Phân bố giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập

Phân bố giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập Phân bố giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập Phân bố giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Ngọc Khải PHÂN BỐ GIỚI HẠN CỦA TỔNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Ngọc khải PHÂN BỐ GIỚI HẠN CỦA TỔNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Đặng Hùng Thắng Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình GS TSKH Đặng Hùng Thắng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, quan, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Hà nội, tháng 10 năm 2014 MỤC LỤC Những kí hiệu dùng luận văn Mở đầu Phân phối xác suất hàm đặc trưng 1.1 Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất 1.2 Hàm đặc trưng 1.2.1 Một số tính chất hàm đặc trưng 1.2.2 Một số ví dụ hàm đặc trưng 1.3 Các công thức ngược 1.4 Sự hội tụ dãy hàm phân phối hàm đặc trưng Các phân phối chia vơ hạn 2.1 Định nghĩa tính chất phân phối chia vô hạn 2.1.1 Một số ví dụ phân phối chia vơ hạn 2.2 Biểu diễn tắc hàm đặc trưng chia vô hạn 2.3 Định lí bổ trợ 25 Một số bất đẳng thức phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập 3.1 Hàm tập trung 3.2 Bất đẳng thức hàm tập trung tổng biến ngẫu nhiên độc lập 3.3 Bất đẳng thức giá trị lớn phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập 3.4 Các ước lượng mũ cho phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập Sự hội tụ yếu tới phân phối chia vô hạn 6 13 13 14 18 20 25 25 27 33 37 37 42 50 53 57 4.1 4.2 4.3 Các phân phối chia vô hạn phân phối giới hạn tổng biến ngẫu nhiên độc lập 57 Điều kiện hội tụ yếu tới phân phối chia vô hạn cho trước 70 Các phân phối thuộc lớp L phân phối ổn định 77 Kết luận 87 Tài liệu tham khảo 88 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N R Z BĐT Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực Tập số nguyên Bất đẳng thức MỞ ĐẦU Tác phẩm: "Phân phối giới hạn tổng biến ngẫu nhiên độc lập" hai nhà toán học B.V.Gnedenko A.N.Kolmogorov cơng bố năm 1949 Từ đó, lý thuyết tổng biến ngẫu nhiên độc lập phát triển cách nhanh chóng Cho đến nay, cơng trình nghiên cứu lĩnh vực kết đạt nhiều thành tựu to lớn, đóng vai trị quan trọng khơng thể thiếu học tập, nghiên cứu ứng dụng lý thuyết xác xuất Với lí đó, tơi định chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: Phân bố giới hạn tổng biến ngẫu nhiên độc lập Nội dung luận văn trình bày chương có nội dung tương ứng sau: • Chương 1: Phân phối xác suất hàm đặc trưng Trình bày số khái niệm biến ngẫu nhiên, hàm phân phối, hàm đặc trưng hội tụ dãy hàm phân phối hàm đặc trưng • Chương 2: Các phân phối chia vơ hạn Trình bày định nghĩa, tính chất ví dụ minh họa phân phối chia vô hạn với số kết • Chương 3: Một số bất đẳng thức phân phối giới hạn tổng biến ngẫu nhiên độc lập Trình bày định nghĩa hàm tập trung biến ngẫu nhiên Giới thiệu chứng minh số bất thức phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập • Chương 4: Sự hội tụ yếu tới phân phối chia vơ hạn Trình bày hội tụ yếu tới phân phối chia vô hạn, phân phối thuộc lớp L phân phối ổn định CHƯƠNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG 1.1 Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Cho tập Ω = ∅ Các phần tử Ω gọi điểm biến cố sơ cấp kí hiệu ω (có khơng có số) Tập Ω gọi khơng gian biến cố sơ cấp Cho A tập tập không gian Ω biến cố sơ cấp A thỏa mãn tính chất: (i) Ω ∈ A (ii) Nếu A ∈ A (Ω\A) ∈ A (iii) Nếu A1 , A2 , · · · dãy hữu hạn vô hạn tập chứa A An ∈ A n Tập A gọi σ -đại số biến cố trường Borel biến cố phần tử A gọi biến cố Nhận xét: Nếu A σ -đại số biến cố, ta dễ thấy tập ∅ giao hữu hạn đếm biến cố A chứa A Một hàm khơng âm cộng tính đếm P(A) định nghĩa biến cố A ∈ A chuẩn hóa điều kiện P(Ω) = gọi độ đo xác suất Giá trị P(A) gọi xác suất biến cố A Bộ ba (Ω, A, P) gọi không gian xác suất Một hàm thực X:Ω→R ω → X = X(ω) Cho B ⊂ R Đặt X −1 (B) = {ω ∈ Ω|X(ω) ∈ B} Tập X −1 (B) tập không gian biến cố sơ cấp Ω gọi nghịch ảnh B Nếu X −1 (B) ⊂ A với ∀ tập Borel B ⊂ R hàm X(ω) gọi đo Một hàm thực - hữu hạn - đo được gọi biến ngẫu nhiên Một hàm PX (B) = P({ω : X(ω) ∈ B}) định nghĩa với tập Borel B ⊂ R gọi hàm xác suất biến ngẫu nhiên X Chúng ta sử dụng kí hiệu ngắn gọn P(X ∈ B) thay cho P({ω : X(ω) ∈ B}) Cho (Ω, A, P) khơng gian xác suất mà biến ngẫu nhiên X định nghĩa Biến ngẫu nhiên X sinh không gian xác suất (R, B, PX ) (ở B σ -đại số Borel R) Chúng ta xem xét xác suất P(X ∈ B) B khoảng (−∞; x) chứa điểm y ∈ R thỏa mãn y < x Chúng ta kí hiêu: F (x) = P(X < x) với ∀x ∈ R Hàm F (x) gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Một hàm phân phối có tính chất sau: (i) F (x) hàm khơng giảm liên tục trái (ii) lim F (x) = x→−∞ (iii) lim F (x) = x→+∞ Ngược lại, hàm F (x) có đủ tính chất hàm phân phối biến ngẫu nhiên xác định khơng gian xác suất Chúng ta sử dụng thuật ngữ " Phân phối xác suất biến X " "hàm phân phối biến ngẫu nhiên X " thay cho " hàm xác suất PX (B)" "Hàm phân phối F (x)" Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối rời rạc tồn tập hữu hạn đếm B ⊂ R cho P(X ∈ B) = Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối bước nhảy lấy giá trị dạng a + kh(k = 0, ±1, ±2, ) với xác suất Ở đây, a, k > số Đại lượng h gọi bước nhảy phân phối Nếu khơng có số a1 h1 > h cho giá trị X với xác suất có dạng a1 + kh1 (k = 0, ±1, ±2, ) bước nhảy h gọi lớn Phân phối biến X gọi liên tục với ∀B ⊂ R, (B hữu hạn đếm được) P(X ∈ B) = gọi liên tục tuyệt đối với ∀ tập Borel B có độ đo khơng P(X ∈ B) = gọi kì dị liên tục tồn tập Borel B có độ đo Lebesgue cho P(X ∈ B) = Phân phối biến ngẫu nhiên X gọi gián đoạn hàm phân phối F (x) không liên tục liên tục hàm phân phối F (x) liên tục khắp nơi Phân phối F (x) liên tục tuyệt đối nếu: x p(t)dt , F (x) = ∀x −∞ với p(x) hàm không âm khả tích R Hàm p(x) gọi hàm mật độ phân phối F (x) Bằng định lí tích phân Lebesgue, hàm phân phối F (x) phân tích thành tổng thành phần F (x) = c1 F1 (x) + c2 F2 (x) + c3 F3 (x) (1.1) với ck ≥ 0(k = 1, 3), ci = F1 (x), F2 (x), F3 (x) tương ứng i=1 phân phối rời rạc, phân phối liên tục tuyệt đối phân phối kì dị Điểm x gọi điểm tăng phân phối F (x) F (x + ε) − F (x − ε) > 0, ∀ε > Tập tất điểm tăng hàm phân phối F (x) gọi phổ F (x) Có phân phối đóng vai trị quan trọng, đó: phân phối suy biến, phân phối nhị thức, phân phối poisson rời rạc phân phối thứ tư phân phối chuẩn liên tục tuyệt đối Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối suy biến với ∀c cho P(X = c) = hàm phân phối X thỏa mãn: F (x) = 0, ∀x ≤ c, F (x) = 1, ∀x > c 75 Nếu (A) thỏa mãn, Tn → ta có (x − ank )2 dFnk (x) − Un = (x − an )2 dFnk (x) k |x|