Đang tải... (xem toàn văn)
- Hai mp vuoâng goùc : VTpt mp naày laø moät vtcp cuaû mp kia. Suy ra ABCD töù[r]
(1)TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN BÀI : VÉC TƠ
1- véc tơ không gian:
- Các khái niệm , đn, phép toán véctơ… Giống mặt phẳng
2- Véc tơ đồng phẳng :
- Đlí , Đlí 2, Đlí ( SGK ) 3- Một số đẳng thức véctơ :
- Qui tắc điểm , hệ thức trung tuyến , hệ thức trọng tâm tam giác
BAØI : HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ – TOẠ ĐỘ VÉC TƠ – TOẠ ĐỘ MỘT ĐIỂM
1- Hệtrục toạ độ : 2- Toạ độ cuả véctơ : -Cho a ta có :
1 ( ; ; )1
a a i a j a k a a a a
- Tính chất : Cộng , trừ , k.a
, phương
VD : Cho :
(1; 2;3) (1; 1/ 2;0)
:
a b
Tinh a b
4- Toạ độ cuả điểm :
( ; ; ) OM xi y j zk M x y z
Định Lí : Toạ độ :
( B A; B A; B A)
AB x x y y z z
5- Toạ độ số điểm :
- M chia AB theo tỉ số K - I trung điểm AB
- G trọng tâm tam giác ABC - G trọng tâm tứ diện ABCD VD : Cho M(1;3;-2) Tìm toạ độ hình chiếu cuả điểm M :
- mp toạ độ : xOy , yOz , xOz - trục : 0x ,oy ,oz
BÀI : TÍCH VƠ HƯỚNG – TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
1- Tích vơ hướng :
ĐN : a b a b 1 a b2 2a b3
TC :
2 2
1
a a a a
AB=
2 2
( B A) ( B A) ( B A)
AB x x y y z z
cos( , )
a b a b
a b
a b 0 ab
VD: Cho tgiác ABC có :
A(2;1;-1); B(3;2;-1) C( 3;1;0) Tính chu vi góc A cuả tgiác ABC 2- Tích có hướng :
a-ĐN :
b-TC :( bốn T/C ) VÍ DỤ: Choba vec tơ :
(1;1; 1); (1;2; 2); (2;5;7)
a b c
CMR : Ba vectơ đồng phẳng c- Ứng dụng :
UD1: Tính diện tích tam giác ABC UD2: Tính thể tích tứ diện
UD3: Tính thể tích hình hộp Ví dụ :Cho bốnđiểm :
A(1;0;0) ; B(0;1;0) ; C( 0;0;1)vaø D(-2;0;2)
CMR : A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện Tính thể tích đường cao AH cuả tứ diện
BÀI TẬP :
1- Cho A(1;0;0) ;B( 0;0;1) C(2;1;1) a-Tìm chu vi tính diện tích tgiác ABC
b- Tìm toạ điểm D để ABCD hình bình hành c- Tính góc A cuả tgiác ABC
(2)c- Tính bán kính đường trịn ngoại , nội tiếp R , r tgiác ABC d- Tìm toạ độ chân đường phân giác
trong BE cuaû tam giaùc ABC 3- Cho : A(0;1;0) ; B(2;3;1) ; C(-2;2;2) vaø D( 1;-1;2)
a-CMR : ABCD tứ diện có có mặt vuộng A
b-Tính thể tích tứ diện ABCD
c-Gọi G trọng tâm tam giác BCD CMR: AG vuông góc mp( BCD )
BÀI : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1-vtpt – cặp vtcp cuả mp :
*Vt n0: Gọi vtpt cuả mp( ) ,nếu vuông
gócvới mp().
* a b , 0 : gọi cặp VTCP cuả mp( )nếu chúng
khơng phương ssong nằm mp(
).
*Nếu mp( ) có cặp vtct a b, 0 :
thìmp( ) có
vtpt laø na b,
2-Pt tổng quát cuả mặt phẳng: *Định nghiã : Pt cuả mp có dạng :
mp( ) : Ax + By + CZ+D = 0
Với : VTpt n( ; ; )A B C .
** Định lí :Mp() qua M(x0;y0;z0)và có vtpt
( ; ; ) n A B C
laø :
mp( ) A(x-x0)+ B(y-y0)+ C(z-z0)= 0
*** Chú ý:
-mp( ) qua gốc O: Ax+By+Cz =
- Mp(xOy) : z=0 - Mp(xOz) : y=0 - Mp(yOz) : x=0
-mp( ) qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) vaø C(0;0;c) :
( ) x y z
a b c
-Hai mp ssong: Vtpt mp nầy vtpt cuả mp
- Hai mp vuông góc : VTpt mp nầy vtcp cuả mp
VÍ Dụ Bài tập :
Viếtpt mp( ) cáctrường họp sau :
1- ( ) qua A(1;-2;3) có vtpt n(2; 3; 1)
2-( ) có Cặp VTCP a(0;1; 2);b(1; 2;3) vaø
qua M(1;-2;3)
3-( ) qua 3điểm : A(1;0;3) ; B(-1;2;-2)
C(2;-3;1)
4-( ) qua A(-1;3;2) vng góc với trục 0z.
5-( ) qua A(-3;2;-2) chứa ox
6- ( ) qua hình chiếu cuả A(1;-2;3) lên trục
Ox,Oy,Oz
7-Cho : A(2;-1;4) ; B(-1;0;2) , C(1;1;-1) ; D(0;3;-1) a- Viết ptmp(ABC) Suy ABCD tứ
(3)b- Vieát ptmp( ) qua D vuông góc
DC
BÀI : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI MP – CHÙM MP
1- Vị trí tương đối hai mặt phẳng : Cho hai mp : ( 1) A1x +B1y+C1=0
( 2) A2x +B2y+C2=0
* ( 1) caét( 2)
1 1
2 2
A B C
A B C
*( 1) ssong ( 2)
1 1
2 2
A B C D A B C D
* (1) ( 2)
1 1
2 2
A B C D A B C D
2- Chùm mặt phẳng : Định Nghiã : Định lí :
Ví dụ tập : 1- Cho hai mp ( 1 ) x+y+5z =
( 2) 2x+3y-z =
a- CMR : ( 1 ) (2 ) cắt theo
giao tuyeán (d )
b-Viết pt mp ( ) qua M(3;2;1) chứa
gtuyến (d ) ĐS : 5x+14y-74z +31 =
Bài tập : Viết ptmp( ) qua gioa tuyế cuả haimp :
2x – z = ; x+y-z + =
vaø vuông góc mp : 7x –y +4z – =
BÀI : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNGTHẲNG – Pt tham số cuả đường thẳng :
Định lí :
-Đường thẳng (d) qua điểm M ( x0;y0;z0) có
vtcp a( ; ; )a a a1
ptts (d) có dạng:
(d)
0 x x a t
y y a t t R z z a t
2-Pt tắc cuả đưởng thẳng ( d ) : Định lí :
-Đường thẳng (d) qua điểm M ( x0;y0;z0) có
vtcp a( ; ; )a a a1
thì ptctắc cuả (d) có dạng: (d)
0 0
1
x x y y z z
a a a
** Chú ý :
-Hai mp ssong :VTcp a1a2
-mp vng góc với đthẳng: VTcp ad vtpt n
VD : Viết ptts ptct đường thẳng AB : Với A(3;5;7) B( 1;2;3)
3- Ptrình tổng quát cuả đường thẳng : -Trong không gian hai mp ( 1 ) ( 2 )
caét theo giao tuyến (d ) pt tổng quát cuả (d) có dạng
(d)
1 1
2 2
0 A x B y C z D A x B y C z D
Chú ý :
- Tìm điểm M thuộc (d) ta cho ẩn giài hpt tìm hai ẩn lại : M(x;y;z)
- Véc tơ phương cuả ( d) : ad n n1; 2 ( ; ; )a a a1
- pttq trục toạ độ : Ox
0 y z
; Oy
0 x z
; OZ
0 y z
(4)(D)
3
4
x y y z
BAØI TẬP : ĐƯỜNG THẲNG
1-Viết pt : ts , ctắc , pttq AB: Với A(-1;2;-2) B( 2;-3;4 )
2-Viết PTTS PTTQ cuả đường thẳng (d) biết : a- Qua A(-1;2;-3) ssong trục Ox
b- Qua M( 2;-4;-2)và vng góc với mp(Oxy) c- Qua M (2;3;5) ssong với đường thẳng :
(D)
3
3
x y z
x y z
d- Qua A(3;2;1) vng góc với đt:
3 ( )
2
x y z
cắt ()
3-Cho mp( ) P: x+y+z-1= đt(d1)
1 x z
Viết ptđt (d2) qua điểm M(1;1;-1) ,biết (d2)
nằm mp() d2 vuông góc d1
4-Viết ptđt(d’) hình chiếu vuông góc đt (d)
leân mp ( ) :
a- Cho (d) :
2
3
x y z
Vaø mp( ) 2x + y + z – = 0
b- Cho
2 ( )
2
x y z d x z
Vaø ( ) x-y +2z-1 =
BÀI : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CUẢ ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG
1- Toạđộ giao điểm cuả đường thẳng vả mphẳng :
TH1 : Cho (d)
0 x x a t
y y a t t R z z a t
Vaø mp() : Ax+By+cz+D = 0
-Ta (d) vaò pt mp( ) giải tìm t =
-Thế t = vào pt (d) tìm : x;y;z
TH2 :Cho (d)
1 1
2 2
0 A x B y C z D A x B y C z D
Vaø mp() : Ax+By+cz+D = 0
-Dùng máy tính,giải pt ẩn tìm toạ độ giao điểm x;y;z
Ví dụ- Bài tập :
1- Tìm toạ độ giao điểm cuả (d) mp( ):
a-Cho (d)
2 ; ( ) 2
3
x t
y t x y z
z t b-Cho:
3 16
( ) ; ( )
2
x y z
d x z
x y z
2- Cho ñt (d) :
3
2
x y z
Vaø mp( ) x+y+z =
a-Tìm toạ giao điểm A cuả (d) mp()
b-Viếtptđt ( D ) qua A vuông góc (d) nằm mp( )
2-Vị tí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cách 1:
-Gọi VTcp (d) ad va vtpt mp( ) n
: Neáu a nd 0 ( )d cat( )
Neáu // : ; : ; d
d M d M
a n
d M d M
(5)Caùch2:
- Giải hpt giưã (d) mp() :
+ Hệ có nghiệm : (d) cắt ()
+ Hệpt vô nghiệm : (d) // mp( )
+ Hệpt vô số nghiệm : (d) mp( ).
Ví dụ- Bài tập :
1-Xét vị trí tương đối (d) vàcác mp( ) :
Cho (d)
1 2
x t
y t
z t
và mp( ) :
( 1) x+y+z+2 = 0
( 2) 4x+8y+2z – =0
( 3) 2x-2y+4z –10 =
( 4) x-y+2z+5 =
2-Cho (d) : (d) :
1
2 1
x y z
vaø mp( ) : x+2y +z –1 =
CMR : d cắt mp( ) tìm toạ độ giao điểm nầy.
ÑS : I( 7/3;-1/3;-2/3)
3- Vịtrí tương đối đthẳng đthẳng : * Cách :
-(d1) qua M(x0;y0;z0) , coù vtcp a1
- (d2) qua N(x0;y0;z0) , coù vtcp a2
Tính : a a1, 2 , MN
+
2
1 2
:
d cat d a a MN a a
d cheo d a a MN
+
1 2
1
1 2
//
d d M d thi M d a a
d d M d thi M d
** Caùch :
-Giải hệ pt gồm hai đường thẳng d1 d2
Ví dụ1 : Cho (d1)
3
2
x y z x y z
(d2)
1
1
x y z
CMR: d1d2 vaø d1 cắt d2
Ví dụ2 : Xét vịtrí tương đối của: (d) với d1, d2, d3 d4 :
2
3
4
1
( )
2
4
:
6
3
:
4
3
:
4
1
:
3 2
x y z
d
x y z
d
x y z
d
x y z
d
x y z
d
(6)BAØI : KHOẢNG CÁCH 1-khoảng cách giưã hai điểm :
AB = AB (xB xA)2(yB yA)2(zB zA)2
2-Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng :
d=(M; ) =
0 0
2 2
Ax By Cz D
A B C
3-Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng : -Tính kcách từ : M(x0;y0;z0) đến (d)
- Gọi : N(x0;y0;z0) thuộc d ,vtcp d : a( ; ; )a a a1
thì : t= d(M,d) = , a MN
a
4-Khoảng cách giưã hai đường thẳng chéo - d1) qua M(x0;y0;z0) , có vtcp a1
-(d2) qua N(x0;y0;z0) , coù vtcp a2
d= d(d1;d2 ) =
1 2
,
, a a MN
a a
Ví dụ : Tính kcách từ điểm đến đthẳng :
a- Cho M(1;2;1) vaø (d)
2
4
x y z
b- Cho M(2;3;1) vaø (d)
2
3 2
x y z
x y z
c- Vídụ : Tính kc hai đường :
Cho (d1)
1 1
x t
y t
z
, (d2)
2
1 1
x y z
ĐS :
2 .
BÀI : GÓC
1- Góc hai đường thẳng : - d1) qua M(x0;y0;z0) , có vtcp a1
-(d2) qua N(x0;y0;z0) , coù vtcp a2
Goïi : ( 1, 2)d d thì :
1
1
cos
a a a a
d1 d2 a a1 0
2-Góc hai mặt thẳng: - (P1) qua M(x0;y0;z0) , có vtcp n1
-(P2) qua N(x0;y0;z0) , coù vtcp n2
Gọi : ( 1, 2)P p thì :
1
1
cos
n n n n
P1 P2 n n1 0
3-Góc đường thẳng mặt thẳng: - (d) có vtcp a
-(P) có vtpt n
Goïi : ( , )d p thì :
a n Sin
a n
(d) (P) a k n Ví dụ : Tính góc giưã :
a) (d1)
1
2
1
x z
y va oz
b) (d1 )
1
( )
2 x y
y z
y
(7)BàI 10 : MAậT CAU 1- Phơng trình mặt cầu :
Định lí 1 : pt mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R
( S ) (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2= R2
- NÕu I trùng O : (S) x2+y2+z2= R2
Định lí 2: Trong kh«ng gian PT : ( S ) x2+y2+z2-2ax-2by-2cz +d = 0
víi : a2+b2+c2- d = pt mặt cầu ( S ) có tâm
I ( a;b;c) có bán kính R= a2b2c2 d Vídụ-BàI tập : Viết pt đờng ( S ) :
a)– Cã t©m I ( 2;-1;1) vµ qua A(3;1;-1)
b) – Có đờng kính AB với A(1;0;2) ; B(3;-2;2) c) - Cho mặt cầu (S) x2+y2+z2-3x+4y-z –1= 0.
T×m I ; R=?
2- Giao mặt cầu mặt phẳng : -Cho mp( ) Ax+By+Cz + D = Mặt cầu (s) x2+y2+z2-2ax-2by-2cz +d = o
Gọi : - (S) có tâm I R d = (I, )
d> R : mp( ) (S) khơng có đIểm chung d=R : mp( ) tiếp xúc (S) H Khi ( ) gọilà tiếp diện (S) H tiếp đIểm (s)
d< R : Mặt phẳng ( ) cắt (S) theo đờng tròn ( C )
Chú ý : Phơng trình đờng tròn :
( C )
2 2
0
2 2
Ax By Cz D
x y z ax by cz d
-(C ) có tâm H hình chiếu I lên ( ) -( C ) có bán kính r R2 d2
VÝ dô : Cho mp( ) 2x-y-2z+6=0
Và mặt cầu (S) x2+y2+z2-2x-4y+6z-11=0
a- T×m I , R cđa (S)
b- CMR : Mp() cắt (S) Viếtpt đờng tròn giao tuyến ,tìm tâm bán kính đờng trịn nầy
………