Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

Tuy nhiên trong quá trình tìm cực trị của hàm số các em sẽ gặp những hàm số mà việc xác định dấu của đạo hàm rất phức tạp thì chúng ta sẽ ưu tiên sử dụng quy tắc II để tìm cực trị... H[r]

(1)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Giải trang 18 SGK Tốn Giải tích 12

Áp dụng quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm số sau

a)

2 36 10

y= x + x − x−

b)

2

y=x + x −

c) y x x = +

d) y=x3(1−x)2

e)

1

y= x − +x

1.1 Phương pháp giải

Để giải em cần ơn lại bước tìm cực trị quy tắc

• Bước 1: Tìm tập xác định hàm số

• Bước 2: Tính f '( )x Tìm điểm f '( )x =0 f '( )x khơng xác định

• Bước 3: Lập bảng biến thiên

• Bước 4: Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị 1.2 Hướng dẫn giải

Câu a: Áp dụng quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm số

2 36 10

y= x + x − x−

Xét hàm số:

2 36 10

y= x + x − x−

Tập xác định: D=

Ta có đạo hàm:

6 36

y = x + x−

0

3 x y

x =   =   = −



Với x=2 ta có y=-54 Với x=-3 ta có y=71 Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại x=-3, giá trị cực đại ycđ = y(-3) = 71 Hàm số đạt cực tiểu x = , giá trị cực tiểu yct=y(2) =- 54

Câu b: Áp dụng quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm số

2

y=x + x −

Xét hàm số

2

y=x + x −

Đạo hàm:

4 4 ( 1)

y = x + x= x x +

0

y =  =x

Với x=0 ta có y=-3

(2)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí

Hàm số đạt cực tiểu x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=- Hàm số khơng có cực đại

Câu c: Áp dụng quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm số y x x = +

Xét hàm số y x x = +

Tập xác định: D= \ 0 

2 2

1 ( 1)( 1)

1 x x x

y

x x x

− − +

 = − = =

1

0 ( 1)( 1)

1 x

y x x

x = − 

 =  − + =  

= 

Với x=1 ta có y=2 Với x=-1 ta có y=-2 Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại x=-1, giá trị cực đại ycđ = y(-1) = -2 Hàm số đạt cực tiểu x = 1, giá trị cực tiểu yct = y(1) =

Câu d: Áp dụng quy tắc I, tìm điểm cực trị hàm số

(1 )

y=x −x

Xét hàm số:

(1 )

y=x −x

Đạo hàm: 2

3 (1 ) (1 ) (1 )(3 )

y = x −x − x −x =x −x − x

3

5 x

y x

x =     =  =

  = 

Với x=1 ta có y=0 Với

5

x= ta có 108

3125 y=

Với x=0 ta có y=0 Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại 3,

x= giá trị cực đại 108

5 3125

cd

y = y  =  

Hàm số đạt cực tiểu x=1, giá trị cực tiểu yct =y( )1 =0

(3)

Xét hàm số:

1

y= x − +x

Đạo hàm:

2

x y

x x

−  =

− +

0

2 y =  x− =  =x

Với

2

x= ta có

2 y=

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu

2

x= , giá trị cực tiểu

2

ct

y =y  =   2 Giải trang 18 SGK Toán Giải tích 12

Áp dụng quy tắc II, tìm điểm cực trị hàm số sau

a)

2

y=x − x +

b) y=sin 2x−x

c) y = sinx + cosx

d)

2

y=x −x − x+

Với hàm số dễ dàng xét dấu đạo hàm để lập bảng biến thiên ta thường dùng quy tắc I Tuy nhiên trình tìm cực trị hàm số em gặp hàm số mà việc xác định dấu đạo hàm phức tạp ưu tiên sử dụng quy tắc II để tìm cực trị

Trước giải 2, em cần nắm bước đề tìm cực trị quy tắc 2:

• Bước 1: Tìm tập xác định hàm số

• Bước 2: Tính f '( )x Tìm nghiệm xi phương trình f '( )x =0

• Bước 3: Tính f ''( )x f ''( )xi suy tính chất cực trị điểm xi Chú ý: f ''( )xi 0= ta phải dùng quy tắc để xét cực trị xi

2.2 Hướng dẫn giải

Câu a: Áp dụng quy tắc II, tìm điểm cực trị hàm số

2

y=x − x +

Xét hàm số

2

y=x − x +

Tập xác định D=

Đạo hàm

3

4 4 ( 1)

y = x − x= x x −

0

1

x

y x

x

=    =  = −

 = 

2

12

(4)

Ta có

+ Với x = 0: y''(0) = -4 < nên hàm số đạt cực đại x=0, giá trị cực đại yCĐ = y(0) = + Với x = -1 x =

y''(-1)=y''(1)=8>0 nên hàm số đạt cực tiểu x= 1, giá trị cực tiểu

( )1 ( )1

ct

y =y − =y =

Câu b: Áp dụng quy tắc II, tìm điểm cực trị hàm số y=sin 2x−x

Xét hàm số: y=sin 2x−x

y' = 2cos2x -

1

0 2 ,

2

y = cos x=  x=  + k   =  +x  k k

Đạo hàm cấp hai: y'' = -4sin2x Ta có

+ Với

6 x= + k

4sin

6

y +k= −  +k 

   

2

= − 

Nên hàm số đạt cực đại điểm

6 x= + k

Giá trị cực đại

sin

3

CD

y =  +k − − k

 

3

,

2 k k

 

= − − 

+ Với

6 x= − + k

4sin

6

y − +  k= − − + k 

   

2

= 

Nên hàm số đạt cực tiểu điểm

6 x= − + k

Giá trị cực tiểu

sin

3

ct

y = − + k + − k

 

3

,

2 k k

 

= − + − 

Câu c: Áp dụng quy tắc II, tìm điểm cực trị hàm số y = sinx + cosx Xét hàm số y = sinx + cosx

Đạo hàm: y =cosx−sinx

0 sin cos

tan ,

4

y x x

x x  k k

 =  =

(5)

Đạo hàm cấp 2: y''=-sinx-cosx + Với k=2m m(  ) ta có:

2 sin cos

4 4

y + m= −  − 

 

2

= − 

Vậy hàm số đạt cực đại điểm

2 ,

4

x= + m m

+ Với k=2m+1(m ) ta có:

(2 1) sin cos

4 4

y + m+ =  + 

 

2

= 

Vậy hàm số đạt cực tiểu điểm

(2 1) ,

x= + m+  m

Câu d: Áp dụng quy tắc II, tìm điểm cực trị hàm số y=x5−x3−2x+1

Xét hàm số

2

y=x −x − x+

Đạo hàm:

5

y = x − x −

4

0

y =  x − x − =

1

x x

 =  =  (Đặt

0,

t=x  giải phương trình bậc hai tìm x2)

Đạo hàm cấp hai:

20

y = x − x

Với x = ta có: y''(1) = 14 > nên hàm số đạt cực tiểu x = 1, giá trị cực tiểu yct = y(1) =

-1

Với x = -1 ta có: y''(-1) = -14 < hàm số đạt cực đại x = -1, giá trị cực đại ycđ = y(-1) =

Chứng minh hàm số y= x khơng có đạo hàm x = đạt cực tiểu

điểm

3.1 Phương pháp giải • Tính ( ) ( )

0

0 lim

x x

f x f x x x

→

−

− suy không tồn

• Chứng minh f x( ) f(0)với xR

(6)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0

2

0

lim lim lim

0

lim lim

0

1

lim lim

0

lim lim

0

x x x

x x

x x

y f x x

x x

f x f x

x x x

f x f x

x x

x

x x

f x f f x f

x x

+ + +

− −

+ −

→ → →

→ →

 



= = = 

− 

 −

= = = +

−

− = −

−

− −

= = = −

− − −

− −

 

− −

Không tồn đạo hàm hàm số cho x =

Dễ thấy f x( )= x 0 với xR f(0)=0 nên x=0 điểm cực tiểu hàm số 4 Giải trang 18 SGK Tốn Giải tích 12

Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số

2

y=x −mx − x+ ln ln có điểm cực đại điểm cực tiểu

• Hàm số bậc ba:

( 0)

y=ax +bx +cx+d a có cực đại cực tiểu

phương trình y'=0 ln có nghiệm phân biệt (x1;x2)

• Khi y' ln đổi dấu qua điểm (x1;x2)

• Ta có: y =3ax2+2bx c+

• Xét phương trình:

3ax +2bx c+ =0

• Biệt thức: 'y b 3ac

 = −

• Như với 4, ta cần chứng minh

'y b 3ac

 = −  với m 4.2 Hướng dẫn giải

Áp dụng, ta có lời giài chi tiết sau Xét hàm số

2

y=x −mx − x+

3 2

y = x − mx− , ' 6 0,

y m m

 = +   nên phương trình y’ = ln có hai nghiệm phân biệt y’ đổi dấu qua nghiệm

Vậy hàm số ln có cực đại cực tiểu

Tìm a b để cực trị hàm số

2

3

y= a x + ax − x b+ số dương

và

x = − điểm cực đại

Đây tốn tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Với kiện đề bài, ta nhận định:

• Nếu a = 0, hàm số cho trở thành hàm số bậc khơng có cực trị

• Nếu a khác 0, hàm số cho hàm số bậc ba, ta áp dụng quy tắc để tìm tham số a b theo yêu cầu toán

(7)

Khai thác kiện đề cho ta có lời giải chi tiết sau - Với a = hàm số trở thành y = - 9x+b cực trị

- Với a0 ta có: 2

5

y = a x + ax− 2

9

0

1

x a

y a x ax

x a

 = − 

 =  + −  

 = 

+ Với a < ta có bảng biến thiên:

Theo giả thiết 0

9

x = − điểm cực đại nên

9 a

a= −  = −

Giá trị cực tiểu số dương nên

9

(1)

5 CT

y y y

a

 

= − = 

 

2

5 9

2

3 5 b

   

  −  +  − − + 

   

36 b  

+ Với a < ta có bảng biến thiên

Vì

x = − điểm cực đại nên 81

5a a 25

− = −  =

Giá trị cực tiểu số dương nên

1

0

CT

y y b

a a a a

 

=  = + − +   

400 243 b  

Vậy giá trị a, b cần tìm là:

9 81

5 25

36 400

5 243

a a

b b

 = −  =

 

 

 

   

 

 

Xác định giá trị tham số m để hàm số

2

1

x mx

y

x m

+ +

=

(8)

Với dạng tập ta ưu tiên sử dụng quy tắc để giải, sau thử lại tham số tìm xem u cầu tốn có thỏa mãn hay khơng

Tuy nhiên rơi vào trường hợp sau

• Thứ nhất: y''(x0)=0 với m, không dùng quy tắc phải chuyển qua dùng

quy tắc

• Thứ hai: Tính đạo hàm cấp phức tạp, nên ưu tiên sử dụng quy tắc 6.2 Hướng dẫn giải

Xét hàm số

2

1

x mx

y

x m

+ +

= +

Tập xác định: D=  −m

( )

2

2 2x 2mx m

y

x m

+ + −

 =

+

Nếu hàm số đạt cực đại x =

(2)

y = m + m+ =

3 m m

= −    = −



- Với m = -1, ta có :

2 1

x x

y x

− + =

−

2 2

( 1)

x x

y x

−  =

− 0

2 x y

x =   =   =



Vậy m = -1 hàm số không đạt cực đại x = - Với m = -3, ta có:

2

3

x x

y x

− +

= −

2

6

( 3)

x x

y x

− +

 = −

2

4 x y

x =   =   =



Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	447,74 KB