Đang tải... (xem toàn văn)
TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM, BÀI GIẢNG PPT CÁC MÔN CHUYÊN NGÀNH Y DƯỢC HAY NHẤT CÓ TẠI “TÀI LIỆU NGÀNH Y DƯỢC HAY NHẤT” ;https:123doc.netusershomeuser_home.php?use_id=7046916. TÀI LIỆU 26 ĐỀ THI MÔN TOÁN GIẢI TÍCH (có giải chi tiết tất cả các đề) DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC Y DƯỢC VÀ CÁC TRƯỜNG KHÁC, GIÚP SINH VIÊN HỆ THỐNG, ÔN TẬP VÀ HỌC TỐT KHI HỌC TÀI LIỆU 26 ĐỀ THI MÔN TOÁN GIẢI TÍCH
-1- ĐỀ 11: Câu 1: Vẽ khối giới hạn x y z y , y x z Câu 2: Trên mặt phẳng x y z tìm điểm cho tổng khoảng cách từ điểm hai mặt phẳng x 3z y 3z nhỏ Xét hệ: x y x 3z (x,y,z)=(3,-1,1) y 3z Điểm (3,-1,1) thuộc mặt phẳng nên tổng khoảng cách từ điểm tới hai mặt x 3z y 3z khoảng cách nhỏ (3n 1)! Câu 3: : Khảo sát hội tụ chuỗi số 3 n 1 n Bài giải: an1 3n(3n 1)(3n 2) 27 n , chuỗi phân kỳ an (n 1) (5)n ( x 2) n Câu 4: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n n 1 (2n 1) n Bài giải: (5)n ( x 2) n Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n = n n 1 n 1 (2n 1) n lim n | n | lim n n Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 5( x 2)2 5( x 2)2 3 5( x 2)2 3 n (1)n hội tụ tuyệt đối (2n 1) n miền hội tụ: 2 3 x 2 5 Câu 5: Tính tích phân kép I hạn 1 x 1,0 y y x dxdy , D miền phẳng giới D y f(x)=0 f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x^2 f(x)=1 1.5 0.5 x -1 -0.5 0.5 Bài giải: Chia D thành phần: D1 phần y x (phía Pparrabol) D2 phần y x (phía Parabol) I y x dxdy x ydxdy dx y x dy dx x ydy 1 1 D1 D2 x2 2 x2 2 Ta làm giảm nhẹ tốn cách nhận xét D đối xứng qua oy hàm f(x,y) chẵn theo biến x nên I lần tích phân nửa bên phải miền D làm tương tự Câu 6: Tính tích phân bội ba I y z dxdydz , V vật thể giới V hạn z x y , x y 4, z x y Bài giải:: 2 2 D : x2 y -30 2 x r cos Đổi sang toạ độ trụ: y r sin V 0 r z z 2 r z r 2 I 2 r 2 d dr 0 r r (r sin z )dz 24 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I (2 x y)dydz , với S phần mặt z x y bị cắt S mặt z , phía theo hướng trục Oz Bài giải: Cách 1: DOyz : z 4 z y2 2 y y z Chia S làm phần: S1: phía trước mp(0yz) x z y pháp vecto tạo với ox góc tù S2: phía trước mp(0yz) x z y pháp vecto tạo với ox góc nhọn Do ta có: I (2 z y y )dydz (2 z y y )dydz D D dy 2 y2 2 z y y dz dy 2 y2 2 z y y dz 16 Các em làm đơn giản tốn từ đầu cách: Nhận xét S đối xứng qua oyz hàm x(y,z)=y chẵn theo x x(y,z)=2x lẻ theo x nên ta có: ydydz S xdydz 2 xdydz S với S1 nửa mặt S phía trước S1 Khi đó: I 2 z y dydz 16 D Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị đưa tích phân đường loại Cách 3: Thêm vào phần mặt z=4 dùng công thức O-G -4- Cách nhanh hay cách Các em tự làm cách sau (dể đừng lo) ĐỀ 12 Câu 1: Tính f x' (1,1) hàm f ( x, y) x2 y biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến Bài giải: f x (1,1) f 'x (1,1) Mặt phẳng y=1 cắt f ( x, y ) tạo thành đồ thị C1 Tiếp tuyến C1 điểm M(1,1, ) có hệ số góc là: f 'x (1,1) Câu 2: Tìm gtln, gtnn f ( x, y ) x3 y 3xy miền x 2, 1 y Bài giải: f 'x ( x, y ) x y =0 f ' y ( x, y) y 3x =0 x=y=1 x=0 => f ( y) y3 , y [1, 2] max 8, 1 ; x=2 => f ( y) y3 y 8, y [1, 2] max 13, f '( x) 3x vô nghiệm y=-1 => f ( x) x3 3x ; y=2 => f ( x) x3 x, x (0, 2) ; f '( x) 3x => x f 2, Max f=13 đạt (2,-1), f =-1 đạt (0,-1) (1)n n n 1 n Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi số: -5- Bài giải: lim | un | => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần n Câu 4: Tìm bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa n 1 (2n 1)( x 3)n 3n3 n ln n Bài giải: lim n un x n Để chuỗi hội tụ => x => x (1) n (2n 1) x=2 => un 3n3 n ln n (2n 1) x=4 => un 3n n ln n 2 x4 3 (1) n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz 3n1/2 ln n phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân 3n ln n 1/2 Câu 5:Tính tích phân kép I max x, y dxdy D miền phẳng giới hạn D x 4, y Bài giải: Trên miền D1 max(x,y)=y, miền D2 max(x,y)=x Do I max x, y dxdy ydxdy xdxdy D D1 4 x x 0 dx ydy dx xdy D2 128 -6- Câu 6: Tính tích phân bội ba I xdxdydz , V vật thể giới hạn V x y z 0, x y z Bài giải: 0 2 y r cos Đổi sang toạ độ trụ z r sin V 0 r 2 2 x x 2 I d dr 0 2 r z r r2 rxdx 2 r 7 12 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I x3dydz y 3dxdz z 3dxdy với S mặt phía S ngồi vật thể giới hạn x z y , y Bài giải: Áp dụng công thức O-G: 2 I x3dydz y 3dxdz z 3dxdy 3 ( x y z )dxdydz S V z r cos 0 2 Đổi sang toạ độ trụ: x r sin V 0 r y y r y 2 1 2 d rdr (r y )d y d (r r )rdr 3 10 0 r 0 Các em đổi sang toạ độ cầu để tính tích phân ĐỀ 13 Câu 1: Tính f y' (0,1) hàm f ( x, y ) x y biểu diễn hình học đạo hàm riêng hệ số góc tiếp tuyến Tương tự câu đề 12 Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z ( x y )e xy miền 2 x y Bài giải -7- uv x 2 u Đặt v R y u v z ue u2 u v2 u2 v2 ue e m in f f 2 2e [-2,1] Xét f u ue max f f 1 e [-2,1] Vậy max z =2e đạt (u,v)=(1,0) hay (x,y)=(1/2,1/2) max z =-4e4 đạt (u,v)=(-2,0) hay (x,y)=(-1,-1) Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi số n 1 (1) n n (1)n Bài giải 1: Có em giải sau: (1) n n (1)n (1) n n (1)n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz n Các em nhận xét xem hay sai? Bài giải 2: un -8- un Có: Vì n 1 1 n n 1 n n 1 n n 1 1 n hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz 1 n 1 n2 n Câu 4: Tìm chuỗi Taylor f ( x) Bài giải f ( x) n n 1 n 1 n n phân kỳ chuỗi phân kỳ n2 2x , x0 tìm miền hội tụ chuỗi x 5x 2x x 5x x x 2 Đăt u=x-1 f ( x) 9 u u 2( u 1) u 2( u 1) u 2 u x n n 7 u 7 x 1 n 0 n 0 n 0 n 0 n n n n 1 x 1 n 0 Câu 5: Tính tích phân kép I xy dxdy , D miền phẳng giới hạn D x y 2 Bài giải Vì hàm dấu tích phân hàm chẵn theo x,y miền D đối xứng qua trục ox,oy nên ta cần tính tích phân góc phần thứ I gấp lần lên 2 I xy dxdy d r 3cos sin dr D Câu 6: Tính thể tích vật thể giới hạn x y 15 xy, z x y, z ( x 0) -9y r(t)=sqrt(sin(2*t)) 0.8 0.6 0.4 0.2 x -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 Bài giải x r cos r sin Đổi sang toạ độ trụ: y r sin Các mặt viết lại là: z r cos sin z z xy nên y>0 0, 2 0 Miền viết lại toạ độ trụ là: V 0 r sin 2 0 z r sin cos sin 2 r sin cos V d rdr dz sin sin cos d o o Vì x>0 x y Đặt t sin cos sin 2 t dt (sin cos )d t 1 t 1 1 V 1 1 t dt Đặt: t sin u V 2 cos udu 2 - 10 - Câu 7: Tính tích phân mặt loại I xds với S phần mặt phẳng x y z S nằm hình cầu x y z 2 Bài giải Vì có tính đối xứng nên I xds yds zds = S S S 2 ( x y z )ds 2ds = S 3 S S Hình cầu có tâm I(0,0,0) 0002 d( I , ) 3 S (22 ( ) ) 3 32 Vậy I ĐỀ 14 Câu 1: Vẽ khối giới hạn y x , y x , z 0, z x Các em tự vẽ Câu 2: Một hộp (hình hộp chữ nhật, khơng có nắp phía trên) làm từ 12m2 bìa carton Tìm thể tích lớn hộp Bài giải Gọi x chiều rộng, y chiều dài, z chiều cao (m) Ta có: 2xz+2yz+xy=12 V=xyz x, y, z Ta cần tìm MaxV: Cách 1: Xét hàm L x, y, z xyz xz yz xy L'x yz z y ' x 2z 1/ Ly xz z x ' y 2z x y Lx xy x y xz yz xy 12 z xz yz xy 12 Hàm có Điểm dừng P(2,2,1) Tính đạo hàm riêng cấp P ta có: d L P dxdy 2dxdz 2dydz Lấy vi phân vế 2xz+2yz+xy=12 P suy ra: dx+dy+2dz=0 - 29 - ĐỀ 20 Câu 1: Tìm vi phân cấp hai hàm z z ( x, y ) hàm ẩn xác định từ phương trình x y z ez Bài giải Cách 1: x y z ez x y z ez 1 ' z x z z 1 e e 1 z' y ez 1 z ' z z ' e z x e xx ez 1 ez 1 ez ez z ''yy d z ez 1 ez 1 ' ez zy ez 1 Cách 2: dx dy dz e z dz dz dx dy 2 dx dy ez 1 d (dx dy dz ) d (e z dz ) e z dz e z dx dy ez d z e dz e d z d z ez ez ez 1 ez 1 z z 2 dx dy 2 Các em cần hiểu rõ vi phân, Chú ý hàm biến làm cách Câu 2: Tìm cực trị hàm f ( x, y, z ) x y 3z với hai điều kiện x y z x y Bài giải Xét: L x, y, z x y 3z x y z x y - 30 - L'x 2 x 3 3 ' 1/ Ly y 1/ L'z P1 x P2 x 2 x y z y 5 y x y 29 z 7 z d L x, y, z 2 dx dy Lấy vi phân vế phương trình x y xdx ydy Suy tai P1,2: dy dx vào ta được: d L x, y, z dx dy 58 dx 25 d L P1 Vậy f đạt cức đai P2 cực tiểu P1 d L P 2n Câu 3: Tính tổng n 1 n n 12 Bài giải 2n n 1 n n 12 1 1 n 1 n n 1n 1 ( x 2)2n n 1 n n 1 Câu 4: Tìm Miền hội tụ chuỗi luỹ thừa Bài giải Đặt X=(x+2)2 1 n 1 n n 1 S n Xn un X n n 1 n | un | R Tại X=1 S n 1 1 n n n 1 Vậy miền hội tụ: M(x)=[-3,1] hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz - 31 - Câu 5: Tính tích phân kép I ( x y )dxdy , D miền phẳng giới hạn D đường astroid x a cos t , y a sin t , t / , trục tọa độ Bài giải Đổi biến: x ar cos y ar sin J a cos3 3a cos sin a sin 3a sin cos 3a sin cos 2 a sin 2 13 I d sin 2 ar cos3 ar sin dr 04 a3 sin 2 cos3 sin d Câu 6: Tính tích phân đường loại I ( x y)dl , C cung bên phải đường C Lemniscate có phương trình tọa độ cực r a cos 2 , a Bài giải y r(t)=2sqrt(cos(2t)) 0.8 0.6 0.4 0.2 x -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2.2 2.4 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 I r cos sin r r '2 d Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I yzdydz zxdxdz xydxdy , với S biên vật S thể giới hạn x y z 1, x 0, y 0, z , định hướng phía Bài giải Mặt S kín nên ta dùng O-G suy tích phân khơng Bài tập ôn cuối học kỳ hai Các phần tập trung ôn bài: em phải nắm vững kỹ thuật xử lý dạng toán sau: Đạo hàm vi phân hàm thường Cực trị tự Đổi biến tọa độ cực kép Tính đường tham sơ hóa Cơng thức Green,tp không phụ thuộc đường Công thức Gauss cho mặt 2(tức phải có bội 3) Tổng chuỗi Miền hội tụ Bỏ đường loại Các phần khác có chiếm tỷ lệ thấp(hàm hợp, hàm ẩn, cực trị có điều kiện, mặt 1, stokes ) ĐỀ 1 Cho hàm hai biến f ( x , y ) x xy x , tính d 2f (1, 5) Tìm cực trị hàm số f ( x , y ) x x 2y Khảo sát hội tụ chuỗi n 1 n 1 2n Tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa n 1 Tính tích phân đường: I = Tính tích phân I 2n 3n (1)n ( x 2)2n n 1 sin xdx ydy C : y cos x , từ n (0,1) , ,0 đế C | x y | dxdy , D miền phẳng: x y 4, y x D Cho S phía ngồi mặt biên miền giới hạn nón z x y trụ z y , tính tích phân: I yzdydz xdzdx z dxdy S ĐỀ Cho hàm ẩn z z( x, y ) xác định từ phương trình x y z 4x 2y 4z zx 0, Tìm tất (x,y,z) thỏa hệ phương trình: zy Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) xy 3x thỏa x y Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n n 1 n 1 ( x 4) 2 n 1 Tính tổng chuỗi số S n3 n 0 n Tính tích phân đường loại hai I xydx x dy , C biên định hướng dương C 1 x miền phẳng D: 2 x y x x hai cách: a Tính trực tiếp tham số hóa đường cong b Dùng cơng thức Green Tính tích phân I 4zds S phần mặt paraboloid z x y bị chắn S mặt phẳng z ĐỀ Cho hàm số f ( x , y , z) x 3xy e xyz , M (1,1,0) Tính giá trị A f (M ) f (M ) f (M ) 2 3 x y z Tìm cực trị tự hàm số f ( x , y ) x 3xy 15x 12y Khảo sát hội tụ chuỗi số (1) n 1 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n 1 Tính I y x dx ( x n 2.5.8 (3n 4) 23n 1.3n.n ! n en cos n! xn ln x )dy , C đường tròn ( x 2)2 ( y 1)2 1, C lấ y theo chiề u KĐH từ(2,2) (3,1) Tính tích phân sau cách dùng tọa dộ cầu: I z x y dxdydz , miền giới hạn nón z 3( x y ) , mặt phẳng z mặt cầu x y z Dùng công thức Stokes tính I ydx zdy xdz , C giao tuyến mặt trụ C x y z mặt phẳng y x lấy ngược chiều KĐH nhìn từ phía dương trục 2 Ox ĐỀ x y x y cos Chứng minh đẳng thức: x.fx y fy f y Tìm cực trị hàm số f ( x , y ) x 3xy 3y thỏa x y Cho f ( x , y ) x.e Tìm tất giá trị để chuỗi sau hội tụ: arctan n n 1 Cho chuỗi lũy thừa S ( x ) n3 n e n 0 n n 3n ln n ( x e)n Tìm miền hội tụ S ( x ) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt trụ x y 1, z y mặt phẳng z I (e (a 2n ) y x x n 1 sin y )dx (e y (2a 5) x ax n cos y )dy C Tìm số thực a số tự nhiên n cho không phụ thuộc đường Tính đường trịn đơn vị, lấy theo chiều kim đồng hồ với tham số vừa tìm Tính tích phân I (2y x )dydz (x y )dzdx 2zdxdy , S mặt biên S miền giới hạn z 0, x 2y z 1, x 2, y , lấy phía ĐỀ Cho hàm ẩn z z( x, y ) xác định từ phương trình zx ln(1 x yz) , tính dz(1,0) Tìm cực trị hàm số f ( x , y ) 1 x y 1 x2 y Tính tổng chuỗi số S 1 n n 0 2n (2n 1)! Tìm bán kính hội tụ chuỗi lũ thừa n 1 Tính I y x dx ( x nn x n ln(n 2)(2n)!! ln x )dy , C C làđtrò n ( x 2)2 ( y 1)2 1, lấ y theo chiề u KĐH từ(2,2) (3,1) Tính (x 2y )dxdy D miền giới hạn x y 4x, x y 4x , D 0 y 2x Tính (x S 2 2y )dydz (z x )dzdx 2y 2dxdy , S phần mặt trụ x y 2y bị chắn mp z 0, z ĐỀ y 2fyy Cho f ( x , y ) sin( xy ) xy , tính giá trị biểu thức A x 2fxx Tìm cực trị hàm số f ( x , y ) ( x y )e xy Tìm chuỗi Taylor f ( x ) ln( x x ) lân cận x Hãy rõ miền hội tụ chuỗi Tính tổng chuỗi số sau: S (1)n n3n (n 1)! n 0 x y , x y Cho f ( x , y ) 2 x y , x y Tính I C xdx ydy x2 y Tính f (x, y )dxdy , D hình trịn đơn vị D x2 y , C ¼ ellipse nằm góc phần tư thứ lấy theo a b chiều kim đồng hồ Tính z S z x y dxdy , S phía phần mặt cầu x y z 6z, với GIẢI BÀI TẬP ÔN Các em kiểm tra lại đáp số, có sai báo lại cho cô qua diễn đàn Đề Câu 1: d f (1, 5) 8dx 4dxdy Câu 2: f đạt cực đại x 2, y 0, fcd 2 Câu 3: Cn n 1 2n 2 n n HT e Câu 4: Đặt X ( x 2) , chuỗi n 1 3n (1)n x 2n ( 1) trở thành n 1 n 1 3n (1)n n X (2) n 1 1 , BKHT chuổi (1) R 3 1 2 1 Vì (2) có khoảng HT , , nên chuỗi (1) HT x PK x 3 3 1 1 , 2 , 2 Như chuỗi (1) HT 2 PK 2 3 3 BKHT chuỗi (2) RX Theo định nghĩa, R BKHT chuỗi (1) 1 Câu 5: I sin x cos x.( sin x) dx 2 Câu 6: D1 D2 I y x dxdy D1 7 d x y dxdy Miền D miền màu xanh D2 sin cos r dr 5 7 d cos sin r dr 88 Câu 7: Áp dung công thức G-O I 2zdxdydz , V vật thể giới hạn nón z x y trụ z y V 4 y 2 y Hình chiếu V lên Oxy: D : 2 2 2 x y y x y I 2 d dr r sin r r cos z.rdz 2 d (4 2r )rdr 4 -Đề 2: Câu 1: x, y, z 2,1, 2 , x, y, z 2,1,6 Câu 2: fCT f (2,1) 4 Câu 3: an 3n 1 2n 1 6n 1 R lim n n an 6n lim n 2 3n 3 n KHT : 6, 2 n Tại x 6 hay x 2 , chuỗi trở thành n 1 n 1 (2) 2 n 1 (1)n n n 1 Khi chuỗi tổng chuỗi pkỳ chuỗi htụ nên pkỳ Câu 4: Xét chuỗi lũy thừa S ( x) (n 1) x n , MHT : D 1,1 n0 x n S ( x) x , x D 1,1 x x 12 n0 S n0 Câu 5: 3 n 1 n n 15 1 1 S 3 1 n0 a I x(2 x) x (1) dx 2(1 cos t ).sin t.( sin t ) (1 cos t ) cos t dt 11 7 3 b Dùng công thức Green: I 2 x x dxdy dx D x x2 2 x 4 xdy Câu 6: S : z x2 y , hc S D : x y Oxy ds x y I x2 y d D 2 x y dxdy 1 4x y dxdy D (1 4r )rdr 3 Đề 3: Câu 1: A Câu 2: Điểm dừng: 1,2 , 2,1 , 1, 2 , 2, 1 f đạt cực tiểu 2,1 , cực đại 2, 1 , khơng đạt cực trị điểm cịn lại Câu 3: dùng tc D’A chuỗi trị tuyệt đối chuỗi hội tụ, D = 1/8 n en cos Câu 4: an n! x n , lưu ý , a có n! mẫu số lại dãy mũ dãy bị chận nên chuỗi htụ với n x Cách viết bài: an en x n! n bn Áp dụng tiêu chuẩn D’A cho chuỗi vế phải: Dn đảm bảo Dn có nghĩa) ex n 1 n D (có thể xét riêng x = để Do b n htụ nên theo tc so sánh n0 a n ht tuyệt đối n0 Câu 5: áp dụng công thức Green sau thêm vào đoạn thẳng L1 : y 1, x : 2; L2 : x 2, y :1 , miền D góc phần tư màu xanh I D 3x dxdy 3 2 d (8 ln 2)dy dx x r cos 2 rdr ln 51 ln ln 16 Câu 6: 0 z x y 2 tan cos x2 y z I 2 d d sin cos d 56 15 Câu 7: chọn S phần mp y = x giới hạn bên trụ, lấy phía trước nhìn từ phía dương Ox Áp dụng công thức Stokes I dydz dzdx dxdy S nS , ,0 2 I ds , S : y x, ds 2dzdx, hc S D : x z Ozx S I 2dzdx 4 D Đề 4: x x x x x2 y x x x Câu 1: f x 1 e y sin , f y e cos sin y y y y y y2 x y xf x yf y xe y cos x f y Câu 2: x y g ( y) f (1 y, y) y3 18 y y 3 1 x 1 3 1 3 f đạt cực đại , , đạt cực tiểu 4 n2 3n Câu 3: ln ~ , n n2 n n , an ~ , n : chuỗi phân kỳ 0,arctan n n arctan1 , an ~ , n : chuỗi phân kỳ 0,arctan n n 1 ~ an ~ 1 , n : 1, nên chuỗi hội tụ 0,arctan n n n Tóm lai : chuỗi htụ g ( y) 24 y 36 y y y y Câu 4: Bán kính hội tụ (BKHT) S(x) R = e nên BKHT S’(x) S '( x) n3 n n 1 n.e n x e n 1 , khoảng hội tụ 2e,0 Tại x 2e, x : chuỗi trở thành n3 n n 1 n.en e n 1 (1)n 1 n 1 n3 n : pkỳ theo điều n.e kiện cần Vậy miền hội tụ là: 2e,0 Câu 5: V x y 1 y dxdy d r sin dr Câu 6: Py Qx a 2n x n 1 cos y 2a nax n 1 cos y a 2n 2a n 2, a na Do R2 miền đơn liên, P, Q đạo hàm liên tục R2 nên kết cho đường cong kín Vậy đường trịn đơn vị Câu 7: Áp dụng cơng thức G-O I 2dxdy 2 dx 1 x dy 1 x y 2dz - Đề 5: Câu 1: x, y 1,0 z 1,0 ln 1 x yz z x z x (1,0) ln y 1 x yz z 1 x yz z y z x (1,0) ln y 1 x yz Câu 2: điểm dừng 1, 1 , A C , B 3 z 1, 1 điểm cực đại, f 1, 1 Câu 3: S 1 n 0 Câu 4: n 1 n 2n (2n 1)! n 0 1 ln 1 dz (1,0) ln dx dy 2 n AC B 0, A 2n 1 (2n 1)! 1n n 1 12n 1 sin sin1 sin1 2n 1! nn x n ln(n 2)(2n)!! ln n 3 ln n 3 2n an nn R lim lim 2n lim n n n an 1 n ln n n ln n n 1 e 1 n 1 n Câu 5: giống đề Câu 6: Đặt x r cos , y r sin D Câu 7: ( x 2y )dxdy d 3 r cos 2r sin rdr 3 14 Cách 1: S / / Oz I3 S đối xứng qua mp x = , P chẵn theo x I1 Xét I z x dzdx , S S S2 , S1,2 : y x S Giả sử S phía ngồi mặt trụ PVT S1 hợp với chiều dương Oy góc nhọn, PVT S2 hợp góc tù ( n (2 x,2 y 2,0) 2( x, y 1,0) ) 1 x hc S1,2 Dzx : Ozx 0 z I2 z x dzdx z x dzdx z x dzdx z x dzdx S1 S2 Dzx Dzx Cách 2: Giả sử S phía ngồi mặt trụ Gọi S1 phía mp z S2 phía mp z Gọi vật thể giới hạn S1 , S2 ,&S3 Áp dụng công thức G-O: Pdydz Qdzdx Rdxdy S1 S2 S3 I 2xdxdydz (vật thể dx qua mp x=0,f lẻ theo x) S1 S2 y dxdy x2 y y y2 x2 y y Vì S1 , S2 / / Oxy nên vế phải lại thành phần thứ Đề 6: Câu 1: A 1 , , 2 e1/ 3e1/ AC ,B AC B 2 Câu 2: điểm dừng x, y Hàm số cực trị Câu 3: ln x x ln x ln 1 x ln 1 x 1 ln ln 1 x 1 n ln 1 n 1 x 1n n n 1 n 1 x 1 n 1 ln n Điều kiện khai triển (MHT): x 0,2 Câu 4: 1 n 1 1n 1 (n 1)3n 3n S n 1! n 1! n 1! n0 n0 n0 n 1 1n n! n0 3n n! n0 3n 1 e1 e3 e3 n 1! x 1 1 n n n 1 n 5 Câu 5: I d cos sin r dr 3 d r dr Câu 6: Py Qx Tp không phụ thuộc đường (khu vực áp dụng miền đơn liên chứa C không chứa x y 0) a b O, chẳng hạn khu vực phía đt Chọn U x, y x y dU Pdx Qdy Vậy I U 0, b U a,0 a b Câu 7: Gọi S1 phía phần mp z bị giới hạn bên mặt cầu, nửa khối cầu x2 y z z z Áp dụng ct G-O, x y dxdy x y dxdydz S1 S Xét khối: Đặt: x sin cos , y sin sin , z cos , 3, x y dxdydz 2 I 2 z x y dxdy S d d 81 sin sin d z x y dxdy S1 S1 : z , hc S1 D : x y Oxy I 81 D x y dxdy 81 27 27 4 81 , 2 ... dydz 16 D Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị đưa tích phân đường loại Cách 3: Thêm vào phần mặt z=4 dùng công thức O-G -4- Cách nhanh hay cách Các em tự làm cách sau (dể đừng lo) ĐỀ 12 Câu 1:... dydz 16 D Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị đưa tích phân đường loại Cách 3: Thêm vào phần mặt z=4 dùng công thức O-G Cách nhanh hay cách Các em tự làm cách sau (dể đừng lo) -4- ĐỀ 12 Câu 1:... Max V =4 đạt (2,2,1) Nhận xét: Khơng nghi ngờ cách hay gọn cách Nhưng em nên nhớ học GT2 cực trị max-min Yêu cầu phải biết vận dụng kiến thức học vào toán thực tế Bài điển hình cho tìm max-min cho