Giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức và ánh xạ hữu tỷ với thớ một chiều

Giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức và ánh xạ hữu tỷ với thớ một chiều Giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức và ánh xạ hữu tỷ với thớ một chiều Giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức và ánh xạ hữu tỷ với thớ một chiều luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Hình học tơpơ Mã số: 62.46.10.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Hà Huy Vui TS Phó Đức Tài HÀ NỘI-2011 Mục lục Mục lục Mở đầu Giá trị tới hạn vô hạn cấu xạ tập đại số phức với thớ chiều 12 1.1 Bài toán đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn 12 1.2 Một nhận xét toán đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn cấu xạ tập đại số phức với thớ chiều 17 Tô pô hàm đa thức hạn chế mặt đại số ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1 22 2.1 Đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn 23 2.2 Một số điều kiện đủ cho tồn phép chiếu tốt 35 2.3 Tô pô thớ 41 Tô pô hàm hữu tỷ hai biến phức 45 3.1 Các giá trị rẽ nhánh 46 3.2 Đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn 53 3.2.1 Tiêu chuẩn thông qua đặc trưng Euler 54 3.2.2 Điều kiện Malgrange điều kiện M-tame 62 3.2.3 Điều kiện Fedoryuk 68 Phụ lục: Tập giá trị rẽ nhánh ánh xạ đa thức 70 Kết luận 79 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 Mở đầu Việc nghiên cứu tính chất tơ pơ đa tạp đại số chia thành hai mảng đề tài: (i) Nghiên cứu đa tạp xạ ảnh; (ii) Nghiên cứu đa tạp affine Thành tựu nghiên cứu mảng đề tài thứ lý thuyết Lefschetz Bằng cách khảo sát Lefschetz pencil, cụ thể thông qua việc mô tả tô pô thớ tổng quát mô tả toán tử đơn đạo quanh thớ đặc biệt - mà thớ có kỳ dị, tính chất tơ pơ đa tạp xạ ảnh hiểu rõ ([10], [38], [36]) Với mảng đề tài thứ hai, nhiều chuyên gia lĩnh vực nhận xét, tình hình khác Còn nhiều câu hỏi đa tạp affine ánh xạ đa thức chưa có câu trả lời, cho trường hợp hai biến Cái tương tự Lefschetz pencil trường hợp affine phân thớ Milnor toàn cục Từ kết tổng quát R Thom ([43]), f ánh xạ đa thức từ tập đại số không kỳ dị V vào khơng gian Ck f xác định phân thớ tầm thường địa phương lớp C ∞ ngồi tập đại số B khơng gian đích Ck Đó phân thớ Milnor tồn cục Do tính khơng compact khơng gian Cn , xuất tượng mà ta không gặp nghiên cứu Lefschetz pencil, tượng kỳ dị vô hạn Một thớ f −1 (t0 ) thớ đặc biệt khơng chứa điểm kỳ dị, mà cịn ánh xạ f khơng xác định phân thớ tầm thường lân cận điểm vô hạn thớ f −1 (t0 ) Bởi vậy, giá trị tới hạn, tập B chứa giá trị tới hạn vơ hạn Để sử dụng phân thớ Milnor tồn cục cho việc nghiên cứu tính chất tơ pơ tập đại số affine, toán cần phải giải Đặc trưng giá trị tới hạn kỳ dị vô hạn Mặc dù khoảng gần 30 năm trở lại nhiều nhà toán học nghiên cứu toán này, tốn mở Ngay V tồn Cn f ánh xạ đa thức từ Cn vào C, người ta chưa biết cách trả lời, ngoại trừ trường hợp đặc biệt mà ta liệt kê Khi V = C2 k = 1, tức f đa thức hai biến phức, giá trị tới hạn vô hạn đặc trưng theo nhiều cách khác Đầu tiên kết Hà Huy Vui – Lê Dũng Tráng ([45]) M Suzuki ([42]), nói giá trị t giá trị tới hạn vô hạn f đặc trưng Euler thớ f −1 (t) khác đặc trưng Euler thớ tổng quát Sau Hà Huy Vui ([44]) đưa khái niệm số mũ Lojasiewicz vô hạn thớ chứng minh ba điều kiện sau tương đương: (i) t giá trị tới hạn vô hạn f ; (ii) số Lojasiewicz vô hạn thớ f −1 (t) nhỏ 0; (iii) số Lojasiewicz vô hạn thớ f −1 (t) nhỏ −1 Nói cách khác, giá trị t giá trị tới hạn vô hạn điều kiện Fedoryuk điều kiện Malgrange đa thức t không thỏa mãn Khi V = Cn , n > k = 1, [30] M Tibar tiêu chuẩn thông qua đặc trưng Euler nói chung khơng cịn Cũng ví dụ cụ thể, L Paunescu A Zaharia ([32]) chứng tỏ đặc trưng thông qua số mũ Lojasiewicz trường hợp hai biến khơng cịn A Parusinski thực bước đột phá tìm cách khai thác ưu điểm trường hợp ánh xạ từ C2 vào C, tất đa thức hai biến có kỳ dị lập vô hạn Trong [24], với giả thiết đa thức f : Cn → C có kỳ dị lập vô hạn n tùy ý, A Parusinski chứng minh ba điều kiện sau tương đương: (i) t giá trị tới hạn vô hạn f ; (ii) đặc trưng Euler thớ f −1 (t) khác đặc trưng Euler thớ tổng quát; (iii) số mũ Lojasiewicz vô hạn thớ f −1 (t) nhỏ −1 Luận án tìm cách khai thác ưu điểm khác trường hợp ánh xạ từ C2 vào C: thớ tổng quát có chiều phức Trong luận án nghiên cứu cấu xạ từ M vào N, với M, N tập đại số không kỳ dị dimM = dimN + Điểm chung ánh xạ với đa thức hai biến thớ tổng quát đường cong Với điều kiện ta hy vọng kết trường hợp C2 vào C mở rộng cho lớp ánh xạ xét Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu tốn đặc trưng giá trị tới hạn vơ hạn ánh xạ tình sau: Các ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1 ; Hạn chế đa thức mặt đại số không kỳ dị Cn ; Các hàm hữu tỷ hai biến phức, tức ánh xạ có dạng gf : C2 \ {g = 0} → C với f, g đa thức hai biến phức Một nội dung khác luận án đưa mối quan hệ tập giá trị tới hạn vô hạn ánh xạ đa thức với tập giá trị tới hạn suy rộng tập giá trị mà ánh xạ không thỏa mãn điều kiện M-tame Luận án gồm Chương Phụ lục Chương gồm hai phần Trong phần đầu, chúng tơi giới thiệu tốn đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn cấu xạ nhắc lại kết biết Kết Chương trình bày phần thứ hai Theo định lý Hà Huy Vui - Lê Dũng Tráng M Suzuki, đặc trưng giá trị tới hạn đa thức hai biến thông qua bất biến tô pô đặc trưng Euler Kết chương nói rằng, F cấu xạ tập đại số phức khơng kỳ dị có thớ chiều giá trị t0 giá trị tới hạn vô hạn F địa phương t0 F xác định phân thớ tầm thường tô pô Như vậy, F cấu xạ có thớ chiều (phức) chất, tốn đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn F cịn tốn tơ pơ: có phép tầm thường hóa F cho ánh xạ liên tục có phép tầm thường hóa cho ánh xạ khả vi Kết Chương trình bày báo [28] Định lý Chương sau: Định lý (xem Định lý 1.2.1) Cho cấu xạ F : M → N, M, N ⊂ Cn tập đại số phức không kỳ dị cho dimM = dimN + t0 ∈ N giá trị qui F Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) t0 giá trị qui vô hạn F, tức tồn lân cận D t0 vi phôi Φ : F −1 (D) → F −1 (t0 ) × D cho sơ đồ Φ/ F −1 (D) F −1 (t0 ) × D F '  pr2 D giao hốn (ii) F tầm thường tơ pơ địa phương t0 , tức tồn lân cận D t0 đồng phôi Φ : F −1 (D) → F −1 (t0 ) × D cho sơ đồ Φ/ F −1 (D) F −1 (t0 ) × D F '  pr2 D giao hoán Trong Chương chúng tơi nghiên cứu tốn đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn ánh xạ xác định trong hai trường hợp sau: (a) F = (F1 , F2 , , Fn−1 ) : Cn → Cn−1 ánh xạ đa thức; (b) F = g|V hạn chế hàm đa thức g : Cn → C lên V, V ⊂ Cn mặt đại số không kỳ dị, tức V = {x ∈ Cn : g1 (x) = g2 (x) = · · · = gn−2 (x) = 0} tập đại số không kỳ dị dimC V = Cho t0 giá trị qui F Khi đó, với t đủ gần t0 thớ F −1 (t) tập đại số phức chiều khơng kỳ dị Hàm tuyến tính L : Cn → C gọi phép chiếu tốt t0 tồn lân cận đủ nhỏ D t0 cho với t ∈ D ta có i) ánh xạ hạn chế Lt : F −1 (t) → C riêng ii) số dL (F −1 (t)) := #Lt−1 (A), A giá trị qui Lt , khơng phụ thuộc vào t Các kết Chương là: Định lý (xem Định lý 2.1.7) Cho F = (F1 , F2 , , Fn−1 ) : Cn → Cn−1 ánh xạ đa thức Cho t0 giá trị qui F Giả sử tồn phép chiếu tốt t0 Khi đó, t0 giá trị tới hạn vô hạn đặc trưng Euler thớ F −1 (t0 ) lớn đặc trưng Euler thớ tổng quát Định lý (xem Định lý 2.1.8) Cho F = g|V : V → C hạn chế g lên V, V ⊂ Cn mặt đại số không kỳ dị g đa thức n biến Cho t0 giá trị qui F Giả sử tồn phép chiếu tốt t0 Khi đó, t0 giá trị tới hạn vô hạn đặc trưng Euler thớ F −1 (t0 ) lớn đặc trưng Euler thớ tổng quát Các Định lý cho phép mô tả thay đổi tô pô thớ tổng quát thớ ứng với kỳ dị vô hạn Cho V tập Cn Ta định nghĩa phép gắn k đoạn lên V ánh xạ liên tục φ : U := ∪i=1, ,k [ai , bi ] → Cn thỏa mãn • φ((ai , bi )) vi phơi với (0, 1), • φ(ai ) = φ(a1 ) với i, • với a b ta có φ(a) φ(b) a, b ∈ {ai , i = 1, , k}, • φ(U) ∩ V = {φ(b1 ), , φ(bk )} Đặt V = V ∪ φ(U) Ta nói V nhận từ V phép gắn k đoạn thẳng Định lý (xem Định lý 2.3.7) Cho F cấu xạ xác định trong hai trường hợp (a) (b) Cho t0 giá trị tới hạn vô hạn F Giả sử tồn phép chiếu tốt t0 Khi đó, sai khác tương đương đồng ln thớ tổng quát F −1 (t) nhận từ thớ đặc biệt F −1 (t0 ) sau s phép gắn, s số điểm tới hạn Lt chạy vô hạn t → t0 Cũng chương chúng tơi đưa ví dụ chứng tỏ tiêu chuẩn thông qua số Lojasiewicz giá trị tới hạn vô hạn với trường hợp ánh xạ từ C2 vào C, khơng cịn với trường hợp (a) (b) Nội dung Chương viết dựa báo ([33], [34]) Trong Chương chúng tơi nghiên cứu tốn đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn hàm hữu tỷ hai biến phức Cho P : Cn → C ánh xạ đa thức z ∈ Cn điểm kỳ dị cô lập P Khi đó, số Milnor P z định nghĩa µz (P) := dimC Oz /( ∂P ∂P , , ), ∂x1 ∂xn ∂P ∂P với Oz vành chuỗi lũy thừa hội tụ z ( ∂x , , ∂x ) iđêan sinh n ∂P ∂P ∂x1 , , ∂xn Cho F = gf : C2 \ {g = 0} → C hàm hữu tỷ, f, g ∈ C[x, y] khơng có nhân tử chung khác Theo Định lý phân thớ Thom hàm hữu tỷ F phân thớ tầm thường địa phương lớp C ∞ bên tập hữu hạn B(F) ⊂ C Đặt A(F) := {(x, y) ∈ C2 : f (x, y) = g(x, y) = 0} Ký hiệu K0 (F) tập giá trị qui F K1 (F) tập hợp giá trị t0 ∈ C \ K0 (F) cho tồn p ∈ A(F) để µ p ( f − t0 g) µ p ( f − tg) với t khác đủ gần t0 Ta có Định lý (xem Định lý 3.1.10) Cho F = f g : C2 \ {g = 0} → C hàm hữu tỷ Giả sử deg f > deg g Khi B(F) = K0 (F) ∪ B∞ (F) ∪ K1 (F) Điều kiện Fedoryuk hàm hữu tỷ định nghĩa hoàn toàn tương tự Định nghĩa 1.1.10 Ví dụ 3.2.19 Cho xy + x2 + Đặt f := xy + 1, g := x2 + L(x, y) = y Khi đó, điểm tới hạn ánh xạ F : C2 → C, F(x, y) = hạn chế lt L lên F −1 (t) nghiệm hệ {F = t, ∂F/∂x = 0} Các nghiệm (x, y) √ hệ thỏa mãn x = (1 − 1/t), y = 2x/(1 − x2 ) Do đó, khơng tồn điểm tới hạn lt không chạy vô hạn t → i Bởi vậy, theo Định lý 3.2.7 ta có i B∞ (F) Mặt khác, xét dãy (xk , yk ) = (k, ik) Ta có (xk , yk ) → ∞, F((xk , yk )) → i grad(F)(xk , yk ) → k → ∞ Nghĩa i ∈ K∞ (F) Ví dụ 3.2.20 Cho F : C2 → C, F(x, y) = Xét dãy pk = (k, 1c k2 ) ∈ C2 (c x3 +1 xy+1 Dễ dàng kiểm tra B∞ (F) = {0} 0), k ∈ N Dễ thấy F(pk ) → c k → ∞ gradF(pk ) → Do K∞ (F) = C Nói riêng, B∞ (F) 69 K∞ (F) Phụ lục Tập giá trị rẽ nhánh ánh xạ đa thức Cho F = (F1 , F2 , , Fm ) : Cn → Cm ánh xạ đa thức Phụ lục trình bày kết chúng tơi mối quan hệ tập giá trị rẽ nhánh F với tập giá trị tới hạn suy rộng F tập giá trị xây dựng dựa đa diện Newton Fi Hy vọng từ hiểu biết mở đường tiệm cận tới lời giải cho toán đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn ánh xạ đa thức tổng quát Định nghĩa A.1 ([20]) Cho t ∈ Cm Khi F gọi M-tame t n không tồn dãy {pk }∞ k=1 ⊂ C cho pk → ∞, F(pk ) → t    J(F)  ≤ m, rank  pk  J(F) ma trận Jacobi F Ký hiệu M∞ (F) = {t ∈ Cm : F không M-tame t} Ta nhắc lại số khái niệm Chương Với ánh xạ tuyến tính A : Cn → Cm ta định nghĩa ν(A) sau ν(A) = inf {ω∈Cm : ω =1} Aω Ký hiệu K0 (F) tập giá trị tới hạn F K∞ (F) tập hợp giá trị t ∈ C cho tồn dãy xl → ∞ thỏa mãn F(xl ) → t xl · ν(dF(xl )) → Các phần tử K∞ (F) gọi giá trị tới hạn tiệm cận F Tập K(F) := K0 (F) ∪ K∞ (F) gọi tập hợp giá trị tới hạn suy rộng F 70 Định lý A.2 Cho F : Cn → Cm ánh xạ đa thức Khi B∞ (F) ∪ K0 (F) ⊆ M∞ (F) ∪ K0 (F) ⊆ K(F) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh bao hàm thức B∞ (F) ∪ K0 (F) ⊆ M∞ (F) ∪ K0 (F) Cho t0 = (t10 , t20 , , tm0 ) M∞ (F) giá trị qui F Ta chứng minh F xác định phân thớ tầm thường địa phương lân cận t0 Thật vậy, F M-tame t0 nên tồn tập compact K Cn lân cận D t0 cho    J(F)  > m, ∀x ∈ F −1 (D) \ K rank  x¯  Khi đó, với i = 1, , m, ta dựng F −1 (D) \ K trường véc tơ khả vi vi thỏa mãn = 0, = 1, = với j i Gọi φi (τ, x) đường cong tích phân trường véc tơ vi xuất phát từ điểm x ∈ (F −1 (D) ∩ Fi−1 (ti0 )) \ K Ta chứng minh với D đủ nhỏ φi (τ) thác triển lên toàn D Giả sử phản chứng tồn dãy số {τk }∞ k=1 D cho F(φ(τk )) ∈ D φ(τk ) → ∞ k → ∞ Tuy nhiên, ta có ( φ(τ) ) = 2Re < φ(τ), φ(τ) >= 2Re < φ(τ), vi (φ(τ)) >= Bởi φ(τ) không phụ thuộc vào τ Mâu thuẫn Ta dựng vi phôi làm tầm thường ánh xạ F : F −1 (D) \ K → D sau Φ : (F −1 (t0 ) \ K) × D → F −1 (D) \ K Φ(x, (t1 , t2 , , tm )) = φm ( , φ2 (φ1 (x, t1 − t10 ), t2 − t20 ), , tm − tm0 ) Vậy B∞ (F) ∪ K0 (F) ⊆ M∞ (F) ∪ K0 (F) 71 Tiếp theo, ta chứng minh bao hàm thức lại M∞ (F) ∪ K0 (F) ⊆ K(F) Cho t0 ∈ M∞ (F) giá trị qui F Ta cần chứng minh t0 ∈ K∞ (F) n Vì F khơng M-tame t0 nên tồn dãy điểm {pk }∞ k=1 ⊂ C cho    J(F)  ≤ m pk → ∞, F(pk ) → t, rank  pk  m Do t0 giá trị qui F nên tồn dãy {(sk,1 , sk,2 , , sk,m )}∞ k=1 ⊂ C cho m pk = sk,i grad Fi (pk ) i=1 Từ đó, theo Bổ đề chọn đường cong vô hạn (Bổ đề 2.2.9) tồn đường cong giải tích ϕ(s) Cn λ(s) = (λ1 (s), λ1 (s), , λm (s)) Cm cho (a1) lim s→0 ϕ(s) = ∞, (a2) lim s→0 F(ϕ(s)) = t0 , (a3) ϕ(s) = m i=1 λi (s) grad F i (ϕ(s)) Ta có m ν(dF(ϕ)) = ω =1 ωi grad Fi (ϕ) i=1 Bởi vậy, ϕ2 = ϕ · λ m i=1 λi · grad Fi (ϕ) ≥ ϕ · ν(dF(ϕ)) λ (1) Mặt khác, d ϕ2 | | = Re| < ϕ, ϕ > | ≤ | < ϕ, ϕ > | 2ds (2) m =|< λi grad Fi (ϕ), ϕ > | i=1 dF(ϕ) >| ds dF(ϕ) ≤ λ · ds = | < λ, 72 (3) (4) Theo điều kiện (a2) ta khai triển F(ϕ(s)) sau F(ϕ(s)) = t0 + csρ + số hạng với số mũ cao hơn, c ∈ Cm \{(0, , 0)} ρ > Bởi vậy, ord( dF(ϕ) ds ) = ρ−1 Ở ord(φ(τ)) đường cong giải tích φ(τ) = cτm + số hạng với số mũ cao hơn, c định nghĩa số m Từ (1-4) ta có ord( ϕ ) − ord( λ ) ≥ ρ > Do lim s→0 ϕ · ν(dF(ϕ)) = Kết hợp với (a1) (a2) ta t0 ∈ K∞ (F) Định lý chứng minh Cho đa thức f (x) = β∈Zn≥0 cβ x β Ký hiệu supp( f ) = {β | cβ 0} Đa diện Newton Γ− ( f ) định nghĩa bao lồi tập {(0, 0, , 0)} ∪ supp( f ) ⊂ Rn Ký hiệu Γ( f ) hợp mặt đóng Γ− ( f ) mà không chứa (0, 0, , 0) ∈ Rn Với mặt γ đặt fγ = β∈γ cβ x β Đa thức f gọi không suy biến (theo đa diện Newton) với mặt γ Γ( f ) hệ { ∂ fγ (x) = 0, i = 1, 2, , n} ∂xi khơng có nghiệm (C∗ )n Đa thức f gọi tiện lợi giao supp( f ) với trục tọa độ khác rỗng Gọi supp( f ) tổ hợp lồi tập supp( f ) \ {0} Một mặt đóng ∆ supp( f ) gọi xấu nếu: (i) gốc tọa độ thuộc không gian affine nhỏ chứa ∆, (ii) tồn siêu phẳng H = {x ∈ Rn : a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0} cho (iia ) tồn i j để · a j < 0, (iib ) H ∩ supp( f ) = ∆ 73 Về mặt hình học, điều kiện (iia ) có nghĩa siêu phẳng H có điểm chung với phần miền dương Rn Ta ký hiệu B( f ) tập hợp mặt xấu supp( f ) Với ∆ ∈ B( f ) đặt Σ0 ( f∆ ) := { f∆ (z0 ) | z0 ∈ (C − {0})n grad f∆ (z0 ) = 0} Cho Σ∞ ( f ) := ∪∆∈B( f ) Σ0 ( f∆ ) Rõ ràng Σ0 ( f∆ ) ⊂ K0 ( f∆ ) Theo Định lý Sard (xem [2]) tập hợp Σ∞ ( f ) hữu hạn Kết sau cho ta đánh giá cho tập giá trị rẽ nhánh B( f ) f thông qua biên Newton vơ hạn Định lý A.3 ([37], [5], [20]) Cho f : Cn → C hàm đa thức khơng suy biến Khi (i) Nếu f tiện lợi B( f ) = K0 ( f ) (ii) Nếu f không tiện lợi B( f ) ⊂ K0 ( f ) ∪ Σ∞ ( f ) ∪ { f (0)} Trong phần lại Phụ lục ta đưa mở rộng Định lý A.3 cho ánh xạ đa thức F = (F1 , F2 , , Fm ) : Cn → Cm Định nghĩa A.4 Ánh xạ đa thức F gọi không suy biến (theo đa diện Newton) {a : rank(J(Fi γi )(a) < m} ∩ (C∗ )n = ∅, với i = 1, , n với mặt đóng γi Γ(Fi ) Nhận xét A.5 Khi m = khái niệm ánh xạ không suy biến trùng với định nghĩa đa thức không suy biến định nghĩa Tương tự trường hợp đa thức, với ∆ = (∆1 , ∆2 , , ∆m ), ∆i ∈ B(Fi ), i = 1, , m, đặt Σ0 (F∆ ) := {(F1∆1 (z0 ), F2∆2 (z0 ), , Fm ∆m (z0 )) : z0 ∈ (C∗ )n ; rank(J((Fi )γi )(z0 )) < m} Σ∞ (F) := ∪∆∈B(F1 )×B(F2 )× ×B(Fm ) Σ0 (F∆ ) 74 Định lý A.6 Cho F = (F1 , F2 , , Fm ) : Cn → Cm ánh xạ đa thức không suy biến Khi m i M∞ (F) ⊂ Σ∞ (F) ∪ ∪m i=1 {t ∈ C : t = F i (0, 0, , 0)} Chứng minh Khơng tính tổng qt giả thiết Fi (0, 0, , 0) = 0, i = 1, , m Cho t0 ∈ M∞ (F) cho ti0 0, i = 1, , m Ta cần chứng minh t0 ∈ Σ∞ (F) Thật vậy, t0 ∈ M∞ (F) nên theo Bổ đề chọn đường cong vô hạn (Bổ đề 2.2.9) tồn đường cong giải tích ϕ(s) Cn λ(s) = (λ1 (s), λ1 (s), , λm (s)) Cm cho (b1) lim s→0 ϕ(s) = ∞, (b2) lim s→0 F(ϕ(s)) = t0 , (b3) ϕ(s) = m i=1 λi (s) grad F i (ϕ(s)) Đặt I := {i | ϕi 0} Do điều kiện (b1) nên I ∅ Với i ∈ I ta viết ϕi (s) = sαi + số hạng với số mũ cao hơn, nên J mini∈I αi < Tương tự, đặt J := { j | λ j 0} Do điều kiện (b3) ∅ Với j ∈ J ta viết λ j (s) = e j sρ j + số hạng với số mũ cao hơn, e j ∈ C \ {0} Vì t0j với j = 1, , m nên kết hợp với (b2) ta F j (ϕ(s)) với s đủ nhỏ Bởi vậy, hạn chế F j lên CI không tầm thường Γ∞ (F j ) ∩ RI Gọi d j giá trị nhỏ hàm tuyến tính i∈I ∅ βi αi Γ− (F j ) ∩ RI Gọi ∆ j mặt cực đại (duy nhất) Γ− (F j ) ∩ RI mà hàm tuyến tính nhận giá trị cực tiểu Khi đó, ta viết lại (b3) sau ej j∈J ∂F j ∆ j ∂xi (a)sd j +ρ j −αi + · · · = sαi + · · · , i ∈ I, 75 (5) a = (ai ) ∈ (C∗ )I F j ∆ j không phụ thuộc vào biến xi với i I Đặt I = {i ∈ I : min(d j + ρ j − αi ) = αi } j∈J J = { j ∈ J : d j + ρ j = min(dl + ρl )} l∈J Ta thấy i I ej ∂F j ∆ j ∂xi j∈J Ngược lại, i ∈ I ∂F j ∆ j ej ∂xi j∈J (a) = (6) (a) = Xét khả sau: Trường hợp 1: Tập I khác rỗng Khi đó, với j ∈ J ta có F j (ϕ(s)) = F j ∆ j (a)sd j + số hạng với số mũ cao Nếu F j ∆ j (a) d j ≥ (vì khơng F j (ϕ(s)) → ∞ s → 0) Tuy nhiên, d j > F j (ϕ(s)) → t0j = = F j (0, 0, , 0), trái với giả thiết Vậy ta ln có d j · F j ∆ j (a) = Theo hệ thức Euler ta có d j · F j ∆ j (a) = αi a i i∈I ∂F j ∆ j ∂xi (a) Bởi    0= j∈J αi a i e j i∈I = αi a i e j i∈I , j∈J ∂F j ∆ j ∂xi ∂F j ∆ j ∂xi   (a) (a) + i I 76   αi  ∂F j ∆ j j∈J   ej (a) ∂xi Kết hợp với (6) ta nhận αi a i e j ∂F j ∆ j ∂xi i∈I , j∈J (a) = (7) l Từ định nghĩa I ta có i ∈ I αi = minl=1, ,m dl +ρ Từ (5) suy dl +ρl l minl=1, ,m dl +ρ ≤ αi với i ∈ I Bởi αi = minl=1, ,m với i ∈ I Do (7) tương đương với e j i∈I , j∈J ∂F j ∆ j ∂xi (a) = 0, hay ai = i∈I Điều xảy i ∈ I Trường hợp 2: Tập I rỗng Khi đó, với i = 1, , n ta có ej j∈J ∂F j ∆ j ∂xi (a) = hay e j grad F j ∆ j (a) = j∈J Vì e j với j ∈ J nên rank(J(F j ∆ j )(a)) < m Theo giả thiết F ánh xạ không suy biến suy d j = với j = 1, 2, , m Do ∆ j mặt xấu supp(F j ) Mặt khác, với j = 1, , m ta có F j (ϕ(s)) = F j ∆ j (a)sd j + số hạng với số mũ dương Khi t0j = F j ∆ j (a) Nói cách khác t0 ∈ Σ∞ (F) Định lý sau hệ Định lý A.2 Định lý A.6 77 Định lý A.7 Cho F = (F1 , F2 , , Fm ) : Cn → Cm ánh xạ đa thức không suy biến Khi m i B∞ (F) ⊂ Σ∞ (F) ∪ ∪m i=1 {t ∈ C : t = F i (0, 0, , 0)} Nhận xét A.8 Điểm bật kết tập B∞ (F) đối tượng khó mơ tả Σ∞ (F) lại mơ tả tường minh thông qua thông tin tổ hợp ánh xạ F 78 Kết luận luận án Trong luận án thu kết sau Chứng minh cấu xạ f : M → N, với M, N tập đại số phức không kỳ dị dimM = dimN + 1, xác định phân thớ tầm thường tô pô lân cận giá trị t0 cho trước xác định phân thớ tầm thường lớp C ∞ lân cận Đưa khái niệm phép chiếu tốt Mở rộng kết Hà Huy Vui - Lê Dũng Tráng M Suzuki toán đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn đa thức hai biến phức cho lớp ánh xạ: (i) Ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1 ; (ii) Hạn chế đa thức n biến mặt đại số trơn Cn Từ kết mô tả thay đổi thớ tổng quát so với thớ ứng với kỳ dị vơ hạn Nghiên cứu tốn đặc trưng giá trị rẽ nhánh hàm hữu tỷ hai biến phức Với số giả thiết định bậc đa thức, đưa tiêu chuẩn cho giá trị giá trị tới hạn vô hạn Chỉ mối quan hệ tập giá trị tới hạn vô hạn ánh xạ đa thức với tập giá trị tới hạn suy rộng, tập giá trị mà ánh xạ khơng thoả mãn M-tame ánh xạ đa thức tập giá trị xây dựng dựa đa diện Newton đa thức thành phần ánh xạ 79 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] E Artal-Bartolo, I Luengo and A Melle-Hernendez (2000), "Milnor number at infinity, topology and Newton boundary of a polynomial function", Math Z 233, pp 679-696 [2] R Benedetti and J J Risler (1990), Real algebraic and semi-algebraic sets, Actualités Mathématiques, Hermann [3] A Bodin (2004), "Newton polygons and families of polynomials", Manuscripta Math 113(3), pp 371-382 [4] A Bodin and A Pichon (2007), "Meromorphic function, bifurcation sets and fibred links", Math Res Lett 14(3), pp 413- 422 [5] S A Broughton (1988), "Milnor numbers and the topology of polynomial hypersurfaces", Invent Math 92, pp 217-242 [6] A D R Choudary (2002), "Topology of complex polynomials and Jacobian Conjecture", Topology and its Applications 123, pp 69-72 [7] A Dimca (1992), Singularities and Topology of Hypersufaces, Universitex, Springer - Verlag, NewYork, Berlin, Heidelberg [8] M V Fedoryuk (1976), "The asymptotics of a Fourier transform of the exponential function of a polynomial", Soviet Math Dokl 17, pp 486-490 [9] T Gaffney (1999), "Fibers of polynomial mappings at infinity and a generalized Malgrange condition", Compositio Math 119(2), pp 157-167 81 [10] P Griffiths and J Harris (1976), Principles of algebraic geometry, A WileyInterscience Series of texts, 1978 [11] W Hirsch (1976), Differential topology, Springer - Verlag, New York [12] M Ishikawa (2002), "The bifurcation set of a complex polynomial function of two variables and the Newton polygons of singularities at infinity", J Math Soc Japan 54(1), pp 161-196 [13] Z Jelonek (2003), "On the generalized critical values of a polynomial mapping", manuscripta math 110, pp 145-157 [14] S Ji, J Kollar and B Shiffman (1992), "A global Lojasiewicz inequality for algebraic varieties", Transactions of Amer Math Soc 329 (2), pp 813-818 [15] K Kurdyka, P Orro and S Simon (2000), "Semialgebraic Sard theorem for gwneralized critical values", Jounal of Differential Geometry 56, pp 67-92 [16] L D Tráng and C.P Ramanujam (1976), "The invariance of Milnor’s number implies the invariance of the topological type", Amer J Math 98, pp 67–78 [17] G Meigniez (2002), "Submersions, fibrations and bundles", Transactions of Amer Math Soc 354 (9), pp 3771- 3787 [18] J Milnor (1965), Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton University Press, Princeton [19] J Milnor (1968), Singular points of complex hypersurfaces, Annals of Mathematics Studies 61, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [20] A Némethi and A Zaharia (1990), "On the bifurcation set of a polynomial function and Newton boundary", Publ RIMS Kyoto Univ 26, pp 681-689 [21] Némethi and A Zaharia (1992), "Milnor fibration at infinity", Indag Math 3, pp 323-335 [22] W D Neumann (1989), "Complex algebraic plane curves via their links at infinity", Invent Math 98 (3), pp 445-489 82 [23] M Oka (1997), Non-degenerate complete intersection singularity, Actualités Mathématiques, Hermann, Paris [24] A Parusi´nski (1995), "On the bifurcation set of a complex polynomial with isolated singularities at infinity", Compositio mathematica 97, pp 369-384 [25] L Paunescu and A Zaharia (1997), "On the Lojasiewicz exponent at infinity for polynomial functions", Kodai Math J 20 (3), pp 269-274 [26] P.J Rabier (1997), "Ehresmann’s Fibration and Palais-Smale conditions for morphisms of Finsler manifolds", Annals of Math 146, pp 647-691 [27] S Spodzieja (2005), "The Lojasiewicz exponent of subanalytic sets", Ann Polon Math 87, pp 247-263 [28] N T Thang, "A remark on the bifurcation set of complex algebratic maps which have one dimensional fibers”, preprint, pp [29] N T Thang, "On the topology of rational function in two complex variables”, preprint, 10 pp [30] M Tibar (1998), "Asymptotic equisingularity and topology of complex hypersurfaces", Int Math Res Not 18, pp 979-990 [31] J.G Timourian (1977), "The invariance of Milnor’s number implies topological triviality", Amer J Math 99, pp 437–446 [32] M Tibar and A Zaharia (1999), "Asymptotic behavior of families of real curves", Manuscripta Math 99, pp 383-393 [33] H H Vui and N T Thang (2008), "On the topology of polynomial functions on algebraic surfaces in Cn ", Singularities II, Contemp Math 475, pp 61-67, Amer Math Soc., Providence, RI [34] H H Vui and N T Thang (2011), "On the topology of polynomial mappings from Cn to Cn−1 ", Internat J Math 22(3), pp 435-448 [35] A Zaharia (1996), "On the bifurcation set of a polynomial function and Newton boundary II", Kodai Math J 19, pp 218-233 83 [36] O Zariski (1965), "Studies in equisingularity II: Equisingularity in codimension (and characteristic 0)", Amer J Math 87, pp 972–1006 Tiếng Pháp [37] A G Kouchnirenko (1976), "Polyèdres de Newton et nombres de Milnor", Inventiones Mathematicae 32, pp 1-31 [38] S Lefschetz (1924), Analysis situs et la geometric algebrique, Gauthier - Villars, Paris [39] L D Trang (1973), "Topologie des singularités des hypersurfaces complexes", Asterisque 7/8 (Singularités a Cargese), pp 171-182 [40] L D Tráng and K Saito (1973), "La constence du nombre de Milnor donne des bonnes stratifications", Compt Rendus Acad Sci Paris, serie A 272, pp 793-795 [41] B Malgrange (1980), Methode de la phase stationaire et sommation de Borel, Microlocal Caculus and Relativistic Quantum Theory, Lecture notes in Physics 126, pp 170-177 [42] M Suzuki (1974), "Proprietes topologiques des polynomes de deux variables complexes, et automorphismes algebriques de l’espace C2 ", J Math Soc Japan 26, pp 241-257 [43] R Thom (1969), "Ensembles et morphismes stratifiés", Bull Amer Math Soc 75, pp 240-284 [44] H H Vui (1990), "Nombres de Lojasiewicz et singularités l’infini des polynômes de deux variables complexes", C.R Acad Sci Paris Serie I t.311, pp 429-432 [45] H H Vui and L D Tráng (1984), "Sur la topologie des polynômes complexes", Acta Math Vietnamica 9, pp 21-32 84 ... hệ tập giá trị tới hạn vô hạn với tập giá trị tới hạn suy rộng tập giá trị mà ánh xạ không thỏa mãn điều kiện M-tame Cho F : Cn → Cm ánh xạ đa thức Nhắc lại B∞ (F) tập giá trị tới hạn vô hạn K0... đầu Giá trị tới hạn vô hạn cấu xạ tập đại số phức với thớ chiều 12 1.1 Bài toán đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn 12 1.2 Một nhận xét toán đặc trưng giá trị tới hạn vô hạn cấu xạ tập... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TẤT THẮNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU Chuyên ngành: Hình học tơpơ Mã số: 62.46.10.01 LUẬN