Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương V
Trang 1Chương 5
TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I Tính gần đúng các giá trị đạo hàm.
1 Áp dụng đa thức nội suy.
-Hàm f(x) được cho dưới
dạng bảng;
-Biểu thức giải tích của hàm
quá phức tạp;
-Thay f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x)
-Coi P’n(x)là giá trị gần đúng của f’(x)
);
( )
dx
d x
f dx
d
n
a/ Đa thức xấp xỉ trực tiếp:
f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ( 2 ) f’(x) = P’n(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + ( 3 ) f”(x) = P”n(x) = 2a2 + 6a3x + ( 4 )
Trang 2b Đa thức nội suy Niutơn.
Pn(x) = Pn(t) với 0 ;
h
x
x
h dx
dt
);
(
1 )
( )
( )
( )
(
dt
d h dx
dt t
P dt
d t
P dx
d x
P x
;
!
) 1 ) (
1
(
! 2
) 1
( )
( )
n
n t t
t y
t
t y
t y
t P x
0 4
2 3
4
3
2
3 2
! 4
6 11
6
! 3
2
3
! 2
) 1
( )
(
y
t t
t t
y
t t
t y
t
t y
t y
t
0 4
2 3
0 3
2 0
2 0
12
3 11
9 2
6
2 6
3 2
1 2
1 )
(
1 )
( '
y
t t
t
y
t
t y
t y
h
t
P dt
d h
x
Với công thức nội suy tiến:
2 0
3 0
2
11 18
6 )
1 (
1 )
( '
1 )
(
h dt
t
dP h
x
f
Trang 3Với công thức nội suy lùi, có kết quả tương tự:
2 2
2 1
6
2 6
3 2
1 2
1 )
(
h
x f
Chú ý: Tính đạo hàm theo đa
thức nội suy thường chứa sai
số lớn (xem hình vẽ)
Nếu sai số của hàm là
r(x) = f(x) – Pn(x)
sai số của đạo hàm
ε(x) = f’(x) – P’n(x) = r’(x)
dx
x
df ( )
dx
x
dP n( )
f(x)
Pn(x)
Trang 42 Áp dụng định nghĩa của đạo hàm.
;
)
( lim
) (
'
0 h
x
f x
f
h
( 7a )
;
) ( )
( )
(
h
x f h
x
f h
x
h
x
f ( )
-Để tìm h thích hợp tính theo một chuỗi các giá trị giảm dần của h
- Coi khi h đủ nhỏ độ chính xác tới d số
sau dấu phẩy;
) ( '
)
(
x
f h
x
f
-Việc tính dừng lại khi sai số tiệm cận
x
f x
f h
E( ) '( ) ( )
-Thực tế không biết giá trị của f’(x) E(h) ~ sai lệch giữa hai lần ước lượng liên tiếp
;
)
( )
(
h
x
f h
trong đó:
Trang 5- Việc tính sẽ dừng lại khi D 10 d
Các bước tính:
+ Cho trước giá trị ban đầu h, tỷ lệ rút nhỏ r, độ chính xác cần
có (số con số đáng tin sau dấu phẩy)
+ Tính ( ) ( );
h
x f h
+ Tính ΔD(h)
+ Lặp lại cho đến khi .D 10 d
Ví dụ Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại x = 0.
- Đã biết: '( ) (sin ) cos(0) 1;
0
x
x dx
d x
f
- Tính theo ph/pháp gần đúng:
+ Chọn tuỳ ý h ban đầu, ví dụ h = 1; tỷ lệ rút gọn r = 4
+ Độ chính xác tới 4 con số sau dấu phẩy
; ) 0 sin(
) 0
sin(
) ( )
( )
( )
(
h
h h
x f h
x
f h
x f h
+ Tính
+ Tính ΔD(h) và E(h)
Trang 6Kết quả tính toán cho trong bảng sau:
1 0,841471 0,158529
1/4=0,25 0,989616 0,01384 0,148145
1/16=0,0625 0,999349 0,000651 0,009733
1/64=0,015625 0,999959 0,000041 0,000610
1/256=0,003906 0,999997 0,000003 0,000038 1/1024=0,00097656 1,000000 0,0000000,000003
1 0,841471 0,158529
Nhận xét
64
1 000038
,
0 64
1 256
1
E D
D
Có thể dùng để đánh giá xấp xỉ sai lệch ở bước tính htrước
Quá trình tính có thể dừng khi ΔD(h) < 10-d
Ở ví dụ này, q/trình tính dừng lại ở bước h = 1/256; khi đó
ΔD(h) = 0,000038 < 0,5.10-4
Trang 7II Tính gần đúng các tích phân xác định.
- Xét tích phân xác định:
b a
dx x
f
- Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F(x)
);
( )
( )
( x dx F b F a f
I
b a
- Thực tế: + thường khó khăn khi tìm nguyên hàm
+ Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng số
-Tính gần đúng giá trị của tích phân thay hàm dưới dấu tích phân bằng một đa thức xấp xỉ
; )
( )
b a n
b a
dx x
P dx
x f I
Trang 81 Đa thức xấp xỉ trực tiếp: Pn( x ) a0 a1x a2x2
) 3
2
I
a
b
2 Đa thức Niutơn thứ nhất:
; ) ( )
( )
(
) (
) (
b
a
b t
a t
n n
b
a
dt t P h
dx x
P dx
x f I
(với dx = hdt)
0
0
t
n x ht dt P
h I
Chọn điểm cơ sở là điểm a (x0 = a) thì tại đó t(a) = 0 và
x = b ứng với t = k;
Chia [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các nút xi:
;
1 1
x
a i n n
xi = a + ih ; ;
n
a b
h
Trang 9Bậc của đa thức được chọn công thức tính tương ứng.
n = 0 công thức hình chữ nhật;
n = 1 công thức hình thang;
n = 2 công thức Simsơn 1/3;
n = 3 công thức Simsơn 3/8;
a/ Công thức hình thang.
; ) ( )
( )
( )
(
1
2
1
1
0
n
n
x b
x
x
x
x
x a
b
a
dx x f dx
x f dx
x f dx
x f
- Thay f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x)
;
! 1
)
1 x y t y
- Công thức hình thang n = 1
- Đổi biến: x = x0 + ht dx = hdt
x = x0 t = 0; x = x1 t = 1
) 2
( )
( )
2 0
1 0
0 0
1 1 0
y
t t y h dt
y t y
h dx
x P
x x
; 2
) 2
1 (
)
1 0
y
y h y
y h dx
x
x x
Tích phân thứ 1:
Trang 10- Ý nghĩa hình học của công thức:
Thay diện tích hình thang cong bằng
diện tích của hình thang thường
- Tích phân thứ i+1:
; 2
) (
)
1 0
1
i i
x
x
i
h dt
y t y
h dx
x f
i
i
M0
M1
( ) ( ) ( );
2 y0 y1 y1 y2 y n 1 y n
h
);
2 2
2
(
2 y0 y1 y2 y n 1 y n
h
- Đã chứng minh được sai số của công thức là
);
( 12
2 b a h
M
;
; ) (
"
Trang 11b/ Công thức Simsơn 1/3.
- Chia [a, b] thành 2n đoạn con bởi các nút xi
;
2 2
1
x
a i n
n
i n
a
b h
ih a
x i ; 0,1,2, ,2
2
- Cho hàm f(x):
; ) ( )
( )
( )
(
2
2 2
4
2
2
0
n
n
x b
x
x
x
x
x a
b
a
dx x f dx
x f dx
x f dx
x f
- f(x) đa thức nội suy Niutơn bậc 2:
;
! 2
) 1
(
! 1
)
; ) ( )
(
2 0
2 0
2
x x
x x
dx x P dx
x f
- Đổi biến: x = x0 + ht; dx = hdt;
x = x0 t = 0; x = x2 t = 2;
Trang 12)
! 2
) 1
( (
)
2 0
0 0
2
2
0
dt y
t
t y
t y
h dx
x P
x
x
; 2
0 1
2 3
0
2 0
2 3
2
1
t
t y
t t y
h
0 2
2
4 3
8 2
1 2
h
);
4
(
h
- Các tích phân sau cũng tính tương tự
); 4
( 3
)
2 2
2
i i
i
x x
y y
y
h dx
x f
i
i
Trang 13Cộng tất cả:
3
)
b
a
y y
y y
y y
y y
y
h dx
x
f
);
( 12
h
M
n
a
b h
2
với
- Sai số:
;
; ) (
với
3
)
b
a
y y
y y
y y
y y
h dx
x
f