SKKN rèn kĩ năng vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đại số lớp 8

GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp A ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn giải pháp: Như biết, mơn tốn mơn học giúp cho học sinh phát triển tư duy, tính trừu tượng, địi hỏi học sinh phải biết phán đoán, lập luận, suy luận chặt chẽ, mơn học “thể thao trí tuệ” Để nắm bắt vận dụng kiến thức học đòi hỏi em phải biết phân tích, tìm tịi, phán đốn … từ mơn tốn rèn luyện cho em trí thơng minh sáng tạo Qua thực tế giảng dạy môn đại số 8, phần lớn học sinh thuộc bảy đẳng thức đáng nhớ thực hành chiều rộng lẫn chiều sâu học sinh khơng vận dụng đến kết mong muốn Đối với chương trình Tốn việc lĩnh hội kiến thức học sinh cịn phải có kỹ vận dụng lớp cách nhuần nhuyễn linh hoạt sáng tạo làm tốt tập theo yêu cầu Bảy đẳng thức đáng nhớ phần kiến thức quan trọng chương trình Đại số Nó theo suốt quãng đường học tập em Nhờ đẳng thức đáng nhớ mà em thực giải tốn xác nhanh Cũng nhờ mà em phân tích đa thức thành nhân tử cách hợp lý Trong q trình giảng dạy mơn đại số lớp 8, nhận thấy học sinh kỹ vận dụng " bảy đẳng thức đáng nhớ" yếu, chưa linh hoạt dẫn đến vận dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức v.v cịn chưa thành thạo sai sót Để vận dụng cách nhuần nhuyễn bảy đẳng thức đáng nhớ vào giải tốn địi hỏi em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận hợp lơgíc từ mà có tác dụng bồi dưỡng em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tịi kiến thức Do đó, tơi thấy việc áp dụng bảy đẳng thức đáng nhớ vào làm tập khó em tiếp xúc với bảy đẳng thức đáng nhớ việc vân dụng vào làm dạng tập không đơn giản chút học sinh, học sinh yếu kỹ làm Mơn tốn nói chung, bảy đẳng thức nói riêng vận dụng nhiều việc giải toán bậc trung học sở Nắm cách vận dụng bảy đẳng thức có nhiều lợi ích vào lớp môn đại số lớp Vận dụng bảy đẳng thức đáng nhớ nhiều mà học sinh chưa nắm phương pháp, em chưa thật đam mê mà học tập cịn gượng ép Hình thành khả vận dụng bảy đẳng thức tiên đề học môn đại số, tạo để học lên lớp Từ việc học mơn tốn nhẹ nhàng học mơn khác Vì tơi chọn giải pháp nhằm mục đích nâng cao chất lượng tiết luyện tập môn Đại số trường PTDT NT Bảo Lâm Nhiệm vụ nghiên cứu :  Đối với giáo viên: + Nghiên cứu tài liệu đổi phương pháp dạy học trường trung học sở + Tìm hiểu thực trạng học sinh lớp + Đưa yêu cầu lời giải, sai lầm học sinh thường mắc phải + Phân loại dạng tốn hình thành kỹ giải + Đề xuất vài biện pháp khảo nghiệm tính khả thi sau vận dụng Từ đó, giúp học sinh rèn luyện kỹ tính tốn, tư ,hình thành phẩm chất tư khoa học, giúp học sinh hứng thú học tập phát huy cao độ tính tư tích cực ,độc lập sáng tạo, lực hoạt động tự học học sinh Giúp học sinh vận dụng đẳng thức vào việc giải toán cụ thể GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp  Đối với học sinh: + Nhìn nhận đẳng thức phép tốn hay biểu thức cách rõ ràng, xác + Biết phân tích, tổng hợp, so sánh, khái qt hóa, trừu tược hóa để giải tốn từ đơn giản đến phức tạp + Nhằm đánh giá mức độ kết dạy học trình độ phát triển học sinh,tạo niềm tin cho học sinh việc học môn toán 3.Đối tượng nghiên cứu: Qua thực tế giảng dạy trường nhiệm vụ giải pháp lựa chọn đối tưọng nghiên cứu học sinh khối lớp trường PT DTNT Bảo Lâm, hướng dẫn học sinh giải dạng tập đại số có sử dụng phương pháp dùng đẳng thức đáng nhớ Phạm vi nghiên cứu: – Một số dạng tập đại số có sử dụng bảy đẳng thức phù hợp với đối tượng học sinh lớp thuộc trường dân tộc nội trú Phương pháp nghiên cứu: Tôi chọn phương pháp nghiên cứu sau: – Tham khảo tài liệu số soạn mẫu số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường trung học sở – Tham khảo ý kiến phương pháp dạy đồng nghiệp thông qua buổi sinh hoạt chuyên môn, dự thăm lớp – Điều tra khảo sát kết học tập học sinh – Thực nghiệm dạy lớp trường PT DTNT Bảo Lâm – Đánh giá kết học tập học sinh sau dạy thực nghiệm B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ LÝ LUẬN: - Bảy đẳng thức phận phân mơn đại số áp dụng xun suốt chương trình học lớp 8, Từ em không nắm phương pháp nhớ vận dụng việc học thành việc học “vẹt” khơng vận dụng giải toán - Thực hành giải toán phải có thao tác định, dứt khốt, nhanh nhẹn, giản đơn không rườm rà, cầu kỳ đưa đến toán đơn giản thành phức tạp Do giáo viên cần hướng dẫn học sinh có trình tự định, hình thành lại hướng gọn gàng, dễ hiểu để đến kết nhanh, xác - Học sinh học tập cách máy móc hay dựa vào mẫu chưa tự tin hình thành cho phương pháp định để giải tốn - Cịn số học sinh xem nhẹ việc học tập, học để đối phó Là giáo viên nên giáo dục học sinh hiểu kiền thức ta biết giọt nước Những điều chưa biết biển mênh mơng Do giáo viên phải xác định học sinh có thái độ học tập đắn để nắm bắt kịp thông tin, khoa học đại ngày phát triển - Giáo viên cần lưu ý tránh đơn điệu nhàm chán giải toán Tạo hứng thú học toán giúp em nhiều sống hàng ngày - Thi đua biểu dương gương sáng học tốt cần học hỏi kinh nghiệm em GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Thuận lợi:  Về phía nhà trường: - Nhà trường ban giám hiệu quan tâm tạo điều kiện thuận lợi để giáo viên có hội giao lưu, học tập, trao đổi kinh nghiệm qua buổi giao lưu với trường bạn, giao ban, hội thi, thao giảng, v.v - Nhà trường trang bị đầy đủ sở vật chất kỹ thuật phục vụ giảng dạy  Về phía chương trình: Phân phối chương trình hợp lý, đầy đủ phạm vi kiến thức chương học  Về phía học sinh: Đa số học sinh có ý thức học tập tốt , ngoan, nghe lời thầy cô giáo, em học tập, ăn trường nên có nhìu thời gian đầu tư vào việc học  Về phía giáo viên: Các giáo viên có trình độ chun mơn, có tinh thần trách nhiệm tận tụy với học sinh Khó khăn:  Về phía nhà trường: Trường PTDTNT Bảo Lâm trường đặc thù với 97% học sinh dân tộc nhận thức cịn chậm khơng đồng đều, vốn ngơn ngữ tốn học khơng phong phú học sinh khó khăn việc lập luận, suy diễn lôgic tạo nên thái độ miễn cưỡng, chán nản em, xấu hổ không giám thắc mắc  Về phía chương trình: Trong chương trình cải cách sách giáo khoa khơng phải người học đáp ứng dược hết yêu cầu cầu sách đưa ra, đặc biệt phần Đại số 8, đặc thù phần có nhiều công thức , công thức đễ nhầm lẫn, số cơng thức khó nhớ học sinh, trình dạy học lại thường bị tốn thời gian vào việc nhắc lại kiến thức cũ  Về phía học sinh: + Một số em khơng có kiến thức toán học + Khả nắm kiến thức em chậm + Học sinh học tập cách máy móc hay dựa vào mẫu chưa tự tin hình thành cho phương pháp định để giải toán + Còn số học sinh xem nhẹ việc học tập, học để đối phó + Kỹ vận dụng lý thuyết (Sử dụng HĐT) vào tập em cịn hạn chế Từ đó, nhiều em khơng nắm kiến thức bản, làm tập nhà để đối phó, lúng túng việc giải tốn, đọc tốn khơng biết giải đâu, hay đứng trước tốn khơng xác định dạng bài; số học sinh chưa có phương pháp học tập, chưa thích ứng với phương pháp chưa tích cực, linh hoạt, sáng tạo lớp hay nhà nói “sức ì” học sinh q lớn  Về phía giáo viên: Trong q trình giảng dạy lớp có đơng học sinh thêm vào thời gian hạn chế , giáo viên dạy cho học sinh mức độ truyền thụ tinh thần sách giáo khoa mà chưa phân loại toán, chưa khái quát cách giải cho dạng dẫn đến kỹ phân tích tổng hợp học sinh cịn yếu, cách vận dụng đẳng thức dạng tốn học sinh cịn lúng túng gặp nhiều khó khăn vấn đề giải loại tốn phải biến đổi biểu thức liên quan đến đẳng thức - Kết trước thực giải pháp: GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp Qua giảng dạy môn Toán trường PTDTNT Bảo Lâm kiểm tra chất lượng kỹ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số năm học 2017 – 2018 kết thấp sau: Xếp loại Số lượng(Học sinh) Chất lượng(%) Giỏi 03 8,57 Khá 22,86 Trung bình 15 42,86 Yếu 25,71 Kém 0 Qua kết trên, nhận thấy việc đưa giải pháp cụ thể để rèn luyện, củng cố kỹ cho học sinh nâng cao chất lượng môn, mà trước hết cần phải giúp học sinh vận dụng tốt bảy đẵng thức đáng nhớ vào toán điều thật cần thiết III CÁC GIẢI PHÁP: Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự học chủ động Muốn vậy, giáo viên cần truyền thụ cho học sinh tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách suy luận, biết cách tìm lại điều quên, biết cách tìm tịi để phát kiến thức Trong phân môn đại số thường dùng quy tắc, phương pháp có tính chất thuật tốn.Tuy nhiên, cần coi trọng phương pháp có tính chất tiên đốn Học sinh cần rèn luyện thao tác tư : phân tích, tổng hợp, đặc biệt hố, khái hốt hoá, tương tự, qui lạ quen…Việc nắm vững tri thức, phương pháp nói tạo điều kiện cho học sinh tự đọc hiểu tài liệu, tự làm tập, nắm vững hiểu sâu kiến thức đồng thời phát huy tìm sáng tạo học sinh Trong giải pháp hữu ích trọng đến kiến thức sau: - Giúp học sinh nhận biết dễ dàng bảy đẳng thức đáng nhớ - Giúp học sinh biết cách sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ - Giúp học sinh sửa lỗi sai thường gặp sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ - Đưa số dạng tốn có vận dụng đẳng thức đáng nhớ  GIẢI PHÁP 1: GIÚP HỌC SINH DỄ DÀNG NHẬN BIẾT BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ: Khi giải tập em cần có kỹ sau: a) Học thuộc đẳng thức ý giá trị Giả sử (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 A;B biểu thức không nghĩ đơn số hay biến, học sinh dễ nhầm lẫn đến kết sai Ví dụ: (2x+3y)2 = 2x2 + 2.2x.3y + 3y2 Cái sai: (2x)2; (3y)2 giáo viên nên cân nhắc kỷ thảo luận nhóm hay kiểm học sinh để khắc sâu GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp b) Bài toán yêu cầu làm gì? Triển khai đẳng thức, viết tổng thành tích, tìm x, cộng trừ, nhân, chia phân thức… c) Định hướng giải toán làm cho học sinh nảy nhiều tình làm cho học sinh bối rối Do giáo viên lưu ý giải yêu cầu ta phải bước nào, làm gì? Có dùng đẳng thức hay khơng sử dụng đẳng thức hợp lý Những thao tác đòi hỏi nhịp nhàng, hợp lý để toán gọn gàng, đến kết nhanh, xác Lưu ý cách trình bày để giải toát lên nội dung cần truyền tải đến người xem d) Giải tốn có dùng đẳng thức nên rèn luyện nhiều tạo kỹ thực hành tốt Đi từ đơn giản đến phức tạp Sử dụng thành thạo, nâng cao khả suy luận, đòi hỏi phải kỹ lưỡng, Biết vận dụng điều học vào giải để phân tích đề tốn, nhận định A;B để dễ dàng việc tính tốn Khi học mơn tốn nói chung, đẳng thức nói riêng việc tâm huyết điều cần thiết Giáo viên cần tạo cho học sinh phương pháp học tốn, em có đam mê đam mê làm cho học sinh học toán nhẹ nhàng vững niềm tin tiếp bước đường học vấn Bảy đẳng thức học sinh cần nhớ gồm: 1/ Bình phương tổng (A+B)2 = A2+2AB+B2 (1) 2/ Bình phương hiệu (A – B)2 = A2 – 2AB+B2 B2 (2) 3/ Hiệu hai bình phương A2 – B2 = (A+B)(A – B) B2 (3) 4/ Lập phương tổng (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 B2 (4) 5/ Lập phương hiệu (A – B)3=A3 – 3A2B+3AB2 – B3 B2 (5) 6/ Tổng hai lập phương A3+B3=(A+B)(A2 – AB+B2) B2 (6) 7/ Hiệu hai lập phương A3 – B3=(A – B)(A2+AB+B2) B2 (7) – Để phân biệt đẳng thức khỏi nhầm lẫn giáo viên nên cho học so sánh đẳng thức với Ví dụ: a) (A + B)2 (A – B)2 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 * Giống nhau: Vế phải có hạng tử giống * Khác nhau: Dấu hạng tử 2AB b) ( A + B)3 (A – B)3: Cách nhận biết dấu “ +”, “ – “ :Hạng tử B có số mũ lẻ (1,3) ta đặt dấu “ – “ trước hạng tử đó, hạng tử B có số mũ chẵn (0,2) ta đặt dấu “+“ trước hạng tử đó.Cụ thể: (A + B)3 = A3 + A2B + 3A B2 + B3 (A – B)3 = A3 – A2B + 3A B2 – B3 GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp * Giống nhau: Vế phải có hạng tử giống * Khác nhau: công thức (A + B)3 dấu “+ , + , + , + ” , cịn cơng thức (A – B)3 dấu “ + , – , + , – “ (quy tắc đan dấu) c) A3 + B3 A3 – B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) Cùng dấu cộng x Bình phương thiếu hiệu A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Cùng dấu trừ x Bình phương thiếu tổng  GIẢI PHÁP 2: GIÚP HỌC SINH BIẾT CÁCH SỬ DỤNG BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ: 2.1/ Trước áp dụng đẳng thức vào giải dạng toán cần củng cố, ôn lại đẳng thức thường xun có hệ thống Ví dụ 1: Hồn thiện đẳng thức sau: a/ (.… + B)2 = A2 + 2.A… + B2 b/ (A – … )2 = A2 – ….+B2 c/ A2 – ….2= (A+B).(… – B) d/ (A + B)3 = ….3 + … +3.A.B2 + ….3 e/ (A – ….)3 = A3 – 3.A2.B+… – B3 f/ ….3 + B3= (A + B).(….2 – … + B2) g/ A3 – ….3 = (? – B).(A2 + … + B2) Sau hồn thiện ví dụ, giáo viên đưa vài tập vận dụng mức khó Ví dụ 2: Điền vào dấu? a/ (? + ?)2 = x2 + ? + 4y2 Muốn điền vào dấu ? để x2 + ? + 4y2 thành bình phương tổng x2+?+4y2 phải có dạng A2+2.A.B+B2 (1) Ở A2 = x2 hay A = x B2 = 4y2 = (2y)2 hay B = 2y Suy ta phải điền thêm vào ? là: 2.A.B = 2.x.2y = 4xy Do ta có: (x+2y)2 = x2 + 4xy + 4y2 Tương tự, cho học sinh nhận biết tập: b/ (? – ?)2=a2 – 6ab +? c/ (? + ?)2 = ? + m + 4 d/ ? – 16y = (x + ?).(x – ? ) e/ 25x2 – ? = (?+3b).(? – 3b) 2.2/ Khi giải tập, việc học thuộc đẳng thức, học sinh cần ý đến giá trị, chẳng hạn: (A + B)2 = A2+2.A.B+B2 A, B biểu thức không đơn số hay biến Ví dụ 3: Tính nhanh: a/ 1132 – 132 = (113 + 13).(113 – 13) = 126.100 = 12.600 b/ 9502 – 8502 = (950 + 850).(950 – 850 ) = 1800.100 = 180.000 c/Q = (x + 3)2 – 2.(x + 3).( x – ) + (x – )2 với x = 3.75 GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp Giáo viên hướng dẫn học sinh nhìn tổng quát, ta thấy biểu thức có dạng: bình phương thứ cộng bình phương biểu thức thứ hai trừ tích hai lần hai biểu thức đó, ta nhận thấy A = x + B = x – Q= [(x + ) – ( x – )]2 = (x + – x + 7)2 = 102 = 100 Như thấy rõ vấn đề biễu thức học sinh thực giãi tập nhẹ nhàng Ví dụ 4: Tìm chỗ sai phép khai triển đẳng thức sau: a/ (x + 2y)2 = x2 + 2.xy + 2y2 b/ (5 – x )2 = 52 – x2 c/ (2x + 3y)2 = 2x2 + 2.2x.3y + 3y2 = 4x2 + 12xy + 9y2 Ví dụ 5: Trong khẳng định sau, khẳng dịnh dúng? a/ (3x – )2 = (1 – x)2 b/ (x – )3 = (2 – x )3 c/ (x + 1)3 = (1 + x )3 d/ x2 – = – x e/ (x – )2 = x2 – x +  GIẢI PHÁP 3: GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC NHỮNG LỔI THƯỜNG GẶP KHI VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN: Ngay sau học xong hai đẳng thức: bình phương tổng (1), bình phương hiệu (2), tơi cho học sinh ( trung bình khá) lên bảng làm tập sau: Bài tập: a/ Viết cơng thức bình phương tổng hai biểu thức? b/ Khai triển: (x + 1)2 ; (2x + 3y)2 Kết thực sau: a/ (A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2 b/ (x + 1)2 = x2 + 2x + (2x + 3y)2 = 2x2 + 12xy + 3y2 Điều chứng tỏ rằng, biểu thức A, B đẳng thức số hay biến em dễ dàng vận dụng dược đẳng thức vào tập Tuy nhiên, A, B biểu thức phức tạp em lại dễ mắc phải sai lầm nư tập Vậy làm để học sinh hạn chế tối đa sai lầm trên? Đầu tiên giáo viên cần lưu ý học sinh sử dụng dấu ngoặc cho lũy thừa biểu thức viết đẳng thức dạng: 2 Ví dụ : ( + )2 = + + ( 2x + 3y )2 = 2x + 2x 3y + 3y = 4x2 +12xy+9y2 Sau đó, tơi cho học sinh học sinh phát lỗi sai câu b: (2x+3y)2 = (2x)2 + 12xy + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 Qua đó, đa số học sinh vận dụng đẳng thức vào tập khai triển lũy thừa dạng đơn giản  GIẢI PHÁP 4: GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN TRONG MƠN ĐẠI SỐ 8: 1/ Thông hiểu, nắm vững đẳng thức để giải tập sách giáo khoa: Trong phương pháp dạy học đổi , giáo viên khơng cịn đơn người truyền đạt kiến thức mà giáo viên trở thành người thiết kế , tổ chức hướng dẫn hoạt động Học sinh tự lực chiếm lĩnh kiến thức , hình thành kỹ ,thái độ theo yêu cầu chương trình Người giáo viên đóng vai trị gợi mở , xúc tác , động viên tư vấn , trọng tài hoạt động sôi học sinh Khi soạn giáo án giáo viên hình dung học xong học sinh nắm kiến thức , mức độ để dạng tập phù hợp với em khẳng định người đạo, tổ chức hướng dẫn, giúp đỡ học sinh 1.1 /Dùng đẳng thức để thực nhanh phép nhân đa thức: Khi gặp toán nhân đa thức với đa thức ta thường vận dụng đẳng thức để có kết nhanh gọn, xác Ví dụ 1: Thực phép nhân sau: a/ (x – ).(x + ) b/ (3x + y ).(3x – y ) c/ (x + ).(x2 – x + ) d/ (2 – x).(4 + 6x + 9x2) Để làm ví dụ ta sử dụng đẳng thức sau: + (A + B).(A – B) =A2 – B2 + (A + B).(A2 – A B + B2) = A3 + B3 + (A – B ).(A2 + A.B + B2) = A3 – B3 Giáo viên cho học sinh quan sát ví dụ để tìm đấu hiệu nhận biết đẳng thức: + Dạng 1: Nếu phép nhân đa thức có hai hạng tử, đa thức có dạng tổng, đa thức có dạng hiệu, ta dùng đẳng thức (A + B).(A – B) =A2 – B2 Chẳng hạn câu b/ (3x + y).(3x – y ) Phép nhân (3x + y).(3x – y) có dạng (A + B ).(A – B ) nên ta thấy A = 3x B= y Do : (3x + y).(3x – y ) = (3x)2 – y = 9x2 – y2 + Dạng 2: Nếu phép nhân đa thức có hai hạng tử, đa thức có dạng tổng hai hạng tử, đa thức có dạng bình phương thiếu hiệu hai hạng tử đó, ta dùng đẳng thức (A + B).(A2 – A B + B2) = A3+B3 Chẳng hạn câu c/ (x + 3).(x2 – x + 9) Phép nhân (x + 3).(x2 – x + ) = (x + ).(x2 – 3.x + 32) có dạng (A + B).(A2 – A B + B2) nên ta thấy A = x ; B = Do đó: (x + ).(x2 – x + 9) = x3 + 33 = x3+ 27 + Dạng 3: Nếu phép nhân đa thức có hai hạng tử, đa thức có dạng hiệu hai hạng tử, đa thức có dạng bình phương thiếu tổng hai hạng tử đó, ta dùng đẳng thức (A – B ).(A2 + A.B +B2) = A3 – B Chẳng hạn câu d/ (2 – x).(4 + 6x + 9x2) Phép nhân (2 – x).(4 + 6x + 9x2)= (2 – x).(22 + 2.3x + (3x)2] có dạng (A – B).(A2 + A B + B2) nên ta thấy A = ; B = 3x Do (2 – x).(4 + 6x + 9x2) = 23 – (3x)3 = – 27x3 1.2/ Dùng đẳng thức để tính nhẩm nhanh giá trị biểu thức: Khi gặp tốn tính nhanh, tính nhẩm, việc áp dụng đẳng thức giúp học sinh rút ngắn thời gian làm tìm dược kết xác GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp Ví dụ 2: Tính nhanh: a/ 1012 b/ 1992 c/ 97.103 - Dạng 1: Để tính bình phương số , ta thường vận dụng hai đẳng thức (1), (2) Ta viết số dạng tổng hiệu hai số, có số tròn trăm tròn chục Chẳng hạn: 1012 = (100+1)2 =? 1992 = (200 – )2 = ? - Dạng 2: Để tính nhanh tích hai số, ta viết số dạng tổng hai số, số dạng hiệu hai số, để làm điều này, ta tìm số hai số cần tính biến đổi, sau áp dụng đẳng thức: (A + B).(A – B) =A2 – B Chẳng hạn: 97.103 = (100 – ).(100 + ) = ? Ví dụ 3: Tính nhanh giá trị biểu thức: a/ 342 + 662 + 2.34.66 b/ 742 + 242 – 48.74 c/ x2 + 4x + x = 998 d/ x3 + 3x2 + 3x + x = 999 Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận dạng biểu thức để vận dụng đẳng thức thích hợp - Đối với câu a có dạng bình phương số thứ cộng với bình phương số thứ hai cộng với hai lần tích hai số nên giống với vế đẳng thức : bình phương tổng: Ở A = 34; B = 66, đó: 342 + 662+ 2.34.66 = (34 + 66)2 = 1002 = 10.000 - Đối với câu b giống sâu a, ta vận dụng đẳng thức bình phương hiệu: Ta thấy 48.74 = 2.24.74 đó: 742 + 242 – 48.74 = (74 – 24)2 = 502 = 2500 - Đối với câu c: giáo viên cho học sinh nhận dạng A2 = x2 nên A = x ;B2 = nên B = 2AB = 2.x.2 = 4x Do x2 + 4x + = (x + )2 Tại x = 998 giá trị biểu thức (998 + 2)2 = 10002 = 1000.000 - Đối với câu d: giáo viên cho học sinh nhận dạng A3 = x3 nên A = x ; B3 = nên B = 3A2B = 3.x2.1 = 3x2 ;3AB2 = 3.x.12= 3x Do đó: x3 + 3x2 + x + = (x + )3 Tại x = 999 giá trị biểu thức là: (999 + 1)3 = 10003 = 1000.000 Ví dụ 4: tính nhẩm bình phương số tự nhiên có hai chữ số có tận chữ số - Ta gọi số tự nhiên có hai chữ số có tận chữ số là: a Viết a = 10a + - Vận dụng đẳng thức để chứng minh đẳng thức : a = ( 10a + ) = 100a.(a + 1) + 25 - Do để tính ( a )2 , ta tính tích 100a.(a + 1) cộng thêm 25 Tức ta lấy số chục a nhân với số lớn đơn vị (a+1)rồi nhân thêm với 100 lấy kết cộng với 25 Chẳng hạn: Tính 252 =?, ta lấy 100.2.(2+1) +25 ta 252 = 625 Tương tự: 652 = 4225 ; 952 = 9025,… GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp 1.3/ Dùng đẳng thức để khai triển lũy thừa biểu thức: Để củng cố lại đẳng thức , giúp học sinh tự tin giải dạng toán liên quan đến khai triển lũy thừa, tạo tiền đề để giải tốn nâng cao Ví dụ 5: Khai triển lũy thừa sau: a/ (x + 2y )2 b/ (2x – y )2 c/ (x – )2 d/ (x + )3 e/ (5x – )3 f/ (x + y + z )2 Giáo viên cần giúp học sinh nhận biết biểu thức cần khai triển thuộc dạng đẳng thức phải xác định biểu thức tương ứng với A, B công thức đẳng thức để vận dụng cho thích hợp (lưu ý: lũy thừa đơn thức có hệ số khác đa thức phải cho vào ngoặc) Chẳng hạn: Ở câu a: Triển khai (x + 2y )2 = ? có dạng (A + B )2 suy A = x; B = 2y Do (x + 2y )2 = x2 + 2.x.2y + (2y)2 =x2+4xy+4y2 Ở câu f: (x + y + z )2, ta xem A = x + y , B = z A = x , B = y + z Khi đó: (x + y + z )2 = [(x + y)+z]2= (x+y)2+2.(x+y).z+z2 =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz Tương tự trên, ta triển khai lũy thừa đa thức có nhiều hạng tử 1.4/ Vận dụng đẳng thức để rút gọn biểu thức: Để rút gọn biểu thức ta vận dụng quy tắc học để thực thứ tự phép tính biểu thức cần rút gọn có dạng vế đẳng thức nên vận dụng đẳng thức để có kết nhanh gọn độ xác cao Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức sau: a/ (x+y+z)2–2.(x+y+z)(x+y)+(x+y)2 b/ (2x+1)2 +(3x–1)2 +2.(2x+1).(3x–1) Giáo viên lưu ý học sinh tránh sa vào chi tiết rườm rà, ý đến dạng đẳng thức thích hợp xuất biểu thức Ở câu a/ ta thấy đặt: A=x+y+z B=x+y biểu thức cho có dạng A2 – 2.A.B + B2 nên kết (A–B)2 Do đó: a/ (x+y+z)2–2.(x+y+z)(x+y)+(x+y)2 =[(x+y+z)–(x+y)]2= (x+y+z+–x–y)2 = z2 Tương tự, câu b/ đặt A = 2x + B =3x – biểu thức cho có dạng A2 + B2 + 2.A.B nên kết (A + B )2 Do đó: b/ (2x+1)2 +(3x–1)2 +2.(2x+1).(3x–1) =[(2x+1)+(3x–1)]2= (5x)2 = 25x2 1.5/ Vận dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử: Để làm dạng toán , giáo viên cần giải thích cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử ( biến đổi đa thức thành tích nhiều đa thức khác) Giáo viên cho học sinh làm tập điền khuyết sau A2 + 2.A.B + B2 = A2 – A.B + B2 = A2 – B2 = A3 + 3.A2.B + 3.A.B2 + B3 = A3 – 3.A2.B + 3.A.B2– B3 = A3 + B3 = A3 – B3 = GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 10 GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp Qua tập này, học sinh linh hoạt biến đổi hai vế đẳng thức vận dụng thành thạo đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử Sau đó, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách nhân dạng đa thức cầm phân tích về: + Bậc đa thức + Số hạng tử đa thức (đấu hạng tử) Chẳng hạn: + Nếu đa thức bậc số hạng tử ta liên hệ đến hai đẳng thức + Nếu đa thức bậc số hạng tử ta liên hệ đến hai đẳng thức thứ ba + Nếu đa thức bậc số hạng tử ta liên hệ đến hai đẳng thức thứ tư thứ năm + Nếu đa thức bậc số hạng tử ta liên hệ đến hai đẳng thức cuối Lưu ý: sau nhận dạng đẳng thức, ta tìm đa thức hai hạng tử có dạng bình phương lập phương để xác định hai biểu thức tương ứng A, B công thức đẳng thức Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a/ x2+4x+4 b/ x2–6x+9 c/ 4x2–4x+1 d/ x2 –25 e/ 16x2– f/ x3+9x2+27x+27 g/ x3–3x2+3x –1 h/ x3+8 k/ 27x3 –y3 Hướng dẫn: Ở câu a/ x + 4x + đa thức bậc 2, có hạng tử nên có dạng vế đẳng thức thứ A2 +2.A.B + B2, đóù A2 = x2 nên A = x ; B2 = = 22 nên B = 2AB = 2.x.2 = 4x Do x2 + 4x + = (x + 2)2 Tương tự cho câu b, c Ở câu e/ 16x2– đa thức bậc 2, có hạng tử nên có dạng vế đẳng thức thứ ba A2 – B2 , A2 =16x2 = (4x)2 nên A = 4x ; B2 = nên B = Do 16x2 –1 = (4x + 1).(4x – ) Ở câu k/ 27x3 – y3 đa thức bậc 3, có hạng tử nên có dạng vế đẳng thức thứ bảy A3 – B3, A3 = 27x3 = (3x)3 nên A = 3x ; B3 = y3 nên B = y Do 27x3 – y3 = (3x – y )(9x2 + xy + 9) Tương tự cho câu h Ở câu f/ x3 + 9x2 + 27x + 27 đa thức bậc 3, có hạng tử nên có dạng vế đẳng thức thứ tư A3 +3.A2.B + 3.A.B2 +B3, A3 = x3 nên A = x ; B3 = 27 = 33 nên B = 3; 3A2.B = 3.x23 = 9x2 ; 3A.B2 = 3.x32 = 27x Do x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3) Tương tự cho câu g 1.6/ Vận dụng đẳng thức để thực phép chia: Ví dụ 8: Thực phép chia: a/ ( x2 + 2xy + y2 ): (x + y ) b/ (125x3 + ) : (5x + ) c/ ( x2 – xy + y2) : (y – x ) d/( 4x2 – y2) : (2x – y ) GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 11 GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp Phương pháp giải: phân tích đa thức bị chia thành nhân tử, xuất nhân tử đa thức chia Cụ thể a/ ( x2 + 2xy + y2): (x + y) = (x + y)2 : (x + y) = (x + y) b/ (125x3 + 1) : (5x + 1) = (5x + 1) (25x2 –5 x + 1) : (5x + 1) = ( 25x2 –5x +1) c/ ( x2 – xy + y2) : (y – x ) = (y – x )2: ( y – x ) = (y – x ) d/( 4x2 – y2): (2x – y ) = (2x – y) (2x + 3y ) :(2x – y ) = (2x + 3y) 1.7/ Vận dụng đẳng thức để tìm x đẳng thức: Nếu đẳng thức chứa x có vế phải 0, ta phân thức đa thức vế trái thành nhân tử vận dụng kiến thức tích nhân tử nhân tử Cụ thể A B = , A=0 B=0 Ví dụ 9: Tìm x, biết: a/ ( x2–2x+1) = ( x–1) =0  x–1 =0 x =1 b/ 64x – 49 = (8x – )(8x + ) = 8x – = 8x + = x  x   Nếu đẳng thức có vế phải khác ta chuyển biểu thức vế phai sang vế trái cho vế phải làm tương tự 2/ Giải toán nâng cao: 2.1/ Chứng minh biểu thức ln dương ln âm: Ví dụ 1: Chứng minh a/ x2 – x + 10 > với x b/ 4x – x2 – < với x Phương pháp giải: - Dạng 1: Để chứng minh A(x) >  x, ta biến đổi A(x) = B(x)2 + b (b > 0) >  x, B(x)2 ≥  x - Dạng 2: Để chứng minh A(x) <  x, ta biến đổi A(x) = – {B(x)2 + b (b > 0) }<  x, B(x)2 +b >  x Do đó: x – x + 10 = x2 – x + + = (x – )2 + >  x 4x – x2 – = – [ x2 – x + 5] = –[x2 – x + + 1] = – [(x – )2 + 1] <  x 2.2/ Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức: Để làm dạng toán (chủ yếu dành cho học sinh giỏi )ta cần giải thích cụm từ giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức gì?Sau hướng dẫn học sinh cách thực  Để tìm giá trị lớn biểu thức A ta cần:  Chứng minh A ≤ t với t số  Chỉ dấu “=” xảy  Kết luận: Giá trị lớn A t ( kí hiệu maxA)  Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A ta cần:  Chứng minh A ≥ m với m số  Chỉ dấu “=” xảy  Kết luận: Giá trị nhỏ A m ( kí hiệu minA) GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 12 GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp Cụ thể xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất: a/ P= x2 – x + b/ Q= x2 + y2 – x + 6y + 10 Phương pháp giải: - Để tìm MinP, ta biến đổi P(x) = K(x)2 + a - Vì K(x)2 ≥  x nên P(x) = K(x)2 + a ≥ a , MinP = a K(x)=0 a/ P= x2 – x + = x2 – x + + = (x – )2 + ≥ MinP = x – = b/ Q 4 = x2 + y2 – x + 6y + 10 = x2 – x + + = (x – )2 + ( y + 3)2 + Vậy Min Q = 4 x – ≥ + y2 + 6y + =0 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất: a/ A = 4x – x2 + b/ B =x – x2 Phương pháp giải: - Để tìm Max P, ta biến đổi P(x) = a – K(x)2 - Vì K(x)2 ≥  x nên P(x) = a – K(x)2 ≤ a , MaxP = a K(x) = a/ A = 4x – x2 + = – [x2 – x – ] = – [x2 – x + – ] = – [(x – )2 – ] = – ( x – )2 ≤ Vậy Max = x – = 1 4 b/ B = x – x2 = – [x2 – x ]= – [x2 – x + – ]=– [(x – Vậy MaxB = 1 1 4 )2 – ]= – (x – )2 ≤ x – = * Nhận định: Đối với học sinh lớp qua kiểm tra tiết, học kỳ, chuyển cấp, đơi có thi học sinh giỏi trường chun, đề rải rác có vài tốn ứng dụng đẳng thức mức độ cao thấp khác Do đó, nhận biết, thơng hiểu vận dụng cách thông minh, nhanh nhẹn để kết tốt việc làm cần thiết Muốn thế, học sinh phải thực hành nhiều dạng để gặp tập ứng dụng đẳng thức thể tốt Từ hình thành phương pháp giải rèn luyện kĩ cho học sinh Trong chương trình học em gặp tập ứng dụng đẳng thức tập trên, nhiều dạng tốn khác khơng có sẵn đẳng thức phải thêm vài hạng tử áp dụng đẳng thức cách dễ dàng vận dụng tốt tập Tuy nhiên học sinh phải rèn luyện cho phương pháp tư duy, nhận định hướng IV HIỆU QUẢ CỦA GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN: Ứng dụng đẳng thức thơng thạo học sinh có nhiều tiến bộ, điển hình hai năm thực dạy khối làm có liên quan đến đẳng thức em đạt điểm tối đa tổ nhóm hoạt động có hiệu Học sinh hứng thú học đại số tiền đồ để em đạt kết hai phân mơn đại số, hình học khả quan Đó niềm GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 13 GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp động viên tơi có thêm kinh nghiệm q báu truyền đạt lại cho em để có kết tốt Khảo sát chất lương với 31 học sinh kì I năm học 2018–2019 học sinh lớp 8A trường PTDTNT Bảo Lâm sau: Với tập giáo viên ra, học sinh giải 60% cách tự lập tự giác Xếp loại Số lượng(Học sinh) Chất lượng(%) Giỏi 06 19,4 Khá 09 29 Trung bình 10 32,3 Yếu 06 19,4 Kém 0 Rút kinh nghiệm năm trước, chất lượng học sinh thấp nên năm học vận dụng giải pháp vào giảng dạy thu số kết đáng khích lệ Ưu điểm: Đa số em nắm kỹ vận dụng đẳng thức vào giải dạng toán như: tính nhẩm, tính nhanh, thực phép nhân, phép chia, chứng minh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,… Nhược điểm: Bên cạnh cịn số học sinh có kỹ phân loại dạng tốn cịn lúng túng, kỹ vận dụng chưa thành thạo, áp dụng cịn máy mọc, chưa chịu khó học tập, ý thức học tập kém, kiến thực từ lớp Những kết chứng tỏ việc vận dụng kinh nghiệm nêu thời giân chưa dài kết tương đối khả quan kết chưa thật cao đạt theo mong muốn có khởi sắc chất lượng học tập, số học sinh yếu giảm Và kiến thức dã dược khắc sau hơn, em tự tin vận dụng kiến thức học vào giải toán Với nội dung giải pháp thực năm học vừa qua dù kết chưa cao phần cải thiện dược chất lượng mơn Tốn trường Từ thân tơi rút số kinh nghiệm việc rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số: – Nghiên cứu tài liệu tham khảo, không ngừng bồi dưỡng nâng cao trình độ chun mơn – Giáo viên phải soạn thật tốt, chuẩn bị hệ thống câu hỏi phù hợp, số tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với đối tượng học sinh – Phân tích thật rõ ràng tỉ mỉ ví dụ sách giáo khoa tiết dạy lớp phân tích thật kĩ tập mẫu cho học sinh qua học tự chọn để làm tảng cho học sinh giải tập khác Mặt khác giáo viên chia học sinh thành nhóm nhỏ, nhóm có nhóm trưởng tổ chức thảo luận tập mẫu để em học sinh yếu hiểu cách sâu hơn, giúp em giải số tập tương tự, làm cho em khơng chán nản, khơng ngại khó – Tăng cường phụ đạo học sinh yếu kém, tìm chỗ học sinh bị hổng để phụ đạo Điều địi hỏi người giáo viên phải có lịng yêu nghề, yêu thương học sinh phải có lượng kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh – Giáo viên tạo hội cho học sinh tự làm tập vừa với sức hiểu biết – Giáo viên trao đổi thường xuyên với phụ huynh kiến thức học sinh tiếp thu chưa tiếp thu để tìm nguyên nhân cách truyền thụ tốt GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 14 GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp C: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Đối với học sinh giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Giải toán giúp cho học sinh củng cố nắm vững tri thức, phát triển tư hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng tốn học vào thực tiễn sống Vì tổ chức có hiệu việc dạy giải tốn góp phần thực tốt mục đích dạy học tốn nhà trường, đồng thời định chất lượng dạy học Với tìm tịi học hỏi thân, thấy giải pháp "Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp 8" vấn đề hay thiết thực, có ích học sinh THCS giáo viên dạy lớp Việc tìm hiểu nghiên cứu Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp giúp nắm vững dạng tập thông dụng với phương pháp giải phù hợp Ngồi biết sai lầm học sinh hay mắc phải từ điều chỉnh phương pháp dạy cho phù hợp Điều cần thiết cho thân tơi q trình dạy học Trong q trình thực hiên giải pháp khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý, bổ sung thầy cô, bạn đồng nghiệp để viết hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Bảo Lâm, ngày 12 tháng 11 năm 2017 Giáo viên thực Nguyễn Thị Huế GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 15 GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo viên Toán lớp (của nhà xuất giáo dục) Sách giáo khoa Toán lớp (của nhà xuất giáo dục) Sách tập Toán lớp (của nhà xuất giáo dục) Các Website:http://www.violet.vn http://www.edu.com.vn GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang 16 GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp MỤC LỤC A.Đặt vấn đề: Lý chọn giải pháp Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nhiên cứu B.Nội dung nghiên cứu I/Cơ sở lý luận II/Thực trạng vấn đề III/ Giải pháp: IV/ Hiệu sau thực giải pháp: C Kết luận – Kiến nghị: Tài liệu tham khảo GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế 1–2 2 2–3 – 13 13– 14 15 16 Trang 17 ... GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp Qua giảng dạy mơn Tốn trường PTDTNT Bảo Lâm kiểm tra chất lượng kỹ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số năm học 2017 – 20 18 kết... đa số học sinh vận dụng đẳng thức vào tập khai triển lũy thừa dạng đơn giản  GIẢI PHÁP 4: GV thực hiện: Nguyễn Thị Huế Trang GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp VẬN DỤNG... Huế Trang 10 GPHI: Rèn kĩ vận dụng bảy đẳng thức vào giải tập đại số lớp Qua tập này, học sinh linh hoạt biến đổi hai vế đẳng thức vận dụng thành thạo đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân