Tài liệu Chuyên đề Thể tích khối đa diện pdf

Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I Ơn tập kiến thức bản: ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP - 10 Hệ thức lượng tam giác vuông : cho DABC vuông A ta có : a) Định lý Pitago : BC = AB + AC A b) BA2 = BH BC; CA2 = CH CB b c) AB AC = BC AH c 1 = + d) 2 AH AB AC H M B e) BC = 2AM a b c b c f) sin B = , cosB = , tan B = , cot B = a a c b b b = g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = , sin B cos C b = c tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c = = = 2R * Định lý hàm số Sin: sin A sin B sin C Các cơng thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: a.b.c a+b+c = p.r = p.( p - a )( p - b)( p - c) với p = S = a.ha = a.b sin C = 4R 2 C a S = S = AB AC Đặc biệt :* DABC vuông A : ,* DABC cạnh a: b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình trịn : S = p R ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 http://book.mathvn.com Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: a Đường thẳng mặt phẳng gọi song song a/ /(P) ÛaÇ(P) =Ỉ với chúng (P) khơng có điểm chung II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng d ìd Ë (P) ï íd / /a Þ d / /(P) ïa Ì (P) ỵ ìa/ /(P) ï Þ d / /a ía Ì (Q) ï(P) Ç (Q) = d ỵ a (P) (Q) a d (P) ì(P) Ç (Q) = d ï Þ d / /a í(P)/ /a ù(Q)/ /a ợ d a Q P Đ2.HAI MT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song vi http://book.mathvn.com (P)/ /(Q) (P) ầ(Q) =ặ P Q ỡa,b è (P) ù ị (P)/ /(Q) ớa ầ b = I ïa/ /(Q),b / /(Q) ỵ a P b I Q Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song a ì(P) / /(Q) Þ a / /(Q) í ỵa Ì (P) P Q R ì(P) / /(Q) ï ớ(R) ầ (P) = a ị a / / b ù(R) ầ (Q) = b ợ a P b Q B.QUAN HỆ VNG GĨC §1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng a gọi vng góc với a ^ mp(P) Û a ^ c,"c Ì (P) mặt phẳng vng góc với đường thẳng c P nằm mặt phẳng II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) ìd ^ a ,d ^ b ï ía ,b Ì mp(P) Þd ^ mp(P) ïa,b cắt ỵ d P b a a a ^ mp(P),b Ì mp(P) b ^ a Ûb ^ a' P a' b §2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 http://book.mathvn.com Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com II Các định lý: ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với ìa ^ mp(P) Þ mp(Q) ^ mp(P) mặt phẳng khác hai í a Ì mp(Q) mặt phẳng vng góc ỵ với ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc ì(P) ^ (Q) với thỡ bt c ù ớ(P) ầ(Q) = d ịa ^ (Q) đường thẳng a nằm ïa Ì (P),a ^ d (P), vng góc với ỵ giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vuông ì(P) ^ (Q) góc với A ï ùA ẻ (P) mt im (P) thỡ ị a Ì (P) í đường thẳng a qua A Ỵ a ï điểm A vng góc ïỵa ^ (Q) với (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt ì(P) Ç (Q) = a vng góc với mặt ï Þ a ^ (R) phẳng thứ ba giao í(P) ^ (R) tuyến chúng vng ï(Q) ^ (R) góc với mặt phẳng thứ ỵ ba Q a P P a Q d P a A Q P Q a R §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) O O a H P H d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH http://book.mathvn.com Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) d(a;(P)) = OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a;b) = AB O a H P O P H Q A a b B §4.GĨC Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ mp(P) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm http://book.mathvn.com a a' b' b a a' P a P b Q a P b Q Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) S S' = Scos j A j góc hai mặt phẳng (P),(P’) C j B ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h ì B : d ie än tíc h đ a ùy ỵ h : c h ie àu c a o h với í B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước a b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: c b a a a V= Bh h ìB : diện tích đáy với í ỵ h : chiều cao TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC VSA ' B ' C ' SA SB SC = SA ' SB ' SC ' http://book.mathvn.com B S C' A' A B' C B Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT: ( A' ) h B + B'+ BB' ìB, B' : diện tích hai đáy với í ỵ h : chieàu cao V= B' C' A B C Chú ý: 1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a + b2 + c , 2/ Đường cao tam giác cạnh a h = a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác II/ Bài tập: Nội dung LOẠI 1: 1) Dạng 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ a Lời giải: Ta có VABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng Þ AA' ^ AB VAA 'B Þ AA '2 = A'B2 - AB2 = 8a2 Þ AA ' = 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ ? http://book.mathvn.com Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Lời giải: ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 Þ BD = 3a 3a ABCD hình vng Þ AB = 2 9a Suy B = SABCD = Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 C' D' A' B' 4a 5a C D A B Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có V ABC nên C' A' B' AI = A AB = & AI ^ BC Þ A 'I ^ BC(dl3 ^) 2S SA'BC = BC.A 'I Þ A 'I = A'BC = BC AA ' ^ (ABC) Þ AA ' ^ AI C VA 'AI Þ AA ' = A 'I2 - AI2 = Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= I B Ví dụ 4: Một bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp C' D' D' D' D A' B' D C A' A B A A' Giải C' Theo đề bài, ta có C C' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình vng có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm chiều cao hộp h = 12 cm B B' Vậy thể tích hộp V = SABCD.h = 4800cm3 B' Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn http://book.mathvn.com Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp C' D' Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a SABCD = 2SABD = B' A' a =a VDD'B Þ DD' = BD'2 - BD2 = a a3 Vậy V = SABCD.DD' = Theo đề BD' = AC = C D A a2 60 B Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh lăng trụ a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ a3 ĐS: V = ; S = 3a2 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết BD' = a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo 6cm 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ Đs: V = 240cm3 S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 13cm ;30cm biết tổng diện tích mặt bên 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A ,biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3 Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3 Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 19,20,37 chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2888 Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 m2 Tính thể tích khối lập phương Đs: V = m3 Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = 0,4 m3 http://book.mathvn.com Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt 5; 10; 13 Tính thể tích khối hộp Đs: V = 2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ C' A' B' C A 60o B Lời giải: Ta có A 'A ^ (ABC) Þ A 'A ^ AB& AB hình chiếu A'B đáy ABC Vậy góc[A 'B,(ABC)] = ¼ ABA ' = 60o VABA ' Þ AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a3 Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác ¼ = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 vng A với AC = a , ACB Tính AC' thể tích lăng trụ A' C' B' A 30o a o 60 B C Lời giải: VABC Þ AB = AC.tan60o = a Ta có: AB ^ AC;AB ^ AA' Þ AB ^ (AA'C'C) nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = ¼ BC'A = 30o AB VAC'B Þ AC' = = 3a t an30o V =B.h = SABC.AA' VAA 'C' Þ AA' = AC'2 - A 'C'2 = 2a a2 VABC nửa tam giác nên SABC = Vậy V = a Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a http://book.mathvn.com 10 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com S H 60 A B a C o D Lời giải: 1)Ta có SA ^ (ABC) CD ^ AD Þ CD ^ SD ( đl ^ ).(1) ¼ = 60o Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA VSAD vng nên SA = AD.tan60o = a 1 a3 Vậy V = SABCD SA = a2a = 3 2) Ta dựng AH ^ SD ,vì CD ^ (SAD) (do (1) ) nên CD ^ AH Þ AH ^ (SCD) Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD) 1 1 VSAD Þ = + = 2+ 2= 2 2 AH SA AD 3a a 3a a Vậy AH = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân B với BA=BC=a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với (SAB) góc 30o a3 Tính thể tích hình chóp Đs: V = Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy (ABC) SA = h ,biết tam giác ABC mặt (SBC) hợp với đáy ABC góc 30o Tính thể h3 tích khối chóp SABC Đs: V = Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng A SB vng góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) góc 30o (SAC) hợp với (ABC) góc 60o Chứng minh SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp a3 Đs: V = 27 Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD ^ (ABC) biết AC = AD = cm,AB = cm, BC = cm 1) Tính thể tích ABCD Đs: V = cm3 12 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Đs: d = 34 Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với BC = 2a , góc ¼ BAC = 120o , biết SA ^ (ABC) mặt (SBC) hợp với đáy góc 45o a3 Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V = Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình vng biết SA ^ (ABCD),SC = a SC hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp a3 Đs: V = 48 Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết http://book.mathvn.com 20 ... HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h ì B : d ie än tíc h đ a ùy ỵ h : c h ie àu c a o h với í B a) Thể tích khối hộp chữ nhật:... kích thước a b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: c b a a a V= Bh h ìB : diện tích đáy với í ỵ h : chiều cao TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’,... http://book.mathvn.com a a'' b'' b a a'' P a P b Q a P b Q Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) S S'' = Scos