Cơ sở đều tại những điểm không cô lập

1 MỤC LỤC Lời nói đầu Cơ sở điểm không cô lập 1.1 Các khái niệm 1.2 Không gian có sở điểm không cô lập Không gian trải điểm không cô lập ánh xạ 21 2.1 Trải điểm không cô lập 21 2.2 ảnh không gian có sở điểm không cô lập 26 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 LỜI NÓI ĐẦU Các nhà nghiên cứu tôpô thu nhiều đặc trưng thú vị ảnh không gian mêtric qua số loại ánh xạ Năm 1962 A V Arhangel’skiˇı chứng minh rằng: Không gian tôpô X có sở ảnh không gian mêtric qua ánh xạ mở, compắc Gần đây, C Liu đưa đặc trưng không gian có sở đếm theo điểm ảnh giả mở đơn biên không gian mêtric Vấn đề đặt ảnh không gian mêtric qua ánh xạ mở giả mở đơn biên compắc có đặc trưng nào? Theo hướng khác, nghiên cứu không gian với sở nhọn sở yếu nhà tôpô vài tính chất tập điểm không cô lập không gian tôpô mà tính chất giúp bàn luận toàn cấu trúc không gian Bên cạnh người ta lớp không gian ảnh không gian mêtric qua ánh xạ mở compắc bảo toàn qua ánh xạ hoàn chỉnh ánh xạ mở đóng Vậy câu hỏi đặt ánh xạ bảo toàn không gian có sở điểm không cô lập? Trên sở báo [9] báo [10] tác giả F Lin S Lin, hướng dẫn Nhà giáo ưu tú, PGS TS Trần Văn Ân, tác giả tiếp cận hướng nghiên cứu thực đề tài: Cơ sở điểm không cô lập Mục đích luận văn trình bày số tính chất không gian có sở điểm không cô lập xét tính bất biến không gian có sở điểm không cô lập qua ánh xạ hoàn chỉnh ánh xạ đóng mở Với mục đích trên, luận văn trình bày thành hai chương Chương Cơ sở điểm không cô lập Trong chương luận văn trình bày số kiến thức làm sở cho việc trình bày luận văn, đưa số tính chất không gian có sở điểm không cô lập Chứng minh ảnh không gian mêtric qua ánh xạ mở, biên compắc tương đương với không gian có sở điểm không cô lập, tương đương với không gian có sở điểm quy nhũng điểm không cô lập, tương đương với không gian trải hữu hạn theo điểm điểm không cô lập Quan hệ không gian có sở điểm không cô lập với không gian tựa trải được, không gian có sở trực giao Chương Không gian trải điểm không cô lập ánh xạ Trong chương luận văn trình bày khái niệm g -ánh xạ, tập g(n, A), lưới cặp đôi mô tả số kết quan hệ không gian trải điểm không cô lập tồn lưới cặp đôi tập không gian tôpô X đồng thời trình bày số kết tính bất biến không gian có sở điểm không cô lập qua ánh như: ánh xạ hoàn chỉnh, ánh xạ đóng mở Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Nhà giáo ưu tú, PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Đào tạo sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán, cảm ơn Thầy, Cô giáo Tổ Giải tích nhiệt tình giảng dạy Xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 16 - Giải tích tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp quý báu Thầy, Cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả số ký hiệu sử dụng luận văn Giả sử X không gian tôpô, P họ tập X Ta ký hiệu I(X)={x : x điểm cô lập X} I(X) = {{x} : x ∈ I(X)} (P)x = {P ∈ P : x ∈ P } N = {1, 2, 3, } st(x, P) = {∪P : x ∈ P ∈ P} Fσ = { Fi : Fi tập đóng X } i∈N Gδ = { Gi : Gi tập mở X } i∈N X d = X − I(X) I∆ (X) = {({x}, {x}) : x ∈ I(X)} Trong luận văn tất không gian T2 không gian ánh xạ toàn ánh CHƯƠNG CƠ SỞ ĐỀU TẠI NHỮNG ĐIỂM KHÔNG CÔ LẬP 1.1 Các khái niệm Trong mục này, nhắc lại khái niệm tính chất chúng làm sở cho việc trình bày luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([9]) Giả sử X không gian tôpô X gọi không gian metacompắc (paracompắc, metalindel¨of) phủ mở X có mịn mở hữu hạn (tương ứng mịn mở hữu hạn địa phuơng, đếm được) X gọi có Gδ -đường chéo đường chéo ∆ = {(x, x) : x ∈ X} Gδ -tập X × X X gọi không gian hoàn chỉnh tập mở Fσ -tập X 1.1.2 Định nghĩa ([9]) Giả sử P sở gian X (1) P gọi sở (cơ sở điểm không cô lập) X điểm (tương ứng điểm không cô lập) x ∈ X họ không đếm P (P)x , P sở lân cận x (2) P gọi sở điểm quy (cơ sở điểm quy điểm không cô lập) X điểm (tương ứng điểm không cô lập) x ∈ X x ∈ U với U lân cận mở X , họ {P ∈ (P)x : P ⊂ U } hữu hạn 1.1.3 Nhận xét Cơ sở (cơ sở điểm quy) sở điểm không cô lập (tương ứng sở điểm quy nhũng điểm không cô lập) Nhưng điều ngược lại không đúng, xem Ví dụ 1.2.17 1.1.4 Định nghĩa ([9]) Giả sử X không gian tôpô (1) Họ U tập X gọi có tính chất Q (nghĩa bảo toàn phần trong) Int(∩W) = ∩{IntW : W ∈ W} với W ⊂ U (2) Cơ sở B X gọi sở trực giao thoả mãn điều kiện: ∩A mở X , ∩A = {x} ∈ / I(X) A sở lân cận x X với họ A ⊂ B Không gian X không gian khả mêtric trực giao không gian paracompắc có sở trực giao (3) Cơ sở B X gọi sở nhọn, với dãy {Bn } ⊂ B x ∈ n∈N Bn , ta có { i≤n Bi }n∈N sở lân cận x (4) Cơ sở B X gọi sở thứ tự đếm (BCO) với x ∈ X {Bi } ⊂ (B)x dãy giảm {Bi }i∈N sở lân cận x Không gian tôpô X với sở BCO gọi không gian BCO 1.1.5 Nhận xét ([9]) (1) Cơ sở ⇒ sở σ -điểm hữu hạn (2) Cơ sở đều⇒ sở nhọn, không gian trải ⇒ (BCO), Gδ -đường chéo (3) Cơ sở nhọn ⇒ sở điểm đếm 1.1.6 Định nghĩa ([9]) Giả sử X không gian tôpô {Pn } dãy họ tập mở X (1) {Pn } tựa trải X với x ∈ U , U tập mở X , tồn n ∈ N cho x ∈ st(x, Pn ) ⊂ U (2) {Pn } trải (trải điểm không cô lập) X với điểm (tương ứng điểm không cô lập) x ∈ X , {st(x, Pn )}n∈N sở lân cận x X (3) X không gian tựa trải (trải được, trải điểm không cô lập) X có tựa trải (tương ứng trải được, trải điểm không cô lập) 1.1.7 Định nghĩa ([10]) Giả sử P họ tập không gian tôpô X , {Pn }n trải điểm không cô lập X (1)P họ hữu hạn theo điểm điểm không cô lập với điểm không cô lập x ∈ X , x thuộc nhiều hữu hạn phần tử P (2){Pn }n trải hữu hạn theo điểm điểm không cô lập X với n ∈ N, Pn họ điểm hữu hạn điểm không cô lập x ∈ X 1.1.8 Nhận xét Mỗi trải trải điểm không cô lập Nhưng điều ngược lại không đúng, xem Ví dụ 1.2.16 1.1.9 Định nghĩa Giả sử f :X → Y ánh xạ (1) f ánh xạ compắc (s-ánh xạ) [9] với y ∈ Y tập f −1 (y) compắc (tương ứng tách được) X (2) f ánh xạ biên compắc (ánh xạ biên hữu hạn, ánh xạ đơn biên) [9] với y ∈ Y tập ∂f −1 (y) compắc (tương ứng hữu hạn, nhiều điểm) X (3) f ánh xạ mở với tập U mở X ta có f (U ) mở Y (4) f ánh xạ song thương (song thương đếm được) [9] với y ∈ Y họ (tương ứng đếm được) U tập mở X với f −1 (y) ∈ ∪U , tồn tập hữu hạn U ⊂ U cho y ∈intf (∪U ) (5) f ánh xạ giả mở [9] với y ∈ Y tập mở U X mà f −1 (y) ⊂ U với U mở X, ta có y ∈intf (U ) (6)f ánh xạ hoàn chỉnh [10] f ánh xạ đóng compắc 1.1.10 Nhận xét ánh xạ song thương ⇒ ánh xạ song thương đếm ⇒ ánh xạ giả mở ⇒ ánh xạ thương 1.1.11 Bổ đề Mỗi ánh xạ giả mở, biên compắc ánh xạ song thương Chứng minh Giả sử f : X → Y ánh xạ giả mở, biên compắc Lấy y ∈ Y họ U tập mở X cho f −1 (y) ⊂ ∪U Vì f liên tục nên ∂f −1 (y) ⊂ f −1 (y) ⊂ ∪U Lại ∂f −1 (y) compắc, nên tồn họ hữu hạn U ⊂ U cho ∂f −1 (y) ⊂ ∪U Không tính tổng quát ta giả thiết tồn U ∈ U cho U ∩ f −1 (y) = ∅ Vì vậy, y ∈ f (U ) Đặt V = (∪U )∪ Int(f −1 (y)) Khi ta có f −1 (y) ⊂ V Vì f ánh xạ giả mở, nên y ∈ Int(f (V )) ⊂ f ((∪U ) ∪ f −1 (y)) = f (∪U ) ∪ {y} = f (∪U ) Do đó, f (∪U ) lân cận y ∈ Y Vì f ánh xạ song thương 1.2 Không gian có sở điểm không cô lập Trong phần này, đưa số tính chất không gian có sở điểm không cô lập, quan hệ không gian có sở điểm không cô lập với không gian có sở điểm quy điểm không cô lập; không gian trải hữu hạn theo điểm điểm không cô lập; ảnh không gian mêtric qua ánh xạ mở, biên compắc 1.2.1 Bổ đề Giả sử P sở không gian X Khi khẳng định sau tương đương (1) P sở điểm không cô lập X (2) P sở điểm quy điểm không cô lập X Chứng minh Chứng minh: (2) ⇒ (1) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.1.2 Bây ta chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử P sở điểm không cô lập X Nếu tồn điểm không cô lập x ∈ X tập 10 mở U X với x ∈ U cho {P ∈ (P)x : P ⊂ U } vô hạn Lấy họ {Pn : n ∈ N} ⊂ {P ∈ (P)x : P ⊂ U } chọn xn ∈ Pn \U với n ∈ N Khi {Pn }n∈N sở lân cận x ta có dãy {xn } hội tụ tới x X Vì xm ∈ U với số tự nhiên m ∈ N Điều mâu thuẫn với cách chọn dãy {xn } Do P sở điểm quy điểm không cô lập X 1.2.2 Bổ đề Giả sử {Pn } trải điểm không cô lập không gian X Nếu Pn họ hữu hạn theo điểm điểm không cô lập Pn+1 làm mịn Pn với n ∈ N, P = I(X) ∪ ( n∈N Pn ) sở điểm không cô lập X Chứng minh Giả sử x điểm không cô lập X {Pm : m ∈ N} tập vô hạn (P)x Nhờ tính hữu hạn theo điểm họ Pn , với k ∈ N tồn Pmk ∈ Pnk cho mk < mk+1 nk < nk+1 Vì {Pn } trải điểm không cô lập X nên {Pmk }k∈N sở lân cận x Vì P sở điểm không cô lập X 1.2.3 Bổ đề ([9]) Không gian X có sở điểm không cô lập X có trải hữu hạn theo điểm điểm không cô lập Chứng minh Điều kiện đủ Được suy từ Bổ đề 1.2.2 Điều kiện cần Giả sử P sở điểm không cô lập X Khi theo Bổ đề 1.2.1, P sở điểm quy điểm không cô lập Chúng ta giả thiết P ∈ P P ⊂ I(X), P tập điểm Để chứng minh Bổ đề trước hết ta chứng minh khẳng định sau Khẳng định Giả sử x điểm không cô lập X y ∈ X cho x = y Khi họ {H ∈ P : {x, y} ⊂ H} hữu hạn 20 1.2.17 Ví dụ ([9]) Giả sử X đoạn đơn vị đóng I = [0, 1] B tập Bernstein X , nghĩa B tập không đếm mà không chứa tập đóng không đếm X Không gian rời rạc hoá XB gọi Michael line [15] Giả sử X ∗ copy XB f : XB → X ∗ đồng cấu Đặt Z = XB X ∗ Y không gian thương thu từ Z cách đồng hoá {x, f (x)} với điểm x ∈ XB \X Khi (1) XB không gian rời rạc hoá không gian mêtric I, theo Định lý 1.2.12 không gian khả mêtric trực giao ảnh không gian có sở qua ánh xạ mở, compắc đơn biên (2) XB không không gian BCO Vì không ảnh mở, compắc không gian mêtric (3) Y s-ảnh mở biên compắc không gian mêtric (4) Nhờ Ví dụ [17] ta suy Y có không Gδ -đường chéo Thật Hiển nhiên XB không gian paracompắc không gian rời rạc hoá không gian mêtric I Nếu XB không gian BCO, không gian trải B Fσ -tập XB Điều mâu thuẫn Do XB không BCO Dễ dàng kiểm tra Y có sở đếm theo điểm đồng thời sở điểm không cô lập Vì nhờ Hệ 1.2.6, Y ảnh không gian mêtric qua ánh xạ mở, biên compắc, s-ánh xạ 21 CHƯƠNG KHÔNG GIAN TRẢI ĐƯỢC TẠI NHỮNG ĐIỂM KHÔNG CÔ LẬP VÀ CÁC ÁNH XẠ 2.1 Trải điểm không cô lập Trong phần này, trình bày khái niệm g -ánh xạ, lưới cặp đôi mô tả số kết quan hệ không gian trải điểm không cô lập với tồn lưới cặp đôi tập không gian X 2.1.1 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô ánh xạ g : N×X → τ (X) gọi g -hàm x ∈ g(n, x) g(n + 1, x) ⊂ g(n, x) với x ∈ X n ∈ N g(n, x) ký hiệu X d = X − I(X) Với A ⊂ X , ta đặt g(n, A) = x∈A 2.1.2 Định lý ([10]) Giả sử X không gian tôpô Khi khẳng định sau tương đương (1) X có trải điểm không cô lập (2) Tồn g -hàm X , cho với x ∈ X d dãy {xn }n , {yn }n X , {x, xn } ⊂ g(n, yn ) với n ∈ N, xn → x (3) X không gian tựa trải X d không gian hoàn chỉnh X Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử {Un }n trải điểm không cô lập X Chúng ta giả thiết I(X) ⊂ Un với n ∈ N 22 Với x ∈ X n ∈ N, ta cố định Un ∈ Un với x ∈ Un , Un = {x} x ∈ I(X) Đặt g(n, x) = Ui Khi g : N × X → τ (X) i[...]... Không gian tôpô X có cơ sở đếm được theo điểm và đồng thời là cơ sở đều tại những điểm không cô lập nếu và chỉ nếu X là ảnh của một không gian mêtric qua ánh xạ mở, biên compắc, s-ánh xạ 1.2.7 Định lý Giả sử X là một không gian có cơ sở đều tại những điểm không cô lập Khi đó (1) X là không gian tựa trải được (2) X có cơ sở trực giao và cơ sở σ -Q Chứng minh Giả sử X là một không gian có cơ sở đều tại. .. hạn theo điểm tại những điểm không cô lập 2.2.3 Bổ đề Giả sử X là một không gian tôpô Sau đây là các tương đương: (1) X là ảnh mở biên compact của một không gian mêtric; (2) X có một cơ sở đều tại những điểm không cô lập; 28 (3) X có một trải được hữu hạn theo điểm tại những điểm không cô lập; (4) X có một trải được tại những điểm không cô lập, và X d là một không gian metacompắc con của không gian... đương, đối với một không gian tôpô X (1) X là ảnh của một không gian mêtric qua ánh xạ mở, biên compắc; (2) X có một cơ sở đều tại những điểm không cô lập; (3) X có một cơ sở điểm chính quy tại những điểm không cô lập; 13 (4) X có một trải được hữu hạn theo điểm tại những điểm không cô lập Chứng minh Nhờ Bổ đề 1.2.1 và Bổ đề 1.2.3 ta có được (2) ⇔ (3) ⇔ (4) (1) ⇒ (4) Giả sử M là không gian mêtric và... {y} ⊂ U Do đó, theo Hệ quả 2.1.5, Y là không gian trải được tại những điểm không cô lập 2.2.7 Hệ quả Không gian chính quy với một cơ sở đều tại những điểm không cô lập được bảo toàn qua ánh xạ mở và đóng Chứng minh Giả sử f : X → Y là ánh xạ mở và đóng, X là không gian chính quy có một cơ sở đều tại những điểm không cô lập Vì f là ánh xạ đóng và mở, nên Y là không gian chính quy và đếm được thứ nhất... của XA (b) Nếu X có một cơ sở đều thì XA không chỉ có Gδ -đường chéo và cơ sở đều tại những điểm không cô lập mà còn có cơ sở σ -hữu hạn theo điểm (c) Không gian rời rạc hoá của một không gian mêtric nếu và chỉ nếu nó là mêtric hoá trực giao và có một Gδ -đường chéo 1.2.12 Định lý ([9]) Mỗi không gian rời rạc hoá của không gian có cơ sở đều là ảnh của một không gian có cơ sở đều qua ánh xạ mở, compắc... điểm không cô lập Trong phần này, luận văn trình bày một số kết quả về tính bất biến của không gian có cơ sở đều tại những điểm không cô lập qua các ánh xạ như: 27 ánh xạ hoàn chỉnh; ánh xạ đóng và mở; ánh xạ mở, biên hữu hạn 2.2.1 Định lý Mỗi không gian có cơ sở đều tại những điểm không cô lập được bảo toàn qua ánh xạ mở, biên hữu hạn Chứng minh Giả sử f : X → Y là một ánh xạ mở, biên hữu hạn, X là không. .. biên hữu hạn, X là không gian có cơ sở đều tại những điểm không cô lập Theo Định lý 1.2.5, tồn tại không gian mêtric M và một ánh xạ mở, biên compắc g : M → X Lấy bất kỳ y ∈ Y , vì ∂(f ◦ g)−1 (y) ⊂ {∂g −1 (x) : x ∈ ∂f −1 (y)}, nên f ◦ g : M → Y là một ánh xạ mở, biên compắc Vì thế Y là một không gian có cơ sở đều tại những điểm không cô lập 2.2.2 Bổ đề Không gian X d là không gian metacompắc con của... gian BCO, thì nó là không gian trải được và khi đó B là một Fσ -tập trong XB Điều này mâu thuẫn Do đó XB không là BCO Dễ dàng kiểm tra được rằng Y có một cơ sở đếm được theo điểm và đồng thời là cơ sở đều tại những điểm không cô lập Vì thế nhờ Hệ quả 1.2.6, Y là ảnh của một không gian mêtric qua ánh xạ mở, biên compắc, s-ánh xạ 21 CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN TRẢI ĐƯỢC TẠI NHỮNG ĐIỂM KHÔNG CÔ LẬP VÀ CÁC ÁNH XẠ... tại những điểm không cô lập của X Bây giờ ta đặt P1 = P m và Pn+1 = [(P\ i≤n Pi ) I(X)]m , với mọi n ∈ N Khi đó theo (b) P = n∈N Pn Hơn nữa ta có (e) {Pn } là một trải được hữu hạn theo điểm tại những điểm không cô lập của X Thật vậy, do (c) và (d) nên mỗi Pn là họ hữu hạn theo điểm tại những điểm không cô lập Nếu x ∈ U \I(X) với U mở trong X , thì họ {P ∈ (P)x : P ⊂ U } là hữu hạn Vì thế, tồn tại. .. (4) ⇒ (3) Giả sử {Un }n là một trải được hữu hạn theo điểm tại những điểm không cô lập của X Vì X d là metacompact, nên Un có một mịn mở Vn hữu hạn theo điểm tại những điểm không cô lập, với mỗi n ∈ N Do đó {Vn }n là một trải được hữu hạn theo điểm tại những điểm không cô lập Giả sử rằng n∈N Pn n∈N Pn là một lưới cặp đôi đối với không gian X Chúng ta nói thoả mãn điều kiện ( ) nếu nó có tính chất ... 1.2 Không gian có sở điểm không cô lập Trong phần này, đưa số tính chất không gian có sở điểm không cô lập, quan hệ không gian có sở điểm không cô lập với không gian có sở điểm quy điểm không cô. .. gọi sở điểm quy (cơ sở điểm quy điểm không cô lập) X điểm (tương ứng điểm không cô lập) x ∈ X x ∈ U với U lân cận mở X , họ {P ∈ (P)x : P ⊂ U } hữu hạn 1.1.3 Nhận xét Cơ sở (cơ sở điểm quy) sở điểm. .. đương với không gian có sở điểm không cô lập, tương đương với không gian có sở điểm quy nhũng điểm không cô lập, tương đương với không gian trải hữu hạn theo điểm điểm không cô lập Quan hệ không