Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương V

Bài giảng Phương Pháp Tính

Chương 5TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNHI. Tính gần đúng các giá trị đạo hàm.1. Áp dụng đa thức nội suy.-Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng;-Biểu thức giải tích của hàm quá phức tạp;-Thay f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x).-Coi P’n(x)là giá trị gần đúng của f’(x).);()( xPdxdxfdxdn≅( 1 )a/ Đa thức xấp xỉ trực tiếp:f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . ( 2 )f’(x) = P’n(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . .( 3 )f”(x) = P”n(x) = 2a2 + 6a3x + . . .( 4 ) b. Đa thức nội suy Niutơn.Pn(x) = Pn(t) với ;0hxxt−=;1hdxdt=);(1)()()()(''tPdtdhdxdttPdtdtPdxdxPxfnnnn⋅====;!)1) .(1(!2)1()()(2onooonnynntttyttytytPxP ∆+−−+⋅⋅⋅+∆−+∆+==⋅⋅⋅+∆−+−++∆+−+∆−+∆+=042343232!46116!323!2)1()(yttttytttyttytytPoooon⋅⋅⋅+∆−+−++∆+−+∆−+∆=⋅=0423032020123119262632121)(1)('ytttyttytyhtPdtdhxfnVới công thức nội suy tiến:⋅⋅⋅+∆+−+∆−+∆=⋅=042030221211186)1(1)('1)(" yttytyhdttdPhxf Với công thức nội suy lùi, có kết quả tương tự:⋅⋅⋅+∆+++∆++∆=−−−33222162632121)('nnnyttytyhxfChú ý: Tính đạo hàm theo đa thức nội suy thường chứa sai số lớn. (xem hình vẽ).Nếu sai số của hàm là r(x) = f(x) – Pn(x)sai số của đạo hàmε(x) = f’(x) – P’n(x) = r’(x).dxxdf )(dxxdPn)(f(x)Pn(x) 2. Áp dụng định nghĩa của đạo hàm.;)(lim)('0hxfxfh∆=→( 7a );)()()(hxfhxfhxf −+=∆( 7b )hxf )(∆-Để tìm h thích hợp tính theo một chuỗi các giá trị giảm dần của h.- Coikhi h đủ nhỏ độ chính xác tới d số sau dấu phẩy;)(')(xfhxf≈∆-Việc tính dừng lại khi sai số tiệm cậncó giá trị đủ nhỏ. hxfxfhE)()(')(∆−=-Thực tế không biết giá trị của f’(x) E(h) ~ sai lệch giữa hai lần ước lượng liên tiếpΔD(h) = D(h) – D(htrước); ( 8 );)()(hxfhD∆=trong đó: - Việc tính sẽ dừng lại khidD−<∆ 10Các bước tính:+ Cho trước giá trị ban đầu h, tỷ lệ rút nhỏ r, độ chính xác cần có (số con số đáng tin sau dấu phẩy).+ Tính ;)()(hxfhD∆=+ Tính ΔD(h).+ Lặp lại cho đến khi .dD−<∆ 10Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại x = 0.- Đã biết:;1)0cos()(sin)('0====xxdxdxf- Tính theo ph/pháp gần đúng:+ Chọn tuỳ ý h ban đầu, ví dụ h = 1; tỷ lệ rút gọn r = 4.+ Độ chính xác tới 4 con số sau dấu phẩy.;)0sin()0sin()()()()(hhhxfhxfhxfhD−+=−+=∆=+ Tính+ Tính ΔD(h) và E(h). Kết quả tính toán cho trong bảng sau:h D(h) ΔD(h)E(h)=f’(x)-D(h)1 0,841471 0,158529 1/4=0,25 0,989616 0,01384 0,148145 1/16=0,0625 0,999349 0,000651 0,0097331/64=0,015625 0,999959 0,000041 0,0006101/256=0,003906 0,999997 0,000003 0,0000381/1024=0,00097656 1,000000 0,0000000,0000031 0,841471 0,158529Nhận xét ≈=−641000038,06412561EDDCó thể dùng để đánh giá xấp xỉ sai lệch ở bước tính htrước.Quá trình tính có thể dừng khi ΔD(h) < 10-d.Ở ví dụ này, q/trình tính dừng lại ở bước h = 1/256; khi đóΔD(h) = 0,000038 < 0,5.10-4. II. Tính gần đúng các tích phân xác định.- Xét tích phân xác định:∫=badxxfI ;)(- Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F(x) );()()( aFbFdxxfIba−==∫- Thực tế:+ thường khó khăn khi tìm nguyên hàm+ Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng số.-Tính gần đúng giá trị của tích phân thay hàm dưới dấu tích phân bằng một đa thức xấp xỉ.;)()(∫∫≅=banbadxxPdxxfI 1. Đa thức xấp xỉ trực tiếp:⋅⋅⋅+++=2210)( xaxaaxPn)32(32210⋅⋅⋅+++= xaxaxaIab2. Đa thức Niutơn thứ nhất:;)()()()()(∫ ∫∫=≈=babtatnnbadttPhdxxPdxxfI(với dx = hdt)x = x0 + ht;)(00∫+=tndthtxPhIChọn điểm cơ sở là điểm a (x0 = a) thì tại đó t(a) = 0 và x = b ứng với t = k;-- Chia [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các nút xi:;110bxxxxxanni=<<⋅⋅⋅⋅⋅⋅<<=−xi = a + ih ;;nabh−= Bậc của đa thức được chọn công thức tính tương ứng.n = 0 công thức hình chữ nhật;n = 1 công thức hình thang;n = 2 công thức Simsơn 1/3;n = 3 công thức Simsơn 3/8;a/ Công thức hình thang.;)()()()(12110∫∫∫∫==−+⋅⋅⋅++=nnxbxxxxxabadxxfdxxfdxxfdxxf- Thay f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x).;!1)(001ytyxP ∆+=- Công thức hình thang n = 1- Đổi biến: x = x0 + ht dx = hdt x = x0 t = 0; x = x1 t = 1)2()()(0201000110yttyhdtytyhdxxPxx∆+=∆+=∫ ∫t=0t=1;2)21()(10010yyhyyhdxxfoxx+=∆+≅∫Tích phân thứ 1: - Ý nghĩa hình học của công thức:Thay diện tích hình thang cong bằng diện tích của hình thang thường.- Tích phân thứ i+1:;2)()(1101++=∆+≅∫ ∫+iixxiiyyhdtytyhdxxfiix0x1M0M1[ ];)()()(212110 nnyyyyyyhI ++⋅⋅⋅++++=−);222(21210nnyyyyyhI +⋅⋅⋅+++=−- Đã chứng minh được sai số của công thức là);(122abhMR −=;;)("max bxaxfM ≤≤= [...]... h = ( y0 + 4 y1 + y2 ); 3 - Các tích phân sau cũng tính tương tự x2 i + 2 ∫ x2 i h f ( x)dx = ( y2i + 4 y2i +1 + y2i + 2 ); 3 2 0 Cộng tất cả: b ∫ a b ∫ a h f ( x)dx = [ ( y0 + 4 y1 + y2 ) + ( y2 + 4 y3 + y4 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( y2n− 2 + 4 y2n−1 + y2n ) ]; 3 h f ( x)dx = [ ( y0 + y2 n ) + 2( y2 + y4 + ⋅ ⋅ ⋅ + y2 n− 2 ) + 4( y1 + y3 + ⋅ ⋅ ⋅ + y2 n −1 ) ]; 3 b− a h= v i 2n - Sai số: v i M 2 R= h (b − a ); 12... Công thức Simsơn 1/3 - Chia [a, b] thành 2n đoạn con bởi các nút xi a = x0 < x1 < x2 ⋅ ⋅⋅ < xi ⋅ ⋅⋅ < x2n = b; b−a xi = a + ih; h = ; i = 0,1,2, ,2n 2n - Cho hàm f(x): b x2 x4 b = x2 n a a = x0 x2 x2 n −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫ f ( x)dx; - f(x) đa thức nội suy Niutơn bậc 2: t t (t − 1) 2 P2 ( x) = y0 + ∆y0 + ∆ y0 ; 1!x 2! x 2 2 x0 x0 ∫ f ( x)dx ≅ ∫ P2 ( x)dx; - Đổi biến: x = x0 . Chương 5TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM V TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNHI. Tính gần đúng các giá trị đạo hàm.1. Áp dụng đa thức nội suy.-Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng;-Biểu. bước tính htrước.Quá trình tính có thể dừng khi ΔD(h) < 10-d.Ở v dụ này, q/trình tính dừng lại ở bước h = 1/256; khi đóΔD(h) = 0,000038 < 0,5.1 0-4 .