Bài giảng: Phương pháp tính pps

1 Phương Phương pháp tính pháp tính 2 Chương 1: Một số phương Chương 1: Một số phương pháp tính toán trong đại số pháp tính toán trong đại số tuyến tính tuyến tính 1.1. Ma trận và định thức 1. Định thức của một ma trận Ma trận A= (1.1) det A= , với j bất kỳ, 1 ≤ j ≤ n (1.2a) det A= , với i bất kỳ, 1 ≤ i ≤ n (1.2b)             mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 ∑ = n i ijij Aa 1 ∑ = n j ijij Aa 1 3 • Định lý: nhân 1 hàng hoặc 1 cột của ma trận A với 1 số khác 0, sau đó đem cộng các thành phần tương ứng vào một hàng hoặc một cột khác của ma trận đó thì giá trị của định thức không thay đổi B = (1.3) Áp dụng CT (1.2a) với j = 1 ta được det A = det Tiếp tuc ⇒ det A = det = det =             nn n n b bb bbb 00 0 222 11211 11 b             nn n n b bb bbb 00 0 333 22322 11 b 22 b 2,211 −− nn bb             nn n n b bb bbb 00 0 444 33433       −−− nn nnnn b bb , ,11,1 0 nn bb ,11 4 Các bước chuyển từ ma trận A về ma trận B - Xét 2 hàng đầu của ma trận A : - Nhân hàng đầu với 1 số rồi cộng kết quả đó vào hàng thứ 2 sao cho b21= 0 ( ≠ 0) ⇒ số đó là – • Các thành phần còn lại của hàng thứ 2 sẽ là: , j = 1,2,…n • Tiếp tục với hàng thứ 3, 4, …cho đến hàng thứ i , j = 1,2,…n (1.4) 11 a n n aaa aaa 22221 11211 0 11 1121 2121 =−= a aa ab 11 121 22 a aa ab j jj −= 11 11 a aa ab ji ijij −= 1121 / aa 5 • Theo (1.2), với j = 1 det A = ⇒ det A = det Lặp lại với ⇒ det A = ở hàng thứ i: Thay cho ký hiệu và công thức (1.4) ta dùng (1.5)             nnnn n n bbb bbb bbb 32 33332 22322             nn n n b bb aaa 00 0 222 11211             nnnn n n bbb bbb bbb 32 33332 22322 11 a             nnn n n cc cc bbb a 0 0 det 3 333 22322 11 nj b bb bc ji ijij , ,2, 22 22 =−= ijij cb , ( ) nijlinl aa a aa aa jj l ll l lj l il l ij l ij , ,1;, ,1;, ,2,1 , 1 )0( 1 )1( )1()1( )1( +=+== =−= − −− − 6 ⇒ det A = det )1()1( 22 )0( 11 )1( )1( 2 )1( 22 11211 00 0 − − ×××=             n nn n nn n n aaa a aa aaa 7 2. Ma trận nghich đảo là ma trận nghich đảo của ma trận A ⇔ Cách tìm mt nghich đảo C1: tính giá trị phần bù đại số , i,j=1,2,…,n (1.6) C2: Viết thêm mt I vào bên phải ma trận A (1.7) 1− A 1 11 == −− AAAA ij A             = − nnnn n n AAA AAA AAA A A det 1 21 22212 12111 1 [ ]             = 1 00 0 10 0 01 , 21 2 2221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa IA 8 Sau khi biến đổi (1.8) Cách tìm ta áp dụng công thức (1.5) B1: chia hàng đầu của (1.7) cho [ ]             = ++ ++ ++ nnnnnn nnn nnn ccc ccc ccc IA 2,2,1, 2,22,21,2 2,12,11,1 1 00 0 10 0 01 ,             = ++ ++ ++ − nnnnnn nnn nnn ccc ccc ccc A 2,2,1, 2,22,21,2 2,11,11,1 1 ij c 11 a [ ]             = 1 00 0 10 0 0/1/ /1 , 21 2 2221 111111112 nnnn n n aaa aaa aaaaa IA 9 B2: nhân hàng 1 với rồi cộng vào hàng 2 ⇒ j=2,3,…,n+1 Tiếp tục áp dụng với hàng thứ l Vậy có 2 bước tìm mt nghich đảo - Với mỗi hàng thứ l, chia tất cả cho ,j=l,…,n+l - Với mỗi i=1,2,…,n; i ≠ l ta thay bằng ⇒ Tìm trở thành tìm (1.9) 21 a− 11212 )1( 2 / aaaa j j −= )1( −l lj a )1( −l ll a )1( −l ij a ( ) lnll a aa aa l ll l lj l il l ij l ij +=−= − −− − , ,, )1( )1()1( )1( 1− A )1()1()( / −− = l ll l lj l lj aaa 10 1.2. Hệ phương trình đại số tuyến tính 1.2. Hệ phương trình đại số tuyến tính Công thức Kramer Công thức Kramer Cho hệ pt sau: (1.10) Hệ pt này có thể viết dưới dạng: A= x= b= det A ≠ 0 thi (1.10) có nghiệm tính theo CT nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa =+++ =+++ =+++ 2211 22222121 11212111             nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211             n x x x . 2 1             n b b b . 2 1 bAx 1− = A AbAbAb x A AbAbAb x A AbAbAb x nnnnn n nn nn det det det 2211 2222121 2 1212111 1 +++ = +++ = +++ = [...]... của phương trình đó, những hệ số là số không không tính đến Số nghiệm âm của phương trình (2.2) bằng hoặc kém hơn một số chẵn số lần đổi dấu trong hệ số của phương trình ƒ (-x) = 0 Nếu phương trình là đầy đủ, thì số nghiệm âm bằng số lần giữ nguyên dấu trong hệ số của phương trình hoặc kém hơn nó một số chẵn 30 Lược đồ Horner Phương pháp này được phân tích như sau: 31 32 2 Một số phương pháp lặp a) Phương. .. 3,4, , n 18 Hàng thứ i của U và cột thứ j của L i −1 uij = aij − ∑ lik ukj i≤ j k =1 j −1  1 lij =  aij − ∑ lik ukj   uij  k =1   i> j 19 2 Phương pháp lặp -Tính chéo trội: aij > a) Phương pháp lặp Gauss-Seidel n ∑ aij i = 1,2, n j =1, j ≠ i Cho hệ phương trình Biến đổi x1 = (− a12 / a11 ) x2 + (− a13 / a11 ) x3 + + (−a1n / a11 ) xn + a1n +1 / a11 x2 = (−a21 / a22 ) x1 + (− a23 / a22 ) x3 +... +1 ann  a1, n −1 b1  a2, n −1 b2     an, n −1 bn  11 1 a) Phương pháp trực tiếp Phương pháp khử dùng ma trận nghịch đảo Ý tưởng: Thêm ma trận I vào bên phải của ma trận A ta được ma trận [A,I] dạng (1.7) Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp lên các hàng của ma trận [A,I] cho đến khi [A,I] ở dạng (1.8) Khi đó nghiệm của phương trình (1.10): x1 = b1c1, n +1 + b2c1, n + 2 + + bnc1, 2 n x2 =... +1) + + (−an, n −1 / ann ) xnk +1) + ann +1 / ann −1 21 (ε là một số dương nhỏ chọn trước một cách bất kỳ) 22 b, Phương pháp lặp Jacobi G/t ma trận A có tính chéo trội Ma trận A= D+L+U 0 0  0 a11 0 0 0 a a 0 0 0  22  21   D= 0 0 a33 0  L =  a31 a32       Viết lại phương trình (1.10) như sau:  an1 an 2 0 0 0 ann     0 0 0 an3 0 0 a12 0 0 0   0 U = 0 0  ... +1 + b2c1, n + 2 + + bnc1, 2 n x2 = b1c2, n +1 + b2c2, n + 2 + + bnc2, 2 n ⇒ x1 = b1cn, n +1 + b2cn, n + 2 + + bncn, 2 n n xi = ∑ ci , n + j b j ,i = 1,2, , n j =1 12 b) Phương pháp khử Gauss Cho hệ pt đại số tuyến tính sau: a11x1 + a12 x2 (1.11) + a1n xn = a1, n +1 + a21x1 + a22 x2 + + a2n xn = a2, n +1 G/sử ta a dụng CT (1.5) cho +l=1 lên (1.11) ta được áp x + a x + TH a x = a n1... trình hoặc kém hơn nó một số chẵn 30 Lược đồ Horner Phương pháp này được phân tích như sau: 31 32 2 Một số phương pháp lặp a) Phương pháp chia đôi: Ý tưởng: Cho pt f(x)=0, liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b)0, tức ƒ (a), ƒ (c) cùng dấu, như vậy ƒ (c) khác dấu với ƒ (b) ⇒ nghiệm nằm trong khoảng [c,b] 35 c) Phương pháp lặp đơn 36 ... ann ) xn −1 + ann +1 / ann 20 Tổng quát: aij ai ,n +1 xi = ∑ (− ) x j + aii aii j =1, j ≠ i n i = 1,2, , n (1.15) Bước xuất phát k = 0, ( ( ( x20) = 0, x30) = 0, , xn0) = 0 Các bước lặp tiếp theo được tính theo công thức ( ( ( x1( k +1) = (−a12 / a11 ) x2k ) + (−a13 / a11 ) x3k ) + + (−a1n / a11 ) xnk ) + a1n +1 / a11 ( ( ( x2k +1) = (−a21 / a22 ) x1( k +1) + (−a23 / a22 ) x3k ) + + (−a2 n / a22 ) . 1 Phương Phương pháp tính pháp tính 2 Chương 1: Một số phương Chương 1: Một số phương pháp tính toán trong đại số pháp tính toán trong đại số tuyến tính tuyến tính 1.1. Ma. L jiula u l jiulau j k kjikij ij ij i k kjikijij >         −= ≤−= ∑ ∑ − = − = 1 1 1 1 1 20 2. Phương pháp lặp -Tính chéo trội: a) Phương pháp lặp Gauss-Seidel Cho hệ phương trình Biến đổi niaa n ijj ijij , 2,1 ,1 => ∑ ≠= nnnnnnnnnnnnnnnn nnn nnn aaxaaxaaxaax aaxaaxaaxaax aaxaaxaaxaax /)/(. det 1 1, 21,22 11,11 1,21 22221 1,11211             = − − − n nnnn n n n b b b aaa aaa aaa A x . det 1 2 1 1,21 1,22221 1,11211 12 1. Phương pháp trực tiếp a) Phương pháp khử dùng ma trận nghịch đảo Ý tưởng: Thêm ma trận I vào bên phải của ma trận