Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương III & IV

Bài giảng Phương Pháp Tính

Chương 3GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆTI.Tìm nghiệm thực của một phương trình.a. Nghiệm thực của phương trình một ẩn – Ý nghĩa hình học.f(x) = 0; ( 1 )f – hàm cho trước của đối số xα - nghiệm thực của ( 1 )f(α) = 0; ( 2 )- Vẽ đồ thị y = f(x) Hoành độ điểm M nghiệm α.OyxαMf(x)OyxMαg(x)h(x)~ g(x) = h(x)đồ thị y1 = g(x) và y2 = h(x)- hoặc (1) b. Sự tồn tại của nghiệm thực.Định lý. Nếu có hai số thực a, b (a < b) sao cho f(a) và f(b) trái dấu, tức làf(a).f(b) < 0 ( 3 )đồng thời f(x) liên tục trên [a, b] thì trong khoảng [a, b] ít nhất cómột nghiệm thực của phương trình f(x) = 0.OyxABabc. Khoảng phân ly nghiệm (tách nghiệm)Định nghĩa. Khoảng [a, b] nào đó gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó.Muốn thế:trong [a, b] :- hàm f(x) đơn điệuOyxABabf’(x) không đổi dấu II. Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của một phương trình.1. Phương pháp đồ thị2. Phương pháp thử.Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình: f(x) = xlogx – 1,2 = 0;xf(x)1 2 3 4- 1,2 - 0,5980 0,2313 1,2084- [2, 3] - khoảng phân ly nghiệm;- tiếp tục chia nhỏ khoảng [a, b];- Tính thử giá trị ở các nút; khoảng chứa nghiệm mới;- Lặp lại các bước trên cho đến khi đạt độ chính xác cần thiết.Định lý. Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b], đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. 3. Phương pháp chia đôi. Cho phương trình f(x) = 0;- Giả sử [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình.- Chia đôi khoảng [a, b];2bac+=- Tính f(c)f(c) = 0 c = α (nghiệm);f(c) ≠ 0 Xét dấu f(c).f(a) và f(c).f(b);Khoảng phân ly nghiệm mới [a1, b1];);(2111abab −=−- Tiếp tục quá trình chia đôi[a2, b2]);(21)(2121122ababab −=−=−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .);(21ababnnn−=−Với an ≤ α ≤ bn. - Lấy an hoặc bn làm giá trị gần đúng của nghiệm;- Sai số:;2nnnnababa−=−≤−α( 4 );2nnnnababb−=−≤−α( 5 )Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình f(x) = x4 + 2x3 –x – 1 = 0;f(0) = -1; f(1) = 1[ ];1,0∈αf(0,5) = -1,9 [ ];1,5,0∈αf(0,75) = -0,59 [ ];1,75,0∈αf(0,875) = +0,05 [ ];875,0,75,0∈αf(0,8125) = -0,304 [ ];875,0,8125,0∈αf(0,8438) = -0,135 [ ];875,0,8348,0∈αf(0,8594) = -0,043 [ ];875,0,8594,0∈αLấy[ ];867,02875,08594,0=+≈αSai số mắc phải:;21222)1(12677==−−=−≤−nnabaα Các bước tính:Cho phương trình f(x) = 0;- Ấn định sai số cho phép;- Xác định khoảng phân ly nghiệm (p2 đồ thị, p2 thử . . .);- Giải theo sơ đồ: c = (a+b)/2; f(c)f(c).f(a)<0Thay b = cThay a = ce = b - ae < εα ≈ a; α – a < εα ≈ b; α – b < εđsđsNhận xét: - Thuật toán đơn giản; - Hội tụ chậm. 4. Phương pháp lặp.Cho phương trình f(x) = 0 có nghiệm thực trong khoảng [a, b];- Viết lại x + f(x) – x = 0; Đặt φ(x) = x + f(x);x = φ(x);- Sơ bộ chọn giá trị gần đúng đầu tiên của nghiệm: [ ];,baxo∈( 6 )( 6 ): x1 = φ(xo);x2 = φ(x1);. . . . . . . . .xn = φ(xn-1); n = 1, 2, . . . ( 7 )- Hàm φ(x) gọi là hàm lặp.- Giả sử khi n ; xn nghiệm α của ph/trình (1)∞phương pháp lặp hội tụ, có thể coi xn là nghiệm gần đúng của ( 1 ).-Quá trình tính cũng có thể phân kỳ, xn ngày càng đi xa khỏi nghiệm.Sự hội tụ của quá trình tính. xx2x1x3x0αy=φ(x)y=xOyy=xy=φ(x)Oyxx1x2xox3αĐịnh lý về sự hội tụ. Giả sử:- [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình f(x) = 0;- Mọi xn tính theo ( 7 ) đều [ ];,ba∈- Hàm φ(x) có đạo hàm hạng nhất thoả mãn điều kiện:q - hằng số;- Phương pháp lặp ( 6) hội tụ với mọi x[ ];,ba∈;)(nnqabx −≤−α xn α khi n ∞;,1)(' bxaqx <<<≤ϕ ( 8 )( 9 ) Sai số của phép tính:Có thể dùng ( 9 ) nhưng công thức này thường cho sai số quá lớn so với thực tế ước lượng sai số theo công thức:;;)('min bxaxfm <<=;(mxfxnn≤−α( 10 )Chú ý:[ ];,ba∈- Nếu φ’(x) > 0; Có thể chọn xo bất kỳ- Nếu φ’(x) < 0: xét dấu +2).(bafafCác bước tính.- Tìm khoảng phân ly nghiệm [a, b].- f(x) =0 x = φ(x) đảm bảo điều kiện hội tụ:φ’(x) < 1 ; a ≤ x ≤ b;2baaaxo+<<=αkhi;2bbabxo<<+=αkhi Để đảm bảo điều kiện hội tụ, có thể làm như sau:Đặt );()( xfxxλϕ−=Chọn λ từ điều kiện:;0)('1)(' =−= xfxλϕ( < 1 );)('1oxf=λ- Lập bảng tính các giá trị của x và φ(x) theo ( 7 ).- Trong thực tế, thường dừng q/trình tính khi: xn – xn-1 < sai số cho phép ε-Kết quả xn ≈ α với sai số tính theo (10). [...]... f(a) -1 -0 ,568 -0 ,2796 -0 ,1253 -0 ,0548 -0 ,023 -0 ,0103 -0 ,004 -0 ,002 -0 ,00098 -0 ,00037 -0 ,00011 f(b) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 x 1,17 1,255 1,2945 1,3117 1,3192 1,3223 1,3237 1,3242 1,3245 1,3246 1,3247 1,324715 f(x) f(x).f(a) >0 -0 ,568 >0 -0 ,2796 >0 -0 ,1253 >0 -0 ,0548 >0 -0 ,023 >0 -0 ,0103 >0 -0 ,004 >0 -0 ,002 >0 -0 ,00098 >0 -0 ,00037 >0 -0 ,00011 -0 ,000013 Có thể lấy α = 1,324715 với sai số < ε = 1 0-3 r22... nghiệm bằng phương pháp chia đôi a b c 1, 2, 1,5 1, 1,5 1,25 1,25 1,5 1,375 1,25 1,375 1,3125 1,3125 1,375 1,34375 1,3125 1,34375 1,32812 1,3125 1,32812 1,3203 1,3203 1,32812 1,3242 1,3242 1,32812 1,3261 1,3242 1,3261 1,3251 1,3242 1,3251 1,32465 f(a) f(b) -1 5 -1 0,875 -0 ,29687 0,875 -0 ,29687 0,22461 -0 ,0515 0,22461 -0 ,0515 0,08261 -0 ,0515 0,01456 -0 ,0187 0,01456 -0 ,0022 0,01456 -0 ,0022 0,0059 -0 ,00216... phép tính: N G (n) = 6 Với n = 15; NG(15) = 2570; nhỏ hơn nhiều so với ph /pháp trên c/ Tìm đúng dần nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp lặp đơn Nội dung phương pháp: - Cho hệ phương trình Ax = f ; ( 27 ) - Biến đổi về dạng tương đương: x = Bx + g ; B= b11 b12 b1n b21 b22 b2n bn1 bn2 bnn suy ra từ A; g suy ra từ f -Chọn x(0) nào đó làm nghiệm gần đúng đầu tiên và tính. .. xo – cho trước; trong đó n ( Bx )i = ∑ bij x j ; j =1 Phương pháp tính x(m) theo ( 28 ) B – ma trận lặp ( 30 ) phương pháp lặp đơn; Sự hội tụ và sai số của phương pháp Định nghĩa về sự hội tụ Giả sử [ α1, α2, , αn ]T - nghiệm của (20) tức (23), nếu xi( m ) → α i khi m → ∞; i = 1,2,3, , n phương pháp lặp hội tụ Định lý về sự hội tụ (của phương pháp lặp đơn) Đối với ma trận B nếu: n n n    r0 =... 1,32465 với sai số < ε =1 0-3 f(c) f(a).f(c) 0,875 0 0,22461 0 0,08261 0 0,0059 . trình.1. Phương pháp đồ thị2. Phương pháp thử.Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình: f(x) = xlogx – 1,2 = 0;xf(x)1 2 3 4- 1,2 - 0,5980 0,2313 1,208 4- [2, 3] -. là tuyến tính đối với x nên phương pháp Niutơn cũng gọi là phg pháp tuyến tính hoá ;- (14) p /pháp Niutơn cũng là p /pháp lặp với hàm lặp:;)(')()(xfxfxx