Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL 2r và một ứng dụng vào giải phương trình hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN QUYNH NHÓM CON HỮU HẠN CỦA NHÓM PGL(2, R) VÀ MỘT ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN QUYNH NHÓM CON HỮU HẠN CỦA NHÓM PGL(2, R) VÀ MỘT ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm 1.2 Đa thức đặc trưng chéo hóa ma trận Nhóm hữu hạn nhóm PGL(2, R) 11 2.1 Nhóm xyclic hữu hạn PGL(2, R) 11 2.2 Nhóm hữu hạn nhóm PGL(2, R) 16 Ứng dụng vào phương trình hàm 22 3.1 Phương trình hàm nhóm phép biến đổi phân tuyến tính 22 3.2 Bài tập vận dụng 27 3.2.1 Phương trình liên kết với nhóm xyclic Cn 27 3.2.2 Phương trình liên kết với nhóm Diheral Dn 35 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS Đoàn Trung Cường, trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới thầy, giáo khoa Tốn - Tin, Phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, bạn học viên lớp Cao học Toán K7D trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, 2015 Vũ Văn Quynh Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Mở đầu Phương trình hàm dạng tốn hay quan trọng kì thi học sinh giỏi Đề thi lời giải phương trình hàm phong phú, liên quan đến nhiều khía cạnh đại số, giải tích, số học, tổ hợp Mục đích luận văn xét lớp phương trình hàm liên kết với phép biến đổi phân tuyến tính có bậc hữu hạn Ta bắt đầu ví dụ: Ví dụ (Putnam 1971) Tìm tất hàm f : R\{0, 1} → R cho   x−1  = + x, ∀x ∈ R\{0, 1} f (x) + f  x Để giải phương trình hàm này, ta xét ánh xạ g : R\{0, 1} → R\{0, 1} xác định g(x) = x−1 Khi x g(x) − g (x) = g(g(x)) = g (x) = g(g (x)) = g(x) − = x−1 − − x−1 x−1 x − x−1 x =− =− ; x−1 −x −1 = x Gọi id ánh xạ đồng R\{0, 1} G = {id, g, g } với phép hợp thành ánh xạ nhóm xyclic cấp Kí hiệuf1 = f, f2 = f ◦ g, f3 = f ◦ g , ta có f1 (x) + f2 (x) = + x với x ∈ R\{0, 1} Thay x g(x) g (x), ta có hai phương trình sau: f (g(x)) + f (g (x)) = + g(x), hayf2 (x) + f3 (x) = + f (x); f (g (x)) + f (x) = + g (x), hayf3 (x) + f1 (x) = + g (x) Vậy ta có hệ phương trình tuyến tính theo ba ẩn f1 , f2 , f3    f1 + f2 = + x       x−1 f2 + f3 = + x     −1     f3 + f1 = + x−1 Giải hệ phương trình cụ thể cho ta f1 (x) = x3 − x2 − x3 − x2 − hay f (x) = 2x(x − 1) 2x(x − 1) Hàm số thỏa mãn phương trình hàm ban đầu, nghiệm mong muốn Tổng quát, cho D ⊆ R miền g1 , , gn : D → D hàm số liên tục cho G = {id, g1 , , gn } với phép hợp thành ánh xạ nhóm hữu hạn Cho hàm a0 , a1 , , an , b : D → R Chúng ta quan tâm đến phương trình hàm sau a0 f + a1 f ◦ g1 + · · · + an f ◦ gn = b (1) Để tìm hàm f thỏa mãn phương trình này, ta thay x id, g1 (x), g2 (x), , gn (x) Khi đó, ta có hệ phương trình tuyến tính với ẩn f, f ◦ g1 , f ◦ g2 , , f ◦ gn Khi ta giải hệ này, phương pháp tiêu chuẩn đại số tuyến tính phương pháp Cramer Trong lời giải phương trình (1) cấu trúc nhóm tập hợp phép biến đổi g1 (x), , gn (x) yếu tố định Trong phạm vi luận văn quan tâm phương trình hàm (1) cho nhóm hữu hạn gồm phép biến đổi phân tuyến tính Các nhóm đẳng cấu với nhóm hữu hạn nhóm PGL(2, R), để mơ tả rõ phương trình hàm (1), chúng tơi mơ tả cấu trúc tất nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính xạ ảnh PGL(2, R) Các kết thông tin luận văn viết dựa vào thảo báo "Functional equations and finite groups substitutions" Mihály Bessenyei, American Mathematical Monthly 2010, báo "Finite subgroups of PGL(2, R) and functional equations" Đoàn Trung Cường Luận văn chia thành ba chương với nội dung sau: Chương 1: Chương trình bày số kiến thức nhóm ma trận cần thiết cho tính tốn nhóm PGL(2, R) chương sau Chương 2: Nhóm hữu hạn PGL(2, R) Trong chương mơ tả cấu trúc tất nhóm hữu hạn nhóm PGL(2, R) Kết chương Mệnh đề 2.1.1 Định lý 2.2.3 khẳng định nhóm hữu hạn nhóm PGL(2, R) nhóm xyclic Cn nhóm nhị diện Dn Hơn phần tử sinh nhóm mơ tả cụ thể Chương 3: Ứng dụng vào phương trình hàm Từ kết chương 2, xây dựng phương trình hàm cụ thể gắn với nhóm nhóm PGL(2, R) Các ví dụ dùng tập cho học sinh phổ thông thuộc diện khá, giỏi Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Vũ Văn Quynh Chương Kiến thức chuẩn bị Chương giới thiệu kiến thức nhóm sở áp dụng cho chương sau Nội dung bao gồm định nghĩa, tính chất nhóm, nhóm xyclic, nhóm Diheral, nhóm đối xứng, nhóm thay phiên, kiến thức ma trận, điều kiện để ma trận chéo hóa Các kiến thức áp dụng vào việc hỗ trợ xác định nhóm hữu hạn nhóm PGL(2, R) Chương 1.1 Nhóm Mục giới thiệu kiến thức nhóm nêu Định nghĩa 1.1.1 Cho G = ∅ với phép tốn ”.” : G × G → G thỏa mãn tính chất (i) Kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), ∀a, b, c ∈ G; (ii) Tồn phần tử đơn vị e ∈ G thỏa mãn a.e = e.a = a, ∀a ∈ G; (iii) Tồn phần tử nghịch đảo: ∀a ∈ G, ∃b ∈ G : a.b = b.a = e, kí hiệu b = a−1 Khi đó, G với phép tốn ”.” lập thành nhóm, ta kí hiệu (G, ) hay ngắn gọn G Nhóm (G, ) gọi nhóm giao hốn (hay nhóm Abel) a.b = b.a, ∀a, b ∈ G Chú ý 1.1.2 Cho (G, ) nhóm, (i) Phần tử đơn vị (ii) ∀a ∈ G phần tử nghịch đảo a Định nghĩa 1.1.3 Giả sử (G, ) nhóm, H = ∅, H ⊆ G nhóm G (H, ) nhóm Mệnh đề 1.1.4 Giả sử (G, ) nhóm, H = ∅, H ⊆ G Các mệnh đề sau tương đương: (i) (H, ) nhóm nhóm (G, ) (ii) ∀a, b ∈ H : a.b ∈ H, a−1 ∈ H (iii) ∀a, b ∈ H, a.b−1 ∈ H Định nghĩa 1.1.5 Giả sử G nhóm với đơn vị e a ∈ G Nếu am = e, với m > 0, ta nói a có cấp vơ hạn Trái lại số nguyên dương m nhỏ cho am = e gọi cấp a, kí hiệu ord(a) Kí hiệu |G| số phần tử G Nếu G có hữu hạn phần tử ta nói G có cấp |G| hữu hạn hay G nhóm hữu hạn Nếu G có vơ hạn phần tử ta nói G có cấp vơ hạn hay nhóm G vơ hạn Trong phần ta xét số nhóm đặc biệt nhóm xyclic, Diheral, nhóm đối xứng, Định nghĩa 1.1.6 G nhóm xyclic tồn phần tử a ∈ G cho với phần tử b ∈ G, có biểu diễn am = b với m ∈ Z Khi a gọi phần tử sinh G Kí hiệu G = a Giả sử G = a nhóm xyclic hữu hạn có cấp n Khi |G| = n = ord(a) G = {e, a, a2 , , an−1 }, ta kí hiệu nhóm Cn Với nhóm xyclic G = a ta có |G| =ord(a) Do cấp G số tự nhiên n nhỏ cho an = e Xét đa giác n cạnh Pn với n ≥ Gọi a phép quay mặt phẳng xung quanh tâm Pn góc theo chiều kim đồng hồ 2π n, b phép đối xứng qua đường thẳng qua tâm đỉnh Pn Mệnh đề 1.1.7 Tất phép đối xứng Pn (tức phép biến đổi đẳng cự mặt phẳng biến Pn thành nó) liệt kê sau e, a, a2 , , an−1 , b, ab, , an−1 b Chúng lập thành nhóm, kí hiệu Dn gọi nhóm Diheral cấp 2n Ta có Dn = a, b| an = e, b2 = e, (ab)2 = e Giả sử T tập hợp đó, ta dễ dàng kiểm tra lại tập S(T ) tất song ánh T với phép hợp thành ánh xạ lập thành nhóm, với phần tử đơn vị S(T ) ánh xạ đồng idT T , phần tử nghịch đảo α ∈ S(T ) ánh xạ ngược α−1 Định nghĩa 1.1.8 Nhóm S(T ) gọi nhóm đối xứng tập T Mỗi phần tử S(T ) gọi phép T Đặc biệt, T = {1, 2, , n} S(T ) kí hiệu Sn gọi nhóm đối xứng n phần tử Ta có (i) Sn nhóm hữu hạn |Sn | = n! = 1.2 n (ii) D3 ∼ = S3 (iii) n = Dn Sn (do chúng có số phần tử khác nhau) Xét nhóm đối xứng Sn Với n ≥ 2, ta đặt ∆n = 1≤i