Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THƠNG TIN NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 62.46.30.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Công Điều Hà Nội – 2014 Mục lục Mở đầu Chương Hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 15 1.1 Không gian Hilbert không gian Banach 15 1.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 21 1.2.1 Khái niệm tốn đặt chỉnh khơng chỉnh 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với tốn tử liên tục đóng yếu 1.2.3 22 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình tốn tử U − đơn điệu 1.3 21 27 Hệ phương trình tốn tử đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 1.3.1 Bài tốn dẫn đến hệ phương trình tốn tử đặt không chỉnh 1.3.2 28 28 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử liên tục đóng yếu 35 Chương Hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử liên tục đóng yếu 42 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải 42 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh trường hợp nhiễu vế phải nhiễu toán tử 48 2.3 2.4 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử tuyến tính liên tục 54 Một số kết tính toán 65 2.4.1 Quy tắc dừng lặp kết tính tốn cho hệ phương trình tốn tử tuyến tính 2.4.2 65 Kết tính tốn cho hệ phương trình tốn tử phi tuyến 76 Chương Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi tuyến với tốn tử U − đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach 3.1 81 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử U − đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach 81 3.2 Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 89 3.3 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 97 3.4 Một số kết tính toán 99 Kết luận 106 Tài liệu tham khảo 107 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Công Điều Các kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa công bố cơng trình người khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Đình Dũng LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Công Điều Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận án Viện, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS Nguyễn Bường TS Nguyễn Công Điều, người thầy tận tình hướng dẫn cung cấp nhiều tài liệu cần thiết để tác giả hồn thành luận án thời hạn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo thuộc Đại học Thái Nguyên Ban Đào tạo - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập, nghiên cứu làm luận án Viện Công nghệ Thơng tin Nghiên cứu sinh Nguyễn Đình Dũng MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Rn Không gian Ơcơlit n-chiều X∗ Không gian liên hợp không gian Banach X A∗ : Y ∗ → X ∗ Toán tử đối ngẫu toán tử A : X → Y H Khơng gian Hilbert I Tốn tử đơn vị D(A) Miền xác định toán tử A R(A) Miền ảnh toán tử A A−1 Toán tử ngược toán tử A A (x) Đạo hàm Fréchet tốn tử A điểm x x, y Tích vô hướng x y không gian Hilbert x Chuẩn x không gian X X ρX (x, y) Metric x y không gian X a∼b a tương đương với b C[a, b] Không gian hàm liên tục đoạn [a, b] ∅ Tập rỗng xn x Dãy xn hội tụ yếu tới x xn → x Dãy xn hội mạnh tới x θ Phần tử không không gian Banach S(x∗ , r) Hình cầu mở tâm x∗ bán kính r không gian Banach N (A) Không gian không điểm toán tử A Mở đầu Trong toán nảy sinh từ thực tế, tồn lớp tốn mà nghiệm khơng ổn định theo nghĩa thay đổi nhỏ liệu đầu vào dẫn đến thay đổi lớn liệu đầu (nghiệm tốn), chí cịn làm cho tốn trở lên vơ nghiệm Lớp tốn gọi lớp tốn khơng qui hay tốn đặt khơng chỉnh Khái niệm tốn đặt chỉnh Hadamard,J [45] đưa nghiên cứu ảnh hưởng điều kiện biên lên nghiệm phương trình elliptic parabolic Xét tốn tìm nghiệm phương trình A(x) = f, (1) đây, A tốn tử từ khơng gian metric X vào không gian metric Y Theo Hadamard tốn (1) gọi đặt chỉnh (chính qui) điều kiện sau thỏa mãn: Phương trình (1) có nghiệm x0 với f ∈ Y ; Nghiệm x0 xác định cách nhất; Nghiệm x0 phụ thuộc liên tục vào f Một thời gian dài người ta nghĩ toán đặt thỏa mãn ba điều kiện Nhưng thực tế ý niệm sai lầm Nhất máy tính điện tử đời, tính tốn tốn thực tế máy tính ln xảy q trình làm trịn số Chính làm trịn dẫn đến sai lệch đáng kể Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn tốn (1) gọi tốn đặt khơng chỉnh Do lớp tốn đặt khơng chỉnh có tầm quan trọng ứng dụng thực tế, nên thu hút quan tâm nhiều nhà toán học tiếng giới V K Ivanov, M M Lavrentiev, A N Tikhonov Một số nhà toán học Việt Nam sâu nghiên cứu có nhiều đóng góp cho lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh như: P K Anh, Ng Bường, Đ N Hào, Đ Đ Trọng Để giải số tốn đặt khơng chỉnh, bước Tikhonov đưa toán đặt chỉnh cách giả thiết nghiệm cần tìm nằm vào tập compact lồi M ảnh A(M ) = N , cho f xấp xỉ fδ ∈ N ta có nghiệm xδ thỏa mãn Axδ ∈ N Do số liệu xấp xỉ số liệu khơng xác, nên xấp xỉ fδ lại khơng nằm vào tập A(M ) Khi đó, phương trình A(x) = fδ khơng có nghiệm theo nghĩa thơng thường Để khắc phục tình trạng này, Ivanov,V.K (xem [51], [52]) đưa khái niệm tựa nghiệm cho phương trình (1) Theo Ivanov phần tử x˜ ∈ M làm cực tiểu phiếm hàm inf ρY (A(x), f ) gọi tựa nghiệm x∈M (1) tập M , trường hợp M tập compact X, với f ∈ Y tồn tựa nghiệm Nếu f ∈ A(M ) tựa nghiệm nghiệm thơng thường Tựa nghiệm nghiệm thơng thường khơng Trường hợp vế phải phương trình (1) thay đổi khơng nằm A(M ) Lavrentiev, M.M [60] nghiên cứu Tư tưởng phương pháp mà Lavrentiev đề xuất thay phương trình (1) phương trình xấp xỉ giải với vế phải nghiệm phương trình xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải Năm 1963, Tikhonov, A N (xem [75], [76], [77]) đưa hướng giải tốn (1), việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc tham số M α [x, fδ ] = ρ2 (A(x), fδ ) + αψ(x), (2) ψ phiếm hàm ổn định không gian metric X, α tham số hiệu chỉnh phụ thuộc δ, α = α(δ) chọn cho δ → 0, ta có α(δ) → điểm cực tiểu xδα phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm toán (1) Đối với toán (1), A : H → H tốn tử liên tục đóng yếu, Engl, H.W [42] xét dạng cụ thể (2) M α [x, fδ ] = Ax − fδ +α x (3) chứng minh tốn (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào fδ hội tụ nghiệm (1) fδ → f Trong trường hợp A toán tử đơn điệu hemi liên tục từ không gian Bannach X vào X ∗ , Alber,Ya.I.[5] xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình A(x) + αU s (x) = fδ , (4) đây, U s toán tử đối ngẫu tổng quát X, tức U s : X → X ∗ , thỏa mãn điều kiện U s (x), x = x U s (x) , U s (x) = x s−1 , s ≥ Để trình lặp hội tụ, ta cần chọn tham số thỏa mãn điều kiện αk α + L2 ≤ + αk3 , αk > αk+1 , (1 − cλ) cα02 ≤ 1, λ = , αk+1 √ 2α0 − cλ − ( τ − 1) α0 c x˜ − x(0) RM +1 ≤ , (1 + α03 ) (1 + α02 ) + 2α0 chọn ˜ L= B τ= α02 + L2 ,c = , RM +1 , α0 = 0.1, λ = 2λ x − x(0) [(1 + α03 ) (1 + α02 ) + 2α0 ] +1 − cλ − αc0 α0 RM +1 Trong kết tính tốn, điểm xấp xỉ ban đầu chọn x (0) = (0.9; 0.9; ; 0.9) ∈ R M +1 10−3 , a0 = , ε = 10−2 , M = 50, µ ˜= Với cách chọn tham số xấp xỉ đầu trên, ta có kết nghiệm tìm sau: n K ˜ (K) − f˜δ Bx τδ x(K) − x0 1.281316 2.702034 0.714143 0.235367 0.270203 0.714143 0.133629 0.027020 0.714143 0.048042 0.002702 0.356609 12461 0.016399 0.000269 0.242662 595071 0.005181 0.000027 0.185342 0.001638 0.000003 0.149496 22343008 Bảng 3.1 Kết tính toán mối liên hệ số lần lặp tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm x0 = (x00 ; x01 ; ; x0M ) = (1; 1; ; 1), δ = 10−n 102 Bây ta xét trường hợp tốn tử tích phân có nhiễu Bjh x(t) = kjh (t, s)x(s)ds, j = 1, 2, 3, đây, kjh (t, s) = kj (t, s) + h(t, s), j = 1, 2, 3, < h(t, s) ≤ h, ∀t, s h → +0 Nếu chọn nhiễu h(t, s) = h ta có kết tính tốn sau: n K B˜h x(K) − f˜δ τδ x(K) − x0 0.288198 2.771210 0.714143 0.153002 0.270602 0.714143 0.125654 0.027024 0.714143 0.047713 0.002702 0.359784 12420 0.016399 0.000269 0.243664 594816 0.005181 0.000027 0.185589 0.001638 0.000003 0.149560 22341513 Bảng 3.2 Kết tính tốn mối liên hệ số lần lặp tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm x0 = (x00 ; x01 ; ; x0M ) = (1; 1; ; 1) có nhiễu lên tốn tử h = δ = 10−n Nhận xét: Kết tính toán kết kiểm tra hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình đặt không chỉnh cho trước nghiệm hệ x(t) = Phương trình hiệu chỉnh (3.27) có ˜ ma trận với điều kiện xấu, để tìm nghiệm ta cần phải sử B dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp quy tắc dừng lặp Từ Bảng 3.1 Bảng 3.2 thấy số lần lặp hiệu chỉnh phụ thuộc lớn vào nhiễu δ việc chọn xấp xỉ đầu x(0) Vì vậy, trường hợp địi hỏi độ xác cao cho nghiệm tốn u cầu thời gian tính tốn tương đối lớn 103 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, chúng tơi giới thiệu hệ phương trình đặt khơng chỉnh với toán tử U − đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux Các kết đạt chương xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình đặt khơng chỉnh phi tuyến có nhiễu vế phải nhiễu tốn tử cách xấp xỉ hệ phương trình phương trình hiệu chỉnh Chúng tơi chứng minh phương trình hiệu chỉnh tồn nghiệm Đề xuất nguyên lý chọn tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào nhiễu vế phải, nhiễu lên toán tử cho nghiệm hiệu chỉnh hội tụ nghiệm hệ mà khơng cần tính liên tục yếu theo dãy toán tử, nguyên lý gọi nguyên lý tựa độ lệch Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình đánh giá bổ sung thêm điều kiện đặt lên tốn tử hệ phương trình mà khơng địi hỏi điều kiện lên tất tốn tử Cuối cùng, chúng tơi đưa ví dụ tính tốn số để minh họa cho lý thuyết trình bày chương 104 Kết luận Luận án đề cập đến hai vấn đề sau: Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho hệ phương trình phi tuyến với tốn tử liên tục đóng yếu Các kết đạt phương pháp đưa hệ phương trình đặt khơng chỉnh toán đặt chỉnh, việc giải toán xấp xỉ thực phương pháp Newton Ngoài ra, ổn định hội tụ nghiệm toán đặt chỉnh nghiệm hệ phương trình chứng minh nhờ tính chất liên tục đóng yếu toán tử Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình đưa bổ sung thêm điều kiện lên toán tử hệ phương trình, bao gồm tính khả vi Fréchet, điều kiện Lipchitz lên đạo hàm Fréchet toán tử, điều kiện nguồn điều kiện số Lipchitz Trong trường hợp đặc biệt, tốn tử tuyến tính liên tục xét đến phương pháp đưa hệ phương trình đặt khơng chỉnh tốn đặt chỉnh Ngoài ra, ổn định hội tụ nghiệm toán đặt chỉnh nghiệm hệ phương trình chứng minh nhờ tính chất liên tục toán tử Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình đưa bổ sung thêm điều kiện nguồn toán tử Trong trường hợp toán tử có tính chất U − đơn điệu liên tục 105 Lipschitz không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng tơi đưa phương pháp hiệu chỉnh tính nghiệm hiệu chỉnh Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình đưa tham số hiệu chỉnh chọn theo nguyên lý tựa độ lệch bổ sung thêm điều kiện lên toán tử hệ phương trình, bao gồm điều kiện nguồn tính khả vi Fréchet Cuối cùng, đưa ví dụ tính tốn số để minh họa cho lý thuyết Các vấn đề cần nghiên cứu tiếp là: Đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm phương pháp hiệu chỉnh đưa chương chương cho hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Nghiên cứu việc áp dụng phương pháp lặp cho hệ phương trình đặt khơng chỉnh Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh nhiều tham số cho hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 106 Tài liệu tham khảo [1] Anh,Ph.K., Buong,Ng (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nghia,H.L (2009), Về toán chụp cắt lớp máy CTScanner, [http://tailieu.vn/xem-tai-lieu/ve-bai-toan-chup-cat-lopcua-may-ct-scanner.41697.html, truy cập ngày 11/10/2010] [3] Agarwal, R.P., O’Regan.D and Sahu.D.R (2009), Fixed point theory for Lipschitz type mappings with applications, Springer [4] Alber,Ya.I., Ryazantseva,I.P (1979), On solutions of nonlinear problems involving monotone discontinuous operators, Uravnenia [5] Alber,Ya.I., Ryazantseva,I.P (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Types, Springer verlag Publishers [6] Andrew,J.K., Michael,Z (2004), Convex functional analysis, Germany [7] Anh,Ph.K., Chung,C.V (2009), Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations, Appl Math Comput, 212(2), 542-550 [8] Bakushinky,A.B., Goncharsky,A (1994), Ill-posed problems: Theory and Aplications, Kluwer Academic 107 [9] Bakushinky,A.B., Smirnova,A (2006), A posteriori stopping rule for regularized fixed point iterations, Nonl Anal, 64(6), 1255-1261 [10] Bakushinky,A.B., Smirnova,A (2005), On application of generalized discrepancy principle to iterative methods for nonlinear ill-posed problems, Numer Funct Anal Optim, 26(1), 35-48 [11] Bakushinsky,A.B of the iteratively (1992), The Problem of the convergence regularized Gauss-Newton method, Com- put.Math.Math.Phys, 32(9), 1353-1359 [12] Bakushinsky,A.B., Poljak,B.T (1974), The solution of variational inequalities, Dokl Akad Nauk SSSR, 1038-1041 (in Russian) [13] Barbu,V (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Noordhoff Internal Publ Leyden Netherlands Ed Acad Bucurest, Romania [14] Barbu,V (1975), Convexity and optimization in Banach spaces, Editura Academiei R.S.R Bucurest [15] Baumeister,J., Kaltenbacher,B., Leitão,A (2010), On LevenbergMarquardt - Kaczmarz methods for regularizing systems of nonlinear ill-posed equations, Inverse Problems and Imaging, 335-350 [16] Boonchari,D., Saejung,S (2009), Weak and strong convergence theorems of an implicit iteration for a countable family of continuous pseudocontractive mappings, Journal of Computational and Applied Mathematics, 233(4), 1108-1116 108 [17] Browder,F.E (1966), Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities, Proc Nat Acad Sei U.S.A, 56(4), 1080-1086 [18] Browder,F.E., Petryshyn,W.V (1967), Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert spaces, J Math Anal Appl, 20(2), 197-228 [19] Browder,F.E (1967), Nonlinear mapping of nonexpansive and accretive type in Banach spaces, Bull Amer Math Soc, 73(6), 875-882 [20] Browder,F.E (1964), Continuity properties of monotone nonlinear operators in Banach spaces, Bull AMS, 70(4), 551-553 [21] Bryan,P.R., Martin,A.Y (2006), Linear functional analysis, Springer, London [22] Buong,Ng (2006), Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 46(3), 372-378 [23] Buong,Ng (1992), Projection - regularization method and illposedness for equations involving accretive operators, Vietnamese Math J, 20(1), 33-39 [24] Buong,Ng (2004), Generalized discrepancy principle and ill-posed equations involving accretive operators, J Nonlinear Functional Analys and Appl, Korea, 9, 73-78 109 [25] Buong,Ng (2004), Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations under m-accretive perturbations, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 44(3), 397-402 [26] Buong,Ng (2004), On nonlinear ill-posed accretive equations, Southest Asian Bull of Math, 28(1), 1-6 [27] Buong,Ng., Dung,N.D (2012), Convergence Rates in Regularization for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied Mathematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310 [28] Buong,Ng., Dung,N.D (2011), Regularization for a common solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings with perturbative data, Thainguyen University Journal of Science and Technology, 83(7), 73 - 79 [29] Buong,Ng., Dung,N.D (2011), Regularization for a common solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings, Applied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788 [30] Buong,Ng., Dung,N.D (2009), Regularization for a Common Solution of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations, Int Journal of Math Analysis, 3(34), 1693 - 1699 [31] Buong,Ng., Dung,N.D (2013), Regularization for a common solution of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving lipschitz continuous and accretive mappings on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia lần thứ XV số vấn đề chọn lọc Công nghệ Thông tin Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012 110 [32] Buong,Ng., Dung,N.D (2014), A regularized parameter choice in regularization for a common solution of a finite system of ill-posed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 54(3), 397 - 406 [33] Buong,Ng., Phuong,Ng.T.H (2013), Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m- accretive mappings in Banach spaces, Iz.VUZ Mathematica, (2), 67-74 [34] Buong,Ng., Thuy,Ng.T.T (2007), Iterative regularization method of zero order for unconstrained vector optimization of convex functionals, Kỷ yếu hội nghị khoa học kỉ niệm 30 năm thành lập Viện Công nghệ Thông tin 27-28/12/2006, Nhà xuất Khoa học Tự nhiên Công nghệ, Hà Nội, 168-173 [35] Buong,Ng., Hung,V.Q (2005), Newton-Kantorovich iterative regularization for nonlinear ill-posed equations involving accretive operators, Ukrainian Math Zh, 57(2), 323-330 [36] Burger,M., Kaltenbacher.B (2006), Regularization Newton- Kacmarz methods for nonlinear ill-posed problems, SIAM J Number Analysis, 44(1), 153-182 [37] Ceng,L.C., Petrusel,A., Yao,J.C (2007), Implicit iteration scheme with perturbed mapping for common fixed points of a finite family of lipschitz pseudocontractive mappings, J Mathematical Inequalities, 1(2), 249-258 111 [38] Cezaro,A.D., Baumeister,J, Leitão,A (2011), Modified iterated Tikhonov methods for solving system of nonlinear ill-posed equations, Inverse problems and imaging, 5(1), 1-17 [39] Cezaro,A.D., Haltmeier,M., Leitão,A., Scherzer,O (2008), On steepest-descent-Kaczmarz method for regularizing systems of nonlinear ill-posed equations, Applied Mathematics and Computations, 202(2), 596-607 [40] Cioranescu,I (1990), Geometry of Banach spaces, Duality mappings and nonlinear problems, Kluwer Acad Publ, Dordrecht [41] Ekeland,I., Temam,R (1976), Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland, Amsterdam, Holland [42] Engl,H.W., Kunish,K., Neubauer,A (1989), Convergence rates for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems, Inverse Problems, 5(4), 523-540 [43] Fiacco,A.V., McCormick,G.P (1968), Nonlinear programming: sequential unconstrained minimization techniques, New-York [44] Gerald,T (2001), Nonlinear functional analysis, Wien, Austria [45] Hadamard,J (1932), Le probléme de Caushy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, Paris [46] Haltmeier,M., Kowar,R., Leitao,A., Scherzer,O (2007), Kacmarz methods for nonlinear ill-posed equations I: Convergence analysis, Inverse problem and Imaging, 1(2), 289-298, II: Application 1(3), 507-523 112 [47] Hanke,M (1997), A regularizing Levenberg - Marquardt scheme , with applications to inverse ground water filtration problems, Inverse Problems, 13(1), 79-95 [48] Hein,T (2008), Convergence rates for multi - parameter regularization in Banach spaces, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 43(4), 773-794 [49] Heinz,H.B., Patrick,L.C (2010), Convex analysis and monotone operator theory in Hilbert spaces, Springer, New York [50] Hohage,T (1999), Iterative Methods in Inverse Obstacle Scattering: Regularization Theory of Linear and Nonlinear Exponentially IllPosed Problems, PhD thesis, University of Linz [51] Ivanov,V.K (1962), On linear ill-posed problems, Dokl Acad Nauk SSSR Math (in Russian) [52] Ivanov,V.K (1963), On linear ill-posed problems, Math Sbornik (in Russian) [53] John,K.H., Bruno,N (2005), Applied analysis, Wordl Scientific Publishing, Singapore [54] Kaltenbacher,B (1997), Some Newton type methods for the regularization of nonlinear ill-posed problems, Inverse Problems, 13(3), 729-753 [55] Kapmanov,V.G (1986), Linear programming, Moscow, Nauka (in Russian) 113 [56] Kinderlehrer,D., Stampacchia,G (1980), An introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, NewYork [57] Konyagin,C.V (1980), On approximative properties of closed sets in Banach spaces and the characteristics of strongly convex spaces, Dokl Acad Nauk SSSR, 251(2), 276-280 [58] Kowar.R., Scherzer.O (2002), Convergence analysis of a LandweberKaczmarz method for solving nonlinear ill-posed problems, in: S Romanov, S.I Kabanikhin, Y.E Anikonov, A.L Bukhgein, Ill-Posed and Inverse Problems, VSP Publishers, Zeist [59] Krein,S.G.E, Petunin.Y.I (1966), Scales of Banach spaces, Russian Math Surveys, 21(2), 85-159 [60] Lavrentiev,M.M (1967), Some improperly posed problems in mathematical physics, Springer, New-York [61] Lerray,J., Shauder,I (1946), Topology and functional equations, UspekhiMath Nauk, (in Russian) [62] Morozov,V.A (1966), Regularization of incorrectly posed problems and the choice of regularization parameter, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 6(1), 242-251 [63] Neumann,J.V (1949), On rings of operators Reduction theory, Annals of Mathematics, 401- 485 114 [64] Ortega,J.M., Rheinboldt,W.C (1970), Interative solution of nonlinear equations in serveral variable, Academic press, New York SanFransisco - London [65] Petrovsky.I.G (1954), Lectures on partial differential equations, Interscience, New York [66] Phelps,R.R (1989), Convex functions, monotone operators and differentiability, Springer - Verlag, Berlin, Germany [67] Polak,E (1974), Numerical methods of optimizations, Moscow, Mir, (in Russian) [68] Ryazantseva,I.P (1989), On one algorithm for solving nonlinear monotone equations with an unknown estimate input errors, Zh Vychisl Math.i Math Fiz SSSR, 29(10), 1572- 1576 (in Russian) [69] Ryazantseva,I.P (2002), Regularization proximal point algorithm for nonlinear equations of monotone type in Banach space, Zh Vychisl Math.i Math Fiz, 42(9), 1295-1303 [70] Seidman,T.I., Vogel,C.R (1989), Well-posednes and convergence of some regularization methods for nonlinear ill-posed problems, Inverse problems, 5(2), 227-238 [71] Song,Y.S (2009), An iterative process for a finite family of pseudocontractive mappings, Acta Mathematica Sinica, 25(2), 293-298 [72] Takahashi,W., Ueda,Y (1984), On Reich’s strong convergence theorem for resolvents of accretive operators, J.Math Anal Appl, 104(2), 546-553 115 [73] Tikhonov,A.N., Arsenin,V.Y (1977), Solution of ill-posed problems, Wiley, N.Y [74] Tikhonov,A.N., Glasko,V.B (1965), Application of regularization methods in nonlinear problems, Zh Vychisl Math i Math Fiz SSSR, 5(3), 463-473 (in Russian) [75] Tikhonov,A.N (1963), On regularization for incorrectly posed problems, Dokl Acad Nauk SSSR Math, 153(1), 49 -52 (in Russian) [76] Tikhonov,A.N (1963), Regularization of incorrectly posed problems, In Soviet Math Dokl, 4(6), 1624 -1627 [77] Tikhonov,A.N (1963), Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method, Dokl Acad Nauk SSSR Math, 4, 1035 -1038 (in Russian) [78] Vainberg,M.M (1972), Variational method and method of monotone mappings, Moscow, Nauka (in Russian) [79] Vainberg,M.M (1973), Variational method and methods of monotone operators in the theory of nonlinear equations, Wiley, NewYork [80] Vasil’ev,P.P (1980), Numerical methods for solving optimal problems, Moscow, Nauka (in Russian) 116 ... thiệu hệ phương trình đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình 1.3 Hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 1.3.1 Bài tốn dẫn đến hệ phương trình tốn tử. .. hiệu chỉnh cho phương trình, chương cịn giới thiệu tốn dẫn đến hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Chương giới thiệu kết đạt xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương. .. giới thiệu khái niệm toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với tốn tử liên tục đóng yếu với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U