bài giảng phương pháp tính

MỞ ĐẦU Khái niệm phương pháp tính: Phương pháp tính mơn học lí luận phương pháp giải gần đúng, cho kết số toán thường gặp toán học kĩ thuật Chúng ta thấy hầu hết toán toán học giải phương trình đại số hay siêu việt, hệ phương trình tuyến tính hay phi tuyến, phương trình vi phân thường hay đạo hàm riêng,tính tích phân, thường khó giải được, nghĩa khó tìm kết dạng biểu thức Một số tốn giải biểu thức kết lại cồng kềnh, phức tạp khối lượng tính tốn lớn Vì lí trên, việc giải gần tốn vơ cần thiết Các toán kĩ thuật thường dựa số liệu thực nghiệm giả thiết gần Do việc tìm kết gần với sai số cho phép hồn tồn có ý nghĩa thực tế Từ lâu người ta nghiên cứu phương pháp tính đạt nhiều kết đáng kể Tuy nhiên để lời giải đạt độ xác cao, khối lượng tính tốn thường lớn Với phương tiện tính tốn thơ sơ, nhiều phương pháp tính đề xuất khơng thể thực khối lượng tính tốn q lớn Khó khăn làm phương pháp tính khơng phát triển Ngày nhờ máy tính điện tử người ta giải nhanh toán khổng lồ, phức tạp, kiểm nghiệm phương pháp tính cũ đề phương pháp tính Phương pháp tính nhờ phát triển mạnh mẽ Nó cầu nối tốn học thực tiễn Nó mơn học khơng thể thiếu kĩ sư Ngồi nhiệm vụ phương pháp tính tìm phương pháp giải gần tốn,nó có nhiệm vụ khác nghiên cứu tính chất nghiệm, nghiên cứu tốn cực trị, xấp xỉ hàm v.v Trong phần nghiên cứu loạt toán thường gặp thực tế đưa chương trình giải chúng Các đặc điểm phương pháp tính: Đặc điểm phương pháp môn học hữu hạn hố rời rạc hố Phương pháp tính thường biến vô hạn thành hữu hạn, liên tục thành rời rạc sau lại trở với vô hạn, liên tục Nhưng cần ý q trình trở lại vơ hạn, liên tục phải trả giá đắt khối lượng tính toán tăng lên nhiều Cho nên thực tế người ta dừng lại nghiệm gần sát với nghiệm mức độ Đặc điểm thứ hai môn học tiến đến kết q trình liên tiếp Đó q trình chia ngày nhỏ hơn, dày đặc q trình tính tốn bước sau dựa vào kết bước trước Cơng việc tính tốn lặp lặp lại thích hợp với máy điện tốn Khi nghiên cứu phương pháp tính người ta thường triệt để lợi dụng kết đạt tốn học Cùng tốn có nhiều phương pháp tính khác Một phương pháp tính coi tốt đạt yêu cầu sau: - phương pháp tính biểu diễn dãy hữu hạn bước tính cụ thể Các bước tính tốn cụ thể phương pháp tính gọi thuật toán Thuật toán đơn giản tốt - đánh giá sai số sai số nhỏ tốt - thuật toán thực máy điện tốn thời gian chạy máy CHỈÅNG SAI SÄÚ 1.1 SAI SÄÚ TUÛT ÂÄÚI V SAI SÄÚ TỈÅNG ÂÄÚI 1.1.1 Sai säú tuût âäúi Trong toạn gáưn âụng chụng ta lm viãûc våïi cạc giạ trë gáưn âụng ca cạc âải lỉåüng Vỗ vỏỷy vỏỳn õóử trổồùc tión laỡ nghión cổùu sai säú ca cạc âải lỉåüng gáưn âụng Xẹt âải lỉåüng âụng A cọ giạ trë gáưn âụng l a Lục âọ ta nọi “ a xáúp xè A” v viãút laì “ a  A “ Trë tuyãût âäúi | a - A| goüi laì sai säú tuyãût âäúi ca a (a coi l giạ trë gáưn âụng ca A) Nọi chung chụng ta khäng thãø biãút âỉåüc säú âụng A, nãn khäng âỉåüc sai säú tuût õọỳi cuớa a Do vỏỷy ta phaới tỗm caùch ổồùc lỉåüng sai säú âọ bàòng säú dỉång a no âọ låïn hån hồûc bàòng |a - A| : |a - A|  a (1-1) Säú dỉång a ny gi l sai säú tuût âäúi giåïi hản ca a R rng nãúu a â l sai säú tuût âäúi giåïi hản cuớa a thỗ moỹi sọỳ > a õóửu coù thãø xem l sai säú tuût âäúi giåïi hản ca a Vỗ vỏỷy tuỡy õióửu kióỷn cuỷ thóứ ngổồỡi ta chn a l säú dỉång bẹ nháút cọ thãø âỉåüc tha mn (1-1) Nãúu säú xáúp xè a ca A coù sai sọỳ tuyóỷt õọỳi giồùi haỷn laỡ a thỗ ta qui æåïc viãút : A = a  a (1-2) Våïi nghéa ca (1-1) tỉïc l : a - a  A  a + a (1-3) 1.1.2 Sai säú tỉång âäúi T säú : a  a a (1-4) gi l sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca a Ta suy : a = |a| a (1-5) Cạc cäng thỉïc (1-4) v (1-5) cho ta liãn hãû giỉỵa sai säú tỉång âäúi v sai säú tuût âäúi Bióỳt a thỗ (1-4) cho pheùp tờnh a , bióỳt a thỗ (1-5) cho pheùp tờnh a Do (1-5) nãn (1-2) cng cọ thãø viãút : A = a(1  a) (1-6) Trong thỉûc tãú ngỉåìi ta xem a l sai säú tuût âäúi v lục âọ a cng l sai säú tỉång âäúi 1.1.3 Chụ thêch Sai säú tuût âäúi khäng nọi nãn âáưy â cháút lỉåüng ca mäüt säú xáúp xè, cháút lỉåüng áúy âỉåüc phn nh qua sai säú tỉång âäúi Láúy thê dủ : âo hai chiãưu di A v B âỉåüc a = 10m våïi a = 0,05m vaì b = 2m våïi b= 0,05m R rng phẹp âo A cháút lỉåüng hån phẹp âo B Âiãưu âọ khäng phn nh qua sai säú tuyóỷt õọỳi vỗ chuùng bũng nhau, maỡ phaớn aớnh qua sai säú tæång âäúi : a  0,05 0,05  0,005   b   0,025 10 1.2 CẠCH VIÃÚT SÄÚ XÁÚP XÈ 1.2.1 Chỉỵ säú cọ nghéa Mäüt säú viãút åí dảng tháûp phán cọ thãø gäưm nhiãưu chỉỵ säú, nhỉng ta chè kãø cạc chỉỵ säú tỉì chỉỵ säú khạc âáưu tiãn tỉì trại sang phi l chỉỵ säú cọ nghéa Chàóng hản säú 2,74 cọ ba chỉỵ säú cọ nghéa, säú 0,0207 cng cọ ba chỉỵ säú cọ nghéa 1.2.2 Chỉỵ säú âạng tin Mi säú tháûp phán âãưu cọ dảng : a     s 10 s (1.7) âọ s l nhỉỵng säú ngun tỉì âãún 9, chàóng hản säú 76,809 âỉåüc viãút 76,809 = 7.101 + 6.100 + 8.10-1 + 0.10-2 + 9.10-3 tỉïc l cọ daûng (1.7) våïi : 1= 7, 2 = 6, -1 = 8, -2 =0, -3 = Gi sỉí a l giạ trë xáúp xè ca A våïi sai säú tuût âäúi giåïi hản a, ta chụ chỉỵ säú s Nóỳu a 0,5.10s thỗ noùi s laỡ chổợ sọỳ õaùng tin, nóỳu a 0,5.10s thỗ noùi s l chỉỵ säú âạng nghi Thê dủ : Cho a = 56,78932 vồùi a = 0,0042 thỗ caùc chổợ säú 5,6,7,8 l âạng tin cn cạc chỉỵ säú 9,3,2 laỡ õaùng nghi Coỡn nóỳu a = 0,0075 thỗ caùc chỉỵ säú 5,6,7 l âạng tin cn cạc chỉỵ säú 8,9,3,2 l âạng nghi R rng nãúu s l âạng tin thỗ caùc chổợ sọỳ bón traùi noù cuợng laỡ õaùng tin vaỡ nóỳu s laỡ õaùng nghi thỗ caùc chỉỵ säú bãn phi cng l âạng nghi 1.2.3 Cạch viãút säú gần Cho säú a l giạ trë xáúp xè cuía A våïi sai säú tuyãût âäúi giåïi hản l a Cọ hai cạch viãút säú xáúp xè a; cạch thỉï nháút l viãút km theo sai säú åí cäng thỉïc (1-2) hồûc (1-6) Cạch thỉï hai l viãút theo qui ỉåïc : mi chỉỵ säú cọ nghéa l âạng tin Mäüt säú viãút theo cạch thỉï hai cọ nghéa l cọ sai säú tuût âäúi giåïi hản khäng låïn hån mäüt nỉía âån vë åí hng cúi cng Cạc bng säú cho sàơn bng logarit,v.v thỉåìng viãút cạc säú xáúp xè theo quy ỉåïc ny 1.3 SAI SÄÚ QUI TRN 1.3.1 Hiãûn tỉåüng qui trn v sai säú qui trn Trong toạn gàûp mäüt säú cọ quạ nhiãưu chỉỵ säú âạng nghi ngỉåìi ta b âi mäüt vi chỉỵ säú åí cúi cho gn, viãûc lm âọ âỉåüc coi l qui troỡn sọỳ Mọựi qui troỡn mọỹt sọỳ thỗ taỷo mäüt sai säú måïi goüi laì sai säú qui trn bàòng hiãûu giỉỵa säú â qui trn våïi säú chỉa qui trn Trë tuût âäúi ca ca hiãûu âọ gi l sai säú qui trn tuût âäúi Qui tàõc qui trn phi chn cho sai säú qui trn tuût âäúi cng bẹ cng täút, ta chn qui tàõc sau âáy : Qui troìn cho sai säú qui trn tuût âäúi khäng låïn hån mäüt nỉía âån vë åí hng âỉåüc giỉỵ lải cúi cng, tỉïc l âån vë åí hng b âi âáưu tiãn, củ thãø l nãúu chỉỵ säú åí hng b âi âáưu tión thỗ thóm vaỡo chổợ sọỳ giổợ laỷi cúi cng mäüt âån vë, cn nãúu chỉỵ säú b õi õỏửu tión < thỗ õóứ nguyón chổợ sọỳ giỉỵ lải cúi cng Thê dủ : säú 56,78932 qui trn âãún säú chỉỵ säú l tháûp phán thỉï ba ( tỉïc l giỉỵ lải cạc chỉỵ säú tỉì âáưu âãún chỉỵ säú l tháûp phán thỉï ba) s thnh säú 56,789; cng säú âọ qui trn âãún säú l tháûp phán thỉï hai s l 56,79 v nãúu qui troỡn õóỳn ba chổợ sọỳ coù nghộa thỗ seợ l 56,8 1.3.2 Sai säú ca säú â quy trn Gi sỉí a l säú xáúp xè ca säú âụng A våïi sai säú tuût âäúi giåïi hản l a Ta s quy trn a thnh a’ våïi sai säú quy trn tuût âäúi l a’, tỉïc l : | a’ - a |  a (1 - 8) Hy sai säú tuût âäúi giåïi hản a’ ca a’ Ta coï: a’ - A = a’ - a + a - A Do váûy : | a’ - a |  | a’ - a | + | a - A |  a’ + a Tỉì âọ cọ thãø láúy: a’ = a + a’ (1 - 9) R rng a’ > a tỉïc l viãûc quy trn säú lm tàng sai säú tuût âäúi giåïi hản 1.3.3 nh hỉåíng ca sai säú quy trn Xẹt mäüt thê dủ sau âáy: p dủng cäng thỉïc nhë thỉïc Niuton ta cọ cäng thỉïc âụng : (  1) 10  3363  2378 (1 - 10) Våïi  1,41421356 Báy giåì ta hai vãú ca (1-10) bàòng cạch thay båíi cạc säú quy trn (xem bng 1-1) Sỉû khạc biãût giỉỵa cạc giạ trë ca hai vãú chỉïng to sai säú quy trn cọ thãø cọ nhỉỵng tạc dủng ráút âạng ngaỷi quaù trỗnh tờnh toaùn Baớng 1-1 Vóỳ traùi Vãú phaíi 1,4 0,0001048576 33,8 1,41 0,00013422659 10,02 1,414 0,000147912 0,508 1,41421 0,00014866399 0,00862 1,414213563 0,00014867678 0,0001472 1.4 CAÏC QUY TÀÕC TÊNH SAI SÄÚ 1.4.1 Måí âáưu Xẹt hm säú u ca hai biãún säú x v y : u = f(x,y) (1-11) Â biãút sai säú ca x v y, hy sai säú ca u ÅÍ âáy lỉu x , y ,u l k hiãûu cạc gia säú ca x, y, u lải cng l kê hiãûu cạc sai säú tuût âäúi ca x, y, u Theo âënh nghéa (1-1) ta luän coï: |x|  x ; |y| y (1-12) Ta phaới tỗm u õóứ cọ |u|  u 1.4.2 Sai säú ca täøng u = x + y Ta coï u = x + y suy |u| = |x| + |y| âoï theo (1-12) ta coï: |u|  x + y Ta choün x+y = x + y (1-13) Âãø coï |u|  u Váûy coï quy tàõc sau: Sai säú tuût âäúi giåïi hản ca mäüt täøng bàòng täøng cạc sai säú tuût âäúi giåïi hản ca cạc säú hảng Chụ : Xẹt trỉåìng håüp u = x - y våïi x v y cng dáúu Khi âọ u  u  x   y  |u| | x  y| Cho nãn nãúu |x - y| rỏỳt beù thỗ sai sọỳ tổồng õọỳi giồùi haỷn rỏỳt lồùn Do vỏỷy quaù trỗnh tờnh toaùn ta phaới tỗm caùch traùnh phaới trổỡ caùc sọỳ gỏửn bũng 1.4.3 Sai säú ca têch u = xy Ta cọ u  du = ydx + xdy  yx +xy |u|  |y||x| + |x||y| |y|x + |x|y Ta suy : |u| = |y|x + |x|y Do âoï :  u  u | y |  x |  | x |  y  x  y    |u| | xy | | x| | y| Tỉïc l cọ  xy   x   y (1-14) Váûy ta coï quy tàõc : Sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca mäüt têch bàòng täøng cạc sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca cạc thỉìa säú ca têch Âàûc biãût cọ: y = xn  y  n x våïi n nguyãn dæång (1-15) 1.4.4 Sai säú ca mäüt thỉång u = x/y, y  0; Tỉång tỉû trỉåìng håüp têch ta cọ quy tàõc: Sai säú tỉång âäúi ca mäüt thỉång bàòng täøng cạc sai säú tỉång âäúi ca cạc säú hảng: x/y = x + y (1-16) 1.4.5 Cäng thỉïc täøng quạt Cho u = f(x1,x2,x3, ,xn) Ta coï n u  | i 1 f |  xi xi (1-17) Vaì tỉì âọ ta suy u theo âënh nghéa (1.4) Thê dủ : Tênh sai säú tuût âäúi giåïi hản v sai säú tỉång âäúi giåïi hản ca thãø têch hỗnh cỏửu: V d nóỳu cho âỉåìng kênh d = 3,7  0,05 cm v  = 3,14 Gii : Xem  v d l âäúi säú ca hm V, theo (1-14) v (1-15) ta cọ : V =  + 3d  = 0,0016/3,14 = 0,0005 d = 0,05/3,7 = 0,0135 Suy V = 0,0005 + 3x 0,0135 = 0,04 Màût khạc: V  d =26,5 cm3 Váûy cọ V = 26,5x0,04 = 1,06  1,1 cm3 V = 26,5  1,1 cm3 1.5 - SAI SÄÚ TÊNH TOẠN V SAI SÄÚ PHỈÅNG PHẠP 1.5.1 Måí âáưu Khi gii gáưn âụng mäüt bi toạn phỉïc tảp ta phi thay bi toạn â cho bàòng mäüt bi toạn âån gin hån âãø cọ thãø gii âỉåüc bàòng cạc phẹp toạn thäng thỉåìng hồûc nhåì mạy âiãûn tỉí Phỉång phạp thay thãú bi toạn váûy âỉåüc gi l phỉång phạp gáưn âụng Sai säú thay âäøi bi toạn âỉåüc gi l sai säú phỉång phạp Khi gii cạc bi toạn âån gin ta phi thỉûc hiãûn cạc phẹp tênh, quaù trỗnh tờnh toaùn ỏỳy ta luọn phaới quy trn cạc kãút qu trung gian Sai säú tảo båïi viãûc quy trn gi l sai säú toạn Sai säú thỉûc sỉû ca bi toạn ban âáưu l täøng håüp ca hai loải sai säú phỉång phạp v sai säú toạn 1.5.2 Thê dủ a/ Hy täøng: A 1 1 1      3 Gii : A l täøng ca phán säú Ta cọ thãø trỉûc tiãúp A m khäng cáưn phi thay bàòng mäüt täøng õồn giaớn hồn Vỗ vỏỷy baỡi toaùn khọng coù sai säú phỉång phạp Âãø A ta hy thỉûc hiãûn cạc phẹp chia âãún ba chỉỵ säú l tháûp phán v âạnh giạ cạc sai säú quy trn tỉång ỉïng: 1   1,000 13 1   0,125 23 1   0,037 27 1   0,016 64 1   0,008 125 1   0,125 216 våïi 1 = 2    1.10    4.10  5    4.10  Váûy A  a = 1,000 - 0,125 + 0,037 - 0,016 + 0,008 - 0,005 = 0,899 |A - a | = |( 1 1 1  1)  (  0,125)  (  0,037)  (  0,016)  (  0,008)  (  0,005) | 3 Hay |A - a|  |( 1 1 1  1)  (  0,125)  (  0,037)  (  0,016)  (  0,008)  (  0,005) |  3 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 9.10-4 Do âọ a = 0,899 l giạ trë gáưn âụng ca A våïi sai säú toạn l 9.10-4; ta viãút : A = 0,899  9.10-4 (1-18) b/ Hy täøng dy säú sau: B 1 1     (1) n 1  3 n Våïi sai säú tuût âäúi khäng vỉåüt quạ 5.10-3 Gii: Vãú phi ca B l mäüt chùi âan dáúu häüi tủ Do âọ viãûc B l håüp l Nhỉng vãú phi l mäüt täøng vä hản cạc säú hảng, ta khọng thóứ tờnh hóỳt õổồỹc Vỗ vỏỷy õóứ tờnh B ta phi sỉí dủng phỉång phạp gáưn âụng, chàóng hản ta chè B bàòng täøng ca n säú hảng âáöu: Bn  1 1     (1) n 1 3 n Bi toạn Bn âån gin hån bi toạn B Lục âọ |B-Bn| l sai säú phỉång phạp, váún âãư l phi chn n cho täøng sai säú phỉång phạp cäüng våïi sai säú toạn phi nh hån 5.10-3 Theo l thuút vãư chùi âan dáúu, ta coï: | B  B n || 1   | 3 (n  1) ( n  2) (n  1) Nóỳu ta choỹn n = thỗ thỏỳy : | B  B n | 1   3.10 3 343 Chụ ràòng B6 = A ta â åí thê dủ trãn (xem (1-18)) B6 = A = 0,899  9.10-4 Váûy ta coï: B - 0,899 = B - B6 + A - 0,899 |B - 0,899|  |B - B6| + |A - 0,899| |B - 0,899|  3.10-3 + 9.10-4 < 4.10-4 Váûy ta â âỉåüc B  0,899 våïi sai säú tuût âäúi khäng vỉåüt quạ 4.10-3: B = 0,899  4.10-3 Chuï yï :Trong sai säú täøng håüp cuäúi cng cọ pháưn ca sai säú phỉång phạp v cọ pháưn ca sai säú toạn, nãn ta phi phán bäú håüp l cho sai säú cúi cng nh hån sai säú cho phẹp 1.6 SỈÛ ÄØN ÂËNH CUA MĩT QUAẽ TRầNH TấNH Xeùt mọỹt quaù trỗnh tờnh vä hản âãø mäüt âải lỉåüng no âọ Ta noùi quaù trỗnh tờnh laỡ ọứn õởnh nóỳu sai sọỳ toạn tỉïc l cạc sai säú quy trn têch ly lải khäng tàng vä hản; Nãúu sai säú âọ tng vọ haỷn thỗ ta noùi quaù trỗnh tờnh laỡ khọng ọứn õởnh Nhổ vỏỷy nóỳu quaù trỗnh tờnh laỡ khọng ọứn õởnh thỗ khọng coù hy voỹng tờnh õổồỹc âải lỉåüng cáưn våïi sai säú nh hån sai säú cho phẹp Âãø kiãøm tra äøn âënh ca mọỹt quaù trỗnh tờnh thổồỡng ngổồỡi ta giaớ sổớ sai säú chè xy tải mäüt bỉåïc, sau âọ cạc phẹp âãưu lm âụng khäng cọ sai säú, nãúu cúi cng sai säú toạn khäng tàng vä haỷn thỗ xem nhổ quaù trỗnh tờnh laỡ ọứn õởnh Trong thổỷc tóỳ, mỷc duỡ quaù trỗnh tờnh laỡ vọ hản m ta cng chè lm mäüt säú hỉỵu hản bổồùc, nhổng vỏựn phaới õoỡi hoới quaù trỗnh tờnh ọứn âënh måïi hy vng våïi mäüt säú hỉỵu hản bỉåïc cọ thãø âảt âỉåüc mỉïc âäü chênh xạc mong mún BI TÁÛP 1) Khi âo mäüt gọc ta âỉåüc cạc giaï trë sau : a = 21o37’3’’; b = 1o10’’ Hy sai säú tỉång âäúi ca cạc säú xáúp xè âọ biãút ràòng sai säú tuût âäúi cạc phẹp âo l 1o 2) Cho a = 10,00  0,05, b = 0,0356  0.0002, c = 15300  100, d = 62000 500 Tỗm sai sọỳ tuyóỷt âäúi cuía S1 = a + b + c + d; S2 = a+ 5c - d S3 = c3 3) Hy xạc âënh cạc chỉỵ säú âạng tin ca säú a biãút sai säú tỉång âäúi ca : * a = 1,8921 a = 0,001 * a = 22,351 a = 0,1 4) Hy xạc âënh cạc chỉỵ säú âạng tin ca säú a biãút sai säú tuût âäúi ca : * a = 0,3941 a = 0,0025 * a = 38,2543 a = 0,0027 5) Hy quy trn cạc säú âụng dỉåïi âáy våïi ba chỉỵ säú cọ nghéa âạng tin räưi xạc âënh sai säú tuût âäúi v sai säú tỉång âäúi ca chụng * 2,1514 * 0,16152 * 0,01204 * -0,0015281 10 CHỈÅNG TấNH GệN UẽNG NGHIM THặC CUA MĩT PHặNG TRầNH 2.1 NGHIÃÛM V KHONG PHÁN LY NGHIÃÛM 2.1.1 Nghiãûm thỉûc ca phổồng trỗnh mọỹt ỏứn Xeùt phổồng trỗnh mọỹt ỏứn f(x) = (2-1) âọ f l hm säú cho trổồùc cuớa õọỳi sọỳ x Nghióỷm thổỷc cuớa phổồng trỗnh (2-1) l säú thỉûc  tha mn (2-1) tỉïc l thay x båíi  åí vãú trại ta âỉåüc: f() = (2-2) 2.1.2 Yẽ nghộa hỗnh hoỹc cuớa nghiãûm y Ta v âäư thë ca hm säú y = f(x) (2-3) mäüt hãû toüa âäü vuäng goïc Oxy (hỗnh 2.1) Giaớ sổớ õọử thở cừt truỷc hoaỡnh taỷi mọỹt õióứm M thỗ õióứm M naỡy coù tung âäü y = vaì hoaình âäü x =  Thay chụng M x vo (2-3) ta âỉåüc  = f() (2-4) Váûy honh âäü  ca gia âiãøm M chờnh laỡ Hỗnh 2.1 mọỹt nghióỷm cuớa (2-1) Trổồùc v âäư thë ta cng cọ thãø thay thãú phổồng trỗnh (2-1) bũng phổồng trỗnh tổồng õổồng g(x) = h(x) (2-5) räưi v âäư thë ca hai hm säú (hỗnh 2-2) y f y = g(x) M y = h(x) (2-6) Gi sỉí hai âäư thë áúy càõt taỷi M Coù hoaỡnh õọỹ x = thỗ ta cọ: g g() = h() (2-7) x Váûy honh âäü  ca giao âiãøm M  ca hai âäư thë (2-6) chênh l mäüt nghiãûm ca (2-5) tỉïc l ca (2-1) Hỗnh 2-2 2.1.3 Sổỷ tọửn taỷi nghióỷm thổỷc cuớa phổồng trỗnh (2.1) Trổồùc tỗm caùch tờnh gỏửn õuùng nghióỷm thổỷc cuớa phổồng trỗnh (2.1) ta phaới xeùt xem phổồng trỗnh coù nghióỷm hay khọng Coù nhióửu caùch õóứ biãút nghiãûm cọ täưn tải hay khäng, chàóng hản v âäư thë, kho sạt hm Ta cng cọ thãø sỉí dủng âënh l sau âáy: Âënh l 1: Nãúu cọ hai säú thỉûc a v b (a : Phương trình Hyporbol B2 - 4AC < : Phương trình Ellip B2 - 4AC = : Phương trình Parabol Chú ý: Ở không phân biệt biến không gian thời gian x, y, z, t a Phương trình Hyperbol (B2 - 4AC > 0)  2u  2u Phương trình sóng chiều  2 ví dụ phương trình đạo hàm riêng x c t dạng hyperbol Từ chổ A, B C phụ thuộc vào x y, việc phân loại đặc tính riêng phương trình b Phương trình Ellip (B2 - 4AC < 0) Phương trình Laplace hai chiều  2u  2u   ví dụ điển hình phương x y trình đạo hàm riêng dạng elliptic Loại tốn thường khơng đặt tốt (not well-posed), cụ thể thay đổi nhỏ liệu ban đầu tạo thay đổi lớn lời giải Ví dụ Hãy xem xét vấn đề hai giá trị ban đầu sau đây: - Trường hợp 105  2u1  2u1   0 y  x  u1  x,    u   x,    y - y ≥ 0,−∞ < x < ∞ (7.7) Trường hợp  2u2  2u2   0 y  x  u2  x,    u   x,   sin nx x  y y ≥ 0,−∞ < x < ∞ (7.8) Hai tốn có u1 ≡ u2 = sin(nx) sinh (ny) / n2 lời giải tương ứng Những lời giải dễ dàng kiểm tra thay trực tiếp vào PDE tương ứng điều kiện ban đầu Với n lớn, điều kiện ban đầu tốn thứ hai khác chút so với điều kiện ban đầu toán thứ nhất, lời giải hai tốn có khác nhiều, nghĩa lời giải hai tốn khơng tốt c Phương trình Parabol (B2 - 4AC = 0) Phương trình nhiệt chiều  2u u  (còn gọi phương trình khuếch tán) x t ví dụ điển hình PDE parabol 6.5.3 Những lưu ý phương trình đạo hàm riêng Cần lưu ý, việc phân loại PDE cách phân loại cục Chúng ta xem xét, ví dụ, phương trình Tricomi  u2  u2  y 0 x y (7.9) Theo định nghĩa a, b, c ta có b2 - ac = -y, vùng y > y < phương trình elip hyperbol, tương ứng Trong dọc theo đường y = phương trình parabol Lưu ý thêm phân loại PDE bậc đơn số biến: - Không phải tất PDE bậc số biến phân loại - Phương trình PDE bậc hai tuyến tính có hệ số số loại hyperbol, parabol elliptic ln ln được đưa dạng tắc sau: u,11 − (u,22 + u,33 + · · · + u,nn) + (các số hạng bậc thấp hơn) = hyperbol u,1 − (u,22 + u,33 + · · · + u,nn) + (các số hạng bậc thấp hơn) = parabol u,11 + (u,22 + u,33 + · · · + u,nn) + (các số hạng bậc thấp hơn) = ellip 106 6.5.4 Các toán biên thường gặp Trong lĩnh vực kỹ thuật, người ta thường hay gặp toán biên sau: a) Bài tốn Dirichlet Tìm hàm u thoả mãn phương trình: a(u, v) = (f, v) miền ()  biên  () cho trước giá trị u u = f(v) Nếu biên cho u = ta có điều kiện biên n Dirichlet Điều kiện biên Dirichlet gọi điều kiện biên cốt yếu (essential boundary conditions) b) Bài tốn Neumann Tìm hàm u thoả mãn phương trình: a(u, v) = (f, v) () Và điều kiện biên: u n  f (v)  Nếu f(v) = ta có tốn Neumann Để cho tốn Neumann có nghiệm ta phải đặt thêm điều kiện g(1) Điều kiện biên Neumann gọi điều kiện biên tự nhiên (natural boundary conditions) c) Bài toán hổn hợp 0 toán mà biên  gồm hai phần o 1 Ví dụ  1 Với tốn hổn hợp (mixed boundary conditions) tìm hàm u thoả mãn phương trình: n a(u, v) = (f, v) () Với điều kiện biên: 107 u n 1  f1 ( v ) ; uo = fo(v) Trong thực tế kỹ thuật, người ta thường hay gặp điều kiện biên hỗn hợp 6.5.5 Tư tưởng phương pháp gần Trên thực tế việc tìm nghiệm xác tốn biên nói vơ khó khăn, tốn học cho phép giải tốn số trường hợp thật đơn giản, phần lớn phải giải theo phương pháp gần khác Tư tưởng phương pháp gần (approximation methods) xấp xỉ không gian vô hạn chiều nghiệm không gian hữu hạn chiều u ( x)  a0    (an cos nx  bn sin nx) n 1  u ( x)   an n ( x) n 0 Nghiệm xác tốn biểu diễn dạng sau: u(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + anxn + (7.10) Rõ ràng nghiệm xác u(x) xem hàm vô hạn hệ số: a0, a1, a2, ,an, Trong giải theo phương pháp gần ta tìm nghiệm uh hàm dãy hữu hạn hệ số a0, a1, a2, ,an mà thơi Trong chương ta nghiên cứu số phương pháp số mạnh, thường sử dụng để giải toán học: + Phương pháp đặc trưng (characteristic method) + Phương pháp sai phân (finite difference method) + Phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method) + Phương pháp thể tích hữu hạn (finite volume method) + Phương pháp phần tử biên (Boundary element method) 6.5.6 Phương pháp đặc trưng Nội dung phương pháp đặc trưng biến đổi phương trình vi phân đạo hàm riêng hệ phương trình vi phân thường, tìm lời giải tốn hệ phương trình vi 108 phân thường này, từ ta dễ dàng thấy chất vật lý tượng nghiên cứu  2u  2u  x c t (7.11) v u  2v  2u    x t xt t (7.12) Ví dụ Xét phương trình truyền sóng : Ta đặt hàm v(x, t) cho:   v    u      t  x  t  t  Vì :  2u  2u  2v  2u  0   0 c t x c tx x Từ (7.11) ta có: v u   f (t) c t x Và đặt: Đi đến hệ thống:  v u  v   x  t  1   x        u    1  v  u       c    f (t )  c t x  x  Đặt 1 0 0 A=  , B =  1  c    v   1   0    t      u     f (t )  t   1  0  Phương trình đặc trưng suy từ:    2 =  det(A - B) =   c2 Từ ta có đường cong đặc trưng: 1    c c dx x  ct  a  c   dt x  ct  b 6.5.7 Phương pháp sai phân Dựa khai triển Taylor, cách gần ta thay tỉ vi phân tỉ sai phân c Ví dụ Tìm đạo hàm x x x   c   c     C(x + x) = C(x) + x    2!  x  x  x  x Ta có:  (7.13) C C( x  x )  C( x ) x   C       x x x  x  x 109 2  c  x   c      Tương tự: Có C(x - x) = C(x) - x   2!  x  x  x  x (7.14) Lấy (7.13) - (7.14) suy sai phân trung tâm: c C( x  x )  C( x  x ) x   3C       x x 2x 3!  x  x Có thể khai triển: c x  C C(x + 2x ) = C(x) + 2x + + x x 2! x x (7.15) Lấy (7.13) nhân với trừ cho (7.15), ta có: c x x  3C ( x )  4C ( x  x )  C ( x  2x) 4x  3C   x 3! x Lấy (7.13) cộng (7.14) ta được:  2C C ( x  x)  2C ( x)  C ( x  x)   0(  x ) 2 x x x (7.16)  2  2  0 Áp dụng sai phân vào giải phương trình Laplace: x y Chọn : x i  X  y i  Y (7.17) Thay (7.16) vào (7.17), được: i1, j  2ij  i1, j X  Đơn giản chọn x = y, ta được: t yj+ i , j1  2ij  1, j1 Y i , j  0 i1, j  i1, j  i , j 1  i, j 1  i,j+1 i+1,j+1 ∆y yj yj-1 i,j ∆x i+1,j 110 xi-1 xi x xi-1 a) Sơ đồ – Sơ đồ ẩn     S    Xét phương trình: x y T t   K 1   K  t t  t K t Sai phân tiến:  K  K 1  t t  t K t Sai phân lùi: Ở (t)K = t = const T=  ( t ) j , K - K   t  K t Sai phân tiến theo thời gian t phương trình trên, ta được:  iK1, j   iK, j   iK1, j  iK, j1   iK, j   iK, j1 S  iK, j1   iK, j   (x )2 (y )2 T t iK, j1 Từ phương trình ta tìm  iK, j  iK j, j  iK, j1  iK, j1 biết  iK1, j , nên gọi sơ đồ t k+1 k ∆x - ∆x x Sai phân lùi theo thời gian t ta có: 111 iK1,1j  2iK, j1  iK1,1j ( x ) iK, j11  2iK, j1  iK, j11  ( y ) K 1 K S i , j  i , j  T t Phương trình có ẩn số phương trình nên phải thiết lập phương trình cho tất nút khác bên miền tốn giải đồng thời hệ phương trình này, tìm ẩn tốn bước thời gian (t + 1), nên ta gọi sơ đồ sơ đồ ẩn t k+1 k ∆x ∆x x b) Sự ổn định sơ đồ Đối với sơ đồ ẩn luôn ổn định với khoảng thời gian t chọn, sơ đồ ổn định với khi: t  t giới hạn 7.5.3 Tính quán lược đồ sai phân Xét phương trình vi phân: z z  0 t x (7.18) Thay tỉ vi phân tỉ sai phân: n n n 1 n z z j  z j z z j  z j 1 t   ; : Thế vào (7.18) đặt r = x x x t t Suy ra: z nj 1  (1  r )z nj  r.z nj1 (7.19) Phương trình (còn gọi lược đồ) (7.19) nhận từ khai triển Taylor (7.18) lược đồ khác, ta thử xem lược đồ (7.19) có qn với phương trình vi phân (7.18) hay khơng ? Từ khai triển Taylor ta được: 112 z  z t  z t t    t t t 2! t 3! Đặt r  x z ( x )  z x  z x z nj1  z nj     x 1! x 2! x 3! Thay tất vào (7.19), ta được: z nj 1  z nj  z nj  z  z t  z  t z  x  z  x t     (1  r ) z nj  r ( z nj    t t 2! t 3! x 1! x 2! Nhân vế (7.20) với (7.20) x chuyển vế, nhân tiếp vế với ta được: t t z z  z t  z x      t x t 2! x 2! (7.21) Khi x , t 0, vế phải (7.21) 0, ta thấy phương trình (7.21)  (7.18) Ta nói lược đồ (7.19) quán với phương trình vi phân 6.5.7 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA LƯỢC ĐỒ Xét phương trình sai phân (còn gọi lược đồ): z nj1  (1  r )z nj  rznj1 (7.22) Ta nói: “Một lược đồ sai phân gọi ổn định, tập hợp vơ hạn nghiệm tính bị chặn đều, ngược lại gọi không ổn định” Như ổn định lược đồ sai phân không liên quan đến phương trình vi phân (chỉ riêng lược đồ) n 1 n n Ví dụ Lược đồ (7.22) có dạng: z j  Az j  Bz j1 Suy ra: Gọi: z nj 1  Az nj  Bz nj1 z n  max z nj , j tập j Vậy thì: z nj 1  A z n  B z n  ( A  B ) z n  z nj n n 1 Tức lớp: z j  z j ,  z j  z mà z0 cho trước biên Vậy zn bị chặn  Ta nói lược đồ ổn định Định lý Courant: “Nếu lược đồ sai phân quán với phương trình vi phân thân lược đồ ổn định nghiệm phương trình sai phân hội tụ đến nghiệm phương trình vi phân’’ 6.5.8 Các ứng dụng học: Phương trình vi phân dạng ellip: Ta gặp phương trình toán 113 truyền nhiệt toán thẩm thấu học chất lỏng với phương trình mơ tả Poisson Một dạng khác phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng hyperbol, ta gặp chúng phương trình dao động dây u = u(x, t) với x tọa độ t thời gian Ta gặp phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng phức tạp phương trình động lực học chất lưu: Phương trình Navier-Stocks, hay phương trình dao động uốn hay dầm đàn hồi toán sức bền vật liệu Ví dụ Giải gần phương trình đạo hàm riêng dạng Elliptic Cho phương trình vi phân đạo hàm riêng u xx''  u 'yy'  xy2 hình chữ nhật 0, 0.6  0, 0.3 D= biết giá trị hàm u(x, y) biên u(x, y) = x + 3y với bước chia x = h = 0.2, y =  = 0.1 Giải: Ta có h = 0.2 suy n = (0.6 - 0)/h = 3, xi = ih = 0.2i  = 0.1 suy m = (0.3-0)/ = Cho điểm (0, j), (i, 0), (3, j), (i, 3) điểm lưới Giá trị hàm điểm lưới là: u00 = 0, u01 = 0.3, u02 = 0.6, u0,3 = 0.9, u10 = 0.2, u20 = 0.4, u30 = 0.6, u31 = 0.9, u32 = 1.2, u33 = 1.5, u10 = 1.1, u20 = 1.3 Ta cần tính giá trị hàm u điểm (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) Hàm f(x, y) = xy2 nên f11 = 0.002, f12 = 0.008, f21=0.004, f22 = 0.016 Ta có hệ phương trình đại số tuyến tính là:  u 21  2u11  u 01 u12  2u11  u10   0,002  0,2 0,12   1,099992  10u11  4u12  u21  u22  4,99968 4u11  10u12    10u21  4u22  2,499984 u11  u12  4u21  10u22  6,399936  Giải hệ a được: u11 = 0.499964132, u12 = 0.79994444, u21= 0.699994356, u22 = 0.999907868 Ví dụ Giải gần phương trình đạo hàm riêng dạng Parabolic u  2u  t x Thỏa mãn điều kiện biên : u ( x,0)  1,1( x  1) sin x;  x  114 u (0, t )  ; u (1, t )  ;  t  0,02 Sử dụng lưới chữ nhật có bước h = 0.1, l = 0.05 Giải: Tại điểm (xi, tj) thay đạo hàm tỷ sai phân: u i  , j  u i , j  u i 1 , j   2u     h2  x  i , j u i , j 1  u i , j  u     l  t  i , j (Sai phân tiến) Thế vào phương trình đạo hàm riêng ta áp dụng sai phân tiến sơ đồ hiện: ui , j 1  ui , j  l ui 1, j  2ui , j  ui 1, j h2 Đặt   l / h vào ta có phương trình: ui , j 1  (1  2 )ui , j   (ui 1, j  ui 1, j ) (Điều kiện lược đồ sai phân ổn định    ) Với h = 0.1 l = 0.005 ta có   Thế vào ta có ui , j 1  ui 1, j  ui 1, j Bảng kết nghiệm phương trình j x t 0.1 0.2 0 0.343 0.672 0.005 0.336 0.657 0.01 0.328 0.640 0.015 0.320 0.621 0.02 0.311 0.602 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.970 0.943 0.915 0.885 0.855 1.214 1.173 1.131 1.088 1.045 1.375 1.318 1.261 1.205 1.150 1.423 1.350 1.280 1.211 1.144 1.326 1.242 1.161 1.083 1.017 1.060 0.971 0.886 0.823 0.763 0.615 0.530 0.485 0.443 0.411 0 0 Ví dụ Giải gần phương trình đạo hàm riêng dạng Hyperbolic  2u  u a x t Thỏa mãn điều kiện biên : u(x, 0) = f(x) , a = 115 u’t(x, 0) = 0,  x  1, u(0, t) = u(1, t) = 0  t  0,5 , Với sử dụng lưới chữ nhật có bước h = 0.1, l = 0.05 x 0,1 0,2 f(x) 0.029 0.102 0,3 0.180 0,4 0.217 0,5 0.374 0,6 0.380 0,7 0.289 0,8 0.206 0,9 0.100 Thế đạo hàm phương trình đạo hàm riêng tỷ sai phân: ui 1, j  2ui , j  ui 1, j h  a2 ui , j 1  2ui , j  ui , j 1 l2 Đặt  = l/h ta phương trình sai phân:   ui , j 1  2ui , j  ui , j 1    (ui 1, j  2ui , j  ui 1, j ) a (7.23) Với j = phương trình có dạng    2    ui ,1  2ui ,0 1      ui ,1    (ui 1,0  ui 1,0 ) a   a   Thay đạo hàm u’t(x, 0) tỷ sai phân sau với j = -1 u 't ( x,0)  u i ,1  ui , 1 2l Thế ui ,1  ui ,1  2.l.u 't ( x, 0)    2  1  ui ,1  ui ,0 1      l.u 't ( x, 0)    (ui 1,0  ui 1,0 ) 2 a    a   (7.24) Thế  = l/h =1/2 a =1, u’t(x, 0) = vào phương trình (7.24) ta được: u i ,1  u i ,  (u i 1,  u i 1, ) (7.25) Thế  = l/h =1/2 a =1 ui , j 1  1,5ui , j  ui , j 1  0, 25ui 1, j  0, 25ui 1, j 116 Bảng kết nghiệm phương trình xi tj 0 0.0290 0.1022 0.1796 0.2172 0.3744 0.3804 0.2888 0.2056 0.1004 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.05 0.0345 0.0955 0.1491 0.1873 0.3012 0.2746 0.1947 0.1307 0.0496 0.0 0.1 0.0467 0.0869 0.1147 0.1762 0.1929 0.1555 0.1046 0.0515 0.0067 0.0 0.15 0.0572 0.0752 0.0888 0.1540 0.0710 0.0330 0.0139 -0.0256 0.0267 0.0 0.2 0.0579 0.0624 0.0757 0.0947 -0.0395 0.0847 -0.0819 -0.0931 0.0532 0.0 0.25 0.0453 0.0518 0.0641 0.0029 -0.1279 0.1905 -0.1812 -0.1478 0.0763 0.0 0.3 0.0230 0.0427 0.0327 0.1150 -0.2006 0.2782 -0.2745 -0.1930 0.0982 0.0 0.35 0.0001 0.0261 0.0332 0.2115 -0.2713 0.3457 -0.3484 -0.2348 0.1193 0.0 0.4 0.0167 0.0118 0.1288 0.2785 -0.3457 0.3952 -0.3931 -0.2762 0.1394 0.0 0.45 0.0279 0.0803 0.2326 0.3248 -0.4156 0.4318 -0.4092 -0.3126 0.1589 0.0 0.5 0.0452 0.1737 0.3214 0.3708 -0.4669 0.4588 -0.4068 -0.3347 0.1771 0.0 117 ... Cùng tốn có nhiều phương pháp tính khác Một phương pháp tính coi tốt đạt u cầu sau: - phương pháp tính biểu diễn dãy hữu hạn bước tính cụ thể Các bước tính tốn cụ thể phương pháp tính gọi thuật... e=x*x*x*x+2*x*x*x-x-1; return(e); } Kết tính cho nghiệm: x = 0.876 2.6 PHƯƠNG PHÁP LẶP BIRGE - VIETTE Các nghiệm thực, đơn giản đa thức Pn(x) tính tốn sử dụng phương pháp Newton P (x ) x i 1  x i ... chia ngày nhỏ hơn, dày đặc q trình tính tốn bước sau dựa vào kết bước trước Cơng việc tính tốn lặp lặp lại thích hợp với máy điện tốn Khi nghiên cứu phương pháp tính người ta thường triệt để lợi