công thức phương pháp tính

Prof NGUYỄN THẾ HÙNG PHƢƠNG PHÁPTÍNH NUMERICAL METHODS FOR ENGINEERS *********** DANANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Danang 2010 CÁC CÔNG THỨC TÍNH (Đƣợc phép mang vào phòng thi) Chƣơng 2: Nội suy 2.1 Đa thức nội suy Lagrăng Cho bảng giá trị x y x1 y1 x2 y2 x3 xn y3 yn Ký hiệu: (x) = (x - x1)(x - x2 ) (x - xn) Ta có đẳng thức: y1 (x) y  (x) f (x)    (x - x )( x  x )( x  x ) ( x  x n ) ( x  x )( x  x )( x  x ) ( x  x n )  y n ( x ) ( x  x n )( x n  x )( x n  x ) .( x n  x n 1 ) n y k ( x ) Hay: f(x)=  ' k 1  ( x k ).( x  x k ) Đây đa thức nội suy Lagrange 2.2 Nội suy Newton (a) Nội suy Newton với mốc cách Giả sử y0 , y1 , y2 , giá trị hàm y = f(x) tương ứng với giá trị cách đối số x0 , x1 , x2 Ký hiệu: y1 - y0 = y0 ; y2 - y1 = y1 ; ; yn - yn - = yn - sai phân cấp y1 - y0 = 2 y0 ; y2 - y1 = 2 y1 ; sai phân cấp ny1 - ny0 = n + 1y0 ; ny2 - ny1 = n + y1 ; sai phân cấp n + Ta có cơng thức nội suy Newton: x  x0 ( x  x )(x  x  h ) y   y  h 2!h (b) Nội suy Newton với mốc không cách yn = y0 + Khoảng cách xi+1 - xi = hi số Đa thức nội suy có dạng: f n ( x)  b0  b1 ( x  x0 )   bn ( x  x0 )( x  x1 ) ( x  xn1 ) (2.28) Các điểm liệu sử dụng để tính hệ số b0, b1, bn Được tính: b0  f ( x0 ) b1  f [ x1 , x0 ] b2  f [ x2 , x1 , x0 ] bn  f [ xn , xn1 , , x1 , x0 ] Tỷ sai phân cấp f x i, xj là: f [ xi , x j ]  f ( xi )  f ( x j ) xi  x j Tỷ sai phân cấp f x i, xj, xk là: f [ xi , x j , xk ]  f [ xi , x j ]  f [ x j , xk ] xi  xk Tương tự vậy, tỷ sai phân cấp n f là: f [ xn , xn1 , , x1 , x0 ]  f [ xn , xn1 , , x1 ]  f [ xn1 , xn2 , , x0 ] xn  x0 Thay hệ số vào phương trình (2.9) ta nhận đa thức nội suy Newton: Pn  f ( x0 )  ( x  x0 ) f [ x1 , x0 ]  ( x  x0 ).( x  x1 ) f [ x2 , x1 , x0 ]   ( x  x0 ).( x  x1 ) ( x  xn 1 ) f [ xn , xn 1 , , x0 ] (2.29) 2.3 Nội suy Spline y = fi(x) = f " ( xi 1 )( xi  x) f " ( xi )( x  xi 1 )  yi 1 f " ( xi 1 )xi      6xi 6xi  xi   y f " ( xi )xi xi  x    i    xi  x  xi 1   Với xi = xi - xi – 1, với i = 1,2,….,n (dạng sai phân lùi) " x 0 2(x  x )  f (x )     " x 2(x  x ) x 0   f (x )   .   x (  x   x )   3    "    0  2(x n1  x n ) f (x n1 )    y y   x  x     y y      x x       y n1 y n   x  x   n 1 n  Chƣơng 3: Tính gần đạo hàm tích phân 3.1 Tính gần đạo hàm Ta áp dụng khai triển Taylor: h2 f(x + h) = f(x) + h f’(x) + f”(c), với c = x + h, <  < 2! f’(x)  f (x  h)  f (x) h 3.2 Tính gần tích phân xác định 3.2.1 Cơng thức hình thang h y  y1   (y1  y )  . (y n1  y n )  y  yn  I T  h  y1  y  . y n1    M h ( b  a) , với M = max f”(x), a  x  b Sai số: I - IT   12 IT  3.2.2 Công thức Simpson b h  f ( x)dx  [( y  y1  y2 )  ( y2  y3  y4 )   ( y2 n   y2 n 1  y2 n )] a h I  [( y0  y2 n )  4( y1  y3   y2 n 1 )  2( y2  y4   y2 n  )] h4 I  I  M (b  a) Sai số: S 180 Với: M = max  fiv(x) , a  x b 3.2.3 Công thức Gauss 3.2.3.1 Liên hệ hệ tọa độ tổng thể hệ tọa độ địa phương Hay:     x y             x               x y             y        x  1     J        y     J ma trận Jacobian biến đổi toạ độ + Cho phần tử tứ giác tuyến tính:  dxdy   e 1   det J d d 1 1   x  J    y  + Cho phần tử tam giác tuyến tính: 1  dxdy    det J d d e 0 3.2.3.2 Tích phân số Với phần tử tứ giác: 1  1 1 f  , dd   wi w j f  i , j  n n i 1 j 1 Với phần tử tam giác: 1  0  n f  , dd   wi f  i , i i 1  Bảng 1: Điểm tích phân cho phần tử tam giác n i 1/ i 1/ wi 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ Bảng 2: Trọng số điểm tích phân Gauss – Legendre Điểm tích phân  i 0.0000000000  0.5773502692 0.0000000000  0.7745966692  0.3399810 435  0.8611363116 0.0000000000  0.5384693101  0.9061798459  0.2386191861  0.6612093865  0.9324695142 Số điểm tích phân r Một điểm Hai điểm Ba điểm Bốn điểm Năm điểm Sáu điểm Trọng số wi 2.0000000000 1.0000000000 0.8888888889 0.5555555555 0.6521451548 0.3478548451 0.5688888889 0.4786286705 0.2369268850 0.4679139346 0.3607615730 0.1713244924 Chƣơng 4: Giải gần phƣơng trình hệ phƣơng trình phi tuyến 4.1 Giải gần phương trình 4.1.1 Phương pháp dây cung y B x1 = a - (b  a )f (a ) af (b)  bf (a )  f ( b)  f (a ) f ( b)  f (a ) a P X1 O  b A Sai số ước lượng:   x1   f (a).f ( b) f " (x ) max [ f ' (x )] 4.1.2 Phương pháp Newton-Raphson f (x ) Nhiệm : x1 = x0 f ' (x ) Sai số:   xn < f (x n ) m , với: < m < f , ( xn )   x  b 4.2 Giải hệ phương trình phi tuyến u i u i  u i 1  u i  ( x i 1  x i ) x  ( y i 1  y i ) y  i i  v  v  ( x  x ) v i  ( y  y ) v i i i 1 i i 1 i  i 1 x i y i vi ui  u  v i i  y y  xi 1  xi  ui vi ui vi    x y y x  u v  vi i  ui i  x x  yi 1  yi  ui vi ui vi    x  y  y x  Chƣơng 5: Các phƣơng pháp số đại số tuyến tính 5.1 Phương pháp lặp đơn hệ phương trình x ( m )  Bx ( m1)  g  (0) x x n b x Trong đó: (Bx)i = ij j1 j , x(0) cho trước 5.2 Phương pháp lặp Seidel n Giả sử cho hệ: Ax  b  xi = i +  j 1 ij xj với i = 1, 2, , n Lấy xấp xỉ ban đầu x1(0) , x2 (0) , , xn(0) Tiếp theo, giả sử ta biết xấp xỉ thứ k xi(k) theo Seiden, ta tìm xấp xỉ thứ ( k+1) nghiệm theo công thức:  ( k 1)  x1   ( k 1)  x2      xi( k 1)    x ( k 1)  n n  1   j x (jk ) j 1  2   x ( k 1) 21 i 1   i   ij x   j x (jk ) ( k 1) j j 1 n j 2  n  j i ij x (jk ) n 1   n   ij x (jk 1)   nn xn( k ) j 1 NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA HỆ A PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG Chƣơng 6.2.1 Phƣơng pháp xấp xỉ liên tiếp Pica Mục đích phương pháp xây dựng nghiệm cần tìm y= y(x) Từ (6.2.1) ta có: x x x0 x0 x  dy   f (t, y)dt  y(x )  y(x )   f ( t, y )dt x0 x Hay: y( x )  y   f ( t, y)dt (6.2.4) x0 f < K y Để tìm xấp xỉ liên tiếp, (6.2.4) thay y y0, ta có xấp xỉ thứ nhất: Giả sử f(x,y) hàm liên tục theo x,y x y1  y   f ( t , y )dt , x0 x y  y   f ( t , y1 )dt Tương tự có xấp xỉ thứ hai: x0 x y n  y   f ( t , y n1 )dt , với n = 1,2,3,… Tổng quát, ta có: x0 x Như ta có: y(x )  y n (x )  y   f ( t , y n1 )dt x0 lim y n ( x )  y( x ) n  M (KC) n Sai số: y n (x )  y(x )  , f (x, y ) = M K n! Với: x  x < a  ,  b y  y < b   , C =  a ,   M II 6.2.2 Phƣơng pháp Euler y y=f(x) A3 A2 ` Ao A1 x3 xo x1 x2 6.2.3 Phƣơng pháp Runghe - Kutta bậc Xét phƣơng trình vi phân: u’ = f(x , u) O x k  h.f (x i , ui ) k  h.f (x  0.5h, u  0.5k )  i i   ui +1 = ui + (k  2k  2k  k ) k  h.f (x i  0.5h, ui  0.5k ) k  h.f (x i  h, ui  k ) ui  Y (x i )  0(h ) Với sai số: 6.2.4 Phƣơng pháp Adam Giả sử cần giải phương trình vi phân: Y’ = f(x , y), với điều kiện ban đầu: y(x 0) = y0 Cho biến số thay đổi bước h đó; xuất phát từ điều kiện ban đầu Y(x0) = Y0 phương pháp (ví dụ: phương pháp Runghe-Kutta bậc 4), ta tìm giá trị hàm cần tìm y(x): Y = Y(x1) = Y(x0+h), Y2 = Y(x0+2h), Y3 = Y(x0 + 3h) Nhờ giá trị x0 , x1 , x2 , x3 Y0 , Y1 , Y2 , Y3 , ta tính q0, q1, q2, q3 Trong đó: q0 = h.Y0’ = h.f(x0 , y0), q1 = h.f(x1 , y1), q2 = h.f(x2 , y2), q3 = h.f(x3 , y3), sau ta lập bảng sai phân hữu hạn đại lượng y q x xo y yo x1 y1 y yo q qo q0 q1 y1 x2 q y2 q1 q2 y2 q2 2q 3q 2q0 - 3q0 2q1 - x3 y3 q3 - - - - Biết số đường chéo dưới, ta tìm y3 theo công thức Adam sau: y  q3  q2  2q1  3.q0 12 Tiếp ta có: Y4 = Y3 + Y3  q4 = h.f(x4, Y4) Sau viết đường chéo sau: q3 = q4 - q3 , 2q2= q3 - q2 , 3q1 = 2.q2 - 2.q Đường chéo cho phép ta tính Y4 : Y4 = q4 + 1/2q3 + 5/122q2 + 3/83q1 Vì ta có: Y5 = Y4 + Y4 ... 5: Các phƣơng pháp số đại số tuyến tính 5.1 Phương pháp lặp đơn hệ phương trình x ( m )  Bx ( m1)  g  (0) x x n b x Trong đó: (Bx)i = ij j1 j , x(0) cho trước 5.2 Phương pháp lặp Seidel... Phƣơng pháp Adam Giả sử cần giải phương trình vi phân: Y’ = f(x , y), với điều kiện ban đầu: y(x 0) = y0 Cho biến số thay đổi bước h đó; xuất phát từ điều kiện ban đầu Y(x0) = Y0 phương pháp (ví... M (b  a) Sai số: S 180 Với: M = max  fiv(x) , a  x b 3.2.3 Công thức Gauss 3.2.3.1 Liên hệ hệ tọa độ tổng thể hệ tọa độ địa phương Hay:     x y             x    