Một số bài toán về điều kiện dãy nguyên tố trên vành noether địa phương

Môc lôc Môc lôc Tính bÃo hòa nguyên tố 1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin 1.2 Tính b o hòa nguyên tố môđun Artin 1.3 ChiỊu Noether vµ tÝnh b o hòa nguyên tố 1.4 TÝnh b o hßa nguyªn tè cđa Hmd (M) TÝnh catenary phỉ dơng vµ tính không trộn lẫn 11 15 2.1 Đặc trng tính b o hoà nguyên tố Hmi (M ) 16 2.2 TÝnh catenary phæ dụng tính không trộn lẫn 23 Quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay 27 3.1 Mét số tính chất giả giá 28 3.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá 30 3.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay điều kiện Serre 35 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Các toán điều kiện d y nguyên tố đ đợc quan tâm từ năm 1930 Bài toán xét tính catenary vành giao hoán Nhắc lại vành gọi catenary hai iđêan nguyên tố lồng tồn d y nguyên tố b o hòa d y nguyên tố b o hòa nh có chung độ dài Lớp vành catenary đợc khám phá W Krull từ năm 1937, ông đại số hữu hạn sinh trờng catenary Những công trình cña W Krull, M Nagata, I S Cohen, D Ferand vµ M Raynaud, L J Ratliff, R Heitmann, M Brodmann tính catenary đ làm giàu đẹp lí thuyết này, cho thấy liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác Đại số Giao hoán nh vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết, phơng pháp đồng điều, mở rộng vành siêu việt Phát triển lí thuyết vµnh catenary lµ lÝ thut vµnh catenary phỉ dơng, vµnh tựa không trộn lẫn vành không trộn lẫn Các lí thuyết đóng vai trò đặc biệt quan trọng Đại số giao hoán, lí thuyết vành giao hoán Cho đến nay, việc nghiên cứu tính catenary, tÝnh catenary phỉ dơng, tÝnh tùa kh«ng trén lÉn, tính không trộn lẫn toán liên quan cho vành đợc quan tâm nhiều nhà toán học giới Đặc biệt, gần Nguyễn Tự Cờng, Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn [CDN] đ thông qua nghiên cứu môđun Artin đối đồng điều địa phơng cấp cao với giá cực đặc trng tính catenary cho vành Noether giá không trộn lẫn môđun hữu hạn sinh Mục đích đề tài phát triển kết Nguyễn Tự Cờng, Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn [CDN] cho toán điều kiện d y nguyên tố khác nh xét tÝnh catenary phỉ dơng, tÝnh tùa kh«ng trén lÉn, tÝnh không trộn lẫn vành Noether địa phơng, đồng thời xét số toán liên quan nh công thức bội liên kết cho môđun đối đồng điều địa phơng, tính đóng tập giả giá tính đóng quỹ tích không Cohen-Macaulay Công cụ nghiên cứu đề tài dùng tính chất đặc thù tất môđun đối đồng điều địa phơng với giá cực đại Đề tài gồm chơng Chơng I nói tính chất b o hòa nguyên tố môđun Artin, đặc biệt môđun đối đồng điều địa phơng với giá cực đại nhằm phục vụ cho việc trình bày kết cho chơng sau Chơng đặc trng tính b o hòa nguyên tố cho môđun đối đồng điều địa phơng, từ xÐt tÝnh catenary, catenary phỉ dơng, tÝnh kh«ng trén lÉn vành Noether địa phơng Nh ứng dụng, Chơng trình bày công thức bội liên kết cho môđun đối đồng điều địa phơng Chơng nghiên cứu tính đóng quỹ tích không Cohen-Macaulay thông qua tập giả giá, qua điều kiện Serre tính không trộn lẫn vành Chơng Tính bÃo hòa nguyên tố Trong suốt chơng này, cho (R, m) vành Noether địa phơng với iđêan tối đại m, cho A R-môđun Artin M R-môđun hữu hạn sinh Với iđêan I R ta kí hiệu V (I) tập iđêan nguyên tố R chứa I 1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin Trớc hết ta nhắc lại số kết lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin đợc giới thiệu I G Macdonad [Mac] Lí thuyết đợc xem nh đối ngẫu với lí thuyết phân tích nguyên sơ cho môđun Noether: Nhắc lại rằng, R-môđun L đợc gọi thứ cấp phép nhân r L toàn cấu lũy linh với r R Trong trờng hợp này, tập phần tư r ∈ R cho phÐp nh©n bëi r L lũy linh lập thành iđêan nguyên tè p cđa R vµ ta gäi L lµ p-thø cấp Macdonald [Mac] đ môđun Artin A ®Ịu cã mét biĨu diƠn thø cÊp A = A1 + + An ®ã Ai lµ pi−thø cÊp víi mäi i = 1, , n Trong trờng hợp Ai không thõa (tøc lµ A = j=i Aj víi mäi i = 1, , n) iđêan nguyên tố pi phân biệt biểu diễn thứ cấp đợc gọi tối thiểu Khi tập {p1, , pn } kh«ng phơ thc vµo biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa A đợc kí hiệu AttR A Tập AttR A đợc gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết A 1.1.1 Bổ đề [Mac] Tập phần tử tối thiểu AttR A tập iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR A Đặc biệt, Rad(AnnR A) = p p∈AttR A Ta còng biÕt r»ng Rmôđun Artin A có cấu trúc tự nhiên Rmôđun, với cấu trúc tập A Rmôđun Rmôđun Điều cho thấy dàn môđun A xét nh Rmôđun Rmôđun nh Do A Rmôđun Artin Quan hệ tập AttR A AttR A đợc cho công thức sau 1.1.2 Bổ đề (xem [Sh]) AttR A = {p ∩ R : p ∈ AttR A} 1.2 Tính bÃo hòa nguyên tố môđun Artin Trớc hết ta xét tính chất sở môđun hữu hạn sinh M nh sau: Giả sử p iđêan nguyên tố R chứa AnnR M Khi ®ã p ∈ Supp M vµ ®ã Mp = Theo Bỉ ®Ị Nakayama ta suy (M/pM )p = Mp/pMp = V× thÕ p ∈ Supp(M/pM ), tức p AnnR (M/pM ) Vì ta có AnnR (M/pM) = p với iđêan nguyên tè p ⊇ AnnR M RÊt tù nhiªn, theo suy nghĩ đối ngẫu, N T Cuong L T Nhan [CN] đ xét tính chất sau môđun Artin A: AnnR (0 :A p) = p víi mäi iđêan nguyên tố p AnnR A () Tuy nhiên tính chất (*) lại không cho môđun Artin A (xem VÝ dơ 1.2.3) V× thÕ ta cã định nghĩa sau 1.2.1 Định nghĩa Môđun A đợc gọi có tính chất b o hòa nguyên tố nÕu nã tháa m n tÝnh chÊt (*) 1.2.2 Chó ý Giả sử R đầy đủ theo tôpô madic Khi đối ngẫu Matlis D(A) A R-môđun hữu hạn sinh Chú ý AnnR A = AnnR D(A) Vì áp dụng tính chất linh hoá tử cho môđun D(A) ta có AnnR (0 :A p) = AnnR (D(0 :A p)) = AnnR (D(A)/pD(A)) = p víi iđêan nguyên tố p AnnR A = AnnR D(A) Do môđun Artin vành địa phơng đầy đủ b o hoà nguyên tố Với số nguyên i, môđun đối đồng điều địa phơng thứ i với giá cực đại Hmi (M ) M R-môđun Artin (xem [BS]) 1.2.3 Ví dụ [CN, Ví dụ 4.4] Tồn môđun Artin vành Noether địa phơng không b o hoà nguyên tố Chứng minh Gọi (R, m) miền Noether địa phơng chiều đợc xây dựng bới D Ferrand M Raynaud [FR] thoả m n tính chất tồn iđêan nguyªn tè nhóng q ∈ Ass R víi dim R/q = Khi Hm1 (R) môđun Artin ta có đẳng cấu Rmôđun Hm1 (R) = Hm1 (R) Theo [Sh1, HƯ qu¶ 4.9]) ta suy q ∈ AttR Hm1 (R) Theo Bỉ ®Ị 1.1.2 ta suy q ∩ R ∈ AttR Hm1 (R) Chó ý r»ng Ass R = {p ∩ R : p Ass R} (xem [Mat, Định lí 12]) V× thÕ ta cã q ∩ R ∈ Ass R Do R miền nguyên nên Ass R = {0} Do ®ã = q ∩ R ∈ AttR (Hm1 (R)) V× thÕ AnnR Hm1 (R) = p ⊆ q ∩ R = (R)) p∈AttR (Hm Chän A = Hm1 (R) Khi A Rmôđun Artin Lấy tuỳ ý iđêan nguyên tố p R cho p = vµ p = m Ta ® chøng minh ë trªn r»ng AnnR A = Do ®ã p ⊃ AnnR A LÊy = x ∈ p XÐt d y khíp x −→ R R R/xR D y cảm sinh d y khớp dài môđun đối đồng điều địa phơng x Hm0 (R/xR) Hm1 (R) −→ Hm1 (R) Suy Hm0 (R/xR) ∼ = :Hm1 (R) x = :A x V× Hm0 (R/xR) Rmôđun có độ dài hữu hạn nên :A x có độ dài hữu hạn Do x p nên :A p :A x :A p có độ dài hữu hạn Vì AnnR :A p iđêan mnguyên sơ, điều nµy chøng tá Ann(0 :A p) = p VËy A không b o hoà nguyên tố Ta có Supp M = {p ∩ R : p ∈ Supp M } Vì M hữu hạn sinh nên Supp M = V (AnnR M ) Tơng tự, M R-môđun hữu hạn sinh nên Supp M = V (AnnR M) Do ®ã ta cã V (AnnR M ) = {p ∩ R : p ∈ V (AnnR (M )} Hơn nữa, nh đ nhắc tiết trên, Rmôđun Artin A có cấu trúc tự nhiên Rmôđun Artin Vì thế, tự nhiên hỏi liệu đẳng thức V (AnnR A) = {p R : p V (AnnR A} xảy cho môđun Artin A Dới đẳng thức xảy A b o hoà nguyên tố 1.2.4 Mệnh đề Các điều kiện sau tơng đơng: (i) A b o hoà nguyên tè (ii) V (AnnR A) = {p ∩ R : p ∈ V (AnnR A)} Chøng minh (i)⇒(ii) Cho p V (AnnR A) Khi tồn iđêan nguyên tố tối thiểu q chứa AnnR A cho p ⊇ q Chó ý r»ng q ∈ AttR A Ta cã AttR A = {p ∩ R : p ∈ AttR A} V× thÕ q ∩ R ∈ AttR A Suy q ∩ R ∈ V (AnnR A) ta suy p R ∈ V (AnnR A) Do ®ã V (AnnR A) ⊇ {p ∩ R : p ∈ V (AnnR A)} Ngợc lại, cho p V (AnnR A) Theo giả thiết (i), A b o hoà nguyên tố Vì AnnR (0 :A p) = p Rõ ràng iđêan nguyên tố chứa AnnR (0 :A p) phải chứa p, p iđêan nguyên tố bé chøa AnnR (0 :A p) Theo Bỉ ®Ị 1.1.1 ta suy p AttR (0 :A p) Lại AttR (0 :A p) = {p ∩ R : p AttR (0 :A p)} nên tồn iđêan nguyên tè p ∈ AttR (0 :A p) cho p ∩ R = p V× p ∈ AttR (0 :A p) nên p AnnR (0 :A p) Vì p ∈ V (AnnR A) vµ p ∩ R = p, tøc lµ V (Ann A) ⊆ {p ∩ R : p ∈ V (AnnR A)} (ii)⇒(i) Cho p ∈ V (Ann A) Theo giả thiết (ii), tồn iđêan nguyªn tè p ∈ V (AnnR A) cho p R = p Vì môđun Artin A vành đầy đủ R b o hoà nguyên tố nên ta có AnnR (0 :A p) = p Lại pR ⊆ p nªn ta cã p ⊆ AnnR (0 :A p) = AnnR (0 :A pR) ⊆ AnnR (0 :A p) ∩ R = p ∩ R = p Suy Ann(0 :A p) = p 1.3 Chiều Noether tính bÃo hòa nguyên tố Trong tiết xét mối quan hệ tính b o hòa nguyên tố môđun Artin với chiều Noether nó, đồng thời trình bày số tính chất hệ tham số cho môđun Artin đợc dùng chứng minh kết Chơng Nhắc lại khái niệm chiều Krull cho môđun Artin đợc giới thiệu R N Roberts [Ro] năm 1975, sau đợc D Kirby [K2] năm 1990 đổi tên thành chiều Noether để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull đ quen biết cho môđun hữu hạn sinh Trong suốt luận văn này, dùng thuật ngữ chiều Noether Kirby [K2] 1.3.1 Định nghĩa Chiều Noether A, kí hiệu N-dimR A, đợc định nghÜa b»ng quy n¹p nh− sau: Khi A = 0, ta đặt N-dimR A = Cho d số nguyên không âm Ta đặt N-dimR A = d nÕu N-dimR A < d lµ sai vµ với d y tăng môđun A0 A1 ⊆ cđa A, tån t¹i mét sè tù nhiªn n0 cho N-dimR (An /An+1 ) < d với n > n0 Từ định nghÜa cđa chiỊu Noether ta thÊy r»ng N-dimR A = nÕu vµ chØ nÕu A = vµ (A) < Hơn nữa, A A −→ A′′ −→ lµ mét d y khíp Rmôđun Artin N-dimR A = max{N-dimR A, N-dimR A′′ } R N Roberts [Ro] vµ D Kirby [K,K1] ® chØ nhiỊu tÝnh chÊt ®Đp cđa m«®un Artin tơng tự nh tính chất chiều Krull cho môđun hữu hạn sinh vành địa phơng, đặc biệt kết duới cho ta 03 điều kiện tơng đơng chiều Noether cho môđun Artin 10 1.3.2 Mệnh đề Nếu q iđêan cho (0 :A q) < có đa thức Q(n) víi hƯ sè h÷u tû cho ℓR (0 :A qn+1 ) = Q(n) n ≫ vµ N-dimR A = deg(ℓR (0 :A qn+1 )) = inf{t ≥ : ∃x1, , xt ∈ m : ℓR (0 :A (x1 , , xt )R) < ∞} MƯnh ®Ị 1.3.2 cho phÐp ta định nghĩa khái niệm hệ tham số cho môđun Artin 1.3.3 Định nghĩa Một hệ (x1, , xd ) gåm d = N-dim A phÇn tư m đợc gọi hệ tham số A nÕu ℓ(0 :A (x1 , , xd )R) < ∞ Mét hÖ (x1 , , xi ) với i d, phần tử m đợc gọi phần hệ tham số A ta bổ sung thêm phần tử xi+1 , , xd cña m cho (x1 , , xd ) lµ hƯ tham sè cđa A Mét phÇn tư x ∈ m đợc gọi phần tử tham số A nÕu cã thĨ bỉ sung thªm N-dimR A − phần tử m để đợc hệ tham số cđa A Tõ MƯnh ®Ị 1.3.2 ta suy kÕt sau 1.3.4 Hệ Nếu d = N-dimR A > th× N-dimR (0 :A x) ≥ N-dimR A 1, x m đẳng thức xảy x phần tử tham sè cđa A T−¬ng tù, víi i d ta cã N-dimR (0 :A (x1 , , xi ) ≥ N-dimR A − i, ∀x1 , , xi m đẳng thức xảy vµ chØ nÕu x1 , , xi phần hệ tham số A Kí hiệu dimR A = dim(R/ AnnR A) Khi ®ã N-dimR A = nÕu vµ chØ nÕu dimR A = 0, nÕu A có độ dài khác hữu hạn, R/ AnnR A vành Artin Trờng hợp tổng quát ta có 29 Nguyên lí nâng địa phơng yếu Sharp (xem [BS, 11.3.8]) ta cã q ∈ AttR (Hmi (M)) Suy q ⊇ AnnR (Hmi (M )) Do ®ã p ⊇ AnnR (Hmi (M )) V× thÕ PsuppiR (M ) ⊆ Var(AnnR Hmi (M )) Theo M Brodmann vµ R Y Sharp [BS1], gi¶ chiỊu thø i cđa M , kÝ hiÖu bëi psdi M, cho bëi psdi (M ) = max{dim(R/p) | p ∈ PsuppiR (M )} V× thÕ Hmi (M ) cã quan hƯ víi kh¸i niƯm vỊ chiều sau đây: psdi (M), psdi(M ), dim(R/ AnnR Hmi (M )) dim(R/ AnnR Hmi (M)) Dới ta so sánh khái niệm 3.1.3 Mệnh đề Cho i số nguyên Ta có psdi (M ) psdi (M ) = dim(R/ AnnR Hmi (M )) dim(R/ AnnR Hmi (M )) Chøng minh Cho p ∈ PsuppiR (M ) cho psdi(M ) = dim(R/p) Khi i−dim(R/p) ®ã HpRp (Mp) = Cho p ∈ Ass(R/pR) cho dim(R/p) = dim(R/p) Do ánh xạ Rp Rp hoàn toàn phẳng nên theo Định lí chuyển sở phẳng (xem [BS, Định lí 4.3.2]) ta cã i−dim(R/p) HpR p i−dim(R/p) (Mp ) ∼ (Mp ) ⊗ Rp = = HpRp Suy p ∈ PsuppiR (M ) V× thÕ psdi (M ) ≥ dim(R/p) = psdi (M) DÔ thÊy PsuppiR (M) = Var(AnnR Hmi R (M)) = Var(AnnR Hmi (M )) V× thÕ psdi (M) = dim(R/ AnnR Hmi (M )) Chó ý r»ng tån t¹i q ∈ AttR (Hmi (M)) cho dim(R/q) = dim(R/ AnnR Hmi (M )) Theo 30 [BS, 8.2.4, 8.2.5] ta cã q ∩ R ∈ AttR (Hmi (M )) Do ®ã dim(R/ AnnR Hmi (M )) = dim(R/q) dim(R/(q ∩ R)) dim(R/ AnnR Hmi (M )) Cã thể xảy trờng hợp PsuppiR (M ) tËp thùc sù cđa Var(AnnR Hmi (M )) vµ psdi (M ) < dim(R/ AnnR Hmi (M )) < dim(R/ AnnR Hmi (M )) Đây ví dụ 3.1.4 Ví dụ (i) Cho (R, m) miền nguyên Noether địa phơng chiều xây dựng D Ferrand vµ M Raynaud [FR] cho dim(R/q) = víi iđêan nguyên tố liên kết q Ass(R) Khi ta có Psupp1(R) = {m} psd1 (R) = Hơn ta có dim(R/ AnnR Hm1 (R)) = vµ dim(R/ AnnR Hm1 (R)) = 2, xem [CN, VÝ dơ 4.1] (ii) Cho (R, m) lµ miền nguyên Noether chiều cho R không catenary Tơng tự nh chứng minh [CDN, Mệnh đề 4.6] ta kiểm tra đợc dim(R/ AnnR Hm2 (R)) = dim(R/ AnnR Hm2 (R)) = Vì R không catenary nên U = {p Spec(R) | dim(R/p) + ht(p) = 2} khác rỗng Rõ ràng p Psupp2(R) víi mäi p ∈ U vµ dim(R/p) víi mäi p ∈ Psupp2 (R) Do ®ã psd2(R) = 3.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá Nhắc lại quỹ tích không Cohen-Macaulay M , kí hiệu nCM(M), đợc định nghĩa nCM(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp kh«ng Cohen-Macaulay} 31 3.2.1 Định lý Giả sử p SuppR (M ) Khi ®ã (i) p ∈ PsuppiR (M) víi i d depth(Mp ) = k dim(R/p), dim(Mp ) = t − dim(R/p), ®ã k = min{i | p ∈ PsuppiR (M)} vµ t = max{i | p ∈ PsuppiR (M )} i d i d PsuppiR (M) (ii) nCM(M ) = ∩ PsuppjR (M ) i t Suy dim(Mp) = t − dim(R/p) (ii) Cho p ∈ nCM(M ) Khi ®ã depth(Mp) < dim(Mp ) Theo (i) ta cã k < t, ®ã k = min{i | p ∈ PsuppiR (M)} vµ t = max{i | p ∈ PsuppiR (M )} V× thÕ k < t vµ p ∈ PsuppkR (M ) ∩ PsupptR (M) Ngợc lại, p PsuppiR (M ) ∩ PsuppjR (M ) víi i s − dim(R/p) theo (i), tøc lµ NÕu p ∈ / i s depth(Mp) + dim(R/p) > s, ®iỊu vô lí Psuppi M Theo (iii) ta có depth(Mp)+dim(R/p) = (iv) Gi¶ sư p ∈ / i