Số điểm kỳ dị cô lập và số giá trị tới hạn của đa thức thực n biến

ộ ụ t rờ ọ ị số ể ỳ ị số trị tớ ủ tứ tự ế sĩ ọ ộ ụ t rờ ọ tị số ể ỳ ị số trị tớ ủ tứ tự ế ì ọ số sĩ ọ ọ P ụ ụ ụ ụ ữ ế tứ sở ỉ số ủ trờ t ể ỳ ị t ị ý t ỉ số ủ trờ t rt ủ tứ ế tự ề ột số ề ủ ề số ể ỳ ị ủ ột tứ ế tự ề số trị tớ ủ ột tứ d ết d n ế tự ệ t ột tứ n ế tự d ó tể ó ề t ể ỳ ị ể ự trị ị ể ự tr tốt t số trị tớ ủ ột tứ n ế tự d ỏ tự t út q t ủ ề t ọ ý tết ý tết ỳ ị tớ r t ụ t ọ ứ ụ tố ó ột ỏ ó ề t q tớ ó ế ó tr trọ ẹ tr trờ ợ ế ệ số ể ỳ ị số trị tớ ủ ột tứ t tờ ự ột ết q ủ ì ọ số ị ý t ị ý t tờ ỉ ụ ệ q ệ trì số tr trờ ứ tr CPn r ó ề ú t q t ế trì số tr trờ tự tr Rn ể tự ủ ột ệ trì số tr ữ ộ ò ỉ số ủ ó ự t t ề ệ số ể ự trị ể ự ủ ột tứ ề ế tự í t ỉ số ủ trờ t rt ủ tứ ụ í í ụ í tứ t tệ ết q ủ ó ứ r t r s st ề t số ể tớ ự ự tể ự ị ể tớ ể ủ ó tết f (x, y) t q d ủ tứ f (x, y) ỉ ó ể tớ s ế ụ í tứ r tr trờ ợ ế ột ỏ ủ q r tr tr t í r tt tr tờ r tr trờ ợ tổ qt ột tết ũ ủ q r tr tr ề số trị tớ ủ ột tứ d n ế tự ụ ủ ế ể tự ệ ết q tr ị ý t ữ ý tết ụ trờ ợ tự r ò trí tết ứ ủ ị ý t ổ ể ị ý rộ ủ ị ý t ộ tr ợ trì s ợ ột số ữ ế tứ sở ệ ết q ợ sử ụ tr s ộ ủ t ể trì ị ý t ữ ủ ế tr ứ ủ ị ý t ổ ể ị ý rộ ủ ị ý t ự t ỉ số ủ trờ t rt tệ ết q ủ ó ứ r t r s st r ú t ề ột số ề ủ q trì ủ ề ợ q r tr tr í r tt ợ t t trờ ọ ủ t P tỏ ò ết s s ế t ị t t ủ ệ ủ ệ ọ t tr ú ỡ t tr sốt q trì t ọ t t trờ ệt t tỏ ò ết ế t tr tổ ì ọ trờ ọ ú ỡ t tr sốt q trì ọ t t ọ ọ ệt ọ ì ọ t ề ệ t ợ ú t t ệ ụ tr sốt tờ ọ t ù ó ề ố s tr ỏ ữ tế sót ú t rt ợ ữ ý ế ó ó ủ t ọ ể ợ tệ t ữ ế tứ sở r ú t trì ột số ế tứ ề ỉ số ủ trờ t ể ỳ ị t ý ệ K = R C Kx tứ n ế tr trờ K n N ị ĩ ột t số tr Kn t ó VK (f1 , f2 , , fs ) = {(x1 , x2 , , xn ) Kn | fi (x1 , x2 , , xn ) = 0, i = 1, s}, s N f1 , f2 , , fs Kx ét VK (f1 , f2 , , fs ) = VK (f1 ) VK (f2 ) VK (fs ) VK (f1 f2 ) = VK (f1 ) VK (f2 ) ị ĩ ột t số C tr Kn ợ ọ t q ế C ợ ủ t số ủ ó ó ế C = C1 C2 C1 , C2 t số tr Kn tì C = C1 C = C2 ị ĩ ột tr K t ể tr K2 ủ ột tứ f K[X, Y ] f tứ VK (f ) = {(x, y) K2 | f (x, y) = 0} VK (f ) ột t q ế ó t q ột t số n ề r Kn+1 \ {0, , 0} ét q ệ t X = (x0 , , xn ) X = (x0 , , xn ) ế ỉ ế tồ t K = s X = X ó KP n = Kn+1 \ {0, , 0}/ ột n ề tr trờ K ét ề t t ợ n ề KP n t ợ tt t ột ề ủ Kn+1 tứ f K[X1 , X2 , , Xn ] ợ ọ tứ t t d ế ọ t K f (tx) = td f (x) ó ọ tứ ó t tr trể ủ f ề ó d ị ĩ ột t số tr KP n t ó VK (f1 , f2 , , fs ) = {(x0 : x1 : : xn ) KP n | fi (x0 , , xn ) = 0, i = 1, s}, s N f1 , f2 , , fs ữ tứ t t ị ĩ ột số tr K t VK (f ) = {(x : y : z) KP n | f (x, y, z) = 0}, f tứ t t f K[X, Y, Z] ét V = {f1 (x1 , , xn ) = 0, , fs (x1 , , xn ) = 0} Kn t fi (x0 , x1 , , xn ) = td fi x1 xn , , x0 x0 V = {f1 (x0 , , xn ) = 0, , fs (x0 , , xn ) = 0} KP n t V Kn = V ọ L = {[x0 , x1 , , xn ] KP n | x0 = 0} t t ủ KP n t V P tr Kn = V = V Kn P ệ t V L = V \ V ỉ số ủ trờ t sử M t k ề ủ Rn a M ị ĩ ột tr M q a : (; ) M t (t) = (1 (t), , n (t)) s (0) = a i (t) t t ọ i = 1, n sử tr M q a ó (0) = d (t) dt t=0 = (1 (0), , n (0)) ợ ọ ột t tế ú M t a ý ệ Ta M t tt t tế ú M t a ó Ta M ột tế tí k ề tr Rn ợ ọ tế ú M t a f ữ t M N ủ Rn ỗ ể a M t ó tể ị ột tế tí dfa : Ta M Tf (a) N ủ f t a t tí tổ qt ó tể tết r (1, 0) (1, 0) trị í q ủ h= rf rf : Sr1 S ó |(h, (1, 0))| + |(h, (1, 0))| = 2|i| j 2(d 1) |i| d ệ ề ế f (x, y) tứ d ỉ ó ữ ể ỳ ị tì f (x, y) ó ề t (d 1)2 ể ỳ ị ứ ì f (x, y) tứ ó d {fx (x, y) = 0} {fy (x, y) = 0} số ó t d ể ủ í ể ỳ ị ủ ể ỳ ị tứ f (x, y) tết f (x, y) ỉ ó fx (x, y) fy (x, y) ó tử t q t ị ý t số ể ỳ ị ủ t f (x, y) (d 1)2 ệ ề ế f (x, y) ó ỉ số i > tì f (x, y) ó t 2(i 1) ể ỳ ị t ể ứ ệ ề t ế ệ ổ ề s ị ĩ ể tr p0 tr số G ợ ọ ể tr ủ G ố ể p R2 ế tế tế tớ G t p0 ó t từ p ế p0 G = {(x, y) R2 | g(x, y) = 0} t ọ ế tứ g ó tử ộ ổ ề ế G t ọ p ể tr G tì tồ t ì t t p ứ tt ể ỳ ị ể tr ủ G ứ tr sử G = {(x, y) R2 | g(x, y) = 0} rút ọ R2 t tí tổ qt ó tể sử p ố tọ ộ ế tế tớ G t ể tr (x0 , y0 ) (x x0 )gx (x0 , y0 ) + (y y0 )gy (x0 , y0 ) = ế tế tế ó t từ ố tọ ộ tớ (x0 , y0 ) tì y0 gx (x0 , y0 ) x0 gy (x0 , y0 ) = t h(x, y) = ygx xgy H = {(x, y) R2 | h(x, y) = 0} ể ủ G H ứ ể tr ủ G ế ể ó ột t tì ó ủ trò t t ố tọ ộ ề s r từ ị ý t ệ ủ ệ trì tờ ì t ỗ ể tr t tế ú ó t q ố tọ ộ t t ủ G H tỏ g(x(t), y(t)) = y(t)gx (x(t), y(t)) x(t)gy (x(t), y(t)) = ó x(t)g x (x(t), y(t)) + y(t)g y (x(t), y(t)) = y(t)gx (x(t), y(t)) x(t)gy (x(t), y(t)) = x(t)x(t) + y(t)y(t) = ì ế tì gx (x(t), y(t)) = s r gy (x(t), y(t)) = ứ t ủ G H ứ ể ỳ ị ủ G ề t ể ủ G H ứ ể tr ủ G d r (x (t) + y (t)) = x2 (t) + y (t) = r = st dt ó t ị ý t t ò ủ ể ủ ữ ì G H G t ọ ó ữ ể ỳ ị ó ó tể ọ ì ứ tt ể tr ể tớ ủ G ổ ề trờ t tr t C trò t t ố tọ ộ ế (p) = ọ p C ỉ số ủ i > tì tồ t 2(i 1) tr C s ỗ (pi0 , pi1 ) tỏ ể trờ t r ố tọ ộ t pi0 ố tọ ộ t pi1 tt ể tr (pi0 , pi1 ) t ủ tế ú C ợ ể ì ế ủ t tế ú ủ C ợ ọ ế ó ù ớ t ị ủ t tế ú C trò v(z) ị S ự trờ t : S S ị (z) = z v(z) ọ z S v(z) i ỉ số ủ trờ t z z tết ỉ số ủ v(z) ó ỉ số ủ (z) i ó (z) = ế v(z) r ứ ố tọ ộ ọ (z) = ế v(z) ố tọ ộ A tr trò ị từ ế t (A) t tr tr t tí tổ qt ó tể sử S ì ỉ số ủ i t (A) ó t (i 1) S ỗ ó (pi0 , pi1 ) (pi0 ) = (pi1 ) = ể (p) ể ộ t ề từ ế p ể ộ từ pi0 ế pi1 ó ỗ ó ể v(pi0 ) r ố tọ ộ ể v(pi1 ) ố tọ ộ t ủ v tế ú S t từ pi0 ế pi1 t ỗ ể tr tự ố A trò ị từ ế t ó (i 1) tr (A ) tí t tr t ó ổ ề 2(i 1) tỏ ổ ề ỗ (pi0 , pi1 ) ợ ó ế tr ổ ề t ó G ó t ị Gi0 Gi1 í ủ trò C ột t số ó t ị Gi0 Gi1 Gi0 (t) Gi0 Gi1 (t) Gi1 t < s Gi0 (0) = pi0 Gi1 (0) = pi1 lim Gi0 (t) = t i lim G1 (t) = tì t ó t lim f (Gi0 (t)) = 0i , lim f (Gi1 (t)) = 1i t t 0i , 1i số ữ s 0i 1i ứ rớ t t t r G = {(x, y) R2 | yfx xfy = 0} ị t ét trò tể t ể ế Sr í r t ỳ f |Sr : Sr R t trị ự (x0 , y0 ) tộ Sr ể (x0 , y0 ) ể ỳ ị ủ f |Sr T(x0 ,y0 ) Sr = {v = (v1 , v2 ) R2 | x0 v1 + y0 v2 = 0} df(x0 ,y0 ) = fx (x0 , y0 )v1 + fy (x0 , y0 )v2 = ọ t (v1 , v2 ) R2 ó y0 fx (x0 , y0 ) = x0 fy (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) G G ị ó Gi0 ị ó t ó tể t số ó Gi0 (0) = pi0 Gi0 (t) t tự t ó ủ Gi1 ị ó tể ọ t số ó Gi1 (t) Gi1 s Gi1 (0) = pi1 Gi1 (t) t ì tt ể ỳ ị ủ rf (x, y) f (x, y) tr ủ C = tr Gi0 Gi1 tr (pi0 , pi1 ) ợ ế ổ ề t ứ f (pi1 ) > f (pi0 ) t ét t ể pia = (xia , yai ) tộ (pi0 , pi1 ) C tì Tpia C(v) = {v = (v1 , v2 ) R2 | xia v1 + yai v2 = 0} ọ v = (v1 , v2 ) ị ủ Tpia C ó (fx , fy ), (v1 , v2 ) = fx v1 + fy v2 > ó é t số ó trò s pi0 C = {t R| x2 (t) + y (t) = 0} = (x(0), y(0)) pi1 = (x(1), y(1)) tì ft (x(t), y(t)) = fx (x(t), y(t))v1 + fy (x(t), y(t))v2 > 0, ọ t ủ (x(t), y(t)) tộ (pi0 , pi1 ) f ệ t t t tr (pi0 , pi1 ) ó f (pi1 ) > f (pi0 ) ế ế t ứ f (Gi0 (t)) ệ t f (Gi1 (t)) ệ t t ủ t t ét Gi0 (t) = {t R| rf (x(t), y(t)) = (t)(x(t), y(t))} (t) > x2 (t) + y (t) ệ t t d (x (t) + y (t)) > dt ó d d f (Gi0 (t)) = (f (x(t), y(t))) = fx (x(t), y(t))x(t) + fy (x(t), y(t))y(t) dt dt = rf (x(t), y(t)), (x(t), y(t)) = (t) (x(t), y(t)), (x(t), y(t)) d = (t) ( (x(t), y(t)), (x(t), y(t)) ) dt d d f (Gi0 (t)) = (t) (x2 (t) + y (t)) > f (Gi0 (t)) ệ dt dt t t t ủ t ó tự f (Gi1 (t)) ệ t t ủ t t ứ f ị tr Gi0 (t) Gi1 (t) ể p0 t ỳ tộ Gi0 C trò t t ố tọ ộ s p0 C t p1 ể ủ C Gi1 ó f (p0 ) > f (pi0 ) f (pi1 ) > f (p1 ) ì tt ể tr ể ỳ ị ủ G tr ủ C C ứ C G C t t ỳ ể tr (p0 , p1 ) ó t ủ rf (x, y) tế ú C t từ p0 ế p1 sử t ủ rf tế ú C t từ p0 ế p1 ó ỉ số ủ rf ò q t ột ể ỳ ị ủ f tộ (pi0 , p0 , p1 , pi1 ) ề t tt ể ỳ ị ủ rf tế ú ó (pi0 , p0 , p1 , pi1 ) ó ó f tr ủ C ó t ủ C t từ p0 ế p1 f (p1 ) > f (p0 ) f (p0 ) < f (pi1 ) f (p1 ) > f (pi0 ) ĩ f (x, y) ị tr Gi0 (t) Gi1 (t) tồ t số 0i s f (Gi0 ) 0i t tự ổ ề f (Gi1 ) 1i t 0i 1i tết ổ ề tì ó ủ Gi0 Gi1 ù ứ ột ể tr t t tr RP ứ ó ủ ọ q ể t ó Gi0 t t sử r Gi0 Gi1 ứ ể q ó tồ t số t q q ữ G0i Gi1 t t t s s tr t ó tì l ột tr l ữ G0i Gi1 í ủ trò t t ố tọ ộ í ủ ọ C trò t ỳ t t ố tọ ộ ột tr trò ọ ể ủ t ứ t C G0i Gi1 p0 p1 ó t ứ ổ ề f (Gi0 (t)) ệ t f (Gi1 (t)) ệ t t ủ rf (x, y) tế ú C t từ p0 ế p1 ó ọ p tộ (p0 , p1 ) t ó f (pi0 ) < f (p0 ) < f (p ) < f (p1 ) < f (pi1 ) ì ề ú tt trò C ọ ể ủ l C p tì từ t tứ tr s r f (x, y) ị tr t l tồ t số t l i > từ ệ ề s r f tứ ột ế ó f (x, y) ó ể ỳ ị ề t tứ f ỉ ó ể ỳ ị tết ó số t q tể tồ t ó ó ủ t t tr q ữ Gi0 Gi1 G0i Gi1 ù ứ ột ể q tr RP ụ ổ ề tr t ứ ệ ề s tứ f (x, y) ó ỉ số i > C trò t t ố tọ ộ s rf (x, y) tr = tr C ó t ổ ề tồ t 2(i 1) C s ỗ (pi0 , pi1 ) t pi0 ể trờ t v r ố tọ ộ ố tọ ộ t pi1 tt ể tr t từ (pi0 , pi1 ) t ủ v tế ú C pi0 ế pi1 ổ ề ỗ (pi0 , pi1 ) ó t Gi0 Gi1 ủ G ó ủ ú ù ứ ột ể tr t t ì t rf (p) q ợ ột ó 180 p ể ộ tr (pi0 , pi1 ) t từ pi0 tớ pi1 fx = fy = (pi0 , pi1 ) ổ ề ó ủ Gi0 Gi1 ù ứ ột ể tr t t ó ủ {fx = 0} {fy = 0} tr t ù ứ ột ể tr t t ể í ể ỳ ị t ủ tứ f (x, y) ổ ề tồ t t 2(i 1) (pi0 , pi1 ) f (x, y) ó t 2(i 1) ể ỳ ị t ệ ề ế f (x, y) tứ d m ể ự ị n ể ự tể ị tì n + m d2 d + ế i ệ ề t ó m + n + s (d 1)2 i = m + n s s r m + n d2 d + ế i > ệ ề ệ ề m + n + s (d 1)2 ứ 2(i 1) i = m + n s s r 2(m + n) d2 2d + i < d2 2d + (ì i > 1) n + m 12 d2 d + ề ột số ề ủ trì ết q t tự ệ ết q tứ t tr ột trờ ợ r ủ ột tết ủ ế f (x1 , x2 , , xn ) tứ n ế tự d tì số ể ỳ ị ủ f ó ợt q (d 1)n ợ t ể tr ết q tứ tr trờ ợ tổ qt ủ ột tết ũ ủ t r tr tr ố trị tớ ủ tứ n ế tự d ó ữ ế ó ợ ề số ể ỳ ị ủ ột tứ ế tự ị ý d f (x, y) tứ ế tự d ó số ể ỳ ị ủ f ợt q (d 1)2 ể ứ ị ý tr t ổ ề s ổ ề ế f (x, y) tứ ế tự tỏ f (x, y) = h. tr C tì f (x, y) = H. tr R ứ ế h, R[X, Y ] t ó ề ứ ế h, C[X, Y ] t ó f (x, y) = h. = h. t tết r h tứ t q tr C (h, h) = ó f (x, y) = (h.h) = h t H= h R[X, Y ] s r R[X, Y ] f (x, y) = H tr R ổ ề f (x, y) tứ ế tự ị ó d f t q tr R ó d2 (d 1)(d 2) |VR (f )| (d) = max , ứ ì f (x, y) tứ ế tự t q r ế f tứ t q ó t t ó |sVC (f )| (d 1)(d 2) sVC (f ) t ể ỳ ị ủ ỗ ể tộ VC (f ) ì f ị VR (f ) ề ể ỳ ị ủ VC (f ) ó |VR (f )| |sVC (f )| (d 1)(d 2) ế f tứ q tr C ó t t ó f = f12 + f22 , f1 , f2 R[X, Y ] ó tể tết f1 ì f2 = d f t q tr R f1 , f2 ó t ụ ị ý t t ó d4 d |VR (f )| = |VR (f1 ) VR (f2 )| f1 f2 ( )2 = |VR (f )| (d) = max{ d2 (d 1)(d 2) , } t ứ ị ý ế f ỉ ó ữ ể ỳ ị ứ ó ụ ị ý t t ó ố ể ỳ ị tự ủ f ố ể ỳ ị ứ ủ f fx fy (d 1)2 ế q f ó ể ỳ ị ứ ó tồ t tứ t h s fx = h.p fy = hq tr C ụ ổ ề fx fy t ó fx = H.P r ó tử fy = HQ tr R H tứ tự ị P, Q ứ H P, Q ó t ó |VR (fx fy )| = |VR (H) VR (P Q)| ì H tỏ tết ủ ổ ề d2H (dH 1)(dH 2) , |VR (H)| (dH ) = max r ó dH ì = H P, Q tỏ tết ủ ị ý t |VR (P Q)| P Q (d dH 1)2 ó số ể tự ủ dH f (dH ) + (d dH 1)2 t ó số ể tự ủ d2H + (d dH 1)2 d2 dH = (d H 1)2 (d dH 1) 2 (d 1) f dH t ó ố ể tự ủ (dH 1)(dH 2) + (d dH 1)2 2 (d 1) f t t ó (dH 1)(dH 2) (dH 1)(dH 2) + (d dH 1)2 (d 1)2 = dH (2(d 1) dH ) 2 (dH 1)(dH 2) (dH 1)(2d dH ) = (dH 1)(3(dH d) + (2 d)) số ể tớ tự ủ ét f ợt q (d 1)2 ị ý í rộ ủ ệ ề trì ỏ tết f (x, y) ỉ ó ể ỳ ị ị ý t ó ố ể ứ ủ f ợt q (d 1)2 rộ t tờ ế t ụ ị ý t số ệ tự ự t ệ ụ ó ị ý t ể số ệ tự ó tể s ột í ụ ọ ét ệ 2 2 2 x (x 1) + y (y 1) = z=0 z=0 ế ụ ị ý t tr trờ ợ t ó số ệ tự ủ ệ tr ợt q ệ tr ó ệ tự (0, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 1, 0) (1, 0, 0) (1, 0, 0) (1, 1, 0) (1, 1, 0) (1, 1, 0) (1, 1, 0) ệ ụ ị ý t tr trờ ợ ú ệ ủ ệ tr tự ứ ề số trị tớ ủ ột tứ ị ý d n ế tự ố trị tớ ủ tứ f : Rn R ó d é (d 1)n ứ VR = VR VC = VC VC = VC ọ ủ ý ệ f f , , x1 xn f f , , x1 xn f f , , x1 xn f (x1 , , xn ) = 0, i = 1, , n} xi f = {(x1 , , xn ) Cn | (x1 , , xn ) = 0, i = 1, , n} xi f = {(x0 , x1 , , xn ) CP n | (x0 , x1 , , xn ) = 0, i = 0, , n} xi = {(x1 , , xn ) Rn | C ột t t t ỳ ủ VC C t t VC ó C = C (C L ) = C \ L ì C L ột t số ủ C (C L ) < C tứ ố ề ứ ủ ó C L tr C ố ề tự C \ L ột t t ủ VC ị ý t ó số t t ủ VC (d 1)n t C ột t t ủ VC tì f (C) t tộ = { ể} C t t ủ VC x, y ể t ỳ C tồ t tr từ ú : [0; 1] C s (0) = x (1) = y ó d f d f ((t)) = (f )(t) = dt dt t d f = s r = dt t f ((t)) = st ọ (t) C f (C) ỉ ột ể ì (t) C ột t t ủ VC ó số trị tớ ứ ủ tứ ủ tứ f (d 1)n s r số trị tớ f : Rn R ó d é (d 1)n ết ột tờ ệ tú t tì ủ t P ú t t ợ ữ ết q s ì ể ứ tết ị ý t ổ ể ị ý rộ ủ ị ý t t ể ệ ị ý ị ý rì ủ tết ết q ủ ó ứ r t r s st ề t số ể ỳ ị ủ tứ tự ế tết f (x, y) f ỉ ó ể ỳ ị s ế ệ ề ứ r ế ể ỳ ị ủ f (x, y) ột tứ ế tự d tì số f ỏ (d 1)2 tr ị tr trờ ợ ế ủ ột ề t r q ể ệ ị ý ứ r ế trị tớ ủ f ột tứ n ế tự d tì số f ỏ (d 1)n ết q tr tr trờ ợ tổ qt ủ ột ề ũ ợ t r q ể ệ ị ý ứ r tờ tớ t tế tụ ứ t s t số ể tớ ủ tứ q n ế tự t d ủ tứ n > t số ể tớ số trị tớ ủ tứ n ế tự t q ệ t ủ tứ ệ t tr r t t s t rss ts r s sttt ts r st trt ssts t tt ts t r tr r s t r tr st sts t ssts tts tt r t r s st t rt t t rs rtts t r ss Pt r rs t t ss rrs rs rt t rrr r r r r r ts rsrs Prt rst rss t rst rss Prt rs rsss Pr Pts P P r P tr s rss r r r [...]... t ở tr Rn ột trờ t tr U : U Rn ể a U ợ ọ ể ủ ế (a) = 0 ể a ợ ọ ế tồ t B(a, ) s (x) = 0 ỉ x = a ớ ọ x B(a, ) ị ĩ ủ h = ỉ số ủ trờ t t ể a : Sn1 S 1n1 ớ Sn1 = B(a, ) ỉ số ủ trờ t rt sử f : Rn R tứ n ế ó rf : Rn Rn (x1 , , xn ) f f , , x1 xn ợ ọ trờ t rt ủ f ị ĩ sử r tứ f : Rn R ỉ ó ể ỳ ị x0 ột ể ỳ ị ủ f ó ủ rf t x0 ợ ọ ỉ số ủ trờ t... m, n ó t t q ó ú t j ể tỏ 0 < j m .n ị ý P (z) = {P1 (z), P2 (z), , Pn (z)} ệ n tứ n ế ứ Pi (z) = di ớ ọ i = 1, n ó số ệ ủ {P (z) = 0} ề t d1 dn ứ ét H(z, ) = 0 P (z) + 1 R(z), ớ = (0 , 1 ) CP 1 z CP n r ó P (z) = P (1, z1 , , zn ) tứ t t t ứ ủ tứ P (z) = P (z1 , , zn ) tr CP n R(z) = R(1, z1 , , zn ) tứ t t t ứ ủ tứ R(z) = R(z1 , , zn ) tr CP n ... t ì X t ó số a lim X X(1,0) (1,0) #{X(1,0) } D = d1 dn số ệ ủ {P (z) = 0} ợt q d1 dn số ệ ủ ị ý {P (z) = 0} d1 dn P (z) = {P1 (z), P2 (z), , Pn (z)} ệ n tứ n ế ứ Pi (z) = di ớ ọ i = 1, n ó số t t ủ {P (z) = 0} ề t d1 dn ó ột số ệ tí t s ét Ha (z, t) = tP(z) + a(1 t)R(z) ớ (1) (z, t) CPn ì [0, 1] a C \ {0} R(z) = {R1 (z), R2 (z), , Rn (z)} tứ tỏ... i = 1, n R(z) ó í D = d1 dn ệ s ế tr CPn ễ tí t t Qi = lim z i (t) t1 mi = { số ờ ệ z i (t)| lim z i (t) = Qi } t1 ị ĩ ớ ữ (mi , Qi ) tr ó mi N Qi CPn t ọ tổ ì tứ r = mi Qi i=1 ó ọ ộ ủ ể Qi ợ ọ ỉ ủ số mi ợ Qi ủ ớ ọ i = 1, r ý ệ r n L+ 0 (P ) = { i=1 n mi Qi | mi N , Qi Pn } ó L+ 0 (P ) ử ó tr r sử = i=1 n Pn r L+ 0 (P ) t tr ị t s n mi Qi L+ 0 (P ) ó ớ Ni ột... m ể ự ị n ể ự tể ị tì 1 n + m d2 d + 1 2 ế i 1 ệ ề t ó m + n + s (d 1)2 1 i = m + n s 1 s r m + n d2 d + 1 2 ế i > 1 ệ ề ệ ề m + n + s (d 1)2 ứ 2(i 1) i = m + n s s r 2(m + n) d2 2d + 3 i < d2 2d + 2 (ì i > 1) n + m 12 d2 d + 1  ề ột số ề ở ủ trì ết q t tự ệ ết q tứ t ờ tr ột trờ ợ r ủ ột tết ủ ế f (x1 , x2 , , xn ) tứ n ế tự d tì số ể ỳ ị... ế F : Rn Rm tỏ ề ệ F (M ) N F |M = f tì dfa ủ f t a í ế ủ dFa : Ta Rn TF (a) Rm tế tí Ta M f : M N N M ể a M ợ ọ ể ỳ ị ủ f ế dfa : Ta M Tf (a )N ột t a ể ỳ ị ủ f ế tồ t ột ồ ị ủ a f (a) s tr ủ f tr ồ ị ó < N ế a ể ỳ ị ủ f tì a ợ ọ ể í q ủ f ế a ể ỳ ị ủ f tì f (a) ợ ọ trị tớ ủ f ế y0 N trị tớ ủ f tì y0 ợ ọ trị í q ủ f ể... ớ Ni ột ủ Qi tr n P i = 1, s Ni Nj = ớ i = j tì ọ {Ni | i = 1, s} ị ột k N ủ ồ tt ó = nj Pj s ớ ọ i = 1, s j=1 tì nj = mi pj Nj X = {(z, t) CPn ì [0, 1]| H(z, t) = 0} tì X ột t ó số ó tể tí t t t q p X= q Y i i=1 r ó Wj = Y W (3) j=1 Y i Y ế (Y i ) = CP1 W i W ế (W j ) = { ể } õ r Y i = 1, ớ ọ i = 1, p (W ) t ữ t E0 = (W ) E1 = (W s(Y ))ữ ổ ề n Yt = {z CP | (z,... ể ủ Yt t C N ột ủ Q tr Pn ọ N ủ Q Yt \ {Q} s N N = ó số ể ủ Yt ứ tr N ố ị ớ t C \ E t ủ t ớ ị ĩ tộ Q ột ể ủ Yt ọ m(Q) số ể Yt tr N s t C \ E1 ớ t ủ t ị ĩ ứ ớ sử Yt = {Q1 , , Qr } ó t ó t Yt ợ ị ĩ ở r [Yt ] = m(Qi ).Qi i=1 ổ ề n [Y ] : C \ E0 L+ 0 (P ) t [Y ]t = [Yt ] tụ ừ ữ ệ tí t tr t ự ủ ữ ờ ệ t t = 1 sử X = {(z, t1 ) CPn ì C| P(x) + t1... trờ t r t x0 ỉ số ủ f t x0 ý ệ i(x0 ) ị ĩ ỉ số t ụ ủ f ý ệ i(f ) ợ tí tổ ỉ số ủ f t tt ể ỳ ị ủ ó ỉ số í ủ rf : Srn1 S 1n1 ớ í r ủ ớ s q Br ó rf Srn1 t t 0 ứ tt ể ỳ ị ủ f ét r trờ ợ ề ỉ số ủ f t ể ỳ ị x0 số ò q ủ t rf (x, y) q ờ trò S ể (x, y) ột ò q S ợ ề ồ ồ ố ò q ợ tí ộ trừ tù tộ rf (x, y) q ợ t ề ồ ồ r ỉ số ủ rf (x, y) q S ò ợ ị ột t ở số rf (x, y) ó... ự ị t ể ỳ ị s ế ề ét ể ỳ ị s ế ể ự ị ế trị r ủ tr ss ề ể ự tể ị ế trị r ề ể ự ế trị r ột ột t m số ể ự ị ủ f n số ể ự tể ị ủ f s số ể ự ị ủ f ó ể tứ ể ự ự tể ự ị ó t ứ x2 y 2 x2 + y 2 x2 y 2 ó ỉ số trờ t ủ ể ự ự tể ự ị ợt ở ế +1, +1 1 f (x, y) ỉ ó ể ỳ ị s ế tì i = m + n s ệ ề ỉ số i ủ f (x, y) q ờ trò C tỏ |i| d 1 ứ tết ợ C ... số mi ợ Qi ủ ọ i = 1, r ý ệ r n L+ (P ) = { i=1 n mi Qi | mi N , Qi Pn } ó L+ (P ) ó tr r sử = i=1 n Pn r L+ (P ) t tr ị t s n mi Qi L+ (P ) ó Ni ột ủ Qi tr n P i = 1, s Ni... = 1, , n} xi f = {(x1 , , xn ) Cn | (x1 , , xn ) = 0, i = 1, , n} xi f = {(x0 , x1 , , xn ) CP n | (x0 , x1 , , xn ) = 0, i = 0, , n} xi = {(x1 , , xn ) Rn | C ột... (x1 , , xn ) = 0, , fs (x1 , , xn ) = 0} Kn t fi (x0 , x1 , , xn ) = td fi x1 xn , , x0 x0 V = {f1 (x0 , , xn ) = 0, , fs (x0 , , xn ) = 0} KP n t V Kn = V ọ L =