 a) V= 1.16 12 1.4 9a3 , R = OA=a 1.15 Phần II AC a 2 c) R = 2.2 V= π a π a ; S xq = 24 2.3 S xq = 3π a 13 3π a ,V = 4 2.4 S = 400 2π ,V= 8000 π π a3 π a2 2.5 Sxq= ,V(N)= 12 2.6 V = a3 2.7 V= a3 2.8 a 11 VS ABI = VS ABC = 24 2.9 VS ABC = 2.10 a3 a 13 ,R= 2 VS ABC = a3 a a3 ,h= ) ) VS ABC = a b VS ABCD = a b 1.14 b).V = a3 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Trang 31 ... đường cao (nếu đa giác đáy) diện tích đáy (nếu đường cao) khối chóp “nhỏ” khối chóp cho kết luận thể tích khối cần tìm k lần thể tích khối cho + Cách 3: dùng tỷ số thể tích Hai khối chóp S.MNK...Thể tích khối đa diện – Mặt trịn xoay Tốn HH 12 MỤC LỤC PHẦN I THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TRỤ Thể tích khối chóp, khối lăng trụ2-11Các Sai Lầm Thiết Sót... toán tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ Đó vấn đề khó học sinh lớp 12 vận dụng đa số học sinh quên cách vận dụng, từ đa số học sinh bỏ làm sai toán tính thể tích khối chóp , khối lăng trụ