Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương III + IV

Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương III + IV

Chương 3

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT

I.Tìm nghiệm thực của một phương trình.

a Nghiệm thực của phương trình một ẩn – Ý nghĩa hình học.

O

y

x

Mα

g(x)h(x)

~ g(x) = h(x)

đồ thị y1 = g(x) và y2 = h(x)

- hoặc (1)

b Sự tồn tại của nghiệm thực.

Định lý Nếu có hai số thực a, b

(a < b) sao cho f(a) và f(b) trái

dấu, tức là

đồng thời f(x) liên tục trên [a, b]

thì trong khoảng [a, b] ít nhất có

một nghiệm thực của phương

trình f(x) = 0

O

y

xA

B

a

b

c Khoảng phân ly nghiệm (tách nghiệm)

Định nghĩa Khoảng [a, b] nào

đó gọi là khoảng phân ly nghiệm

của phương trình f(x) = 0 nếu nó

chứa một và chỉ một nghiệm

của phương trình đó Muốn thế:

trong [a, b] : - hàm f(x) đơn điệu

O

y

xA

B

a

bf’(x) không đổi dấu

II Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của một phương trình.

1 Phương pháp đồ thị

2 Phương pháp thử.

Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình: f(x) = xlogx – 1,2 = 0;

xf(x)

- 1,2 - 0,5980 0,2313 1,2084

- [2, 3] - khoảng phân ly nghiệm;

- tiếp tục chia nhỏ khoảng [a, b];

- Tính thử giá trị ở các nút; khoảng chứa nghiệm mới;

- Lặp lại các bước trên cho đến khi đạt độ chính xác cần thiết

Định lý Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b], đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0

3 Phương pháp chia đôi. Cho phương trình f(x) = 0;

- Giả sử [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình

11

1 )

( 2

1

2 1

1 2

1

a b

a

bn  n  n  Với an ≤ α ≤ bn

- Lấy an hoặc bn làm giá trị gần đúng của nghiệm;

- Sai số:

;

2n

n n

a b

a b

0 8594

Các bước tính: Cho phương trình f(x) = 0;

- Ấn định sai số cho phép;

- Xác định khoảng phân ly nghiệm (p2 đồ thị, p2 thử );

- Giải theo sơ đồ: c = (a+b)/2; f(c)

- Giả sử khi n ; x n nghiệm α của ph/trình (1)

phương pháp lặp hội tụ, có thể coi xn là nghiệm gần đúng của ( 1 )

-Quá trình tính cũng có thể phân kỳ, xn ngày càng đi xa khỏi

Sự hội tụ của quá trình tính.

x2

x1 x3

x0α

Định lý về sự hội tụ. Giả sử:

- [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình f(x) = 0;

- Mọi xn tính theo ( 7 ) đều   a ,b  ;

- Hàm φ(x) có đạo hàm hạng nhất thoả mãn điều kiện:

q - hằng số;

- Phương pháp lặp ( 6) hội tụ với mọi x   a ,b  ;

; )

1 )

( ' x  q  a  x  b

( 9 )

Các bước tính.

- Tìm khoảng phân ly nghiệm [a, b]

- f(x) =0 x = φ(x) đảm bảo điều kiện hội tụ:

; 2

b

a a

Để đảm bảo điều kiện hội tụ, có thể làm như sau:

Đặt  ( x )  x   f ( x );

Chọn λ từ điều kiện:  ' ( x )  1   f ' ( x )  0 ; ( < 1 )

; ) (

'

1

o

x f





- Lập bảng tính các giá trị của x và φ(x) theo ( 7 )

- Trong thực tế, thường dừng q/trình tính khi:

xn – xn-1 < sai số cho phép ε-Kết quả xn ≈ α với sai số tính theo (10)

0 2

a f

5 Phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Niutơn).

Nội dung: thay ( 1 ) = phương trình gần đúng, tuyến tính x.

Cơ sở : khai triển Taylo:

- Hàm F(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại xo và lân cận xo

- Khai triển Taylo bậc n của F(x) tại xo:

);

( )!

1 (

)

( )

(

!

) (

) (

"

! 2

)

( ) ( ' ) (

) ( )

(

) 1 (

1 )

(

2

c

F n

x

x x

F n

x x

x F

x

x x

F x x x

F x

F

n

n o o

n

n o

o

o o

o o

- Giả sử f(x) =0 : - Có nghiệm thực α phân ly trong [a, b];

- Có đạo hàm f’(x) ≠ 0 tại x [a, b]; 

- Có đạo hàm cấp hai f’’(x) tại x [a, b]; 

- Chọn xo [a,b] khai triển Taylo bậc nhất của f(x) tại x o:

1)(')(

)()

•Ý nghĩa hình học: thay đường cong y = f(x) bằng tiếp

tuyến kẻ từ A(a,f(a)) hay B(b,f(b)), coi hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm gần đúng của ( 1 )

Đặt: - xo = a, nếu tiếp tuyến kẻ từ A;

- xo = b, nếu tiếp tuyến kẻ từ B;

Phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại [xo, f(xo)] :

Giao điểm với trục hoành (x1, y1 =0)

);

)(

( ' )

( xo f xo x xof

Bỏ qua số hạng cuối, (1) f (x o) (x  x o) f ('x o) 0; ( 13 )

;)('

)

(1

o

o o

x f

x

f x

)('

)(

1

1 1

x

f x

)('

n

x f

x

f x

( xo f xo x xo

Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x1, f(x1) ]

; ) (

x f

x

f x

x  

; ) (

n

x f

x

f x

A

; ) ( '

) (

1

1 1

2

x f

x

f x

* Định lý về sự hội tụ. Giả sử:

- [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của f(x) = 0;

- f có đạo hàm f’, f” với f’ và f” : + liên tục trên [a, b];

+ không đổi dấu trên [a, b];

)

()

(

x f

x

f x

x  



Sơ đồ tóm tắt các bước giải:

1/ Cho phương trình f(x) = 0;

2/ Ấn định sai số cho phép ε;

3/ Tìm khoảng phân ly nghiệm;

;)('

x f

x

f x

6 Phương pháp dây cung.

* Giả sử: - ( 1 ) có nghiệm α duy nhất trên [a, b];

- f’(x) và f”(x) không đổi dấu trên [a, b];

* Thay đường cong f(x) bằng dây cung nối A[a,f(a)], B[b,f(b)];

* Hoành độ giao điểm của dây cung AB với trục hoành

( )

(

)

(

a b

x

X a

f b

f

a f

(

) ( )

(

1

a f b

f

a f a

b a

(

) ( )

(

1

a f b

f

a bf b

af x

) ( )

(

1

a f b

f

a bf b

af x

5/ Tính sai số theo (15)

Ví dụ Tìm nghiệm gần đúng của phương trình

13

13

3

1)

3

1

 f M

đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại một điểm, phương trình

có một nghiệm thực trong khoảng 1/ 3,

- Chọn khoảng chứa nghiệm [1, 2]

f(1) = 1 – 1 – 1 = - 1 <0

f(2) = 8 – 2 – 1 = 5 >0 f(1).f(2) < 0 chứa nghiệm. khoảng [1, 2]

Với sai số cho phép ε =10-3

2 Tìm gần đúng nghiệm bằng phương pháp chia đôi.

1, 2, 1,5 -1 5 0,875 <0

1, 1,5 1,25 -1 0,875 -0,29687 >01,25 1,5 1,375 -0,29687 0,875 0,22461 <0

1,25 1,375 1,3125 -0,29687 0,22461 -0,0515 >0

1,3125 1,375 1,34375 -0,0515 0,22461 0,08261 <0

1,3125 1,34375 1,32812 -0,0515 0,08261 0,01456 <0

1,3125 1,32812 1,3203 -0,0515 0,01456 -0,0187 >0 1,3203 1,32812 1,3242 -0,0187 0,01456 -0,0022 >0

3 Giải bằng phương pháp lặp. f(x) = x3 – x – 1 = 0;

- Đặt x = φ(x) = x3 – 1 ;

- Đặt x = φ(x) = x – λf(x) với

)(

10

1

(11

1)

)1(

13

1)

1

(3

1)



- Hoặc đặt x3 = x + 1; x (x) (x 1)1/3

3/1)(

0  x  tại mọi x  1,2 đảm bảo điều kiện hội tụ

4 Giải bằng phương pháp tiếp tuyến.

Công thức tính:

) (

)

(

x f

x

f x

f(1) = -1; f(2) = 5;

Lập bảng tính:

Lập bảng tính:

x f(x)=x3-x-1 f (x)=3x2-1

) (

)

(

x f

x

f x

5/ Phương pháp dây cung

) ( )

(

) ( )

(

.

a f b

f

a f b b

f

a x







1,0 2,0 -1 5 1,17 -0,568 > 01,17 2,0

-0,568 5 1,255 -0,2796 > 01,255 2,0 -0,2796 5 1,2945 -0,1253

1,2945 2,0 -0,1253 5 1,3117 -0,0548 > 0> 01,3117 2,0 -0,0548 5 1,3192 -0,023 > 01,3192 2,0 -0,023 5 1,3223 -0,0103 > 01,3223 2,0 -0,0103 5 1,3237 -0,004 > 01,3237 2,0 -0,004 5 1,3242 -0,002 > 01,3242 2,0 -0,002 5 1,3245 -0,00098 > 01,3245 2,0 -0,00098 5 1,3246 -0,00037 > 01,3246 2,0 -0,00037 5 1,3247 -0,00011 > 01,3247 2,0 -0,00011 5 1,324715 -0,000013

2

2 3 2

1

4 2 4

1

2 1

2

2 4

2

2

2

cos cos

2

cos cos

2 cos

2 cos

r

r r r

r r

r r

sin sin

2 sin

; 0 )

cos cos

sin (sin

2

cos 2

cos 2

4 2

2 1 4

1

2 3

2 4

2 2

r r r

r r

r r

r

; 0 )

1 4

2

2 3

2 4

2 2

r r

r

r r

r r

2 3

2 4

2 2

2 1

2 r r

r r

r

r

; 0 )

0 6

11 )

cos(

cos 2

5 cos

3

5 )

f

1/ Tìm khoảng phân ly nghiệm:

Từ nhận xét trên hình vẽ, thử với khoảng [φa,φb] = [30o, 40o]Kiểm tra điều kiện phân ly nghiệm:

);

40 sin(

sin 2

5 )

f

; 0 173648

,

0 4

5 )

0 6

11 )

40 40

cos(

40

cos 2

5 40

cos 3

5 )

f 

; 039770 ,

0 6

11 )

30 40

cos(

30

cos 2

5 40

cos 3

5 )

f 

; 0 )

( ).

Chương 4 TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A Nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính.

I Khái niệm chung.

II Tìm nghiệm theo quy tắc Crame và phương pháp Gaoxơ.

Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của hệ

Δ = det (A)

- Δi – suy ra từ Δ : thay cột thứ i bằng vế phải

a/ Định lý Crame: Nếu Δ ≠ 0 thì hệ ( 20 ) không suy biến và

có nghiệm duy nhất được tính bởi công thức:

n i

b/ Phương pháp Gaoxơ.

Nội dung: Khử dần các ẩn về hệ tương đương có dạng

tam giác trên rồi giải từ dưới lên không phải tính định thức

Quá trình đưa (25) (26): quá trình thuận

Quá trình giải (26): quá trình ngược

6

79

4)

(

2

n n

Với n = 15; NG(15) = 2570; nhỏ hơn nhiều so với ph/pháp trên

c/ Tìm đúng dần nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp lặp đơn.

Nội dung phương pháp:

;

) 1 (

) (

Sự hội tụ và sai số của phương pháp.

Định nghĩa về sự hội tụ Giả sử [ α1, α2, , αn ]T - nghiệm của (20) tức (23), nếu

i

m i

x( )   khi m   ; i  1 , 2 , 3 , , n

phương pháp lặp hội tụ

Định lý về sự hội tụ (của phương pháp lặp đơn).

Đối với ma trận B nếu:

;1

n j

n j

nj j

b r

n j

ij b r

hoặc

(28), (29) hội tụ với bất kỳ đầu x(0) nào và sai số có đánh giá:

;1

n i

n i

in i

b r

) 1 ( )

( )

(

p

m m

p

p p

i p

1 (

i p

6/ Tính x(m1)  Bx(m)  g

m = 1, 2, 3,

;

) 1 (





p

p p

m

r

r x







Ví dụ. Xét hệ phương trình

; 20 4

08 , 0 04

, 0

; 9 15

, 0 3

09 , 0

; 8 08

, 0 24

, 0 4

3 2

1

3 2

1

3 2

x

x x

x

x x

, 0 01

, 0

; 3 05

, 0 03

, 0

; 2 02

, 0 06

, 0

2 1

3

3 1

2

3 2

x

x x

x

x x

02,001,0

;08,005

,0003,0

;08,002

,006,00

r 0 = max (0,08; 0,08; 0,03) = 0,08 <1.

Phương pháp lặp hội tụ với mọi x(0) cho trước

Chọn x(0) = (0, 0, 0)T Kết quả tính ghi trong bảng:

Với m = 4:

; 0002 ,

0

; 00055 ,

0

; 00017 ,

) 4

) (



00004 ,

0 00055

,

0 08 , 0 1

08 ,

0

0

) (

Ví dụ 2. Tìm gần đúng nghiệm của hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn:

; 398 ,

1 04

, 1 12

, 0 11

, 0

; 849 ,

0 05

, 0 03

, 1 11

, 0

; 795 ,

0 1

, 0 05

, 0 02

, 1

3 2

1

3 2

1

3 2

x

x x

x

x x

x

; 344 ,

1 1154

, 0 1056

, 0

; 8243 ,

0 0485

, 0 1068

, 0

; 779 ,

0 098

, 0 049

, 0

2 1

3

3 1

2

3 2

x

x x

x

x x

x

Giải. - Chọn sai số cho phép ε = 0,5.10-3

- Đưa hệ về dạng x = Bx + g;

0 0,049 0,0980,1068 0 0,04850,1056 0,1154 0

; 2210 ,

0 0

1154 ,

0 1056

, 0

; 1553 ,

0 0485

, 0 0

1068 ,

0

; 147 ,

0 098

, 0 049

, 0 0

3

1 3

3

1 2

3

1 1

r 0 = max (0,147; 0,1553; 0,2207) = 0,2210 < 1

phương pháp lặp hội tụ với mọi đầu x(0) bất kỳ

- Chọn x(0) = ( 0, 0, 0 )T

- Kiểm tra điều kiện hội tụ

- Tính lặp theo ( b ), kết quả cho trong bảng sau:

α1 = 0,9814

α2 = 1,0049

α3 = 1,5635

) (



max 1

) 5 ( )

6 ( 0

0 0

) 6

(

i

x r

0

; 0002 ,

0

; 0001 ,

0

max(

2210 ,

0 1

2210 ,

d/ Phương pháp ZAYDEN (SEIDEL)

- Cho hệ phương trình Ax = f ;

- Ta đã biến đổi về dạng tương đương: x = Bx + g ; ( 27 )

Để tăng nhanh tốc độ hội tụ, phân tích ma trận B thành tổng

hai ma trận: B = B 1 + B 2 Trong đó:

B 1 =

0 0 0

b21 0 0

bn1 bn2 0

B 2 =

b11 b12 b1n

0 b22 b2n

0 0 bnn Phương trình (27) sẽ có dạng

x = B 1 x + B 2 x + g ;

Tiến hành lặp theo công thức:

x = B (k) 1 x + B (k) 2 x + g ; ( k ≥ 1) (k-1)

Chú ý: - Điều kiện hội tụ cũng như trên;

- Hội tụ nhanh hơn phương pháp lặp đơn;

- Tiết kiệm tính toán vì các thành phần vừa tính trước được sử dụng ngay để tính các thành phần tiếp theo

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Zayden:

Đưa về dạng x = Bx + g:

;1410

1

3 2

1

3 2

x x x x

;4,12

,02

,

00,2 0,1 1,3;

;2,11

,01

,0

2 1

3

3 1

2

3 2

1,21,31,4

Kiểm tra điều kiện hội tụ

;4,00

2,02,0

;3,01,002,0

;2,01,01,00

3 3

3 1 2

3 1 1

C Nghiệm của hệ phương trình phi tuyến.

1 Phương pháp Niutơn.

a Hệ hai phương trình: f(x, y) = 0;

g(x, y) = 0;

( 34 )( 35 )

Đặt bài toán: - Cho các hàm liên tục f(x, y) và g(x, y);

- Tìm các giá trị x = x* và y = y* sao cho

f(x*, y*) = 0; và g(x*, y*) = 0

Cơ sở của phương pháp:

Khai triển các hàm f(x, y) và g(x, y) theo chuỗi Taylo hai biến:

x*, y* - nghiệm của hệ phương trình

2 )

0 ( )

0 ( 0

2 2

) 0 ( 0

2 2

) 0 ( 0

) 0 ( 0

) 0 (

) (

) )(

( 2

) (

) ,

(

y

y y

f y

y x

x y

x

f x

x x

f

y

y y

f x

x x

f f

y

x

f

( 36 )Dùng chuỗi (36) để khai triển f(x, y) và g(x, y) tại x(i), y(i) và đánh giá chuỗi tại x*, y*, bỏ qua các đạo hàm hạng hai trở lên:

; 0 )

* (

)

* (

*)

*,

i y

i i

x

f y

x

; 0 )

* (

)

* (

*)

*,

i y

i i

x

g y

x

;

) ( )

( '

) (

i y

i i

;

) ( )

( '

) (

i y

i i

);

* (

Quá trình tính: - Chọn sơ bộ x(i) , y(i).

- Thay vào ( 39 ) Δx, Δy ;

trong đó:

( 39 ) ( , , , ) 0

1 * * 2 * 1         n i i i j j n j x x F F x x x F ( 43 ) Hay A.Δ = - F ( 44 )                         n n n x n x n x n x x x x x x f f f f f f f f f ) ( ) ( ) (

) (

) (

) (

) ( )

( )

(

' '

'

' 2

' 2

' 2

' 1

' 1

' 1

2 1

2 1

2 1

A

Δ = [Δx1, Δx2, ,Δxn]T ; F = [f1, f2, ,fn]T

Trường hợp không tồn tại các đạo hàm riêng bằng giải tích, có thể xác định gần đúng bằng phương pháp số:

Chú ý: - Nếu Δxi nhỏ quá thì sai số lấy tròn có thể làm hỏng lời giải;

i

i i

i

x

X f x

X

f x

f













 ( ) ( ) (i, j = 1, 2, , n ) ( 45 )

Ví dụ: Xác định vị trí của cơ cấu bản lề 4 khâu.

α – góc quay của khâu 4;

Tìm góc quay các khâu còn lại theo α

; 0

1 4

sin sin

; 0 cos

cos cos

4 4

3 3

2 2

1 4

4 3

3 2

r

r r

r

; sin

sin sin

; cos

cos

cos

4 4

3 3

2 2

2

1 4

4 3

3 2

r f

r r

r r

2 2

2 2

1

3 3

1 2

2 1

f

f f

f

f f

3

1 2

Cho r1 = 10; r2 = 6; r3 = 8; r4 = 4; α = 400

Tìm các giá trị tương ứng của θ2, θ3

θ4 = π + α θ4 = 2200

( 48 )

f 1 = 6cosθ 2 + 8cosθ 3 + 4.cos (220 0 ) – 10;

f 2 = 6sinθ 2 + 8sinθ 3 + 4.sin(220 0 ); ( a )

f 1 = 6cosθ 2 + 8cosθ 3 – 13,064177;

f 2 = 6sinθ 2 + 8sinθ 3 -2,5711504; ( b )

; sin

8 sin

; sin

6

3

1 2

2

2 2

f

; cos 8

cos

; cos 6

3

2 2

2 2

f

( 49 ) và chú ý đổi Δθ2, Δθ3 từ độ thành radian:

; sin

sin sin

; cos

cos

cos

4 4

3 3

2 2

2

1 4

4 3

3 2

r f

r r

r r

)sin

8

(180

)sin

6

;180

)cos8

(180

)cos

6( 2   2  3   3  f2

;180

)sin

8

(180

)sin

6

; )

sin 139626 ,

0 ( )

sin 104719 ,

0

;)

cos139626

,0()

cos10479

,0

- Bước 1.

Δθ2 = 2,5205500

Δθ3 = - 4,708540

cosθ 21 = 0,8431989 ; cosθ 31 = 0,996625.

sinθ 21 = 0,537602; sinθ 31 = - 0,082087. ( b )

f 1 = - 0,319833 ; f 2 = - 0,0022345

- 0,056297.Δθ 2 + 0,0114959.Δθ 3 = 0,319833 0,0882989.Δθ 2 + 0,1391288.Δθ 3 = 0,0022345

Δθ 2 = - 0,500034 0

Δθ 3 = 0,333480 0

- Đặt θ 22 = θ 21 + Δθ 2 ;

θ 32 = θ 31 + Δθ 3 ; Và tiếp tục quá trình giải

- Kết quả ghi vào bảng

- Bước 2 θ 21 = θ 20 + Δθ 2 = 32,52055 0;

θ 31 = θ 30 + Δθ 3 = - 4,70854 0;

; 0 5

) (

2

2 1

2 2

2 1

x

x

);

3

4 (

; } 5 )

( 2 {

2 2

2 2

2 2

2 1 1

1 1

x x

x x

k x