Toán 12 Chương 1 Bài 2: Cực trị của hàm số

Qua bài học này giúp các em nắm được: • Biết các khái niệm cực đại, cực tiểu.. • Biết phân biệt các khái niệm lớn nhất, nhỏ nhất[r]

(1)

Website: www.eLib.vn | Facebook: eLib.vn

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 Tóm tắt lý thuyết

1.1 Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a ; b) điểm x0 ∈ (a ; b)

• Nếu tồn số h > cho f(x) < f(x0), ∀x ∈ (x0 - h ; x0 + h), x x0 ta nói hàm số f đạt cực đại x0

• Nếu tồn số h > cho f(x) > f(x0), ∀x ∈ (x0 - h ; x0 + h), x x0 ta nói hàm số f đạt cực tiểu x0

1.2 Định lí

Cho hàm số y = f(x) liên tục khoảng K = (x0 - h ; x0 + h) (h > 0) có đạo hàm K K {x }0

• Nếu ( ) ( )

( ) ( )

0

0 | ;

f x x h x

f x x x h

   −



 

  +

 x0 điểm cực đại hàm số

• Nếu ( ) ( )

( ) ( )

0

0 | ;

f x x h x

f x x x h

   −



 

  +

 x0 điểm cực tiểu hàm số

1.3 Định lí

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng K = (x0 - h ; x0 + h) (h > 0) • Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > x0 điểm cực tiểu hàm số f

• Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < x0 điểm cực đại hàm số f 1.4 Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1

• Tìm tập xác định

• Tính f '(x) Tìm điểm f '(x) f '(x) khơng xác định • Lập bảng biến thiên

• Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị

Quy tắc 2

• Tìm tập xác định

• Tính f '(x) Tìm nghiệm xi phương trình f '(x)=0 • Tính f ''(x) f '' (xi) suy tính chất cực trị điểm xi (Chú ý: f ''(xi)=0 ta phải dùng quy tắc để xét cực trị xi 2 Bài tập minh hoạ

2.1 Bài tập

Tìm điểm cực đại, cực tiểu hàm số sau:

3

y= x −x − x+

Lời giải:

Xét hàm số:

3

(2)

Cách 1:

Hàm số có TXĐ: D=

2

2 y =x − x−

1

3 x y

x

= − 

 =   =



Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại x = -1, giá trị cực đại tương ứng y(-1) = Hàm số đạt cực tiểu x=3, giá trị cực tiểu tương ứng 23 CD y = −

Cách 2:

Hàm số có TXĐ: D=

2

2 y =x − x−

1

3 x y

x

= − 

 =   =



y '' = 2x -

( )1

y − = −  suy hàm số đạt cực đại x = -1, giá trị cực đại tương ứng y(-1)=3

( )3

y =  suy hàm số đạt cực tiểu x=3, giá trị cực tiểu tương ứng 23

3 CD y = − 2.2 Bài tập

Tìm m để hàm số ( )

2

y= m+ x + x +mx− có cực trị

Lời giải:

Với m = -2 hàm số trở thành

3

y= x − x− có hai cực trị (1) Với m −2 ta có: y =3(m+2)x2+6x m+

Hàm số có hai cực trị phương trình y' = có hai nghiệm phân biệt

Điều xảy khi: ( )

3 m 2m m 2m 3 m 1.(2)



(3)

Từ (1) (2) suy hàm số có hai cực trị khi: m − −  −( 3; 2) ( 2;1) 3 Luyện tập

3.1 Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm cực trị hàm số sau:

a)

2

y= − x + x−

b)

3 24 y=x − x − x+

c)

5

y=x − x +

d)

( 1) (5 ) y= x+ −x

Câu 2: Tìm cực trị hàm số sau:

a) 2

8 x y

x

+ =

+

b)

2

x x

y

x

− + =

− c)

2

5

x x

y x

+ − =

+

Câu 3: Tìm cực trị hàm số sau: a)

2

10 x y

x

= −

b)

3

6 x y

x

= −

Câu 4: Tìm cực trị hàm số sau: a) y=sin 2x

b) y=cosx−sinx

c)

sin y= x

Câu 5: Xác định giá trị m để hàm số sau có cực trị:

2

y=x + mx +mx− 3.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm ( ) 4( )( ) (3 )2

1

f x =x x− −x x− Hỏi hàm số f(x) có điểm cực trị?

A B C D

Câu 2: Gọi A B hai điểm cực trị đồ thị hàm số ( )

3

(4)

A AB=2 B AB=4 C AB=

D

2 AB=

Câu 3: Biết M( ) (0;5 ,N 2; 11− ) điểm cực trị đồ thị hàm số f x( )=ax3+bx2+cx+d Tính giá trị hàm số x=2

A f(2) = B f(2) = -3 C f(2) = -7 D f(2) = -11

Câu 4: Hàm số

5

y=x − x + có điểm cực đại? A B C D Câu 5: Xác định giá trị tham số

3

y=x − x +mx− có cực trị: A m = B (m +3; )

C m < D m > 4 Kết luận

Qua học giúp em nắm được: • Biết khái niệm cực đại, cực tiểu

• Biết phân biệt khái niệm lớn nhất, nhỏ